ในทางเรขาคณิตมุมเกิดจากเส้นตรง สองเส้น ที่มาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง^{[ 1 ]}แต่ละเส้นเรียกว่าด้านของมุม และจุดที่เส้นทั้งสองมาบรรจบกันเรียกว่าจุดยอดของมุม^{[ 2 ] [ 3 ]}คำว่ามุมใช้เพื่อแสดงถึงทั้งรูปทรงเรขาคณิตและขนาดหรือปริมาณที่เกี่ยวข้องการวัดมุมหรือการวัดมุมบางครั้งใช้เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างการวัดปริมาณและรูปทรง การวัดมุมมีความเชื่อมโยงโดยตรงกับวงกลมและการหมุน และมักจะแสดงภาพหรือกำหนดโดยใช้ส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดและอยู่ระหว่างด้านทั้งสอง

ไม่มีคำจำกัดความของมุมที่เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไป^{[ 4 ]}มุมสามารถถูกคิดและใช้งานได้หลากหลายวิธี และในขณะที่อาจมีการกำหนดคำจำกัดความที่ถูกต้องสำหรับบริบทเฉพาะ แต่ก็ยากที่จะให้คำจำกัดความที่เป็นทางการเพียงคำเดียวที่น่าพอใจอย่างสมบูรณ์ในการครอบคลุมทุกแง่มุมของแนวคิดทั่วไปของมุม^{[ 5 ]}

นิยามมาตรฐานอย่างหนึ่งคือ มุมเป็นรูปทรงที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้นซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันและมีจุดปลายร่วมกัน หรืออีกทางหนึ่ง มุมอาจนิยามได้ดังนี้: ช่องว่างระหว่างรังสีทั้งสอง; พื้นที่ของระนาบที่อยู่ระหว่างรังสีทั้งสอง; หรือปริมาณการหมุนรอบจุดยอดของรังสีเส้นหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

โดยทั่วไป มุมจะเกิดขึ้นทุกครั้งที่เส้นตรงสองเส้นมาบรรจบกัน เช่น ที่มุมของรูปสามเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ^{[ 2 ]}หรือที่จุดตัดของระนาบหรือเส้นโค้ง สองเส้น ซึ่งในกรณีนี้ รังสีที่สัมผัสกับเส้นโค้งแต่ละเส้น ณ จุดตัดจะกำหนดมุม^{[ 6 ]}

โดยทั่วไปแล้ว มักพิจารณาว่าด้านของมุมแบ่งระนาบออกเป็นสองบริเวณที่เรียกว่าบริเวณภายในมุมและบริเวณภายนอกมุมบริเวณภายในมุมยังเรียกว่าส่วนเชิงมุม อีกด้วย ^{[ 7 ] [ 8 ] [ a ]}

สัญลักษณ์มุม ( หรืออ่านว่า "มุม") พร้อมด้วยจุดกำหนดหนึ่งหรือสามจุด ใช้เพื่อระบุมุมในรูปทรงเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น มุมที่มีจุดยอด A ซึ่งเกิดจากรังสีและจะใช้สัญลักษณ์(โดยใช้จุดยอดเพียงอย่างเดียว) หรือ (โดยระบุจุดยอด ไว้ ตรงกลางเสมอ) ขนาดหรือการวัดของมุมจะใช้สัญลักษณ์หรือ${\displaystyle \angle }$${\displaystyle {\widehat {\quad }}}$${\displaystyle {\vec {\text{AB}}}}$${\displaystyle {\vec {\text{AC}}}}$${\displaystyle \angle {\text{A}}}$${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$${\displaystyle m\angle {\text{A}}}$${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}}$

ในรูปทรงเรขาคณิตและนิพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องปกติที่จะใช้อักษรกรีก ( α , β , γ , θ , φ , ...) หรืออักษรโรมันตัวเล็ก ( a ,  b ,  c , ...) เป็นตัวแปรเพื่อแสดงขนาดของมุม^{[ 12 ]}โดยทั่วไปแล้วการวัดมุมจะเป็นปริมาณสเกลาร์ [ ^{13 ]}แม้ว่าในฟิสิกส์และบางสาขาของคณิตศาสตร์ จะมีการใช้มุม ที่มีเครื่องหมาย ตามธรรมเนียมเพื่อระบุทิศทางการหมุน: บวกสำหรับการ ^หมุนทวนเข็มนาฬิกา; ลบสำหรับการหมุนตามเข็มนาฬิกา^{[ 14 ]}

มุมจะถูกวัดด้วยหน่วยต่างๆ หน่วยที่ใช้กันทั่วไปคือองศา (แทนด้วยสัญลักษณ์° ) เรเดียน (แทนด้วยสัญลักษณ์rad ) และการหมุนหน่วยเหล่านี้แตกต่างกันในวิธีการแบ่งมุมเต็มซึ่งเป็นมุมที่รังสีหนึ่งซึ่งเดิมเท่ากันกับรังสีอีกอันหนึ่ง หมุนรอบจุดยอดจนกลับมาอยู่ที่ตำแหน่ง เริ่ม ต้น^{[ 15 ]}

องศาและการหมุนถูกกำหนดโดยตรงโดยอ้างอิงถึงมุมเต็ม ซึ่งวัดได้ 1 รอบหรือ 360° ^{[ 16 ]}การวัดเป็นรอบจะให้ขนาดของมุมเป็นสัดส่วนของมุมเต็ม และองศาสามารถถือได้ว่าเป็นส่วนย่อยของการหมุน เรเดียนไม่ได้ถูกกำหนดโดยตรงโดยสัมพันธ์กับมุมเต็ม (ดู§ การวัดมุม ) แต่ในลักษณะที่การวัดของมันคือ 2 π  เรเดียน ประมาณ 6.28 เรเดียน^{[ 17 ]}

