การสร้างไม้บรรทัดและวงเวียน

การสร้างรูป หกเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน

ในเรขาคณิตการสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนหรือที่รู้จักกันในชื่อการสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนการสร้างรูปในสมัยยูคลิดหรือการสร้างรูปคลาสสิกคือการสร้างความยาวมุมและรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ โดยใช้เพียงไม้บรรทัดใน อุดมคติ และวงเวียนเท่านั้น

ไม้บรรทัดในอุดมคติ หรือที่เรียกว่าไม้ฉากนั้น ถือว่ามีความยาวอนันต์ มีเพียงขอบเดียว และไม่มีเครื่องหมายใดๆ บนไม้บรรทัด ส่วนวงเวียนนั้น ถือว่าไม่มีรัศมีสูงสุดหรือต่ำสุด และถือว่า "ยุบตัว" เมื่อยกขึ้นจากหน้ากระดาษ ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ในการถ่ายโอนระยะทางโดยตรงได้ (ข้อจำกัดนี้ไม่สำคัญนัก เนื่องจากหากใช้ขั้นตอนหลายขั้นตอน ก็สามารถถ่ายโอนระยะทางได้แม้กระทั่งกับวงเวียนที่ยุบตัว ดูทฤษฎีบทสมมูลของวงเวียนอย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่า แม้ว่าวงเวียนที่ไม่ยุบตัวเมื่อวางแนบกับไม้ฉากอาจดูเหมือนเทียบเท่ากับการทำเครื่องหมาย แต่การสร้างแบบเนอุซิสยังคงไม่ได้รับอนุญาต และนี่คือความหมายที่แท้จริงของคำว่า "ไม่มีเครื่องหมาย" ดูไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมาย ด้านล่าง) กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น การสร้างที่อนุญาตได้มีเพียงการสร้างที่ได้รับอนุญาตจาก สมมติฐานสามข้อแรกของหนังสือ Elementsของยูคลิดเท่านั้น

ปรากฏว่าทุกจุดที่สามารถสร้างได้โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนนั้นก็สามารถสร้างได้โดยใช้วงเวียนเพียงอย่างเดียวหรือโดยใช้ไม้บรรทัดเพียงอย่างเดียว หากมีวงกลมหนึ่งวงและจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณเป็นผู้คิดค้นการสร้างรูปทรงเรขาคณิตด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนเป็นครั้งแรก และปัญหาทางเรขาคณิต ระนาบโบราณจำนวนมาก ก็กำหนดข้อจำกัดนี้ ชาวกรีกโบราณพัฒนาวิธีการสร้างรูปทรงเรขาคณิตมากมาย แต่ในบางกรณีก็ไม่สามารถทำได้เกาส์แสดงให้เห็นว่ารูปหลายเหลี่ยม บางรูป สามารถสร้างได้ แต่ส่วนใหญ่สร้างไม่ได้ ปัญหาการสร้างรูปทรงเรขาคณิตด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนที่มีชื่อเสียงที่สุดบางข้อได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นไปไม่ได้โดยปิแอร์ วอนต์เซลในปี 1837 โดยใช้ทฤษฎีสนามกล่าวคือการแบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันและการเพิ่มปริมาตรของลูกบาศก์เป็นสองเท่า (ดู§ การสร้างที่เป็นไปไม่ได้ ) ปัญหาเหล่านี้หลายข้อสามารถแก้ไขได้ง่ายหากอนุญาตให้มีการแปลงทางเรขาคณิตอื่นๆ ตัวอย่างเช่นการสร้างแบบเนอุซิสสามารถใช้แก้ปัญหาสองข้อแรกได้

ในทางพีชคณิตความยาวจะสร้างได้ก็ต่อเมื่อมันแทนจำนวนที่สร้างได้และมุมจะสร้างได้ก็ต่อเมื่อโคไซน์ ของมัน เป็นจำนวนที่สร้างได้ จำนวนจะสร้างได้ก็ต่อเมื่อสามารถเขียนได้โดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสี่อย่างและการถอดรากที่สองแต่ไม่สามารถเขียนรากที่สูงกว่าได้

