ในทางเรขาคณิตเส้นความสูงของสามเหลี่ยม คือส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด(เรียกว่าจุดยอด ) และตั้งฉากกับเส้นตรงที่ลากผ่านด้านหรือขอบตรงข้ามกับจุดยอด ขอบ (ที่มีความยาวจำกัด) และเส้นตรงที่ต่อขยายออกไป (ที่มีความยาวไม่จำกัด) นี้เรียกว่าฐานและฐานที่ต่อขยายของเส้นความสูง ตามลำดับ จุดตัดระหว่างฐานที่ต่อขยายและเส้นความสูงเรียกว่าฐานของเส้นความสูง ความยาวของเส้นความสูง มักเรียกง่ายๆ ว่า "เส้นความสูง" หรือ "ความสูง" สัญลักษณ์hคือระยะห่างระหว่างฐานและจุดยอด กระบวนการลากเส้นความสูงจากจุดยอดไปยังฐานเรียกว่าการลากเส้นความสูงที่จุดยอดนั้น ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของการฉายภาพเชิงตั้งฉาก

เส้นความสูงสามารถใช้ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้ โดยครึ่งหนึ่งของผลคูณระหว่างความยาวของเส้นความสูงและความยาวของฐาน (สัญลักษณ์b ) จะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม: A = h b /2 ดังนั้น เส้นความสูงที่ยาวที่สุดจะตั้งฉากกับด้านที่สั้นที่สุดของสามเหลี่ยม นอกจากนี้ เส้นความสูงยังมีความสัมพันธ์กับด้านของสามเหลี่ยมผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วย

ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (สามเหลี่ยมที่มีด้านสอง ด้าน เท่ากัน ) เส้นความสูงที่มีด้านที่ไม่เท่ากันเป็นฐาน จะมีจุดกึ่งกลางของด้านนั้นเป็นจุดปลาย นอกจากนี้ เส้นความสูงที่มีด้านที่ไม่เท่ากันเป็นฐาน จะเป็นเส้นแบ่งครึ่งมุมของมุมยอดด้วย

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเส้นความสูงที่ลากไปยัง ด้านตรงข้าม มุมฉากcจะแบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองส่วนที่มีความยาวpและqถ้าเรากำหนดความยาวของเส้นความสูงเป็นh เราจะได้ความสัมพันธ์ดังนี้

${\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}$  ( ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ; ดูตัวอย่างกรณีพิเศษทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน )

สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม ปลายของเส้นตั้งฉากทั้งหมดจะตกอยู่บนด้านของสามเหลี่ยม (ไม่ใช่ด้านที่ต่อออกไป) ส่วนในสามเหลี่ยมมุมป้าน (สามเหลี่ยมที่มีมุมป้าน ) ปลายของเส้นตั้งฉากที่ลากไปยังจุดยอดที่มีมุมป้านจะตกอยู่ภายในด้านตรงข้าม แต่ปลายของเส้นตั้งฉากที่ลากไปยังจุดยอดที่มีมุมแหลมจะตกอยู่บนด้านที่ ต่อออกไปตรงข้าม ซึ่งอยู่ภายนอกสามเหลี่ยม ดังแสดงในภาพประกอบด้านข้าง: ในสามเหลี่ยมมุมป้านนี้ เส้นตั้งฉากที่ลากลงมาจากจุดยอดด้านบนซึ่งมีมุมแหลม จะตัดกับด้านแนวนอนที่ต่อออกไปภายนอกสามเหลี่ยม

ความสูงทางเรขาคณิตมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีบทและการพิสูจน์หลายอย่าง ตัวอย่างเช่น นอกเหนือจากทฤษฎีบทที่ระบุไว้ด้านล่างแล้ว ความสูงยังมีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ทั้งกฎของไซน์และกฎของโคไซน์ด้วย

จุดตั้งฉากของสามเหลี่ยมซึ่งโดยปกติจะใช้สัญลักษณ์Hคือจุดที่เส้นความสูงทั้งสามเส้น (ซึ่งอาจต่อขยายออกไป) ตัดกัน^{[ 1 ] [ 2 ]} จุดตั้งฉากจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากจุดตั้งฉากจะตรงกับจุดยอดที่มุมฉาก^{[ 2 ]}สำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่า จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมทั้งหมด(รวมถึงจุดตั้งฉาก) จะตรงกันที่จุดศูนย์กลางมวลของ สามเหลี่ยม

สำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านa, b, cและครึ่งเส้นรอบรูป ความสูงจากด้านa (ฐาน) จะกำหนดโดย ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}{a}}.}$

ซึ่งเป็นผลมาจากการนำสูตรของเฮรอนสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมในแง่ของด้าน มารวมกับสูตรพื้นที่โดยที่ฐานคือด้านaและความสูงคือเส้นตั้งฉากจากจุดยอดA (ด้านตรงข้ามกับด้านa ) ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{ฐาน}}\times {\text{ความสูง}},}$

โดยการสลับค่าaในตัวส่วนด้วยbหรือcสมการนี้ยังสามารถใช้เพื่อหาค่าความสูงh และh ตามลำดับได้ อีกด้วย

เส้นความสูงสองเส้นใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมจะแปรผกผันกับด้านที่เส้นความสูงนั้นตกกระทบ

พิจารณาสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านa, b, cและความสูงที่สอดคล้องกันh , h , h ความสูงและรัศมีวงกลมแนบในrมีความสัมพันธ์กันโดย^{[ 3 ] : บทพิสูจน์ 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

โดยกำหนดให้ความสูงจากด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเป็นh ด้านอีกสองด้านเป็นbและcและรัศมีวงกลมล้อม รอบสามเหลี่ยม (รัศมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม) เป็นRความสูงจะกำหนดโดย^{[ 4 ​​]}

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

ถ้าp , p , p เป็นระยะตั้งฉากจากจุดP ใดๆ ไปยังด้านต่างๆ และh , h , h เป็นความสูงไปยังด้านต่างๆ ตามลำดับ แล้ว^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

โดยกำหนดให้ความสูงของสามเหลี่ยมใดๆ จากด้านa, b, cตามลำดับเป็นh , h , h และผลรวมครึ่งหนึ่งของส่วนกลับของความสูงเป็นจากนั้นส่วนกลับของพื้นที่คือ^{[ 6 ]}${\displaystyle \textstyle H={\tfrac {1}{2}}(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

ถ้าEเป็นจุดใดๆ บนเส้นความสูงADของสามเหลี่ยม△ ABCแล้ว^{[ 7 ] : 77–78}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมจึงหมายความว่า^{[ 8 ]}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}}$${\displaystyle a<b+c}$

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$.

จากจุดP ใดๆ ภายในสามเหลี่ยมด้านเท่า ผลรวมของเส้นตั้งฉากกับด้านทั้งสามจะเท่ากับความสูงของสามเหลี่ยม นี่คือทฤษฎีบทของวิเวียนี

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากaและbและด้านตรงข้ามมุมฉากcแต่ละด้านประกอบมุมฉากก็เป็นเส้นความสูงด้วยเช่นกัน: ⁠ ⁠${\displaystyle h_{a}=b}$และ⁠ ⁠${\displaystyle h_{b}=a}$เส้นความสูงที่สามสามารถหาได้จากความสัมพันธ์^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

นี่คือทฤษฎีบท พีทาโกรัสผกผัน

โปรดสังเกตเป็นพิเศษดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\frac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

• ค่ามัธยฐาน (เรขาคณิต)

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ระดับความสูง" . แมทเวิลด์ .