ในอดีต หน่วยองศาถูกเลือกใช้ เช่น มุมตรงหรือครึ่งหนึ่งของมุมเต็มจะถูกกำหนดให้มีค่าเท่ากับ 180 องศา

หลักการบวกมุมระบุว่า ถ้า D เป็นจุดที่อยู่ในบริเวณด้านในของมุมนั้น: ^{[ 18 ]}ความสัมพันธ์นี้กำหนดความหมายของการบวกมุมสองมุมใดๆ: จุดยอดของมุมทั้งสองจะอยู่ด้วยกันโดยมีด้านร่วมกันเพื่อสร้างมุมใหม่ที่ใหญ่กว่า ขนาดของมุมใหม่ที่ใหญ่กว่าคือผลรวมของขนาดของมุมทั้งสอง การลบเป็นไปตามการจัดเรียงสูตรใหม่^{[ 18 ]}${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$$${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}=m\angle {\text{BAD}}+m\angle {\text{DAC}}.}$$

• มุมที่เท่ากับ 0° หรือไม่หมุนเรียกว่า^มุมศูนย์ [ ^{19 ]}
• มุม ที่เล็กกว่ามุมฉาก (น้อยกว่า 90°) เรียกว่ามุมแหลม^{[ 20 ]}
• มุมที่เท่ากับ⁠1/4หมุน (  90 ° หรือ⁠π/2⁠rad  ) เรียกว่ามุมฉาก เส้นตรงสองเส้นที่ทำมุมฉากกันเรียกว่าเส้นตั้งฉากเส้นตั้งฉากหรือเส้นขนาน^{[ 21 ]}
• มุมที่มีขนาดใหญ่กว่ามุมฉากและเล็กกว่ามุมตรง (ระหว่าง 90° ถึง 180°) เรียกว่ามุมป้าน^{[ 20 ]} ("ป้าน" หมายถึง "ทื่อ")
• มุมที่เท่ากับ⁠1/2การ หมุน  (180° หรือπ  เรเดียน) เรียกว่ามุมตรง^{[ 19 ]}
• มุมที่ใหญ่กว่ามุมตรงแต่เล็กกว่า 1 รอบ (ระหว่าง 180° ถึง 360°) เรียกว่ามุมสะท้อน
• มุมที่เท่ากับ 1 รอบ (360° หรือ 2π เรเดียน)  เรียกว่ามุมเต็มมุมสมบูรณ์มุมกลมหรือเพริกอน
• มุม ที่ไม่ใช่ผลคูณของมุมฉากเรียกว่ามุมเฉียง

มุมประชิด (ย่อว่า adj. ∠s ) คือมุมที่ใช้จุดยอดและขอบร่วมกัน แต่ไม่มีจุดภายในร่วมกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นมุมที่อยู่เคียงข้างกัน โดยใช้ "แขน" ร่วมกัน

มุมตรงข้ามเกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดหนึ่ง ทำให้เกิดมุมสี่มุม มุมคู่หนึ่งที่อยู่ตรงข้ามกันเรียกว่ามุมตรงข้ามมุมตรงข้ามหรือมุมตรงข้ามกันในแนวตั้ง (ย่อว่า vert. opp. ∠s ) ^{[ 22 ]}โดยคำว่า "ตรงข้าม" หมายถึงการใช้จุดยอดร่วมกัน ไม่ใช่การวางตัวในแนวตั้ง ทฤษฎีบทหนึ่งกล่าวว่ามุมตรงข้ามจะมีขนาดเท่ากันเสมอ ^{[ 23 ]} เส้นตัดขวางคือเส้นที่ตัดกับเส้นตรงสองเส้น (มักจะเป็นเส้นขนาน) และเกี่ยวข้องกับมุมภายนอกมุมภายในมุมภายนอกสลับมุมภายในสลับ มุมที่สอดคล้องกันและมุมภายในที่ต่อเนื่อง^กัน [ ^{24 ]}

เมื่อทำการบวกมุมสองมุม (ไม่ว่าจะเป็นมุมประชิดหรือมุมที่อยู่ห่างกัน) จะมีกรณีพิเศษสามกรณีที่เรียกว่ามุมประกอบมุมเสริมและมุม เติมเต็ม

มุมประกอบคือ มุมคู่ที่มีผลรวมของขนาดเท่ากับมุมฉาก ( ⁠1/4เลี้ยว 90 องศาหรือπ/2⁠ rad) ถ้ามุมเสริมสองมุมอยู่ติดกัน ด้านที่ไม่ใช้ร่วมกันของมุมทั้งสองจะประกอบกันเป็นมุมฉาก ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมแหลมสองมุมจะเป็นมุมเสริมกัน เนื่องจากผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180° ผลต่างระหว่างมุมกับมุมฉากเรียกว่ามุมเสริมของมุม^{[ 6 ]}

มุมเสริมกันจะรวมกันได้เป็นมุมเส้นตรง ( ⁠1/2หมุน 180° หรือπเรเดียน) ถ้ามุมเสริมสองมุมอยู่ติดกันด้านที่ไม่ใช้ร่วมกันของมุมทั้งสองจะก่อให้เกิดมุมตรงหรือเส้นตรงและเรียกว่าคู่มุมเส้นตรง^{[ 25 ]}ผลต่างระหว่างมุมกับมุมตรงเรียกว่ามุมเสริมของมุม^{[ 26 ]}