เครื่องมือไม้บรรทัดและวงเวียน

"ไม้บรรทัด" และ "วงเวียน" ในการสร้างรูป ทรงด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนนั้น เป็นแบบจำลองในอุดมคติของไม้บรรทัดและวงเวียน ในโลกแห่งความเป็นจริง

ไม้บรรทัด เป็นขอบที่ยาวไม่สิ้นสุดและไม่มีเครื่องหมายใด ๆสามารถใช้ได้เพียงเพื่อลากเส้นตรงระหว่างสองจุดหรือเพื่อต่อเส้นตรงที่มีอยู่แล้ว เท่านั้น
เข็มทิศนี้สามารถมีรัศมีขนาดใหญ่ได้ตามต้องการโดยไม่มีเครื่องหมายใดๆ บนรัศมี (ซึ่งแตกต่างจากเข็มทิศในโลกแห่งความเป็นจริงบางแบบ) สามารถวาด วงกลมและส่วนโค้งวงกลมได้โดยเริ่มจากจุดสองจุดที่กำหนดให้ คือ จุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลม เข็มทิศอาจยุบตัวหรือไม่ยุบตัวก็ได้^{[ a ]}
เส้นตรงและวงกลมที่สร้างขึ้นมีความแม่นยำ อนันต์ และมีความกว้างเป็นศูนย์

เข็มทิศจริงไม่สามารถพับได้ และการสร้างทางเรขาคณิตสมัยใหม่มักใช้คุณสมบัตินี้ เข็มทิศแบบพับได้ดูเหมือนจะเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพน้อยกว่า อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีบทความเท่าเทียมกันของเข็มทิศในข้อเสนอ ที่ 2 ของหนังสือเล่ม ที่ 1 ของElements ของยูคลิดการใช้เข็มทิศแบบพับได้ไม่ได้ทำให้สูญเสียพลังงานไป แม้ว่าข้อเสนอนี้จะเป็นจริง แต่การพิสูจน์ก็มีประวัติที่ยาวนานและซับซ้อน^{[ 1 ]}ไม่ว่าในกรณีใด ความเท่าเทียมกันเป็นเหตุผลว่าทำไมคุณสมบัตินี้จึงไม่ได้ระบุไว้ในคำจำกัดความของเข็มทิศในอุดมคติ

การสร้างแต่ละครั้งต้องมีความแม่นยำ ทางคณิตศาสตร์ ไม่อนุญาตให้ใช้การกะระยะด้วยสายตา^{[ b ]} หรือการใช้เครื่องหมายบนไม้บรรทัด การสร้างแต่ละครั้งต้อง สิ้นสุด ด้วย กล่าวคือ การสร้างต้องมีจำนวนขั้นตอนที่จำกัดและไม่ใช่ขีดจำกัดของการประมาณค่าที่ใกล้เคียงขึ้นเรื่อยๆ^{[ c ]}

เมื่อกล่าวเช่นนี้ การสร้างรูปทรงเรขาคณิตด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนจึงดูเหมือนจะเป็นเกมเล่นสนุกมากกว่าปัญหาเชิงปฏิบัติที่จริงจัง อย่างไรก็ตาม จุดประสงค์ของข้อจำกัดเหล่านี้คือเพื่อให้แน่ใจว่าการสร้างรูปทรงเรขาคณิตนั้นสามารถพิสูจน์ได้ว่า ถูก ต้องแม่นยำ

