การปูกระเบื้องห้าเหลี่ยมแบบไคโร
รูปทรงสามเหลี่ยมด้านเท่าของกระเบื้องไคโร
พิมพ์	การปูกระเบื้องห้าเหลี่ยม
กระเบื้อง	รูปห้าเหลี่ยมไม่สม่ำเสมอ
สองชั้น	การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส
คุณสมบัติ	การเปลี่ยนรูปใบหน้า

ในทางเรขาคณิตการปูพื้นแบบห้าเหลี่ยมไคโรเป็นการปูพื้นระนาบยุคลิดด้วยรูปห้าเหลี่ยมนูนที่ เท่ากัน ทุกประการ ซึ่งเกิดจากการวางทับการปูพื้นระนาบด้วยรูปหกเหลี่ยมสองแบบ และตั้งชื่อตามการใช้งานเป็นแบบปูพื้นในกรุงไคโรนอกจากนี้ยังเรียกว่าตาข่ายของแมคมาฮอน^{[ 1 ]}ตามชื่อของเพอร์ซี อเล็กซานเดอร์ แมคมาฮอนผู้ซึ่งวาดภาพไว้ในหนังสือNew Mathematical Pastimesที่ ตีพิมพ์ในปี 1921 ^{[ 2 ]}จอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์เรียกมันว่า เพนทิล ล์4 เท่า^{[ 3 ]}

รูปห้าเหลี่ยมที่แตกต่างกันนับไม่ถ้วนสามารถประกอบกันเป็นรูปแบบนี้ได้ โดยอยู่ในสองใน 15 ตระกูลของรูปห้าเหลี่ยมนูนที่สามารถปูระนาบได้การปูระนาบของรูปห้าเหลี่ยมเหล่านี้มีสมมาตรที่แตกต่างกัน แต่ทั้งหมดมีสมมาตรแบบหน้าต่อหน้า รูปแบบการปูระนาบแบบหนึ่ง ซึ่งเป็นแบบคู่ขนานกับการปูระนาบแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสเว้ามีแผ่นกระเบื้องที่มีเส้นรอบวงน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในบรรดาการปูระนาบรูปห้าเหลี่ยมทั้งหมด อีกรูปแบบหนึ่ง ซึ่งเป็นการซ้อนทับการปูระนาบแบบแบนราบสองแบบด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ เป็นรูปแบบที่ใช้ในไคโร และมีคุณสมบัติที่ว่าขอบทุกด้านอยู่บนเส้นเดียวกันกับขอบอื่นๆ อีกนับไม่ถ้วน

ในด้านสถาปัตยกรรม นอกเหนือจากกรุงไคโรแล้ว กระเบื้องไคโรยังถูกนำไปใช้ในสถาปัตยกรรมโมกุลในอินเดียช่วงศตวรรษที่ 18 ในพิพิธภัณฑ์ Laeiszhalleในเยอรมนีช่วงต้นศตวรรษที่ 20 และในอาคารและสิ่งก่อสร้างสมัยใหม่หลายแห่ง นอกจากนี้ยังมีการศึกษาในฐานะโครงสร้างผลึกและปรากฏในงานศิลปะของMC Escherอีก ด้วย

การรวมกันของขอบทั้งหมดของการปูพื้นแบบไคโรนั้นเหมือนกับการรวมกันของการปูพื้นระนาบสองแบบด้วยรูปหกเหลี่ยมรูปหกเหลี่ยมแต่ละรูปของการปูพื้นแบบหนึ่งจะล้อมรอบจุดยอดสองจุดของการปูพื้นอีกแบบหนึ่ง และถูกแบ่งโดยรูปหกเหลี่ยมของการปูพื้นอีกแบบหนึ่งออกเป็นรูปห้าเหลี่ยมสี่รูปในการปูพื้นแบบไคโร^{[ 4 ]}รูปห้าเหลี่ยมที่แตกต่างกันจำนวนอนันต์สามารถสร้างการปูพื้นแบบไคโรได้ โดยทั้งหมดมีรูปแบบการประชิดกันระหว่างกระเบื้องแบบเดียวกันและมีการแบ่งออกเป็นรูปหกเหลี่ยมแบบเดียวกัน แต่มีความยาวขอบ มุม และสมมาตรที่แตกต่างกัน รูปห้าเหลี่ยมที่สร้างการปูพื้นเหล่านี้สามารถจัดกลุ่มได้เป็นสองตระกูลอนันต์ที่แตกต่างกัน โดยดึงมาจากตระกูลรูปห้าเหลี่ยมนูน 15 ตระกูลที่สามารถปูพื้นระนาบได้ [ ^{5 ] และ}ตระกูลรูปห้าเหลี่ยมห้าตระกูลที่Karl Reinhardt ค้นพบ ในปี 1918 ที่สามารถปูพื้นระนาบแบบไอโซเฮดรัลได้ (กระเบื้องทั้งหมดสมมาตรกัน) ^{[ 6 ]}

