ในทางคณิตศาสตร์รูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้คือรูปหลายเหลี่ยมปกติที่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดตัวอย่างเช่นรูปห้าเหลี่ยม ปกติ สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด ในขณะที่รูปเจ็ดเหลี่ยม ปกติ สร้างไม่ได้ มีรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้มากมายนับไม่ถ้วน แต่มีเพียง 31 รูปเท่านั้นที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ที่เรารู้จัก

รูปหลายเหลี่ยมปกติบางรูปสร้างได้ง่ายด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด ในขณะที่บางรูปสร้างได้ยากนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณรู้วิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี 3, 4 หรือ 5 ด้าน^{[ 1 ] : หน้า xi} และพวกเขารู้วิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นสองเท่าของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่กำหนด^{[ 1 ] : หน้า 49–50} สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามว่า เป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้าง รูปหลายเหลี่ยมปกติ ทั้งหมดด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด? ถ้าไม่เป็นไปได้ รูปหลายเหลี่ยมnด้าน (นั่นคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีnขอบ) รูปใดบ้างที่สร้างได้และรูปใดบ้างที่สร้างไม่ได้?

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์พิสูจน์ความสามารถในการสร้างรูป17 เหลี่ยม ปกติได้ ในปี 1796 ห้าปีต่อมา เขาได้พัฒนาทฤษฎีคาบเกาส์ในDisquisitiones Arithmeticae ของเขา ทฤษฎีนี้ทำให้เขาสามารถกำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติได้ เกาส์กล่าวโดยไม่มีการพิสูจน์ว่าเงื่อนไขนี้จำเป็น เช่น กัน^{[ 2 ]}แต่ไม่เคยเผยแพร่การพิสูจน์ของเขา

ปิแอร์ วอนเซลได้พิสูจน์ความจำเป็นอย่างสมบูรณ์ในปี ค.ศ. 1837 ผลลัพธ์นี้รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทเกาส์-วอนเซล : รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าnด้าน สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดก็ต่อเมื่อnเป็นผลคูณของกำลังของ 2และจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ ที่แตกต่างกัน (ไม่เท่ากัน) จำนวนใดๆ โดยที่กำลังของ 2 คือจำนวนในรูปแบบโดยที่m ≥ 0 เป็นจำนวนเต็ม จำนวนเฉพาะแฟร์มาต์คือจำนวนเฉพาะในรูปแบบโดยที่m ≥ 0 เป็นจำนวนเต็ม จำนวนของจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ที่เกี่ยวข้องอาจเป็น 0 ก็ได้ ในกรณีนี้nจะเป็นกำลังของ 2 ${\displaystyle 2^{m}}$${\displaystyle 2^{(2^{m})}+1}$

เพื่อลด ปัญหา ทางเรขาคณิตให้เหลือเพียงปัญหาของทฤษฎีจำนวน บริสุทธิ์ การพิสูจน์ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าnด้านสามารถสร้างได้ก็ต่อเมื่อโคไซน์ เป็นจำนวนที่สร้างได้กล่าวคือ สามารถเขียนได้ในรูปของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสี่อย่างและการถอดรากที่สองหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าn ด้านสามารถ สร้างได้ก็ต่อเมื่อราก ใดๆ ของพหุนามไซโคลโทมิกที่ nสามารถสร้างได้ ${\displaystyle \cos(2\pi /n)}$

กล่าวโดยสรุปตามทฤษฎีบทเกาส์-วอนเซล:

รูปหลายเหลี่ยม ด้านเท่าn ด้าน สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนก็ต่อเมื่อn = 2 ^k p ₁ p ₂ ... p _tโดยที่kและt เป็น จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและp _i (เมื่อt > 0) เป็นจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ที่แตกต่างกัน

จำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ที่รู้จักกัน 5 จำนวนได้แก่:

F ₀ = 3, F ₁ = 5, F ₂ = 17, F ₃ = 257 และF ₄ = 65537 (ลำดับA019434ในOEIS )

เนื่องจากมีเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า 31 เซตของจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ที่รู้จักทั้ง 5 จำนวน ดังนั้นจึงมีรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้ซึ่งมีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ที่รู้จัก 31 รูป