ประวัติศาสตร์

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณพยายามสร้างรูปทรงเรขาคณิตโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนเป็นครั้งแรก และพวกเขาค้นพบวิธีการสร้างผลรวมผล ต่างผลคูณ อัตราส่วนและรากที่สองของความยาวที่กำหนด^{[ 2 ]}^{:หน้า 1}พวกเขายังสามารถสร้างครึ่งหนึ่งของมุมที่กำหนดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เป็นสองเท่าของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด และรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี 3, 4 หรือ 5 ด้าน^{[ 2 ]}^{:หน้า xi} (หรือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเป็นสองเท่าของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด^{[ 2 ]}^{:หน้า 49–50} ) แต่พวกเขาไม่สามารถสร้างหนึ่งในสามของมุมที่กำหนดได้ยกเว้นในกรณีพิเศษ หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมที่กำหนดหรือรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านอื่น ๆ^{[ 2 ]}^{:หน้า xi} พวกเขายังไม่สามารถสร้างด้านของลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่าของปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีด้านที่กำหนดได้^{[ 2 ]}^{:หน้า 29}

ฮิปโปเครติสและเมนาเอคมัสแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของลูกบาศก์สามารถเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าได้โดยการหาจุดตัดของไฮเปอร์โบลาและพาราโบลาแต่สิ่งเหล่านี้ไม่สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน^{[ 2 ]}^{:หน้า 30}ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราชฮิปปิอัสใช้เส้นโค้งที่เขาเรียกว่าควอดราทริกซ์เพื่อแบ่งมุมทั่วไปออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันและสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากวงกลม และนิโคมีเดสในศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราชได้แสดงวิธีการใช้เส้นโค้งรูปเปลือกหอยเพื่อแบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน^{[ 2 ]}^{:หน้า 37}แต่วิธีการเหล่านี้ก็ไม่สามารถทำตามได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนเพียงอย่างเดียว

ไม่มีความคืบหน้าใดๆ ในปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกเป็นเวลาสองพันปี จนกระทั่งในปี 1796 เกาส์ได้แสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี 17 ด้านได้ ห้าปีต่อมาเขาก็ได้แสดงเกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการสร้าง รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มี n ด้าน ^{[ 2 ]}^{:หน้า 51 เป็นต้นไป}

ในปี พ.ศ. 2380 Pierre Wantzelได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ถึงความเป็นไปไม่ได้ของการแบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน หรือการเพิ่มปริมาตรของลูกบาศก์เป็นสองเท่า^{[ 3 ]}โดยอาศัยความเป็นไปไม่ได้ของการสร้างรากที่สามของความยาว เขายังแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขการสร้างที่เพียงพอของ Gauss สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติก็เป็นสิ่งจำเป็นเช่นกัน^{[ 4 ]}

ต่อมาในปี พ.ศ. 2325 ลินเดมันน์ได้แสดงให้เห็นว่าเป็นจำนวนอดิศัยและด้วยเหตุนี้จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมที่กำหนดโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน^[²^]^:^{หน้า 47} $\pi$

โครงสร้างพื้นฐาน

การสร้างรูปทรงเรขาคณิตด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนทั้งหมดประกอบด้วยการประยุกต์ใช้การสร้างพื้นฐานห้าอย่างซ้ำๆ โดยใช้จุด เส้น และวงกลมที่สร้างไว้แล้ว ซึ่งได้แก่:

การลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุด
การสร้างวงกลมที่ล้อมรอบจุดหนึ่งและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่อีกจุดหนึ่ง
การสร้างจุดตัดของ เส้น ตรงสองเส้น (ที่ไม่ขนานกัน)
การสร้างจุดหนึ่งจุดหรือสองจุดณ จุดตัดระหว่างเส้นตรงและวงกลม (หากเส้นตรงและวงกลมตัดกัน)
สร้างจุดหนึ่งจุดหรือสองจุด ณ จุดตัดของวงกลมสองวง (หากวงกลมทั้งสองตัดกัน)

ตัวอย่างเช่น เริ่มจากจุดสองจุดที่แตกต่างกัน เราสามารถสร้างเส้นตรงหรือวงกลมสองวง (โดยใช้แต่ละจุดเป็นจุดศูนย์กลางและลากผ่านอีกจุดหนึ่ง) ถ้าเราวาดวงกลมทั้งสองวง จุดใหม่สองจุดจะเกิดขึ้นที่จุดตัดของวงกลมทั้งสอง การลากเส้นตรงระหว่างจุดเดิมสองจุดและจุดใหม่จุดใดจุดหนึ่งจะทำให้การสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเสร็จสมบูรณ์