หนึ่งในสองตระกูลนี้ประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมที่มี มุมฉากสองมุมที่ไม่ติดกันโดยมีด้านยาวเท่ากันสองด้านมาบรรจบกันที่มุมฉากแต่ละมุม รูปห้าเหลี่ยมใดๆ ที่ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้สามารถปูระนาบได้ด้วยสำเนาที่มุมฉากที่เลือกไว้ โดยจะหมุนสำเนาเหล่านั้นเป็นมุมฉากซึ่งกันและกัน ที่ด้านของรูปห้าเหลี่ยมที่ไม่ติดกับมุมฉากทั้งสองมุมนั้น สำเนาสองชิ้นจะมาบรรจบกัน โดยหมุนเป็นมุม 180° ซึ่งกันและกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือการปูแบบไอโซเฮดรัล ซึ่งหมายความว่ารูปห้าเหลี่ยมใดๆ ในการปูนี้สามารถแปลงเป็นรูปห้าเหลี่ยมอื่นๆ ได้ด้วยสมมาตรของการปู รูปห้าเหลี่ยมเหล่านี้และการปูของมันมักถูกระบุว่าเป็น "ประเภทที่ 4" ในรายการประเภทของรูปห้าเหลี่ยมที่สามารถปูได้^{[ 4 ]}สำหรับการปูพื้นแบบไคโรประเภท 4 ใดๆ กระเบื้องชนิดเดียวกันสิบสองแผ่นยังสามารถปูพื้นผิวของลูกบาศก์ได้ โดยพับกระเบื้องหนึ่งแผ่นข้ามขอบลูกบาศก์แต่ละด้าน และกระเบื้องสามมุมฉากมาบรรจบกันที่จุดยอดลูกบาศก์แต่ละจุด เพื่อสร้างโครงสร้างเชิงการจัดเรียงแบบเดียวกับทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ^{[ 7 ] [ 8 ]}

รูปห้าเหลี่ยมตระกูลอื่นที่ประกอบกันเป็นลวดลายปูพื้นแบบไคโร คือรูปห้าเหลี่ยมที่มีมุมเสริม สองมุม ที่จุดยอดที่ไม่ติดกัน โดยแต่ละมุมจะมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน ในการปูพื้น จุดยอดที่มีมุมเสริมจะสลับกันรอบจุดยอดที่มีดีกรีสี่ รูปห้าเหลี่ยมที่ตรงตามข้อจำกัดเหล่านี้โดยทั่วไปไม่ได้ถูกระบุว่าเป็นหนึ่งใน 15 ตระกูลของรูปห้าเหลี่ยมที่ปูพื้น แต่เป็นส่วนหนึ่งของตระกูลรูปห้าเหลี่ยมที่ใหญ่กว่า (รูปห้าเหลี่ยม "ประเภท 2") ที่ปูพื้นระนาบแบบไอโซเฮดรัลในรูปแบบที่แตกต่างกัน^{[ 4 ]}

กระเบื้องไคโร แบบสมมาตรสองด้านเกิดจากรูปห้าเหลี่ยมที่อยู่ในตระกูลประเภท 2 และประเภท 4 ^{[ 4 ]} รูปแบบ การปูอิฐแบบสานตะกร้าสามารถมองได้ว่าเป็น กรณี ที่เสื่อมสภาพของกระเบื้องไคโรแบบสมมาตรสองด้าน โดยแต่ละก้อนอิฐ (รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า) จะถูกตีความว่าเป็นรูปห้าเหลี่ยมที่มีมุมฉากสี่มุมและมุม 180° หนึ่งมุม^{[ 9 ]}${\displaystyle 1\times 2}$