มุมเสริมหรือมุมคู่ควบรวมกันได้เท่ากับมุมเต็ม (1 รอบ, 360° หรือ 2πเรเดียน ) ^{[ 27 ]}ผลต่างระหว่างมุมกับมุมเต็มเรียกว่ามุมเสริมหรือมุมคู่ควบของมุมนั้น ^{[ 28 ] [ 29 ]}

ตัวอย่างของมุมเสริมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน ได้แก่ มุมที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยม บน วงกลม สำหรับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O และเส้นสัมผัสจากจุดภายนอก P สัมผัสวงกลมที่จุด T และ Q มุมที่ได้คือ ∠TPQ และ ∠TOQ ซึ่งรวมกันได้ 180 องศา

• 
  มุมaและbเป็นมุมประกอบ มุมฉาก
• 
  มุมaและbเป็นมุมเสริมกัน
• 
  มุมAOBและCODเป็น มุม เสริมหรือมุม คู่ควบ

• มุมที่เป็นส่วนหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวเรียกว่ามุมภายในถ้ามุมนั้นอยู่ด้านในของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวนั้นรูปหลายเหลี่ยมเว้าเชิงเดี่ยวจะมีมุมภายในอย่างน้อยหนึ่งมุม ซึ่งก็คือมุมสะท้อน
  ในเรขาคณิตแบบยุคลิดผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับπเรเดียน หรือ 180 °1/2การ หมุน ; ผลรวมของมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมด้านนูน อย่างง่าย เท่ากับ 2π เรเดียน , 360° หรือ 1 รอบ โดยทั่วไป ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม ด้านนูนอย่างง่าย ที่มีnด้าน เท่ากับ ( n  − 2) π  เรเดียน หรือ ( n  − 2)180 องศา, ( n  − 2)2 มุมฉาก หรือ ( n −  2)1/2เลี้ยว ​
• มุมเสริมของมุมภายในเรียกว่ามุมภายนอกกล่าวคือ มุมภายในและมุมภายนอกเป็นคู่มุมเชิง เส้น มีมุมภายนอกสองมุมที่แต่ละจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม โดยแต่ละมุมกำหนดโดยการต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่จุดยอด มุมทั้งสองนี้เป็นมุมตรงข้ามกัน ดังนั้นจึงเท่ากัน มุมภายนอกวัดปริมาณการหมุนที่ต้องทำที่จุดยอดเพื่อวาดรูปหลายเหลี่ยม^{[ 30 ]}หากมุมภายในที่สอดคล้องกันเป็นมุมสะท้อน มุมภายนอกควรพิจารณาว่าเป็นลบ แม้ในรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย ก็อาจสามารถกำหนดมุมภายนอกได้ อย่างไรก็ตาม จะต้องเลือกทิศทางของระนาบ (หรือพื้นผิว ) เพื่อตัดสินเครื่องหมายของการวัดมุมภายนอก
  ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนอย่างง่าย หากสมมติว่ามีเพียงมุมภายนอกมุมเดียวจากสองมุมที่แต่ละจุดยอด จะเท่ากับหนึ่งรอบเต็ม (360°) มุมภายนอกในที่นี้อาจเรียกว่ามุมภายนอกเสริมมุมภายนอกมักใช้ในโปรแกรม Logo Turtleเมื่อวาดรูปหลายเหลี่ยมปกติ
• ในรูปสามเหลี่ยมเส้นแบ่งครึ่งมุมภายนอกสองมุมและเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในอีกมุมหนึ่งจะ มาบรรจบ กันที่จุดเดียว^{[ 31 ] : 149}
• ในรูปสามเหลี่ยม จุดตัดสามจุด ซึ่งแต่ละจุดเป็นเส้นแบ่งครึ่งมุมภายนอกกับด้านตรงข้าม ที่ต่อออกไป จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน [ ^{31 ] : 149}
• ในรูปสามเหลี่ยม จุดตัดสามจุด สองจุดอยู่ระหว่างเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในกับด้านตรงข้าม และจุดที่สามอยู่ระหว่างเส้นแบ่งครึ่งมุมภายนอกอีกเส้นกับด้านตรงข้ามที่ต่อออกไป จะอยู่บนเส้นเดียวกัน^{[ 31 ] : 149}
• ผู้เขียนบางคนใช้ชื่อมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายเพื่อหมายถึงมุมภายนอกเสริม ( ไม่ใช่มุมเสริม!) ของมุมภายใน^{[ 32 ]}ซึ่งขัดแย้งกับการใช้งานข้างต้น

• มุมระหว่างระนาบสองระนาบ (เช่น หน้าที่อยู่ติดกันสองหน้าของทรงหลายเหลี่ยม ) เรียกว่ามุมไดเฮดรัล [ ^{6 ] อาจ}นิยามได้ว่าเป็นมุมแหลมระหว่างเส้นสองเส้นที่ตั้งฉากกับระนาบ
• มุมระหว่างระนาบกับเส้นตรงที่ตัดกันจะเป็นมุมประกอบกับมุมระหว่างเส้นตรงที่ตัดกันกับเส้นตั้งฉากกับระนาบนั้น