ดังนั้น ในปัญหาทางเรขาคณิตใดๆ เราจะมีชุดสัญลักษณ์เริ่มต้น (จุดและเส้น) อัลกอริทึม และผลลัพธ์บางอย่าง จากมุมมองนี้ เรขาคณิตจึงเทียบเท่ากับพีชคณิต เชิงสัจพจน์ โดยแทนที่องค์ประกอบต่างๆ ด้วยสัญลักษณ์ เป็นไปได้ว่าเกาส์เป็นคนแรกที่ตระหนักถึงเรื่องนี้ และใช้มันเพื่อพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของการสร้างบางอย่าง ต่อมาอีกนานฮิลเบิร์ต จึง ได้ค้นพบชุดสัจพจน์ที่สมบูรณ์สำหรับเรขาคณิต

การสร้างสิ่งก่อสร้างโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนแบบทั่วไป

วิธีการสร้างเส้นตรงโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนที่ใช้กันบ่อยที่สุด ได้แก่:

การสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากจากส่วนของเส้นตรง
การหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง
การลากเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง
การแบ่งครึ่งมุม
การสะท้อนจุดบนเส้นตรง
การลากเส้นตรงผ่านจุดที่สัมผัสกับวงกลม
การสร้างวงกลมผ่านจุด 3 จุดที่ไม่เรียงตัวกัน
ลากเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดขนานกับเส้นตรงที่กำหนด

จุดก่อสร้าง

การสร้างรูปทรงเรขาคณิตด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนที่สอดคล้องกับการดำเนินการทางพีชคณิต
x = a · b ( ทฤษฎีบทจุดตัดแกน y )	x = a / b ( ทฤษฎีบทจุดตัดแกน y )	x = √a ( ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิต )

เราสามารถเชื่อมโยงพีชคณิตเข้ากับเรขาคณิตของเราได้โดยใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้น และแทนจุดบนระนาบของเราด้วยเวกเตอร์สุดท้ายเราสามารถเขียนเวกเตอร์เหล่านี้ในรูปของจำนวนเชิงซ้อนได้

โดยใช้สมการของเส้นตรงและวงกลม เราสามารถแสดงได้ว่าจุดที่เส้นตรงและวงกลมตัดกันนั้นอยู่ในส่วนขยายกำลังสองของฟิลด์F ที่เล็กที่สุดซึ่งประกอบด้วย จุดสองจุดบนเส้นตรง จุดศูนย์กลางของวงกลม และรัศมีของวงกลม กล่าวคือ จุดเหล่านั้นมีรูปแบบเป็นโดยที่x , yและkอยู่ในF $x+y={\sqrt {k}}$

เนื่องจากฟิลด์ของจุดที่สร้างได้นั้นปิดภายใต้รากที่สอง ฟิลด์นี้จึงประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่สามารถหาได้จากลำดับจำกัดของการขยายกำลังสองของฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ จากย่อหน้าข้างต้น จุดที่สร้างได้ใดๆ ก็สามารถหาได้จากลำดับของการขยายดังกล่าว ผลที่ตามมาคือ ดีกรีของพหุนามขั้นต่ำสำหรับจุดที่สร้างได้ (และด้วยเหตุนี้สำหรับความยาวที่สร้างได้ใดๆ) เป็นกำลังของ 2 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุด (หรือความยาว) ที่สร้างได้ใดๆ ก็เป็นจำนวนพีชคณิตแม้ว่าจำนวนพีชคณิตทุกจำนวนจะไม่ใช่จุดที่สร้างได้ ตัวอย่างเช่น $3 \sqrt 2$ เป็นจำนวนพีชคณิตแต่ไม่ใช่จุดที่สร้างได้^{[ 3 ]}

