ในเรขาคณิตระนาบทฤษฎีบทตัวแบ่งสามส่วนของมอร์ลีย์กล่าวว่า ในสามเหลี่ยม ใดๆ จุดตัดทั้งสามของเส้น แบ่งสามส่วนของมุมประชิด จะก่อให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งเรียกว่าสามเหลี่ยมมอร์ลีย์รูปแรกหรือเรียกสั้นๆ ว่าสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ทฤษฎีบทนี้ถูกค้นพบในปี 1899 โดยแฟรงค์ มอร์ลีย์นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ-อเมริกัน ทฤษฎีบทนี้มีการขยายความในหลายด้าน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเส้นแบ่งสามส่วนทั้งหมดตัดกัน จะได้สามเหลี่ยมด้านเท่าอีกสี่รูป

มีบทพิสูจน์ทฤษฎีบทของมอร์ลีย์มากมาย ซึ่งบางส่วนมีความซับซ้อนทางเทคนิคมาก^{[ 1 ]} บทพิสูจน์ในยุคแรกๆ หลายบทใช้ การคำนวณ ตรีโกณมิติ ที่ละเอียดอ่อน บทพิสูจน์ล่าสุดรวมถึงบท พิสูจน์ เชิงพีชคณิตโดยAlain Connes  ( 1998 , 2004 ) ซึ่งขยายทฤษฎีบทไปยังฟิลด์ ทั่วไป อื่นๆ นอกเหนือจากลักษณะเฉพาะสาม และบทพิสูจน์เรขาคณิตเบื้องต้นของJohn Conway ^{[ 2 ] [ 3 ]} บทพิสูจน์ หลังนี้เริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าและแสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างสามเหลี่ยมรอบๆ สามเหลี่ยมด้านเท่าได้ ซึ่งจะคล้ายกับสามเหลี่ยมที่เลือกไว้ใดๆ ทฤษฎีบทของมอร์ลีย์ใช้ไม่ได้ในเรขาคณิตทรงกลม^{[ 4 ]}และเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

วิธีพิสูจน์วิธีหนึ่งใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

${\displaystyle \sin(3\theta )=4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )}$

1

ซึ่งโดยใช้เอกลักษณ์ผลรวมของมุมสองมุม สามารถแสดงได้ว่าเท่ากับ

${\displaystyle \sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .}$

สมการสุดท้ายสามารถตรวจสอบได้โดยการใช้เอกลักษณ์ผลรวมของมุมสองมุมกับด้านซ้ายสองครั้ง แล้วกำจัดค่าโคไซน์ออกไป

จุดต่างๆถูกสร้างขึ้นตามที่แสดงไว้ เรามีซึ่งเป็นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ ดังนั้นด้วยเหตุนี้ มุมของสามเหลี่ยมจึงเป็นและ${\displaystyle D,E,F}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle 3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }}$${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.}$${\displaystyle XEF}$${\displaystyle \alpha ,(60^{\circ }+\beta ),}$${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma )}$

จากรูปภาพ

${\displaystyle \sin(60^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}}$

2

และ

${\displaystyle \sin(60^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}.}$

3

จากรูปภาพเช่นกัน

${\displaystyle \angle {AYC}=180^{\circ }-\alpha -\gamma =120^{\circ }+\beta }$

และ

${\displaystyle \angle {AZB}=120^{\circ }+\gamma .}$

4

กฎของไซน์ที่ใช้กับรูปสามเหลี่ยมให้ผลลัพธ์ ดังนี้${\displaystyle AYC}$${\displaystyle AZB}$

${\displaystyle \sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

5

และ

${\displaystyle \sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta .}$

6

จงแสดงความสูงของสามเหลี่ยมในสองวิธี ${\displaystyle ABC}$

${\displaystyle h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )}$

และ

${\displaystyle h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).}$

โดยใช้สมการ (1) แทนและในสองสมการนี้ การแทนสมการ (2) และ (5) ในสมการ และสมการ (3) และ (6) ในสมการ จะได้ ${\displaystyle \sin(3\beta )}$${\displaystyle \sin(3\gamma )}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

และ

${\displaystyle h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta }$

เนื่องจากตัวเศษเท่ากัน

${\displaystyle {\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}}$

หรือ

${\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.}$

เนื่องจากมุมสองมุมเท่ากัน และด้านที่ประกอบเป็นมุมทั้งสองมีอัตราส่วนเท่ากัน ดังนั้นสามเหลี่ยมสองรูปนี้จึงคล้ายกัน ${\displaystyle EXF}$${\displaystyle ZAY}$${\displaystyle XEF}$${\displaystyle AZY}$

มุมที่คล้ายกันและเท่ากันและมุมที่คล้ายกันและเท่ากันการให้เหตุผลที่คล้ายกันจะให้มุมฐานของสามเหลี่ยมและ${\displaystyle AYZ}$${\displaystyle XFE}$${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma )}$${\displaystyle AZY}$${\displaystyle XEF}$${\displaystyle (60^{\circ }+\beta ).}$${\displaystyle BXZ}$${\displaystyle CYX.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมนั้นพบว่ามีค่าและจากรูปเราจะเห็นว่า ${\displaystyle BZX}$${\displaystyle (60^{\circ }+\alpha )}$