การวัดมุมนั้นครอบคลุมทั้งการวัดทางกายภาพโดยตรงโดยใช้เครื่องมือวัด เช่นไม้โปรแทรกเตอร์รวมถึงการคำนวณขนาดของมุมทางทฤษฎีจากปริมาณที่ทราบอื่นๆ แม้ว่าการวัดมุมจะมีความเชื่อมโยงโดยตรงกับการหมุนและวงกลม แต่ก็มีมุมมองที่หลากหลายเกี่ยวกับสิ่งที่กำลังวัดอยู่ ซึ่งรวมถึง: ปริมาณการหมุนรอบจุดยอดของรังสีหนึ่งไปยังอีกรังสีหนึ่ง^{[ 33 ]}ปริมาณการเปิดระหว่างรังสี^{[ 34 ]}หรือความยาวของส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมหน่วย^{[ 35 ]}

การวัดมุมนั้นแตกต่างจากการวัดปริมาณทางกายภาพอื่นๆ เช่น ความยาวโดยเนื้อแท้^{[ 36 ]}มุมที่มีความสำคัญเป็นพิเศษ (เช่น มุมฉาก) เป็นตัวกำหนดระบบและหน่วยของการวัดมุม ซึ่งไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับความยาวที่หน่วยการวัด (เมตร ฟุต) เป็นไปตามอำเภอใจ

โดยทั่วไปแล้ว การวัดมุมมีสองแนวทางหลัก ได้แก่ การวัดเทียบกับมุมอ้างอิง (เช่น มุมฉาก) และการวัดแบบวงกลม

มุมอ้างอิงที่เลือกไว้ (มุมฉาก มุมตรง หรือมุมเต็ม) สามารถแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กันได้ และขนาดของส่วนหนึ่งสามารถใช้เป็นหน่วยในการวัดมุมอื่นๆ ได้

ในวิธีการวัดมุมที่ใช้กันทั่วไป มุมฉากจะถูกแบ่งออกเป็น 90 ส่วนเท่าๆ กัน เรียกว่าองศาในขณะที่ใน ระบบ เซนติซิมัล ซึ่งไม่ค่อยได้ใช้ มุมฉากจะถูกแบ่งออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆ กัน เรียกว่าเกรเดียน^{[ 37 ] [ 38 ]}

ในการวัดแบบวงกลม มุมจะถูกวางไว้ภายในวงกลมที่มีขนาดใดก็ได้ โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม และด้านต่างๆ ตัดกับเส้นรอบวง

ส่วนโค้งที่มีความยาวsเกิดขึ้นจากเส้นรอบวงระหว่างจุดตัดสองจุด ซึ่งเรียกว่า ส่วนโค้ง ที่รองรับมุม ความยาวsสามารถใช้ในการวัดขนาดของมุมθ ได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากsขึ้นอยู่กับขนาดของวงกลมที่เลือก การวัดจึงต้องมีการปรับขนาด ซึ่งสามารถทำได้โดยการหาอัตราส่วนของsต่อรัศมีrหรือเส้นรอบวงCของวงกลม

อัตราส่วนของความยาวsต่อรัศมีrคือจำนวนเรเดียนในมุม^{[ 35 ]}ในขณะที่อัตราส่วนของความยาวsต่อเส้นรอบวงCคือจำนวนรอบ : $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} ={\frac {s}{C}}\,\mathrm {turn} ={\frac {s}{2\pi r}}\,\mathrm {turn} }$$

ค่าของθที่กำหนดไว้เช่นนี้จะไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของวงกลม: ถ้าความยาวของรัศมีเปลี่ยนไป ทั้งเส้นรอบวงและความยาวส่วนโค้งก็จะเปลี่ยนไปในสัดส่วนเดียวกัน ดังนั้นอัตราส่วน⁠ส/รและ​​ส/ซีไม่มีการเปลี่ยนแปลง^{[ nb 1 ]}

อัตราส่วน​ส/รเรียกว่า "การวัดเรเดียน" ^{[ 18 ]}หรือ "การวัดแบบวงกลม" ^{[ 39 ] [ 38 ] [ 40 ]}ของมุม แต่ยังใช้เพื่อกำหนดหน่วยวัดที่เรียกว่าเรเดียน ซึ่งกำหนดเป็นมุมที่มีอัตราส่วน⁠ส/ร= 1. ^{[ 39 ]}ดังนั้น การวัดมุมที่กำหนดโดยส/รสามารถคิด ได้สองวิธี: วิธีแรกคือเป็นการวัดในแง่ของสัดส่วนของมุมเอง (อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งต่อรัศมี) หรือวิธีที่สองคือเป็นปริมาณของหน่วยในมุม (อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งของมุมที่วัดได้ต่อความยาวส่วนโค้งของมุมหน่วย) ^{[ 41 ] [ 38 ]}

ตารางต่อไปนี้แสดงหน่วยวัดมุมที่สำคัญบางหน่วย

ในคณิตศาสตร์และระบบปริมาณสากลมุมถูกกำหนดให้เป็นปริมาณที่ไม่มีมิติ^{[ 42 ]}และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเรเดียนถูกกำหนดให้เป็นปริมาณที่ไม่มีมิติในระบบหน่วยสากล [ ^{43 ] ข้อกำหนด}นี้ป้องกันไม่ให้มุมให้ข้อมูลสำหรับการวิเคราะห์มิติตัวอย่างเช่น เมื่อวัดมุมในหน่วยเรเดียนโดยการหารความยาวส่วนโค้งด้วยรัศมี ก็คือการหารความยาวหนึ่งด้วยความยาวอีกหน่วยหนึ่ง และหน่วยความยาวจะหักล้างกัน ดังนั้นผลลัพธ์—มุม—จึงไม่มี "มิติ" ทางกายภาพเหมือนเมตรหรือวินาที^{[ 44 ]}ข้อนี้เป็นจริงสำหรับหน่วยมุมทั้งหมด เช่น เรเดียน องศา หรือการหมุน—ทั้งหมดแสดงถึงตัวเลขบริสุทธิ์ที่วัดว่าบางสิ่งหมุนไปมากน้อยเพียงใด^{[ 45 ]}นี่คือเหตุผลที่ในสมการหลายๆ สมการ หน่วยมุมดูเหมือนจะ "หายไป" ระหว่างการคำนวณ ซึ่งให้ความรู้สึกไม่สอดคล้องกันและอาจนำไปสู่การสับสนหน่วยมุม^{[ 46 ] [ 47 ]}