มุมที่สร้างได้

มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างมุมที่สร้างได้และจุดที่สร้างได้บนวงกลมที่สร้างได้ใดๆ มุมที่สร้างได้นั้นก่อตัวเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวกโมดูลัส 2π (ซึ่งสอดคล้องกับการคูณจุดบนวงกลมหน่วยที่มองเป็นจำนวนเชิงซ้อน) มุมที่สร้างได้คือมุมที่มีค่าแทนเจนต์ (หรือเทียบเท่ากับไซน์หรือโคไซน์) ที่สร้างได้เป็นจำนวน ตัวอย่างเช่น รูปสิบเจ็ด เหลี่ยมด้านเท่า ( รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า 17 ด้าน) สร้างได้เพราะ

{\begin{aligned}\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}&=\,-{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\\[5mu]&\qquad +\,{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\end{aligned}}

ตามที่เกาส์ค้น พบ ^{[ 5 ]}

กลุ่มของมุมที่สร้างได้นั้นปิดภายใต้การดำเนินการที่แบ่งมุมออกเป็นครึ่ง (ซึ่งสอดคล้องกับการถอดรากที่สองในจำนวนเชิงซ้อน) มุมที่มีอันดับจำกัดเพียงมุมเดียวที่สามารถสร้างได้โดยเริ่มต้นจากสองจุด คือมุมที่มีอันดับเป็นกำลังของสอง หรือเป็นผลคูณของกำลังของสองกับเซตของ จำนวนเฉพาะ แฟร์มาต์ ที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ยังมีเซตหนาแน่นของมุมที่สร้างได้ที่มีอันดับอนันต์

ความสัมพันธ์กับเลขคณิตเชิงซ้อน

เมื่อกำหนดเซตของจุดในระนาบยุคลิดการเลือกจุดใดจุดหนึ่งให้เป็น0และอีกจุดหนึ่งให้เป็น1พร้อมกับการเลือกทิศทางโดยพลการ จะทำให้เราสามารถพิจารณาจุดเหล่านั้นเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้

เมื่อพิจารณาการตีความชุดจุดใดๆ ว่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน จุดที่สร้างได้โดยใช้การสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนที่ถูกต้องเท่านั้น จะเป็นสมาชิกในฟิลด์ ที่เล็กที่สุด ที่บรรจุชุดจุดเดิมและปิดภายใต้ การดำเนินการ สังยุคเชิงซ้อนและรากที่สอง (เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม เราสามารถระบุรากที่สองด้วยอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนที่น้อยกว่า π) สมาชิกของฟิลด์นี้เป็นสมาชิกที่สามารถแสดงเป็นสูตรในจุดเดิมได้โดยใช้เพียงการดำเนินการบวกลบ คูณหารสั ง ยุคเชิงซ้อนและรากที่สอง ซึ่งเห็นได้ง่ายว่าเป็นเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้ในระนาบ การดำเนินการทั้งหกนี้สอดคล้องกับการสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนอย่างง่าย จากสูตรดังกล่าว การสร้างจุดที่สอดคล้องกันโดย การรวมการสร้างสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์แต่ละครั้งนั้นทำได้ง่าย การสร้างชุดจุดเฉพาะที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นจะสอดคล้องกับทางลัดในการคำนวณดังกล่าว

ในทำนองเดียวกัน (และโดยไม่จำเป็นต้องเลือกจุดสองจุดโดยพลการ) เราสามารถกล่าวได้ว่า เมื่อกำหนดทิศทางโดยพลการแล้ว เซตของจุดจะกำหนดเซตของอัตราส่วนเชิงซ้อน ซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนของผลต่างระหว่างจุดสองคู่ใดๆ เซตของอัตราส่วนที่สร้างขึ้นได้โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนจากเซตของอัตราส่วนดังกล่าว คือฟิลด์ที่เล็กที่สุดที่บรรจุอัตราส่วนดั้งเดิมและปิดภายใต้การหาค่าสังยุคเชิงซ้อนและรากที่สอง