• 
  กระเบื้องไคโรแบบที่ 2 มี มุมเสริมที่ไม่ติดกันโดยมีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันมีความยาวเท่ากัน
• 
  กระเบื้องประเภทที่ 4 มี มุมฉากที่ไม่ติดกันระหว่างด้านที่มีความยาวเท่ากันเป็นคู่ๆ
• 
  การปูพื้นแบบสมมาตรสองด้าน (ซึ่งเป็นของทั้งสองประเภท) ใช้กระเบื้องที่มีมุมฉากที่ไม่ติดกันและมีขอบทั้งสี่ด้านเท่ากัน

• 
  กระเบื้องไคโรแบบที่ 2 โดยมีการระบายสีเพื่อแสดงกระเบื้องที่สะท้อนแสงและไม่สะท้อนแสง
• 
  ในการปูพื้นแบบไคโรประเภทที่ 4 รูปห้าเหลี่ยมสามารถสมมาตรแบบทวิภาคีได้ แม้ว่าการปูพื้นจะไม่ใช่แบบไคโรก็ตาม
• 
  ลายสานตะกร้า ซึ่งเป็นการปูพื้นแบบสมมาตรทวิภาคีที่เสื่อมสภาพ โดยมีการปูพื้นแบบไม่เสื่อมสภาพซ้อนทับอยู่

เป็นไปได้ที่จะกำหนด พิกัด ครึ่งจำนวนเต็มหกมิติให้กับรูปห้าเหลี่ยมของการปูพื้น โดยที่จำนวนขั้นตอนจากขอบถึงขอบระหว่างรูปห้าเหลี่ยมสองรูปใดๆ จะเท่ากับระยะทางL ¹ระหว่างพิกัดของรูปห้าเหลี่ยมเหล่านั้น พิกัดทั้งหกของรูปห้าเหลี่ยมแต่ละรูปสามารถจัดกลุ่มเป็นพิกัดสามตัวสองชุด โดยแต่ละชุดจะให้พิกัดของรูปหกเหลี่ยมในระบบพิกัดสามมิติที่คล้ายคลึงกันสำหรับการปูพื้นรูปหกเหลี่ยมสองชุดที่ซ้อนทับกัน^{[ 10 ]}จำนวนกระเบื้องที่อยู่ห่างจากกระเบื้องใดๆ เป็นระยะ สำหรับจะกำหนดโดยลำดับการประสานงาน ซึ่งหลังจากสามพจน์แรก แต่ละพจน์จะแตกต่างจากพจน์สามพจน์ก่อนหน้าในลำดับ 16 พจน์ นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดลำดับการประสานงานที่คล้ายคลึงกันสำหรับจุดยอดของการปูพื้นแทนที่จะเป็นสำหรับกระเบื้อง แต่เนื่องจากมีจุดยอดสองประเภท (ระดับสามและระดับสี่) จึงมีลำดับการประสานงานที่แตกต่างกันสองแบบเกิดขึ้นในลักษณะนี้ ลำดับระดับสี่เหมือนกับตารางสี่เหลี่ยม^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle i}$${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$$${\displaystyle 1,5,11,16,21,27,32,37,\dots }$$

การปูกระเบื้องแบบไคโรเป็นรูปแบบคู่ตรงข้ามของการปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบเฉียง

เรขาคณิตของรูปห้าเหลี่ยมสำหรับการปูพื้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบสนับคู่

การปูพื้นแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบเฉียงซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปและสามเหลี่ยมด้านเท่าสามรูปล้อมรอบจุดยอดแต่ละจุด มีการปูพื้นแบบไคโรที่มีสมมาตรแบบทวิภาคเป็นการปูพื้นคู่ขนาน [ ^{13 ] การ}ปูพื้นแบบไคโรสามารถสร้างขึ้นจากการปูพื้นแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบเฉียงได้โดยการวางจุดยอดของการปูพื้นแบบไคโรไว้ที่จุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสามเหลี่ยมแต่ละรูปของการปูพื้นแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบเฉียง และเชื่อมต่อจุดยอดเหล่านี้ด้วยขอบเมื่อมาจากกระเบื้องที่อยู่ติดกัน^{[ 14 ]} รูป ห้าเหลี่ยมของมันสามารถล้อมรอบวงกลมได้พวกมันมีขอบยาวสี่ด้านและขอบสั้นหนึ่งด้านที่มีความยาวในอัตราส่วนมุมของรูปห้าเหลี่ยมเหล่านี้สร้างลำดับ 120°, 120°, 90°, 120°, 90° ^{[ 15 ]}${\displaystyle 1:{\sqrt {3}}-1}$