สิ่งนี้ทำให้เกิดการอภิปรายอย่างมากในหมู่นักวิทยาศาสตร์และนักการศึกษา นักวิทยาศาสตร์บางคนเสนอให้ถือว่ามุมมีมิติพื้นฐานของตัวเอง คล้ายกับความยาวหรือเวลา^{[ 48 ]}ซึ่งหมายความว่าหน่วยมุมเช่นเรเดียนจะปรากฏอย่างชัดเจนในการคำนวณเสมอ ทำให้การวิเคราะห์มิติทำได้ง่ายขึ้น อย่างไรก็ตาม แนวทางนี้ยังต้องเปลี่ยนแปลงสูตรทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่รู้จักกันดีหลายสูตร ทำให้สูตรเหล่านั้นยาวขึ้นและอาจไม่คุ้นเคยมากนัก^{[ 49 ]}สำหรับตอนนี้ แนวปฏิบัติที่ได้รับการยอมรับคือการเขียนหน่วยมุมเมื่อเหมาะสม แต่ให้ถือว่าไม่มีมิติ โดยเข้าใจว่าหน่วยเหล่านี้มีความสำคัญแต่มีพฤติกรรมที่แตกต่างจากเมตรหรือกิโลกรัม^{[ 50 ]}

มุมที่แสดงด้วยสัญลักษณ์∠BACอาจหมายถึงมุมใดมุมหนึ่งในสี่มุมต่อไปนี้: มุมตามเข็มนาฬิกาจาก B ไป C รอบ A, มุมทวนเข็มนาฬิกาจาก B ไป C รอบ A, มุมตามเข็มนาฬิกาจาก C ไป B รอบ A หรือมุมทวนเข็มนาฬิกาจาก C ไป B รอบ A ดังนั้นจึงมักเป็นประโยชน์ที่จะกำหนดข้อตกลงที่อนุญาตให้ใช้ค่ามุมบวกและลบเพื่อแสดงทิศทางและ/หรือการหมุนในทิศทางตรงกันข้ามหรือ "ความรู้สึก" ตรงกันข้ามกับจุดอ้างอิงบางจุด

ใน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติมุมโดยทั่วไปจะถูกกำหนดโดยด้านทั้งสอง โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิดด้านเริ่มต้นอยู่บนแกนx บวกในขณะที่อีกด้านหนึ่งหรือด้านปลายจะถูกกำหนดโดยการวัดจากด้านเริ่มต้นในหน่วยเรเดียน องศา หรือรอบ โดยมุมบวกแสดงถึงการหมุนเข้าหาแกน y บวกและมุมลบแสดงถึงการหมุนเข้าหาแกน y ลบเมื่อพิกัดคาร์ทีเซียนถูกแสดงด้วยตำแหน่งมาตรฐานซึ่งกำหนดโดย แกน xชี้ไปทางขวาและ แกน yชี้ขึ้น การหมุนในทิศทางบวกจะเป็นทวนเข็มนาฬิกาและการหมุนในทิศทางลบจะเป็นตามเข็ม นาฬิกา

ในหลายบริบท มุม −θ นั้นเทียบเท่ากับมุม "หนึ่งรอบเต็มลบด้วยθ " ตัวอย่างเช่น การวางแนวที่แสดงเป็น −45° นั้นเทียบเท่ากับการวางแนวที่กำหนดเป็น360° −45°หรือ 315° แม้ว่าตำแหน่งสุดท้ายจะเหมือนกัน แต่การหมุน (การเคลื่อนไหว) ทางกายภาพที่ −45° นั้นไม่เหมือนกับการหมุนที่ 315° (ตัวอย่างเช่น การหมุนของคนที่ถือไม้กวาดวางอยู่บนพื้นที่มีฝุ่น จะทิ้งร่องรอยของบริเวณที่กวาดแล้วบนพื้นแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด)

ในเรขาคณิตสามมิติ คำว่า "ตามเข็มนาฬิกา" และ "ทวนเข็มนาฬิกา" ไม่มีความหมายที่แน่นอน ดังนั้นทิศทางของมุมบวกและมุมลบจึงต้องกำหนดในแง่ของการวางแนวซึ่งโดยทั่วไปจะกำหนดโดยเวกเตอร์ปกติที่ผ่านจุดยอดของมุมและตั้งฉากกับระนาบที่รังสีของมุมนั้นอยู่

ในการนำทาง มุมแบริ่งหรือ มุม อะซิมุธจะวัดเทียบกับทิศเหนือ ตามธรรมเนียมแล้ว เมื่อมองจากด้านบน มุมแบริ่งจะเป็นบวกเมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกา ดังนั้นมุมแบริ่ง 45° จึงตรงกับทิศตะวันออกเฉียงเหนือ มุมแบริ่งที่เป็นลบจะไม่ใช้ในการนำทาง ดังนั้นทิศตะวันตกเฉียงเหนือจึงตรงกับมุมแบริ่ง 315°

