ในทางเรขาคณิตรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าคือรูปหลายเหลี่ยมในระนาบยุคลิดที่มีด้านทั้งห้าด้านยาวเท่ากันมุมยอดทั้งห้าสามารถมีค่าได้หลากหลาย ทำให้สามารถสร้างกลุ่มของรูปห้าเหลี่ยมได้ ในทางตรงกันข้ามรูปห้าเหลี่ยมปกติมีความพิเศษเฉพาะตัว เพราะเป็นทั้งรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าและ มุม ทั้งห้าเท่า กัน (มุมทั้งห้ามีค่าเท่ากัน โดยมีขนาด 108 องศา )

วงกลมสี่วงที่ตัดกันและมีขนาดเท่ากันเรียงต่อกันเป็นโซ่ปิด สามารถสร้าง รูปห้าเหลี่ยมด้าน เท่าแบบนูนได้จุดศูนย์กลางของแต่ละวงกลมจะเป็นหนึ่งในสี่จุดยอดของรูปห้าเหลี่ยม ส่วนจุดยอดที่เหลือจะถูกกำหนดโดยจุดตัดจุดใดจุดหนึ่งของวงกลมวงแรกและวงสุดท้ายในโซ่

เรียบง่าย				ขอบที่เรียงตัวเป็นเส้นตรงเดียวกัน	รูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน
นูน		เว้า
รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า ( มุมภายใน 108° )	มุมฉากที่อยู่ติดกัน(60° 150° 90° 90° 150°)	รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าสะท้อน(36° 252° 36° 108° 108°)	อเนกประสงค์ทรงสิบสองเหลี่ยม[ 1 ] (30° 210° 60° 90° 150°)	เสื่อมสภาพกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (120° 120° 60° 180° 60°)	รูปดาวห้าแฉกปกติ(36°)	จุดตัด(36° 108° −36° −36° 108°)
				ลดรูปเป็นรูปสามเหลี่ยม (≈28.07° 180° ≈75.96° ≈75.96° 180°)	การตัดกันเอง	เสื่อมสภาพ(การทับซ้อนของขอบและจุดยอด)

เมื่อแบ่งรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าแบบนูนออกเป็นรูปสามเหลี่ยม สองรูปจะปรากฏเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (รูปสามเหลี่ยมสีส้มและสีน้ำเงิน) ในขณะที่อีกรูปหนึ่งจะเป็นรูปสามเหลี่ยมทั่วไป (รูปสามเหลี่ยมสีเขียว) เราสมมติว่าเรารู้ค่ามุมประชิด θ และθ แล้ว${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

ตามกฎของไซน์ความยาวของเส้นตรงที่แบ่งสามเหลี่ยมสีเขียวและสีฟ้าคือ:

${\displaystyle a=2\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right).}$

กำลังสองของความยาวเส้นที่แบ่งสามเหลี่ยมสีส้มและสีเขียวคือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=1+a^{2}-2(1)(a)\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\beta }{2}}\right)\\&=1+4\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)-4\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left(\alpha +{\frac {\beta }{2}}\right).\\\end{aligned}}}$

ตามกฎของโคไซน์ค่าโคไซน์ของ δ สามารถดูได้จากรูป:

${\displaystyle \cos(\delta )={\frac {1^{2}+1^{2}-b^{2}}{2(1)(1)}}\ .}$

เมื่อทำให้ง่ายขึ้น จะได้ δ เป็นฟังก์ชันของ α และ β:

${\displaystyle \delta =\arccos \left[\cos(\alpha )+\cos(\beta )-\cos(\alpha +\beta )-{\frac {1}{2}}\right].}$

มุมที่เหลือของรูปห้าเหลี่ยมสามารถหาได้ทางเรขาคณิต: มุมที่เหลือของสามเหลี่ยมสีส้มและสีน้ำเงินสามารถหาได้ง่ายๆ โดยสังเกตว่ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน ในขณะที่ผลรวมของมุมทั้งสามเท่ากับ 180° จากนั้นมุมที่เหลืออีกสองมุมของสามเหลี่ยมสีเขียวสามารถหาได้จากสมการสี่สมการที่ระบุว่า ผลรวมของมุมของรูปห้าเหลี่ยมคือ 540° ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมสีเขียวคือ 180° มุมนั้นคือผลรวมของส่วนประกอบทั้งสาม และมุมนั้นคือผลรวมของส่วนประกอบทั้งสอง ${\displaystyle \epsilon ,\gamma ,}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \epsilon }$

รูป ห้า เหลี่ยมวงกลมจะมีมุมเท่ากันก็ต่อเมื่อมีด้านเท่ากันและเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ ในทำนองเดียวกัน รูปห้า เหลี่ยมสัมผัสจะมีด้านเท่ากันก็ต่อเมื่อมีมุมเท่ากันและเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ^{[ 2 ]}

มีรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าแบบนูนสองตระกูลอนันต์ที่ปูระนาบได้ โดยตระกูล หนึ่งมี มุมประชิดสองมุมที่รวมกันได้ 180 องศาและอีกตระกูลหนึ่งมีมุมประชิดสองมุมที่รวมกันได้ 180 องศา รูปห้าเหลี่ยมบางรูปสามารถปูระนาบได้มากกว่าหนึ่งวิธี และมีตัวอย่างหนึ่งที่เกิดขึ้นไม่บ่อยนักของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่สามารถปูระนาบได้ แต่ไม่ได้อยู่ในตระกูลใดตระกูลหนึ่งในสองตระกูลนั้น มุมของมันมีค่าประมาณ 89°16', 144°32.5', 70°55', 135°22' และ 99°54.5' ซึ่งไม่มีมุมใดรวมกันได้ 180 องศา^{[ 3 ]}

รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าสามารถตัดกันเองได้โดยไม่ตัดเลย ตัดหนึ่งครั้ง ตัดสองครั้ง หรือตัดห้าครั้ง รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่ไม่ตัดกันเองเรียกว่า รูปห้า เหลี่ยมด้านเท่า แบบเรียบง่ายและสามารถจำแนกได้เป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าแบบนูนหรือแบบเว้า ในที่นี้เราใช้คำว่า "รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าแบบดาว" เพื่อหมายถึงรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่ตัดกันเองสองครั้งหรือห้าครั้ง ในส่วนนี้เราจะไม่นับรวมรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่ตัดกันเองเพียงครั้งเดียว

เนื่องจากเราตัดรูปห้าเหลี่ยมที่ตัดกันเองเพียงครั้งเดียวออกไป เราจึงสามารถพล็อตส่วนที่เหลือเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวในระนาบ สองมิติ ได้ แต่ละคู่ของค่า (α, β) จะแมปไปยังจุดเดียวบนระนาบ และยังแมปไปยังรูปห้าเหลี่ยมเดียวด้วย

ความเป็นคาบของค่า α และ β และเงื่อนไข α ≥ β ≥ δ ช่วยให้สามารถจำกัดขนาดของการแมปได้ ในระนาบที่มีแกนพิกัด α และ β สมการ α = β เป็นเส้นตรงที่แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน (เส้นขอบด้านใต้แสดงด้วยสีส้มในภาพวาด) ส่วนสมการ δ = β เป็นเส้นโค้งที่แบ่งระนาบออกเป็นส่วนต่างๆ (เส้นขอบด้านเหนือแสดงด้วยสีน้ำเงิน)

เส้นขอบทั้งสองล้อมรอบบริเวณต่อเนื่องบนระนาบซึ่งจุดต่างๆ ในบริเวณนั้นจะแทนด้วยรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่ไม่ซ้ำกัน จุดที่อยู่นอกบริเวณนั้นจะแทนด้วยรูปห้าเหลี่ยมที่ซ้ำกัน กล่าวคือ รูปห้าเหลี่ยมที่เมื่อหมุนหรือสะท้อนแล้วจะตรงกับรูปห้าเหลี่ยมอื่นๆ ที่ได้อธิบายไว้แล้ว รูปห้าเหลี่ยมที่แทนลงบนเส้นขอบเหล่านั้นอย่างแม่นยำจะมี เส้นสมมาตร

ภายในบริเวณที่มีการทำแผนที่เฉพาะนั้น มีรูปห้าเหลี่ยมอยู่สามประเภท ได้แก่ รูปห้าเหลี่ยมแบบดาว รูปห้าเหลี่ยมเว้า และรูปห้าเหลี่ยมแบบนูน ซึ่งถูกแบ่งแยกด้วยเส้นขอบใหม่

รูปห้าเหลี่ยมแบบมีด้านตัดกับด้านอื่น ( Stellated pentagons) คือรูปห้าเหลี่ยมที่มีด้านตัดกับด้านอื่น ตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปของรูปห้าเหลี่ยมประเภทนี้คือ รูปดาวห้าแฉก (pentagram ) เงื่อนไขสำหรับรูปห้าเหลี่ยมที่จะมีด้านตัดกับด้านอื่น คือ 2α + β ≤ 180° ดังนั้น ในการสร้างแผนที่ เส้น 2α + β = 180° (แสดงด้วยสีส้มทางทิศเหนือ) คือเส้นแบ่งระหว่างบริเวณของรูปห้าเหลี่ยมที่มีด้านตัดกับด้านอื่นและรูปห้าเหลี่ยมที่ไม่มีด้านตัดกับด้านอื่น รูปห้าเหลี่ยมที่ตรงกับเส้นแบ่งนี้พอดีจะมีจุดยอดสัมผัสกับด้านอื่น

รูป ห้าเหลี่ยม เว้าคือรูปห้าเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปดาวที่มีมุมอย่างน้อยหนึ่งมุมมากกว่า 180° มุมแรกที่กว้างกว่า 180° คือ γ ดังนั้นสมการ γ = 180° (เส้นขอบที่แสดงด้วยสีเขียวทางด้านขวา) จึงเป็นเส้นโค้งที่เป็นขอบเขตของบริเวณรูปห้าเหลี่ยมเว้าและรูปอื่นๆ ที่เรียกว่ารูปห้าเหลี่ยมนูน รูปห้าเหลี่ยมที่ตรงกับเส้นขอบนี้อย่างแม่นยำจะมีด้านอย่างน้อยสองด้านที่อยู่ติดกันปรากฏเป็นด้านที่มีความยาวเป็นสองเท่า ซึ่งคล้ายกับรูปห้าเหลี่ยมที่เสื่อมสภาพกลายเป็นรูป สี่เหลี่ยม

รูปห้าเหลี่ยมนูนมีมุมทั้งห้าเล็กกว่า 180 องศา และไม่มีด้านใดตัดกับด้านอื่น ตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปของรูปห้าเหลี่ยมประเภทนี้คือ รูป ห้า เหลี่ยมปกติ