การปูพื้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบสนับเป็นการปูพื้นแบบอาร์คิมีเดียนและเนื่องจากเป็นรูปแบบคู่ขนานกับการปูพื้นแบบอาร์คิมีเดียน รูปแบบการปูพื้นห้าเหลี่ยมไคโรนี้จึงเป็นการปูพื้นแบบคาตาลันหรือการปูพื้นแบบลาเวส^{[ 14 ]}มันเป็นหนึ่งในสองการปูพื้นห้าเหลี่ยมแบบโมโนเฮดรัลที่เมื่อกระเบื้องมีพื้นที่หนึ่งหน่วย จะทำให้เส้นรอบวงของกระเบื้องมีค่าน้อยที่สุด อีกรูปแบบหนึ่งก็เป็นการปูพื้นด้วยรูปห้าเหลี่ยมล้อมรอบที่มีมุมฉากสองมุมและมุม 120° สามมุม แต่มีมุมฉากสองมุมที่อยู่ติดกัน นอกจากนี้ยังมีการปูพื้นอีกมากมายนับไม่ถ้วนที่เกิดจากการรวมรูปห้าเหลี่ยมทั้งสองชนิดเข้าด้วยกัน^{[ 15 ]}

รูปห้าเหลี่ยมที่มีพิกัดจุดยอดจำนวนเต็ม, , และโดยมีด้านเท่ากันสี่ด้านที่สั้นกว่าด้านที่เหลือ ก่อให้เกิดการปูพื้นแบบไคโร ซึ่งการปูพื้นแบบหกเหลี่ยมสองแบบสามารถสร้างขึ้นได้โดยการแผ่การปูพื้นแบบตั้งฉากสองแบบด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติในทิศทางตั้งฉาก โดยมีอัตราส่วน รูปแบบของการปูพื้นแบบไคโรนี้สืบทอดคุณสมบัติของการปูพื้นด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ (ไม่เปลี่ยนแปลงโดยการแผ่) ซึ่งขอบทุกด้านจะอยู่บนเส้นเดียวกันกับขอบอื่นๆ อีกมากมายนับไม่ถ้วน^{[ 9 ] [ 16 ]}${\displaystyle (\pm 2,0)}$${\displaystyle (\pm 3,3)}$${\displaystyle (0,4)}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

รูปห้าเหลี่ยมปกติไม่สามารถสร้างการปูพื้นแบบไคโรได้ เนื่องจากไม่สามารถปูพื้นระนาบได้โดยไม่มีช่องว่าง มีรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่ไม่ ซ้ำกันเพียงรูปเดียว ที่สามารถสร้างการปูพื้นแบบไคโรประเภทที่ 4 ได้ โดยมีด้านเท่ากันห้าด้าน แต่มีมุมไม่เท่ากัน และการปูพื้นนั้นสมมาตรแบบทวิภาค^{[ 4 ] [ 13 ]}รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าอื่นๆ อีกมากมายนับไม่ถ้วนสามารถสร้างการปูพื้นแบบไคโรประเภทที่ 2 ได้^{[ 4 ]}

ถนนหลายสายในกรุงไคโรปูด้วยกระเบื้องไคโรแบบเรียงตัวเป็นเส้นตรง^{[ 9 ] [ 17 ]}การใช้งานนี้เป็นที่มาของชื่อกระเบื้อง^{[ 18 ] [ 19 ]}ณ ปี 2019 ลวดลายนี้ยังคงสามารถพบเห็นได้ในรูปแบบการตกแต่งพื้นผิวของกระเบื้องสี่เหลี่ยมใกล้สะพาน Qasr El Nilและสถานีรถไฟใต้ดิน El Behoosกระเบื้องรูปแบบอื่นๆ สามารถมองเห็นได้ในที่อื่นๆ ของเมือง^{[ 20 ]}ผู้เขียนบางคนรวมถึงMartin Gardnerได้เขียนไว้ว่าลวดลายนี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในสถาปัตยกรรมอิสลามและถึงแม้ว่าข้ออ้างนี้ดูเหมือนจะเกิดจากความเข้าใจผิด แต่ลวดลายที่คล้ายกับกระเบื้องไคโรก็สามารถมองเห็นได้บนสุสาน I'timād-ud-Daulah ในศตวรรษที่ 17 ในอินเดีย และกระเบื้องไคโรเองก็ถูกพบในjaliของราชวงศ์โมกุล ในศตวรรษที่ 17 ^{[ 16 ]}