• มุมที่มีขนาดเท่ากัน (กล่าวคือ มีขนาดเท่ากัน) เรียกว่ามุมเท่ากันหรือ มุม ที่สมมาตรกัน มุมถูกกำหนดโดยขนาดของมัน และไม่ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านของมุม (เช่นมุมฉากทุกมุมมีขนาดเท่ากัน)
• มุมสองมุมที่ใช้ด้านปลายร่วมกัน แต่มีขนาดแตกต่างกันโดยเป็นผลคูณจำนวนเต็มของจำนวนรอบ เรียกว่ามุมร่วมปลาย (coterminal angles )
• มุมอ้างอิง (บางครั้งเรียกว่ามุมที่เกี่ยวข้อง ) สำหรับมุมθ ใดๆ ในตำแหน่งมาตรฐานคือมุมแหลมบวกระหว่างด้านปลายของθและแกน x (บวกหรือลบ) ^{[ 51 ]}ในทางขั้นตอน ขนาดของมุมอ้างอิงสำหรับมุมที่กำหนดอาจถูกกำหนดโดยการนำขนาดของมุมมาหารด้วยค่าโมดูลัส1/2หมุน 180° หรือπเรเดียน แล้วหยุดถ้ามุมเป็นมุมแหลม มิฉะนั้นให้ใช้มุมเสริม คือ 180° ลบด้วยขนาดที่ลดลง ตัวอย่างเช่น มุม 30 องศาเป็นมุมอ้างอิงอยู่แล้ว และมุม 150 องศาก็มีมุมอ้างอิง 30 องศาเช่นกัน ( 180° − 150° ) มุม 210° และ 510° ก็สอดคล้องกับมุมอ้างอิง 30 องศาเช่นกัน ( 210° mod 180° = 30° , 510° mod 180° = 150°ซึ่งมุมเสริมคือ 30°)

สำหรับหน่วยเชิงมุมนั้น ตามนิยามแล้วสัจพจน์การบวกมุมนั้นใช้ได้ แต่มีการวัดหรือปริมาณบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับมุมที่ใช้กันอยู่ซึ่งไม่เป็นไปตามสัจพจน์นี้:

• ความชันหรือความลาดเอียงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุม และมักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ("ระยะทางขึ้น" ต่อ "ระยะทางลง") สำหรับค่าที่น้อยมาก (น้อยกว่า 5%) ความชันของเส้นตรงจะประมาณเท่ากับค่ามุมที่วัดเป็นเรเดียนกับทิศทางแนวนอนระดับความสูงเป็นความชันที่ใช้ระบุความลาดชันของถนน ทางเดิน และทางรถไฟ
• ใน เรขาคณิตเชิงตรรกะระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้นถูกนิยามว่าเท่ากับกำลังสองของไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงทั้งสอง เนื่องจากไซน์ของมุมและไซน์ของมุมเสริมของมุมนั้นมีค่าเท่ากัน ดังนั้นมุมการหมุนใดๆ ที่เปลี่ยนเส้นตรงเส้นหนึ่งไปเป็นอีกเส้นหนึ่ง จะทำให้ได้ค่าระยะห่างระหว่างเส้นตรงทั้งสองเส้นเท่ากัน
• ถึงแม้ว่าจะทำไม่บ่อยนัก แต่เราสามารถรายงานผลลัพธ์โดยตรงของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ เช่นค่าไซน์ของมุม

มุมระหว่างเส้นตรงและเส้นโค้ง (มุมผสม) หรือระหว่างเส้นโค้งสองเส้นที่ตัดกัน (มุมเส้นโค้ง) ถูกกำหนดให้เป็นมุมระหว่างเส้นสัมผัสณ จุดตัด มีชื่อเรียกต่างๆ (ปัจจุบันแทบไม่เคยใช้เลย) ที่ใช้เรียกกรณีเฉพาะต่างๆ ได้แก่:— amphicyrtic (กรีกἀμφί , ทั้งสองด้าน, κυρτός, นูน) หรือcissoidal (กรีก κισσός, ไม้เลื้อย), นูนสองด้าน; xystroidalหรือsistroidal (กรีก ξυστρίς, เครื่องมือสำหรับขูด), เว้า-นูน; amphicoelic (กรีก κοίλη, โพรง) หรือangulus lunularis , เว้าสองด้าน^{[ 52 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณรู้วิธีแบ่งมุมออกเป็นสองมุมที่มีขนาดเท่ากันโดยใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัดแต่สามารถแบ่งมุมบางมุมออกเป็นสามส่วนได้เท่านั้น ในปี ค.ศ. 1837 ปิแอร์ วอนต์เซลได้แสดงให้เห็นว่าวิธีการนี้ไม่สามารถทำได้กับมุมส่วนใหญ่

ในปริภูมิยูคลิดมุมθระหว่างเวกเตอร์ยูคลิดuและv สองตัว มีความสัมพันธ์กับผลคูณดอทและความยาวของเวกเตอร์ทั้งสองโดยสูตร $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

สูตรนี้เป็นวิธีง่ายๆ ในการหาค่ามุมระหว่างระนาบสองระนาบ (หรือพื้นผิวโค้ง) จากเวกเตอร์ตั้งฉากและระหว่างเส้นเฉียงจากสมการเวกเตอร์

ในการกำหนดมุมในปริภูมิ ผลคูณภายในเชิงนามธรรมของจำนวนจริงเราจะแทนที่ผลคูณดอทแบบยุคลิด ( · ) ด้วยผลคูณภายในนั่นคือ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

ในปริภูมิผลคูณภายใน ที่ซับซ้อน นิพจน์สำหรับโคไซน์ข้างต้นอาจให้ค่าที่ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้นจึงต้องแทนที่ด้วย หรือที่นิยมใช้มากกว่าคือการใช้ค่าสัมบูรณ์ $${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