เลขเฟอร์มาต์ 28 ตัวถัดไปF ₅ถึงF ₃₂เป็นที่ทราบกันว่าเป็นเลขประกอบ^{[ 3 ]}

ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าn ด้าน จึงสามารถสร้างได้ก็ต่อเมื่อ

n = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, ... (ลำดับA003401ในOEIS )

ในขณะที่รูปหลายเหลี่ยม n ด้าน ปกติไม่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด หาก

n = 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 18 , 19, 21, 22, 23 , 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, ... (ลำดับA004169ในOEIS )

เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ที่รู้จักกันอยู่ 5 จำนวน ดังนั้นเราจึงทราบว่ามีจำนวน 31 จำนวนที่เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ที่แตกต่างกัน และด้วยเหตุนี้เราจึงทราบว่ามีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านเป็นเลขคี่ที่สามารถสร้างได้ 31 รูป ตัวเลขเหล่านี้คือ 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537 , 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (ลำดับA045544ใน(OEIS ) ดังที่จอห์น คอนเวย์ได้แสดงความคิดเห็นไว้ในหนังสือ The Book of Numbersตัวเลขเหล่านี้ เมื่อเขียนในระบบเลขฐานสองจะเท่ากับ 32 แถวแรกของสามเหลี่ยมปาสคาลโมดูลัส -2 ลบด้วยแถวบนสุด ซึ่งสอดคล้องกับรูปเอกรูป (ด้วยเหตุนี้ เลข 1ในรายการดังกล่าวจึงเป็นการประมาณค่าของสามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี ) รูปแบบนี้จะพังทลายลงหลังจากนี้ เนื่องจากจำนวนเฟอร์มาต์ถัดไปเป็นจำนวนประกอบ (4294967297 = 641 × 6700417) ดังนั้นแถวถัดไปจึงไม่สอดคล้องกับรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้ ไม่ทราบว่ามีจำนวนเฉพาะเฟอร์มาต์อีกหรือไม่ และด้วยเหตุนี้จึงไม่ทราบว่ามีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่สร้างได้จำนวนคี่กี่รูป โดยทั่วไปแล้ว ถ้ามี จำนวนเฉพาะเฟอร์มาต์ qตัว ก็จะมีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่สร้างได้ จำนวนคี่ 2 ^q −1 รูป

จากงานวิจัยในภายหลังเกี่ยวกับทฤษฎีกาโลอิสหลักการของการพิสูจน์เหล่านี้ได้รับการชี้แจงให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เป็นการง่ายที่จะแสดงให้เห็นจากเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ว่าความยาวที่สร้างได้จะต้องมาจากความยาวฐานโดยการแก้สมการกำลังสองบางลำดับ[ 4 ^{]ในแง่}ของทฤษฎี ฟิลด์ ความยาวดังกล่าวจะต้องบรรจุอยู่ในส่วนขยายฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยหอคอยของส่วนขยายกำลังสองดังนั้นจึงสรุปได้ว่าฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยการสร้างจะมีดีกรีเหนือฟิลด์ฐานที่เป็นกำลังของสอง เสมอ

ในกรณีเฉพาะของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าnด้าน คำถามจะลดลงเหลือเพียงคำถามเกี่ยวกับการสร้างความยาว

เพราะ​2π​/n⁠ ,

ซึ่งเป็นจำนวนตรีโกณมิติและด้วยเหตุนี้จึงเป็นจำนวนพีชคณิตจำนวนนี้อยู่ในฟิลด์ไซโคลโทมิกที่n — และที่จริงแล้วอยู่ในฟิลด์ย่อยจริงซึ่งเป็นฟิลด์จริงทั้งหมดและเป็นปริภูมิเวกเตอร์ตรรกยะมิติn

⁠1/2⁠ φ( n ),

โดยที่ φ( n ) คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ ผลลัพธ์ของ Wantzel มาจากการคำนวณที่แสดงให้เห็นว่า φ( n ) เป็นกำลังของ 2 อย่างแม่นยำในกรณีที่ระบุไว้

สำหรับการสร้าง Gauss นั้น เมื่อกลุ่ม Galoisเป็นกลุ่ม 2-group ก็จะส่งผลให้มีลำดับของกลุ่มย่อยที่ มี อันดับต่างๆ กัน

1, 2, 4, 8, ...