ตัวอย่างเช่น ส่วนจริง ส่วนจินตนาการ และค่าสัมบูรณ์ของจุดหรืออัตราส่วนz (โดยพิจารณาจากมุมมองใดมุมมองหนึ่งข้างต้น) สามารถสร้างขึ้นได้ เนื่องจากสามารถแสดงได้ดังนี้

\mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\;

\mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\;

\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}.\;

การเพิ่มกำลังสามเป็นสองเท่าและการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน (ยกเว้นมุมพิเศษ เช่น มุมφ ใดๆ ที่φ /(2 $π$ )) เป็นจำนวนตรรกยะที่มีตัวส่วนหารด้วย 3 ไม่ลงตัว) ต้องใช้สัดส่วนที่เป็นคำตอบของสม การกำลังสาม ในขณะที่ การสร้าง สี่เหลี่ยมจัตุรัสจากวงกลมต้องใช้ สัดส่วน อดิศัย ซึ่งไม่มีสิ่งใดอยู่ในขอบเขตที่อธิบายไว้ ดังนั้นจึงไม่มีการสร้างโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนสำหรับสิ่งเหล่านี้

สิ่งก่อสร้างที่เป็นไปไม่ได้

ชาวกรีกโบราณคิดว่าปัญหาการก่อสร้างที่พวกเขาไม่สามารถแก้ไขได้นั้นเป็นเพียงปัญหาที่ดื้อรั้น ไม่ใช่ปัญหาที่แก้ไขไม่ได้^{[ 6 ]} อย่างไรก็ตาม ด้วยวิธีการสมัยใหม่ การก่อสร้างโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถทำได้ตามหลักตรรกะ

การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากวงกลม

ปัญหาที่โด่งดังที่สุดในบรรดาปัญหาเหล่านี้ คือการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมหรือที่รู้จักกันในชื่อการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยวิธีวัดพื้นที่วงกลม ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมที่กำหนดให้ โดยใช้เพียงไม้บรรทัดและวงเวียนเท่านั้น

การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมนั้นพิสูจน์แล้วว่าเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการสร้างจำนวนอดิศัยมีเพียงจำนวนพีชคณิต บางจำนวนเท่านั้นที่สามารถสร้างได้โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนเพียงอย่างเดียว ได้แก่ จำนวนที่สร้างจากจำนวนเต็มโดย ใช้ลำดับการดำเนินการที่จำกัดของการบวก การลบ การคูณ การหาร และการถอดรากที่สอง ด้วยเหตุนี้วลี "การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลม" จึงมักถูกใช้ในความหมายว่า "การทำสิ่งที่เป็นไปไม่ได้" ${\sqrt {\pi }}$

หากไม่มีข้อจำกัดในการหาคำตอบโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนเพียงอย่างเดียว ปัญหาดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ง่ายด้วยวิธีการทางเรขาคณิตและพีชคณิตที่หลากหลาย ซึ่งได้รับการแก้ไขหลายครั้งในสมัยโบราณ^{[ 7 ]}

วิธีการที่ใกล้เคียงกับการประมาณค่า "การหาพื้นที่วงกลม" มากที่สุด สามารถทำได้โดยใช้สามเหลี่ยมเคปเลอร์

การเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า

การสร้างลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่า คือการสร้างขอบของลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่าของลูกบาศก์อีกอันที่มีขอบเท่ากัน โดยใช้เพียงไม้บรรทัดและวงเวียนเท่านั้น ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะถึงแม้ปริมาตรจะเป็นพีชคณิต แต่ก็ไม่สามารถคำนวณได้จากจำนวนเต็มโดยการบวก ลบ คูณ หาร และการหาค่ารากที่สอง เนื่องจากพหุนามขั้นต่ำ ของปริมาตรนี้ บนจำนวนตรรกยะมีดีกรี3 การสร้างนี้เป็นไปได้โดยใช้ไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมายสองจุดและวงเวียน ${\sqrt[{3}]{2}}$

การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน

การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน คือการสร้างมุมที่มีขนาดหนึ่งในสามของมุมที่กำหนดโดยใช้เพียงไม้บรรทัดและวงเวียน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในกรณีทั่วไป ตัวอย่างเช่น การสร้างโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนไม่สามารถแบ่งมุม 60° ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้ (โดยการสร้างมุม 20° แทน) ดังที่อาร์คิมิดีสแสดงให้เห็น การสร้าง แบบเนอุซิสสามารถแบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันได้โดยใช้ไม้บรรทัดที่มีเครื่องหมายสองอัน^{[ 8 ]}

ระยะห่างจากวงรี

สามารถสร้างส่วนของเส้นตรงจากจุดใดๆ บนระนาบไปยังจุดที่ใกล้ที่สุดบนวงกลม ได้ แต่ โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถสร้าง ส่วนของเส้นตรงจากจุดใดๆ บนระนาบไปยังจุดที่ใกล้ที่สุดบน วงรีที่มีค่าความเยื้อง ศูนย์เป็นบวกได้ ^{[ 9 ]}โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่พิสูจน์แล้วในที่นี้ส่วนใหญ่เป็นผลมาจากการที่ไม่สามารถสร้างภาคตัดกรวยได้ หากถือว่าภาคตัดกรวยเริ่มต้นเป็นสิ่งที่กำหนดแล้ว จะต้องทบทวนการพิสูจน์เพื่อตรวจสอบว่าจำเป็นต้องสร้างภาคตัดกรวยที่แตกต่างกันอื่นๆ หรือไม่ ตัวอย่างเช่น การสร้างเส้นตั้งฉากของพาราโบลาเป็นที่รู้จัก แต่จำเป็นต้องใช้จุดตัดระหว่างวงกลมกับพาราโบลาเอง ดังนั้นจึงไม่สามารถสร้างได้ในแง่ที่ว่าพาราโบลาไม่สามารถสร้างได้

ปัญหาของอัลฮาเซน

ในปี พ.ศ. 2540 ปีเตอร์ เอ็ม. นอยมันน์นักคณิตศาสตร์จากออกซ์ฟอร์ดได้พิสูจน์ทฤษฎีบทว่าไม่มีการสร้างไม้บรรทัดและวงเวียนสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปของปัญหาอัลฮาเซน โบราณ (ปัญหาบิลเลียดหรือการสะท้อนจากกระจกทรงกลม) ^[¹⁰^]^[¹¹^]

การสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติบาง รูป (เช่นรูปห้าเหลี่ยม ) สร้างได้ง่ายด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน แต่บางรูปก็สร้างได้ยาก จึงเกิดคำถามขึ้นว่า เป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติทุกรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน?

ในปี 1796 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ได้แสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ 17 ด้านได้ และห้าปีต่อมาได้แสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยม ปกติ n ด้านได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน หาก ตัวประกอบเฉพาะคี่ของnเป็นจำนวนเฉพาะเฟอร์มาต์ ที่แตกต่างกัน เกาส์ตั้งข้อสันนิษฐานว่าเงื่อนไขนี้ก็จำเป็น เช่น กัน ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดยปิแอร์ วอนเซลในปี 1837 ^{[ 4 ]}

รูปหลายเหลี่ยมปกติที่สามารถสร้างได้รูปแรกๆ มีจำนวนด้านดังต่อไปนี้:

3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51 , 60 , 64, 68, 80 , 85, 96 , 102 , 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272... (ลำดับA003401ในOEIS )

เป็นที่ทราบกันดีว่ามีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่สร้างได้จำนวนอนันต์ที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคู่ (เพราะถ้ารูปหลายเหลี่ยมปกติnด้านสร้างได้ รูปหลายเหลี่ยมปกติ 2n ด้านก็สร้างได้เช่นกันและด้วยเหตุนี้ รูปหลายเหลี่ยมปกติ 4n ด้าน 8n ด้าน ฯลฯ ก็สร้างได้เช่นกัน) อย่างไรก็ตาม มีจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ที่รู้จักเพียง 5 จำนวนเท่านั้น ทำให้มีรูปหลายเหลี่ยมปกติ n ด้าน ที่สร้างได้ที่มีจำนวนด้านเป็นเลข คี่เพียง 31 รูปเท่านั้น

