ในเรขาคณิตของสามเหลี่ยมวงกลมแนบในและวงกลมเก้าจุดของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าจะสัมผัสกันภายในที่จุดเฟือร์บัคของสามเหลี่ยม จุดเฟือร์บัคเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมซึ่งหมายความว่าคำจำกัดความของมันไม่ขึ้นอยู่กับการวางตำแหน่งและมาตราส่วนของสามเหลี่ยม มันถูกระบุไว้เป็น X(11) ในสารานุกรมจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมของ คลาร์ก คิมเบอร์ลิงและตั้งชื่อตามคาร์ล วิลเฮล์ม เฟือร์บัค^{[ 1 ] [ 2 ]}

ทฤษฎีบทของเฟือร์บัคซึ่งเฟือร์บัคตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2365 ^{[ 3 ]}กล่าวโดยทั่วไปว่าวงกลมเก้าจุดสัมผัสกับวงกลมภายนอก ทั้งสามวง ของสามเหลี่ยม รวมถึงวงกลมภายในด้วย^{[ 4 ​​]}บทพิสูจน์สั้นๆ ของทฤษฎีบทนี้โดยอาศัยทฤษฎีบทของเคซีย์ เกี่ยว กับเส้นสัมผัสคู่ของวงกลมสี่วงที่สัมผัสกับวงกลมวงที่ห้า ได้รับการตีพิมพ์โดยจอห์น เคซีย์ในปี พ.ศ. 2409 ^{[ 5 ]}ทฤษฎีบทของเฟือร์บัคยังถูกใช้เป็นกรณีทดสอบสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติอีก ด้วย ^{[ 6 ]}จุดสัมผัสทั้งสามจุดกับวงกลมภายนอกก่อให้เกิดสามเหลี่ยมเฟือร์บัคของสามเหลี่ยมที่กำหนด

วงกลมแนบในของสามเหลี่ยมABCคือวงกลมที่สัมผัสกับด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน หรือจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม อยู่ที่จุดที่เส้นแบ่งครึ่งมุมภายในทั้งสามของสามเหลี่ยมตัดกัน

วงกลมเก้าจุดเป็นวงกลมอีกแบบหนึ่งที่กำหนดจากรูปสามเหลี่ยม เรียกเช่นนั้นเพราะมันผ่านจุดสำคัญเก้าจุดของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งจุดที่สร้างได้ง่ายที่สุดคือจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม วงกลมเก้าจุดผ่านจุดกึ่งกลางทั้งสามจุดนี้ ดังนั้น มันจึงเป็นวงกลมล้อมรอบของ รูป สามเหลี่ยม มัธยฐาน

วงกลมทั้งสองวงนี้มาบรรจบกันที่จุดเดียว ซึ่งเป็นจุดสัมผัสกัน จุดสัมผัสนี้คือจุดเฟือร์บัค (Feuerbach point) ของสามเหลี่ยม ในสามเหลี่ยมด้านเท่า วงกลมเก้าจุด (nine-point circle) จะเหมือนกับวงกลมแนบใน (incircle) ดังนั้น จุดเฟือร์บัคจึงไม่มีนิยาม

วงกลมแนบในของสามเหลี่ยมจะมีวงกลมอีกสามวงที่เรียกว่าวงกลมแนบนอก วงกลมเหล่านี้แต่ละวงสัมผัสกับเส้นตรงสามเส้นที่ลากผ่านด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม วงกลมแนบนอกแต่ละวงจะสัมผัสเส้นตรงเส้นหนึ่งจากด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยม และอยู่ด้านเดียวกับสามเหลี่ยมสำหรับเส้นตรงอีกสองเส้นที่เหลือ เช่นเดียวกับวงกลมแนบใน วงกลมแนบนอกทั้งหมดสัมผัสกับวงกลมเก้าจุด จุดสัมผัสของวงกลมแนบนอกกับวงกลมเก้าจุดนั้นก่อให้เกิดสามเหลี่ยมขึ้น เรียกว่า สามเหลี่ยมเฟือร์บัค