ซึ่งซ้อนกันอยู่ โดยแต่ละซ้อนอยู่ในชั้นถัดไป ( อนุกรมการประกอบใน ศัพท์ ทางทฤษฎีกลุ่ม ) ซึ่งพิสูจน์ได้ง่ายโดยการอุปมานในกรณีของกลุ่มอาเบเลียนดังนั้นจึงมีฟิลด์ย่อยซ้อนอยู่ภายในฟิลด์ไซโคลโทมิก โดยแต่ละฟิลด์ย่อยมีดีกรี 2 เหนือฟิลด์ก่อนหน้า ตัวสร้างสำหรับแต่ละฟิลด์ดังกล่าวสามารถเขียนได้โดยใช้ ทฤษฎี คาบแบบเกาส์เซียนตัวอย่างเช่น สำหรับn  = 17จะมีคาบหนึ่งที่เป็นผลรวมของรากที่ 8 รากของเอกภาพ คาบหนึ่งที่เป็นผลรวมของรากที่ 4 รากของเอกภาพ และคาบหนึ่งที่เป็นผลรวมของรากที่ 2 รากของเอกภาพ ซึ่งก็คือ

เพราะ​2π​/17⁠ .

แต่ละจำนวนนั้นเป็นรากของสมการกำลังสองในรูปของจำนวนก่อนหน้า ยิ่งไปกว่านั้น สมการเหล่านี้มี รากเป็น จำนวนจริงไม่ใช่จำนวนเชิงซ้อนดังนั้นในทางทฤษฎีจึงสามารถแก้ได้โดยการสร้างทางเรขาคณิต เนื่องจากกระบวนการทั้งหมดเกิดขึ้นภายในฟิลด์ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด

ด้วยวิธีนี้ ผลลัพธ์ของเกาส์จึงสามารถเข้าใจได้ในแง่ปัจจุบัน สำหรับการคำนวณสมการที่จะต้องแก้ไขจริง ๆ นั้น สามารถนำค่าคาบมายกกำลังสองแล้วเปรียบเทียบกับค่าคาบที่ 'ต่ำกว่า' ซึ่งเป็นอัลกอริทึมที่ค่อนข้างเป็นไปได้

การสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้ทั้งหมด ถ้าn  =  pqโดยที่p  = 2 หรือpและq เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน รูป หลายเหลี่ยม nด้านสามารถสร้างได้จาก รูปหลายเหลี่ยม pด้านและรูป หลายเหลี่ยม qด้าน

• ถ้าp  = 2 ให้วาดรูปqเหลี่ยม แล้วแบ่งครึ่งมุมศูนย์กลางมุมใดมุมหนึ่งของรูปนั้น จากนั้นจะสามารถสร้าง รูป 2 q เหลี่ยมได้
• ถ้าp  > 2 ให้วาดรูป หลายเหลี่ยม pด้านและ รูปหลายเหลี่ยม qด้านไว้ในวงกลมเดียวกัน โดยให้รูปทั้งสองมีจุดยอดร่วมกัน เนื่องจากpและqเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จึงมีจำนวนเต็มaและbที่ทำให้ap + bq = 1 จากนั้น2aπ / q + 2bπ / p = 2π/ pqจากนี้เราสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมpq ด้านได้

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องหาวิธีสร้างรูปหลายเหลี่ยมnด้านโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด โดยที่nเป็นจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์

• การสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นเรื่องง่ายและเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณดู ที่ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
• วิธีการสร้างรูป ห้าเหลี่ยมด้านเท่าได้รับการอธิบายไว้ทั้งโดยยูคลิด ( Elementsประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช) และโดยปโตเลมี ( Almagestประมาณ 150 ปีหลังคริสต์ศักราช)
• แม้ว่าเกาส์จะพิสูจน์ได้ ว่ารูป 17 เหลี่ยมปกติสามารถสร้างได้ แต่เขาก็ไม่ได้แสดงวิธีการสร้างอย่างแท้จริง การสร้างครั้งแรกเป็นผลงานของเออร์ชิงเกอร์ ซึ่งเกิดขึ้นไม่กี่ปีหลังจากงานของเกาส์
• การสร้างรูป 257 เหลี่ยมปกติแบบชัดเจนครั้งแรกนั้นได้มาจากMagnus Georg Paucker (1822) ^{[ 5 ]}และFriedrich Julius Richelot (1832) ^{[ 6 ]}
• โครงสร้างสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ65537 เหลี่ยมได้รับการเสนอครั้งแรกโดยJohann Gustav Hermes (1894) โครงสร้างนี้มีความซับซ้อนมาก Hermes ใช้เวลา 10 ปีในการทำต้นฉบับ 200 หน้าให้เสร็จสมบูรณ์^{[ 7 ]}

จากซ้ายไปขวา และจากบนลงล่าง แสดงการสร้างรูป15 เหลี่ยม , 17 เหลี่ยม , 257 เหลี่ยมและ65537 เหลี่ยมแสดงเฉพาะขั้นตอนแรกของการสร้างรูป 65537 เหลี่ยมเท่านั้น ส่วนการสร้างรูป 15 เหลี่ยม, 17 เหลี่ยม และ 257 เหลี่ยม แสดงไว้ครบถ้วน

แนวคิดเรื่องความสามารถในการสร้างตามที่กล่าวถึงในบทความนี้ ใช้ได้เฉพาะกับ การสร้างโดย ใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้นการสร้างแบบอื่นๆ ก็จะเป็นไปได้หากอนุญาตให้ใช้เครื่องมืออื่นๆ ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบที่เรียกว่าneusis นั้น ใช้ ไม้บรรทัด ที่มีเครื่องหมายการสร้างเหล่านี้เป็นการจำลองทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติและถือว่าทำได้อย่างแม่นยำ

รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีnด้านสามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัด วงเวียน และตัวแบ่งมุมสามส่วนก็ต่อเมื่อโดยที่r, s, k ≥ 0 และ โดยที่p _iเป็นจำนวนเฉพาะเพียร์พอนต์ ที่แตกต่างกัน ซึ่งมากกว่า 3 (จำนวนเฉพาะในรูปแบบ^{[ 8 ] : ทฤษฎีบท 2} รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่สามารถสร้างได้ด้วยภาคตัดกรวยและรูปหลายเหลี่ยมปกติที่สามารถสร้างได้ด้วยการพับกระดาษจำนวนด้านแรกของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้คือ: ${\displaystyle n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},}$${\displaystyle 2^{t}3^{u}+1).}$

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48, 51, 52, 54, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 95, 96, 97, 102, 104, 105 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 133, 135, 136, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 160, 162, 163, 168, 170, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 192, 193, 194, 195, 204, 208, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 240, 243, 247, 252, 255, 256, 257, 259, 260, 266, 270, 272, 273, 280, 285, 288, 291, 292, 296, ... (ลำดับA122254ในOEIS )

• วงเวียนคาร์ไลล์

• Duane W. DeTemple (1991). "วงกลมคาร์ไลล์และความเรียบง่ายของเลอมัวน์ของการสร้างรูปหลายเหลี่ยม" The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97– 108. doi : 10.2307/2323939 . JSTOR  2323939 . MR  1089454 .
• Christian Gottlieb (1999). "การสร้างรูป 257 เหลี่ยมปกติอย่างง่ายและตรงไปตรงมา" Mathematical Intelligencer . 21 (1): 31– 37. doi : 10.1007/BF03024829 . MR  1665155 . S2CID  123567824 .
• สูตรสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ , คำถามที่พบบ่อยจาก ดร.แมธ
• Carl Schick: Weiche Primzahlen และ das 257-Eck : การวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์ Lösung des 257-Ecks ซูริก : ซี. ชิค, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9.
• รูปทรงเรขาคณิต 65537 เหลี่ยม วิธีการสร้างด้านแรกอย่างแม่นยำโดยใช้Quadratrix of HippiasและGeoGebraเป็นเครื่องมือช่วยเพิ่มเติม พร้อมคำอธิบายโดยย่อ (ภาษาเยอรมัน)