${\displaystyle \angle {AZY}+\angle {AZB}+\angle {BZX}+\angle {XZY}=360^{\circ }.}$

การแทนที่ให้ผลผลิต

${\displaystyle (60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+\angle {XZY}=360^{\circ }}$

โดยใช้สมการ (4) สำหรับมุมและดังนั้น ${\displaystyle AZB}$

${\displaystyle \angle {XZY}=60^{\circ }.}$

ในทำนองเดียวกัน มุมอื่นๆ ของสามเหลี่ยมก็พบว่ามีค่าดังนี้${\displaystyle XYZ}$${\displaystyle 60^{\circ }.}$

สามเหลี่ยมมอร์ลีย์แรกมีความยาวด้าน^{[ 5 ]}

$${\displaystyle a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\,\sin {\tfrac {1}{3}}A\,\sin {\tfrac {1}{3}}B\,\sin {\tfrac {1}{3}}C,}$$

โดยที่Rคือรัศมีวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมเดิม และA, BและCคือมุมของสามเหลี่ยมเดิม เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมมอร์ลีย์จึงสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},}$

$${\displaystyle {\text{Area}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}A\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}B\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}C.}$$

ทฤษฎีบทของมอร์ลีย์เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมด้านเท่า 18 รูป สามเหลี่ยมที่อธิบายไว้ในทฤษฎีบทการแบ่งสามส่วนข้างต้น ซึ่งเรียกว่าสามเหลี่ยมมอร์ลีย์รูปแรกมีจุดยอดที่กำหนดในพิกัดสามมิติเทียบกับสามเหลี่ยมABCดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}B\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}B&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A&:&1\end{array}}}$$

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอีกรูปหนึ่งของมอร์ลีย์ที่เป็นรูปสามเหลี่ยมศูนย์กลางเช่นกัน เรียกว่ารูปสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ที่สองและมีจุดยอดดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )&:&1\end{array}}}$$

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่สามของมอร์ลีย์จากทั้งหมด 18 รูป ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมศูนย์กลาง เรียกว่ารูปสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ที่สามโดยมีจุดยอดดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )&:&1\end{array}}}$$

สามเหลี่ยมมอร์ลีย์อันแรก อันที่สอง และอันที่สาม เป็นสามเหลี่ยมโฮโมเทติก แบบคู่กัน สามเหลี่ยมโฮโมเทติกอีกรูปหนึ่งเกิดจากจุดสามจุดXบนวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมABCซึ่งเส้นตรงXX  ⁻¹สัมผัสกับวงกลมล้อมรอบ โดยที่X  ⁻¹แทนจุดคู่สมมาตรของXสามเหลี่ยมด้านเท่านี้ เรียกว่าสามเหลี่ยมสัมผัสวงกลมล้อมรอบมีจุดยอดดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\csc {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}}$$

สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ห้า ซึ่งเป็นรูปสมมาตรกับสามเหลี่ยมด้านเท่าอื่นๆ ได้มาจากการหมุนสามเหลี่ยมสัมผัสวงกลมรอบจุดศูนย์กลางเป็นมุมπ /6 สามเหลี่ยมนี้เรียกว่า สามเหลี่ยมวงกลมปกติรอบจุดศูนย์กลางโดยมีจุดยอดดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}}$$

การดำเนินการที่เรียกว่า " extraversion " สามารถใช้เพื่อรับสามเหลี่ยม Morley หนึ่งใน 18 รูปจากอีกรูปหนึ่งได้ สามเหลี่ยมแต่ละรูปสามารถ extraverted ได้สามวิธีที่แตกต่างกัน สามเหลี่ยม Morley 18 รูปและคู่สามเหลี่ยม extraverted 27 คู่ก่อให้เกิดจุดยอด 18 จุดและขอบ 27 เส้นของกราฟPappus ^{[ 6 ]}

จุดศูนย์กลางมอร์ลีย์ X ( 356) จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมมอร์ลีย์แรก กำหนดในพิกัดสามมิติโดย

$${\displaystyle \cos {\tfrac {1}{3}}A+2\cos {\tfrac {1}{3}}B\,\cos {\tfrac {1}{3}}C\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}B+2\cos {\tfrac {1}{3}}C\,\cos {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}C+2\cos {\tfrac {1}{3}}A\,\cos {\tfrac {1}{3}}B}$$

ศูนย์ Morley–Taylor–Marr แห่งแรกX (357) : สามเหลี่ยม Morley แรกเป็นมุมมองไปยังสามเหลี่ยม^{[ 7 ]}  : ^{[ 8 ]} << เส้นแต่ละเส้นที่เชื่อมจุดยอดของสามเหลี่ยมเดิมกับจุดยอดตรงข้ามของสามเหลี่ยม Morley จะมาบรรจบกันที่จุด ${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle \sec {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}B\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}C}$$

• การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน
• ฮอฟสตัดเตอร์ชี้ให้เห็น
• ศูนย์มอร์ลีย์

• ทฤษฎีบทของมอร์ลีย์ที่ MathWorld
• ทฤษฎีบทการแบ่งสามส่วนของมอร์ลีย์ที่ MathPages
• ทฤษฎีบทของมอร์ลีย์โดย โอเล็กซานเดอร์ ปาฟลิก จากโครงการสาธิตของวูลฟราม