นิยามหลังนี้ละเลยทิศทางของเวกเตอร์ ดังนั้นจึงอธิบายมุมระหว่างปริภูมิย่อยหนึ่งมิติที่เกิดจากเวกเตอร์และตามลำดับ ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {span} (\mathbf {u} )}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {span} (\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

นิยามของมุมระหว่างปริภูมิย่อยหนึ่งมิติและที่กำหนดโดย ในปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถขยายไปสู่ปริภูมิย่อยที่มีจำนวนมิติจำกัดได้ เมื่อกำหนดปริภูมิย่อยสองปริภูมิและโดยที่ จะนำไปสู่นิยามของมุมที่เรียกว่ามุมมาตรฐานหรือมุมหลักระหว่างปริภูมิย่อย ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {span} (\mathbf {u} )}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {span} (\mathbf {v} )}$$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {U}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {W}}}$${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$${\displaystyle k}$

ในเรขาคณิตแบบรีมันน์เมตริกเทนเซอร์ใช้ในการกำหนดมุมระหว่างเส้นสัมผัส สองเส้น โดยที่UและVคือเวกเตอร์สัมผัส และg _ijคือส่วนประกอบของเมตริกเทนเซอร์ G$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$$

มุมไฮเปอร์โบลิกเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกเช่นเดียวกับมุมวงกลมเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันวงกลมการเปรียบเทียบสามารถมองเห็นได้เป็นขนาดของช่องเปิดของภาคไฮเปอร์โบลิกและภาควงกลมเนื่องจากพื้นที่ของภาคเหล่านี้สอดคล้องกับขนาดของมุมในแต่ละกรณี^{[ 53 ]}ต่างจากมุมวงกลม มุมไฮเปอร์โบลิกไม่มีขอบเขต เมื่อมองฟังก์ชันวงกลมและไฮเปอร์โบลิกเป็นอนุกรมอนันต์ในอาร์กิวเมนต์มุม ฟังก์ชันวงกลมจะเป็นเพียง รูปแบบ อนุกรมสลับของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก การเปรียบเทียบอนุกรมทั้งสองที่สอดคล้องกับฟังก์ชันของมุมนี้ได้รับการอธิบายโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ในบทนำสู่การวิเคราะห์อนันต์ (1748)

คำว่าangleมาจากคำภาษาละตินangulusซึ่งหมายถึง "มุม" คำที่ เกี่ยวข้อง ได้แก่ คำ ภาษากรีกἀγκύλος ( ankylοs ) ซึ่งหมายถึง "คดงอ โค้งงอ" และ คำภาษา อังกฤษ " ankle " ทั้งสองคำเชื่อมโยงกับรากศัพท์ภาษาโปรโตอินโด-ยุโรป*ank-ซึ่งหมายถึง "งอ" หรือ "โค้งงอ" ^{[ 54 ]}

นักปรัชญาถกเถียงกันถึงธรรมชาติของมุมมานานนับพันปี โดยบางคนแย้งว่ามุมเป็นการวัด (ปริมาณ) ในขณะที่บางคนกล่าวว่ามุมเป็นรูปร่างชนิดหนึ่งที่กำหนดโดยเส้นที่ล้อมรอบ (ความสัมพันธ์เชิงคุณภาพ) และบางคนก็กล่าวว่ามุมเป็นทั้งสองอย่าง^{[ 55 ]}ในเชิงการสอน คำตอบที่ยอมรับกันคือ มุมถูกกำหนดให้เป็นรูปทรง และการวัดมุมถูกกำหนดให้เป็นจำนวนสำเนาที่ไม่ทับซ้อนกันที่เท่ากันทุกประการของมุมหน่วยที่จำเป็นในการครอบคลุมมุมและพื้นที่ภายใน มุมต่างๆ กล่าวได้ว่ามีขนาดเท่ากันและมีรูปร่างคล้ายกันหรือเท่ากันทุก ประการ ^{[ 56 ]}

ยูคลิดนิยามมุมระนาบว่าเป็นการเอียงระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันในระนาบเดียวกันและไม่ได้วางตัวตรงต่อกัน ตามที่โพรคลัส นักปรัชญาแนวนีโอเพลโตนิค กล่าวไว้ มุมจะต้องเป็นคุณสมบัติ ปริมาณ หรือความสัมพันธ์ แนวคิดแรก มุมในฐานะคุณสมบัติ ถูกใช้โดยยูเดมัสแห่งโรดส์ซึ่งมองว่ามุมเป็นการเบี่ยงเบนจากเส้นตรงแนวคิดที่สอง มุมในฐานะปริมาณ ถูกใช้โดยคาร์ปัสแห่งแอนติโอคซึ่งมองว่ามุมเป็นช่วงหรือช่องว่างระหว่างเส้นที่ตัดกัน ยูคลิดได้นำแนวคิดที่สามมาใช้ คือ มุมในฐานะความสัมพันธ์^{[ 57 ]}