• 
  สุสานของอีติมัด-อุด-เดาละห์มีแผงด้านข้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคล้ายกระเบื้องไคโร
• 
  เซ็นทาร์ ซาเมต (Centar Zamet)ซึ่งมีกระเบื้องไคโรประดับอยู่บนผนัง
• 
  การปูกระเบื้องไคโรในHørsholmประเทศเดนมาร์ก

เพนตา-กราฟีน

หนึ่งในสิ่งพิมพ์แรกๆ เกี่ยวกับกระเบื้องไคโรในฐานะลวดลายตกแต่งปรากฏอยู่ในหนังสือเกี่ยวกับการออกแบบสิ่งทอจากปี 1906 ^{[ 21 ]}นักประดิษฐ์ HC Moore ได้ยื่นจดสิทธิบัตรของสหรัฐอเมริกาเกี่ยวกับกระเบื้องที่มีลวดลายนี้ในปี 1908 ^{[ 22 ]}ในเวลาเดียวกันนั้นVilleroy & Bochได้สร้างกระเบื้องปูพื้นเซรามิกที่มีลวดลายกระเบื้องไคโร ซึ่งใช้ในห้องโถงของLaeiszhalleในเมืองฮัมบูร์กประเทศเยอรมนี กระเบื้องไคโรถูกนำมาใช้เป็นลวดลายตกแต่งในการออกแบบสถาปัตยกรรมสมัยใหม่หลายแห่ง ตัวอย่างเช่น ใจกลางเมืองHørsholmประเทศเดนมาร์ก ปูด้วยลวดลายนี้ และCentar Zametซึ่งเป็นสนามกีฬาในประเทศโครเอเชีย ใช้ลวดลายนี้ทั้งสำหรับผนังภายนอกและกระเบื้องปูพื้น^{[ 16 ]}

ในด้านผลึกศาสตร์ การเรียงตัวแบบนี้ได้รับการศึกษา ^มาอย่างน้อยตั้งแต่ปี 1911 ^{[ 23 ]}มีการเสนอให้ใช้เป็นโครงสร้างสำหรับ ผลึก ไฮเดรต แบบชั้น ^{[ 24 ]}สารประกอบบางชนิดของบิสมัทและเหล็ก [ ^{25 ]}และเพนตากราฟีนซึ่งเป็นสารประกอบสมมุติของคาร์บอนบริสุทธิ์ในโครงสร้างเพนตากราฟีน ขอบของการเรียงตัวที่เชื่อมต่อกับจุดยอดระดับสี่จะสร้างพันธะเดี่ยวในขณะที่ขอบที่เหลือจะสร้างพันธะคู่ใน รูปแบบ ที่มีไฮโดรเจนเพนตากราฟีน พันธะทั้งหมดเป็นพันธะเดี่ยว และอะตอมคาร์บอนที่จุดยอดระดับสามของโครงสร้างจะมีพันธะที่สี่เชื่อมต่อกับอะตอมไฮโดรเจน^{[ 26 ]}

ลวดลายกระเบื้องไคโรได้รับการอธิบายว่าเป็นหนึ่งใน"รูปแบบเรขาคณิตที่โปรดปราน" ของMC Escher ^{[ 7 ]}เขาใช้มันเป็นพื้นฐานสำหรับภาพวาดShells and Starfish (1941) ในส่วนผึ้งบนดอกไม้ของMetamorphosis III (1967–1968) และในภาพวาดอื่นๆ อีกหลายภาพตั้งแต่ปี 1967–1968 ภาพของลวดลายนี้ยังถูกใช้เป็นภาพปกสำหรับหนังสือ Regular Complex Polytopesฉบับพิมพ์ครั้งแรกในปี 1974 ของHSM Coxeter อีกด้วย ^{[ 4 ​​] [ 16 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการปูพื้นแบบห้าเหลี่ยมของกรุงไคโร

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "การปูพื้นแบบไคโร" , MathWorld