รูปทรงแปดเหลี่ยมปกติ
รูปแปดเหลี่ยมปกติ
พิมพ์	รูปหลายเหลี่ยมปกติ
ขอบและจุดยอด	18
สัญลักษณ์ Schläfli	{18}, t{9}
แผนภาพค็อกซ์เตอร์-ไดน์กิน
กลุ่มสมมาตร	ไดเฮดรัล (D 18 ), อันดับ 2×18
มุมภายใน ( องศา )	160°
คุณสมบัติ	นูน , วงกลม , สามเหลี่ยมด้านเท่า , มุมฉาก , มุมฉาก
รูปหลายเหลี่ยมคู่	ตัวเอง

ในทางเรขาคณิตรูปแปดเหลี่ยม (หรือรูปสิบแปดเหลี่ยม^{[ 1 ]} ) หรือรูป 18 เหลี่ยม คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มี 18 ด้าน^{[ 2 ]}

รูปแปดเหลี่ยมปกติมีสัญลักษณ์ Schläfli {18} และสามารถสร้างเป็นรูปเก้าเหลี่ยมตัดกึ่ง ปกติ t{9} ซึ่งสลับขอบสองประเภท

เนื่องจาก 18 = 2 × 3 ²จึงไม่สามารถสร้าง รูปแปดเหลี่ยมปกติ โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดได้ [ ^{3 ] อย่างไรก็ตาม}สามารถสร้างได้โดยใช้เนอุซิสหรือ การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนด้วยขวาน

วิธีการสร้างโดยประมาณต่อไปนี้คล้ายคลึงกับการสร้างรูปเก้าเหลี่ยมมาก เนื่องจากรูปสิบแปดเหลี่ยมสามารถสร้างได้จากรูปเก้าเหลี่ยมที่ถูกตัดยอด และยังสามารถทำได้โดยใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัดเท่านั้น

ลดขนาดมุม AMC (60° เช่นกัน) ด้วยเส้นแบ่งครึ่งมุมสี่เส้น และสร้างส่วนโค้งวงกลม MON หนึ่งในสามส่วนด้วยวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณระหว่างเส้นแบ่งครึ่งมุม w 3และw 4 เส้นช่วยตรง g ลากผ่านจุด O ไปยังจุด N (เสมือนไม้บรรทัดที่จุด O และ N) ระหว่าง O และ N ดังนั้นจึงไม่มีเส้นช่วย ดังนั้น ส่วนโค้งวงกลม MON จึงสามารถเข้าถึงจุดตัด R ในภายหลังได้อย่างอิสระ ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$AMR = 19.999999994755615...° 360° ÷ 18 = 20° ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$AMR - 20° = -5.244...E-9° ตัวอย่างเพื่อแสดงให้เห็นถึงข้อผิดพลาด : ที่รัศมีวงกลมล้อมรอบ r = 100,000 กม. ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของด้านแรกจะอยู่ที่ประมาณ -9 มม. ดูเพิ่มเติมเกี่ยวกับการคำนวณรูปเก้าเหลี่ยม (Berechnung, ภาษาเยอรมัน) 6.0 JMR เทียบเท่าAMR${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$

แปดเหลี่ยมปกติมีสมมาตรDih ₁₈ลำดับ 36 มีกลุ่มย่อย 5 กลุ่มย่อยคือ Dih ₉ , (Dih ₆ , Dih ₃ ) และ (Dih ₂ Dih ₁ ) และกลุ่มสมมาตร 6 วง : (Z ₁₈ , Z ₉ ), (Z ₆ , Z ₃ ) และ (Z ₂ , Z ₁ )

สมมาตรทั้ง 15 แบบนี้สามารถมองเห็นได้ในสมมาตรที่แตกต่างกัน 12 แบบบนรูปแปดเหลี่ยมจอห์น คอนเวย์ได้กำหนดป้ายกำกับให้กับสมมาตรเหล่านี้ด้วยตัวอักษรและลำดับกลุ่ม^{[ 4 ]}สมมาตรเต็มรูปแบบของรูปแบบปกติคือr36และไม่มีสมมาตรใด ๆ ที่กำหนด ป้ายกำกับเป็น a1สมมาตรไดเฮดรัลจะถูกแบ่งตามว่าผ่านจุดยอด ( dสำหรับแนวทแยง) หรือขอบ ( pสำหรับแนวตั้งฉาก) และiเมื่อเส้นสะท้อนผ่านทั้งขอบและจุดยอด สมมาตรแบบวัฏจักรในคอลัมน์กลางจะถูกกำหนดป้ายกำกับเป็นgสำหรับลำดับการหมุนรอบจุดศูนย์กลาง

สมมาตรของแต่ละกลุ่มย่อยอนุญาตให้มีระดับความเป็นอิสระหนึ่งระดับหรือมากกว่าสำหรับรูปแบบที่ไม่ปกติ มีเพียง กลุ่มย่อย g18 เท่านั้น ที่ไม่มีระดับความเป็นอิสระ แต่สามารถมองได้ว่าเป็นขอบที่มีทิศทาง