จุดเฟือร์บัคอยู่บนเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมสัมผัสสองวงที่กำหนดจุดนั้น จุดศูนย์กลางเหล่านี้คือจุดศูนย์กลางภายในและจุดศูนย์กลางเก้าจุดของสามเหลี่ยม^{[ 1 ] [ 2 ]}

ให้, , และเป็นระยะทางสามระยะของจุด Feuerbach ไปยังจุดยอดของสามเหลี่ยมกลาง (จุดกึ่งกลางของด้านBC=a, CA=bและAB=cตามลำดับของสามเหลี่ยมเดิม) จากนั้น^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z),}$

หรือเทียบเท่า ระยะทางที่มากที่สุดในสามระยะทางนั้นเท่ากับผลรวมของอีกสองระยะทาง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามีโดยที่ Oคือจุดศูนย์กลางวงกลม ล้อมรอบของสามเหลี่ยมอ้างอิง และIคือจุดศูนย์กลางวงกลม แนบใน ^{[ 8 ] : ข้อเสนอ 3} ${\displaystyle x={\frac {R}{2OI}}|bc|,\,y={\frac {R}{2OI}}|ca|,z={\frac {R}{2OI}}|ab|,}$

คุณสมบัติข้อหลังนี้ยังใช้ได้กับจุดสัมผัสของวงกลมภายนอกใดๆ กับวงกลมเก้าจุดด้วย กล่าวคือ ระยะทางที่มากที่สุดจากจุดสัมผัสนี้ไปยังจุดกึ่งกลางด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเดิมจะเท่ากับผลรวมของระยะทางไปยังจุดกึ่งกลางด้านอีกสองจุด^{[ 8 ]}

ถ้าวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม ABC สัมผัสด้านBC, CA, ABที่จุด X , YและZตามลำดับ และจุดกึ่งกลางของด้านเหล่านี้คือP , QและR ตามลำดับ แล้วสามเหลี่ยมFPX , FQYและ FRZ ที่มีจุด Feuerbach คือ Fจะคล้ายกับสามเหลี่ยมAOI, BOI และ COIตามลำดับ^{[ 8 ] : ข้อเสนอ 4}

พิกัดสามมิติสำหรับจุดเฟือร์บัคคือ^{[ 2 ]}

${\displaystyle 1-\cos(BC):1-\cos(CA):1-\cos(AB)}$

พิกัดแบรีเซนทริกของมันคือ^{[ 8 ]}

${\displaystyle (sa)(bc)^{2}:(sb)(ca)^{2}:(sc)(ab)^{2},}$

โดยที่s คือครึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c){}}$

เส้นสามเส้นจากจุดยอดของสามเหลี่ยมเดิมผ่านจุดยอดที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเฟือร์บัคมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางสามเหลี่ยมอีกจุดหนึ่ง ซึ่งระบุไว้เป็น X(12) ในสารานุกรมจุดศูนย์กลางสามเหลี่ยม พิกัดเชิงเส้นสามเส้นของมันคือ: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle 1+\cos(BC):1+\cos(CA):1+\cos(AB)}$

• Thébault, Victor (1949), "เกี่ยวกับจุด Feuerbach", American Mathematical Monthly , 56 (8): 546– 547, doi : 10.2307/2305531 , JSTOR  2305531 , MR  0033039.
• Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001), "หมายเหตุเกี่ยวกับจุด Feuerbach", Forum Geometricorum , 1 : 121–124 (อิเล็กทรอนิกส์), MR  1891524.
• ซูเควา, บ็อกดาน; Yiu, Paul (2006), "จุด Feuerbach และเส้นออยเลอร์", Forum Geometricorum , 6 : 191– 197, MR  2282236.
• Vonk, Jan (2009), "จุดเฟือร์บัคและการสะท้อนของเส้นออยเลอร์", Forum Geometricorum , 9 : 47– 55, MR  2534378.
• Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012), "การพิสูจน์เชิงสังเคราะห์ของทฤษฎีบทสองข้อที่เกี่ยวข้องกับจุดเฟือร์บัค", Forum Geometricorum , 12 : 39– 46, MR  2955643.