ความเท่ากันของมุมตรงข้ามเรียกว่าทฤษฎีบทมุมตรงข้ามยูเดมัสแห่งโรดส์ได้ยกให้ธาเลสแห่งมิเลตุสเป็น ผู้พิสูจน์ ^{[ 58 ] [ 23 ]}ข้อเสนอนี้แสดงให้เห็นว่าเนื่องจากมุมตรงข้ามทั้งสองมุมรวมกันได้ 180 องศาของมุมประชิดทั้งสองมุม มุมตรงข้ามจึงมีขนาดเท่ากัน ตามบันทึกทางประวัติศาสตร์^{[ 23 ]}เมื่อธาเลสไปเยือนอียิปต์ เขาได้สังเกตว่าเมื่อใดก็ตามที่ชาวอียิปต์ลากเส้นตัดกันสองเส้น พวกเขาจะวัดมุมตรงข้ามเพื่อให้แน่ใจว่ามุมทั้งสองเท่ากัน ธาเลสสรุปว่าสามารถพิสูจน์ได้ว่ามุมตรงข้ามทั้งหมดเท่ากันหากยอมรับแนวคิดทั่วไปบางประการ เช่น:

• มุมตรงทุกมุมมีขนาดเท่ากัน
• สิ่งที่เท่ากันบวกกับสิ่งที่เท่ากัน ย่อมเท่ากัน
• สิ่งที่เท่ากัน ลบออกจากสิ่งที่เท่ากัน ก็จะได้ผลลัพธ์ที่เท่ากัน

เมื่อมุมประชิดสองมุมก่อให้เกิดเส้นตรงเดียวกัน มุมทั้งสองนั้นจะเป็นมุมเสริมกัน ดังนั้น ถ้าเราสมมติว่าขนาดของมุมAเท่ากับxขนาดของมุมCจะเท่ากับ180° − xในทำนองเดียวกัน ขนาดของมุมDก็จะ เท่ากับ 180° − xทั้งมุมCและมุมDมีขนาดเท่ากับ180° − xและมีขนาดเท่ากัน เนื่องจากมุมBเป็นมุมเสริมกันของทั้งมุมCและมุม Dเราจึงสามารถใช้ขนาดของมุมใดมุมหนึ่งในการหาขนาดของมุมBได้ โดยใช้ขนาดของมุมCหรือมุมDเราจะพบว่าขนาดของมุมBเท่ากับ180° − (180° − x ) = xดังนั้น ทั้งมุมAและมุมBมีขนาดเท่ากับxและมีขนาดเท่ากัน

ในทางภูมิศาสตร์ตำแหน่งของจุดใดๆ บนโลกสามารถระบุได้โดยใช้ระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์ระบบนี้ระบุละติจูดและลองจิจูดของตำแหน่งใดๆ ในรูปของมุมที่ทำกับจุดศูนย์กลางของโลก โดยใช้เส้นศูนย์สูตรและ (โดยปกติ) เส้นเมริเดียนกรีนิชเป็นจุดอ้างอิง

ในทางดาราศาสตร์จุดใดจุดหนึ่งบนทรงกลมท้องฟ้า (กล่าวคือ ตำแหน่งปรากฏของวัตถุทางดาราศาสตร์) สามารถระบุได้โดยใช้ระบบพิกัดทางดาราศาสตร์ หลายระบบ โดยที่จุดอ้างอิงจะแตกต่างกันไปตามระบบนั้นๆ นักดาราศาสตร์วัดระยะห่างเชิงมุมระหว่างดาว สองดวง โดยจินตนาการถึงเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านศูนย์กลางของโลกโดยแต่ละเส้นตัดกับดาวดวงหนึ่ง มุมระหว่างเส้นตรงเหล่านั้นและระยะห่างเชิงมุมระหว่างดาวสองดวงสามารถวัดได้

ทั้งในทางภูมิศาสตร์และดาราศาสตร์ ทิศทางการสังเกตการณ์สามารถระบุได้ในแง่ของมุมแนวตั้งเช่นมุมเงยหรือมุมระดับ ความสูง เทียบกับเส้นขอบฟ้ารวมถึงมุมอะซิมุธเทียบกับทิศ เหนือ

นักดาราศาสตร์ยังวัดขนาดปรากฏ ของวัตถุ โดยใช้เส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมด้วย ตัวอย่างเช่นดวงจันทร์เต็มดวงมีเส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมประมาณ 0.5° หรือ 30 ลิปดา เมื่อมองจากโลก เราอาจกล่าวได้ว่า "เส้นผ่านศูนย์กลางของดวงจันทร์รองรับมุมครึ่งองศา" สูตรมุมเล็กสามารถแปลงการวัดเชิงมุมดังกล่าวให้เป็นอัตราส่วนระยะทางต่อขนาดได้

การประมาณค่าทางดาราศาสตร์อื่นๆ ได้แก่:

• 0.5° คือเส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมโดยประมาณของดวงอาทิตย์และดวงจันทร์เมื่อมองจากโลก
• 1° คือความกว้างเชิงมุมโดยประมาณของนิ้วก้อยเมื่อเหยียดแขนออกไปจนสุด
• 10 องศา คือมุมโดยประมาณของกำปั้นที่ปิดสนิทเมื่อยื่นออกไปจนสุดแขน
• 20° คือมุมกว้างโดยประมาณของช่วงมือเมื่อยื่นแขนออกไปจนสุด

การวัดเหล่านี้ขึ้นอยู่กับแต่ละบุคคล และข้อมูลข้างต้นควรใช้เป็นเพียงค่าประมาณ คร่าวๆ เท่านั้น

ในทางดาราศาสตร์ค่าไรต์แอสเซนชันมักจะวัดเป็นหน่วยเชิงมุมที่แสดงออกมาในรูปของเวลาโดยอิงจากวัน 24 ชั่วโมง^{[ 59 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับมุม (เรขาคณิต )

เว็บไซต์ Wikibook Geometryมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: มุมรวม (Unified Angles)

• "Angle"  , Encyclopædia Britannica , เล่ม 2 (ฉบับที่ 9), 1878, หน้า 29–30