ในเรขาคณิตแบบยุคลิดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือรูปสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ส่วนของเส้นตรง ระหว่าง จุดยอดที่ไม่ติดกันตั้งฉากกัน

รูปว่าวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนวทแยงมุมซึ่งมีเส้นทแยงมุมหนึ่งเป็นเส้นสมมาตร รูปว่าวคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนวทแยงมุมที่มีวงกลมสัมผัสกับด้านทั้งสี่ด้าน กล่าวคือ รูปว่าวคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนวทแยงมุมสัมผัส^{[ 1 ]}

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี ด้าน ขนาน สองคู่ (กล่าวคือ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้วย )

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นกรณีจำกัดของทั้งรูปว่าวและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้าน เท่า เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกลาง^{[ 2 ]}

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากใดๆ ผลรวมของกำลังสองของด้านตรงข้ามสองด้านจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านตรงข้ามอีกสองด้าน: สำหรับด้านที่ต่อเนื่องกันa , b , cและdเรามี^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}$

สิ่งนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งผลรวมของกำลังสองสองค่าใดๆ ก็ตามสามารถขยายให้เท่ากับผลรวมของระยะทางกำลังสองสี่ค่าจากจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมไปยังจุดที่เส้นทแยงมุมตัดกัน ในทาง^กลับกันรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่a² + c² = ^b² + d²จะต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากกับแนวทแยงมุม^{[ 5 ]สิ่งนี้สามารถ} พิสูจน์ได้หลายวิธี รวมถึงการใช้กฎของโคไซน์เวกเตอร์การพิสูจน์ทางอ้อมและจำนวนเชิงซ้อน [ ^{6 ]}

เส้นทแยงมุมของ รูป สี่เหลี่ยมนูนจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อเส้นกึ่งกลางทั้งสองมีความยาวเท่ากัน^{[ 6 ]}

ตามคำจำกัดความอีกแบบหนึ่ง เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนABCDจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$

โดยที่Pคือจุดตัดของเส้นทแยงมุม จากสมการนี้จะเห็นได้เกือบจะทันทีว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมนูนจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อการฉายภาพของจุดตัดเส้นทแยงมุมบนด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมเป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมวงกลม^{[ 6 ]}

รูปสี่เหลี่ยมนูนจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากก็ต่อเมื่อรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญง (ซึ่งจุดยอดเป็นจุดกึ่งกลางของด้าน) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า^{[ 6 ]}ลักษณะที่เกี่ยวข้องระบุว่ารูปสี่เหลี่ยมนูนจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากก็ต่อเมื่อจุดกึ่งกลางของด้านและจุดปลายของเส้นตั้งฉาก ทั้งสี่ เป็นจุด แปดจุดบนวงกลมเดียวกัน เรียกว่าวงกลมแปดจุดจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้คือจุดศูนย์กลางมวลของรูปสี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมที่เกิดจากจุดปลายของเส้นตั้งฉากเรียกว่า รูป สี่เหลี่ยมตั้งฉากหลัก^{[ 7 ]}

ถ้าเส้นตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมนูนABCDที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมตัดกับด้านตรงข้ามในR , S , T , UและK , L , M , Nเป็นจุดปลายของเส้นตั้งฉากเหล่านี้ แล้วABCDจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมก็ต่อเมื่อจุดทั้งแปดK , L , M , N , R , S , TและUอยู่บนวงกลมเดียวกันลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องระบุว่ารูปสี่เหลี่ยมนูนจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมก็ต่อเมื่อRSTUเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนานกับเส้นทแยงมุมของABCD ^{[ 6 ]}

มีการกำหนดลักษณะเมตริกหลายประการเกี่ยวกับสามเหลี่ยม สี่รูป ที่เกิดจากการตัดกันของเส้นทแยงมุมPและจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมนูนABCDให้m , m , m , m เป็นเส้นมัธยฐานในสามเหลี่ยมABP , BCP , CDP , DAPจากPไปยังด้านAB , BC , CD , DAตามลำดับ ถ้าR , R , R , R และh , h , h , h แทนรัศมีของวงกลมล้อมรอบและความสูงของสามเหลี่ยมเหล่านี้ตามลำดับ รูปสี่เหลี่ยมABCDจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากกับแนวทแยงมุมก็ต่อเมื่อสมการใดสมการหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

นอกจากนี้ รูปสี่เหลี่ยมABCD ที่มีจุดตัดPของเส้นทแยงมุมจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมก็ต่อเมื่อจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบของสามเหลี่ยมABP , BCP , CDPและDAPเป็นจุดกึ่งกลางของด้านของรูปสี่เหลี่ยม^{[ 6 ]}

ลักษณะเฉพาะทางเมตริกบางประการของรูปสี่เหลี่ยมสัมผัสและรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากนั้นมีความคล้ายคลึงกันมาก ดังที่เห็นได้ในตารางนี้^{[ 6 ]}สัญลักษณ์บนด้านa , b , c , d รัศมีวงกลมล้อมรอบ R 1 R 2 R 3 R 4 ความสูงh , h , h , h นั้นเหมือนกับข้างต้นในรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองประเภท

รูปสี่เหลี่ยมสัมผัส	รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
${\displaystyle a+c=b+d}$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

พื้นที่Kของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุมpและq : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}.}$

ในทางกลับกัน รูปสี่เหลี่ยมนูนใดๆ ที่สามารถคำนวณพื้นที่ได้ด้วยสูตรนี้จะต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉาก^{[ 6 ]}รูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากจะมีพื้นที่มากที่สุดในบรรดารูปสี่เหลี่ยมนูนทั้งหมดที่มีเส้นทแยงมุมที่กำหนด

• รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสี่เหลี่ยมเพียงรูปเดียวที่ด้านและมุมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมไม่สามารถกำหนดพื้นที่ได้อย่างเฉพาะเจาะจง^{[ 4 ]} ตัวอย่างเช่น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสองรูปที่มีด้านร่วมกันคือ a (และเช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมด ทั้งสองรูปมีมุมฉากระหว่างเส้นทแยงมุม) แต่รูปหนึ่งมีมุมแหลม เล็กกว่า อีกรูปหนึ่ง จะมีพื้นที่ต่างกัน (พื้นที่ของรูปแรกจะเข้าใกล้ศูนย์เมื่อมุมแหลมเข้าใกล้ศูนย์)
• ถ้าเราสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยื่นออกไปด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ (ไม่ว่าจะเป็นรูปนูน รูปเว้า หรือรูปตัดกัน) จุดศูนย์กลาง ( เซนทรอยด์ ) ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านั้น จะเป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมตั้งฉากทแยงมุมที่มี เส้นทแยงมุม ยาวเท่า กัน (กล่าวคือ มีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน) นี่เรียกว่าทฤษฎีบทของแวน ออเบล
• แต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากจะมีจุดร่วมอย่างน้อยหนึ่งจุดกับวงกลมจุดปาสคาล^{[ 9 ]}

สำหรับรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสออร์โธไดอะโกนัลแบบ วงกลม (ที่สามารถบรรจุลงในวงกลมได้) สมมติว่าจุดตัดของเส้นทแยงมุมแบ่งเส้นทแยงมุมหนึ่งออกเป็นส่วนๆ ที่มีความยาวp และp และแบ่งเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งออกเป็นส่วนๆ ที่มีความยาวq และq แล้ว^{[ 10 ]} (ความเท่าเทียมกันแรกคือข้อเสนอที่ 11 ในหนังสือบทพิสูจน์ของอาร์คิ มิดีส )

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

โดยที่Dคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ ซึ่งเป็นจริงเพราะเส้นทแยงมุมเป็นคอร์ดตั้งฉากของวงกลมสมการเหล่านี้ให้ผลลัพธ์เป็นนิพจน์รัศมีวงกลมล้อมรอบ

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

หรือในแง่ของด้านของรูปสี่เหลี่ยม ดังนี้^{[ 3 ]}

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

นอกจากนี้ยังสรุปได้ว่า^{[ 3 ]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

ดังนั้น ตามทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมของออยเลอร์ รัศมีวงกลมล้อมรอบสามารถแสดงได้ในรูปของเส้นทแยงมุมpและqและระยะทางxระหว่างจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมดังนี้

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}\,.}$

สูตรสำหรับพื้นที่Kของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตั้งฉากแบบวงกลมในรูปของด้านทั้งสี่ได้มาโดยตรงเมื่อรวมทฤษฎีบทของปโตเลมีและสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตั้งฉากผลลัพธ์คือ^{[ 11 ] : หน้า 222}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

• ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออร์โธไดอะโกนัลแบบวงจร จุดแอนติเซ็นเตอร์จะตรงกับจุดที่เส้นทแยงมุมตัดกัน^{[ 3 ]}
• ทฤษฎีบทของบราห์มาคุปตะกล่าวว่าสำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออร์โธไดอะโกนัลแบบวงกลม เส้นตั้งฉากจากด้านใดๆ ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะแบ่งครึ่งด้านตรงข้าม^{[ 3 ]}
• ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมด้วย ระยะทางจากจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ (จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ) ไปยังด้านใดด้านหนึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของด้านตรงข้าม^{[ 3 ]}
• ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออร์โธไดอะโกนัลแบบวงกลม ระยะห่างระหว่างจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมจะเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบและจุดที่เส้นทแยงมุมตัดกัน^{[ 3 ]}

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตั้งฉากทุกรูป เราสามารถสร้างเซตสี่เหลี่ยมผืนผ้าอนันต์สองเซตภายในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ได้:

(i) เซตของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนานกับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม

(ii) เซตของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนดโดยวงกลมจุดปาสคาล^{[ 12 ]}

• พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก , รูปสี่เหลี่ยมพีทาโกเรียนและมุมฉากและคุณสมบัติคล้ายแวน ออเบลของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่Dynamic Geometry Sketches , แบบร่างเรขาคณิตเชิงโต้ตอบ