Coxeterระบุว่าโซโนกอน ทุกอัน (รูป 2m เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันและมีความยาวเท่ากัน) สามารถแบ่งออกเป็น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ m ( m − 1)/2 รูป^{[ 6 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อนี้เป็นจริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคู่ ซึ่งในกรณีนี้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สำหรับรูปสิบแปดเหลี่ยมปกติ m = 9 และสามารถแบ่งออกเป็น 36: 4 ชุดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 9 รูป การแบ่งส่วนนี้ขึ้นอยู่กับ การฉายภาพรูปหลายเหลี่ยม ของPetrieของลูกบาศก์ 9 มิติซึ่งมี 36 หน้าจาก 4608 หน้า รายการOEIS :  A006245ระบุจำนวนวิธีแก้ปัญหาเป็น 112018190 รวมถึงการหมุนสูงสุด 18 เท่าและรูปแบบไครัลในการสะท้อน

การผ่าตัดแยกออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 36 ชิ้น

รูปสามเหลี่ยมปกติ รูปเก้าเหลี่ยม และรูปสิบแปดเหลี่ยม สามารถล้อมรอบจุดบนระนาบได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งเป็นหนึ่งใน 17 รูปแบบที่แตกต่างกันของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีคุณสมบัตินี้^{[ 7 ]}อย่างไรก็ตาม รูปแบบนี้ไม่สามารถขยายไปสู่การปูพื้นผิวแบบอาร์คิมีเดียนบนระนาบได้ เนื่องจากทั้งรูปสามเหลี่ยมและรูปเก้าเหลี่ยมมีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ จึงไม่สามารถล้อมรอบได้อย่างสมบูรณ์ด้วยวงแหวนที่สลับกับรูปหลายเหลี่ยมอีกสองชนิด

รูปแปดเหลี่ยมปกติสามารถปูพื้นผิวระนาบด้วยช่องว่างรูปหกเหลี่ยมเว้าได้ และอีกรูปแบบหนึ่งเป็นการผสมผสานระหว่างรูปเก้าเหลี่ยมและช่องว่างรูปแปดเหลี่ยม รูปแบบแรกมีความเกี่ยวข้องกับการปูพื้นผิวด้วยรูปหกเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนและรูปแบบที่สองมี ความเกี่ยวข้องกับการปูพื้น ผิวด้วยรูปสามเหลี่ยมหกเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน

รูปแปดเหลี่ยมดาว 18 ด้าน แทนด้วยสัญลักษณ์ {18/n} มีรูปหลายเหลี่ยมดาว ปกติสอง รูป คือ {18/5} และ {18/7} โดยใช้จุดเดียวกัน แต่เชื่อมต่อทุกๆ จุดที่ห้าหรือเจ็ด นอกจากนี้ยังมีรูปประกอบห้าแบบ ได้แก่ {18/2} ลดรูปเป็น 2{9} หรือรูปเก้าเหลี่ยม สองรูป , {18/3} ลดรูปเป็น 3{6} หรือรูปหกเหลี่ยม สามรูป, {18/4} และ {18/8} ลดรูปเป็น 2{9/2} และ 2{9/4} หรือ รูปเก้าเหลี่ยมสอง รูป , {18/6} ลดรูปเป็น 6{3} หรือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 รูป และสุดท้าย {18/9} ลดรูปเป็น 9{2} ซึ่งเป็นรูปสองเหลี่ยม เก้า รูป

รูปหลายเหลี่ยมประกอบและรูปหลายเหลี่ยมดาว
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
รูปร่าง	รูปหลายเหลี่ยมนูน	สารประกอบ			รูปหลายเหลี่ยมดาว	สารประกอบ	รูปหลายเหลี่ยมดาว	สารประกอบ
ภาพ	{18/1} = {18}	{18/2} = 2{9}	{18/3} = 3{6}	{18/4} = 2{9/2}	{18/5}	{18/6} = 6{3}	{18/7}	{18/8} = 2{9/4}	{18/9} = 9{2}
มุมภายใน	160°	140°	120°	100°	80°	60°	40°	20°	0°

การตัดทอนที่ลึกกว่าของรูป enneagon และ enneagram ปกติสามารถสร้างรูปแบบ octadecagram ระหว่างกลางแบบ isogonal ( vertex-transitive ) ที่มีจุดยอดเว้นระยะห่างเท่ากันและมีความยาวขอบสองค่า การตัดทอนอื่นๆ ก่อให้เกิดการครอบคลุมสองชั้น: t{9/8}={18/8}=2{9/4}, t{9/4}={18/4}=2{9/2}, t{9/2}={18/2}=2{9} ^{[ 8 ]}

การตัดทอนแบบ Vertex-transitive ของรูป enneagon และ enneagram
กึ่งปกติ	ไอโซโกนอล				การหุ้มสองชั้น แบบกึ่งปกติ
t{9}={18}					t{9/8}={18/8} =2{9/4}
t{9/5}={18/5}					t{9/4}={18/4} =2{9/2}
t{9/7}={18/7}					t{9/2}={18/2} =2{9}

รูปแปดเหลี่ยมเฉียงปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมเพทรีสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมมิติสูงจำนวนหนึ่ง ซึ่งแสดงในภาพฉายตั้งฉากเฉียง เหล่านี้ จากระนาบค็อกซ์เตอร์ :

รูปหลายเหลี่ยมเพทรีแบบแปดเหลี่ยม
เอ17	บี9		ดี10		อี7
17-ซิมเพล็กซ์	9-ออร์โธเพล็กซ์	9 ลูกบาศก์	7 11	1 71	3 21	2 31	1 32

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "รูปสิบแปดเหลี่ยม" . MathWorld .