ในเรขาคณิตเมื่อกำหนดสามเหลี่ยมABCและจุดPบนวงกลมล้อมรอบจุดสามจุดที่ใกล้ที่สุดกับPบนเส้นAB , ACและBCจะอยู่ บน เส้นเดียวกัน^{[ 1 ]}เส้นที่ลากผ่านจุดเหล่านี้เรียก ว่า เส้นซิมสันของPซึ่งตั้งชื่อตามโรเบิร์ต ซิมสัน [ ^{2 ] อย่างไรก็ตาม}แนวคิดนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยวิลเลียม วอลเลซในปี 1799 ^{[ 3 ]}และบางครั้งก็เรียกว่าเส้นวอลเลซ^{[ 4 ] [ 5 ]}

ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน หากจุดสามจุดที่อยู่ใกล้P มากที่สุด บนเส้นตรงสามเส้นนั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และไม่มีเส้นตรงสองเส้นใดขนานกัน แล้วPจะอยู่บนวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นตรงทั้งสามนั้น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นซิมสันของสามเหลี่ยมABCและจุดPก็คือสามเหลี่ยมเพดัลของABCและPที่เสื่อมสภาพกลายเป็นเส้นตรง และเงื่อนไขนี้จำกัดให้ตำแหน่งของPอยู่บนวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมABCเท่านั้น

เมื่อวางสามเหลี่ยมในระนาบเชิงซ้อนให้สามเหลี่ยมABCที่มีวงกลมล้อมรอบ หน่วย มีจุดยอดที่มีตำแหน่งเป็นพิกัดเชิงซ้อนa , b , cและให้ P ที่มีพิกัดเชิงซ้อนpเป็นจุดบนวงกลมล้อมรอบ เส้นซิมสันคือเซตของจุดzที่สอดคล้องกับ^{[ 6 ] : ข้อเสนอ 4}

${\displaystyle 2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,}$

โดยที่เครื่องหมายขีดบนแสดงถึง การ ผัน คำกริยาที่ซับซ้อน

• เส้นซิมสันของจุดยอดของสามเหลี่ยมคือเส้นความสูงของสามเหลี่ยมที่ลากจากจุดยอดนั้นลงมา และเส้นซิมสันของจุดที่อยู่ตรงข้ามกับจุดยอดนั้นคือด้านของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามกับจุดยอดนั้น
• ถ้าPและQเป็นจุดบนวงกลมล้อมรอบ มุมระหว่างเส้นซิมสันของPและQจะมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของมุมของส่วนโค้งPQโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าจุดทั้งสองอยู่ตรงข้ามกันโดยเส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นซิมสันของจุดทั้งสองจะตั้งฉากกัน และในกรณีนี้ จุดตัดของเส้นทั้งสองจะอยู่บนวงกลมเก้าจุด
• ให้Hแทนจุดออร์โธเซ็นเตอร์ของสามเหลี่ยมABCเส้นซิมสันของP จะแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงPHที่จุดซึ่งอยู่บนวงกลมเก้าจุด
• เมื่อกำหนดสามเหลี่ยมสองรูปที่มีวงกลมล้อมรอบเดียวกัน มุมระหว่างเส้นซิมสันของจุดPบนวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจะไม่ขึ้นอยู่กับจุดP
• เส้นซิมสันทั้งหมด เมื่อลากออกมา จะเกิดเป็นรูปทรงคล้ายสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งเรียกว่า สามเหลี่ยมสไตเนอร์ของสามเหลี่ยมอ้างอิง สามเหลี่ยมสไตเนอร์ล้อมรอบวงกลมเก้าจุด และจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมสไตเนอร์คือจุดศูนย์กลาง ของ วงกลมเก้าจุด
• การสร้างเส้นซิมสันที่ทับซ้อนกับด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมอ้างอิง (ดูคุณสมบัติข้อแรกด้านบน) จะได้จุดที่ไม่ใช่จุดศูนย์บนเส้นขอบนี้ จุดนี้คือจุดสะท้อนของปลายเส้นความสูง (ที่ลากลงมาบนเส้นขอบ) รอบจุดกึ่งกลางของเส้นขอบที่กำลังสร้าง นอกจากนี้ จุดนี้ยังเป็นจุดสัมผัสระหว่างด้านของสามเหลี่ยมอ้างอิงกับเดลทอยด์สไตเนอร์ของมันด้วย
• รูปสี่เหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีจุดปลายเพียงจุดเดียว เรียกว่าจุดซิมสัน ซึ่งจุดปลายของรูปสี่เหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน^{[ 7 ]}จุดซิมสันของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูคือจุดตัดของด้านที่ไม่ขนานกันสองด้าน^{[ 8 ] : หน้า 186}
• ไม่มีรูปหลายเหลี่ยมนูนใดที่มีด้านอย่างน้อย 5 ด้านที่มีเส้นซิมสัน^{[ 9 ]}

เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า. ${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=180^{\circ }}$

${\displaystyle PCAB}$เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสวงกลม ดังนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสวงกลม (เนื่องจาก) ดังนั้นดังนั้นตอนนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสวงกลมดังนั้น ${\displaystyle \angle PBA+\angle ACP=\angle PBN+\angle ACP=180^{\circ }}$${\displaystyle PMNB}$${\displaystyle \angle PMB=\angle PNB=90^{\circ }}$${\displaystyle \angle PBN+\angle NMP=180^{\circ }}$${\displaystyle \angle NMP=\angle ACP}$${\displaystyle PLCM}$${\displaystyle \angle PML=\angle PCL=180^{\circ }-\angle ACP}$

ดังนั้น. ${\displaystyle \angle NMP+\angle PML=\angle ACP+(180^{\circ }-\angle ACP)=180^{\circ }}$

• ให้ABCเป็นรูปสามเหลี่ยม ให้เส้นตรง ℓ ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบOและให้จุดPอยู่บนวงกลมล้อมรอบ ให้AP, BP, CPตัดกับเส้นตรง ℓ ที่A _p , B _p , C _pตามลำดับ ให้A ₀ , B ₀ , C ₀เป็นภาพฉายของA _p , B _p , C _pบนBC, CA, ABตามลำดับ ดังนั้นA ₀ , B ₀ , C ₀จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น เส้นตรงใหม่นี้จะผ่านจุดกึ่งกลางของPHโดยที่Hเป็นจุดตั้งฉากของ Δ ABCถ้าเส้นตรง ℓ ผ่านจุดPเส้นตรงนั้นจะตรงกับเส้นตรงซิมสัน^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

• ให้จุดยอดของสามเหลี่ยมABCอยู่บนภาคตัดกรวย Γ และให้Q, Pเป็นจุดสองจุดในระนาบ ให้PA, PB, PCตัดกับภาคตัดกรวยที่A ₁ , B ₁ , C ₁ตามลำดับQA ₁ตัดกับBCที่A ₂ , QB ₁ตัดกับACที่B ₂และQC ₁ตัดกับABที่C ₂ดังนั้น จุดทั้งสี่A ₂ , B ₂ , C ₂และPจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อQอยู่บนภาคตัดกรวย Γ ^{[ 13 ]}

• RF Cyster ได้ขยายทฤษฎีบทนี้ไปยังรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสวงกลมในบทความเรื่อง "เส้นซิมสันของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสวงกลม"

• ทฤษฎีบทของลองแกร์
• สามเหลี่ยมแป้นเหยียบ
• โรเบิร์ต ซิมสัน

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับตระกูลซิมสัน

• Simson Lineที่cut-the-knot.org
• FM Jackson และWeisstein, Eric W. "เส้นซิมสัน" . MathWorld .
• การขยายความทั่วไปของทฤษฎีบท Pedal ของ Neuberg และเส้น Simson-WallaceในDynamic Geometry Sketchesซึ่งเป็นภาพร่างเรขาคณิตแบบไดนามิกเชิงโต้ตอบ
• เส้นซิมสันที่ geogebra.org (ภาพประกอบแบบโต้ตอบ)
• เส้นซิมสัน , เส้นซิมสันของขั้วตรงข้ามเส้นผ่านศูนย์กลาง - วงกลมออยเลอร์ , เส้นซิมสัน - วงกลมออยเลอร์ , เส้นขนานของเส้นซิมสันที่Interactive Geometry