การสร้างรูปสามเหลี่ยมจากจุดหรือความยาวลักษณะเฉพาะสามจุดที่กำหนดให้

จุดสำคัญ 16 จุดของรูปสามเหลี่ยมได้แก่จุดยอดจุดกึ่งกลางของด้าน ปลาย ของ เส้นความสูงปลายของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ จุดศูนย์กลางมวล จุดศูนย์กลางการหักเหและจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามารถนำจุดเหล่านี้มาทีละ 3 จุด เพื่อให้ได้ปัญหาที่ไม่ธรรมดา 139 ปัญหาในการสร้างรูปสามเหลี่ยมจาก 3 จุด^[¹²^]ในบรรดาปัญหาเหล่านี้ มี 3 ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับจุดที่สามารถสร้างได้อย่างเฉพาะเจาะจงจากจุดอีก 2 จุด 23 ปัญหาสามารถสร้างได้อย่างไม่เฉพาะเจาะจง (อันที่จริงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน) แต่เฉพาะในกรณีที่ตำแหน่งของจุดเป็นไปตามข้อจำกัดบางประการ ใน 74 ปัญหาสามารถสร้างได้ในกรณีทั่วไป และใน 39 รูปสามเหลี่ยมที่ต้องการมีอยู่แต่สร้างไม่ได้

ความยาวหลัก 12 ประการของรูปสามเหลี่ยม ได้แก่ ความยาวด้านทั้งสามความยาวด้าน ทั้งสาม เส้นมัธยฐาน ทั้งสามและเส้นแบ่งครึ่งมุม ทั้ง สาม เมื่อรวมกับมุมทั้งสาม จะได้การรวมกันที่แตกต่างกัน 95 แบบ โดย 63 แบบก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมที่สร้างได้ 30 แบบไม่ก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมที่สร้างได้ และอีก 2 แบบไม่สามารถกำหนดได้^[¹³^]^:^{หน้า 201–203}

การก่อสร้างที่ถูกจำกัด

มีความพยายามหลายครั้งในการจำกัดเครื่องมือที่อนุญาตให้ใช้ในการก่อสร้างภายใต้กฎต่างๆ เพื่อพิจารณาว่าสิ่งใดที่ยังสามารถสร้างได้และจะสร้างได้อย่างไร ตลอดจนกำหนดเกณฑ์ขั้นต่ำที่จำเป็นเพื่อให้ยังคงสามารถสร้างทุกสิ่งทุกอย่างที่เข็มทิศและไม้บรรทัดสามารถสร้างได้

การสร้างโดยใช้เพียงไม้บรรทัดหรือเพียงวงเวียน

เป็นไปได้ (ตามทฤษฎีบท Mohr–Mascheroni ) ที่จะสร้างสิ่งใดก็ได้ด้วยเข็มทิศเพียงอย่างเดียว หากสามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ โดยที่ข้อมูลที่กำหนดและข้อมูลที่จะค้นหาประกอบด้วยจุดแยกกัน (ไม่ใช่เส้นหรือวงกลม) ความจริงของทฤษฎีบทนี้ขึ้นอยู่กับความจริงของสัจพจน์ของอาร์คิมิดีส [ ^{14 ] ซึ่ง}ไม่ใช่สัจพจน์ลำดับแรก ตัวอย่างของการสร้างด้วยเข็มทิศเพียงอย่างเดียว ได้แก่ปัญหาของนโปเลียน

แต่สิ่งเดียวกันนี้ใช้ไม่ได้กับการสร้างโดยใช้เพียงไม้บรรทัดการใช้เพียงไม้บรรทัดนั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะหาค่ารากที่สอง หรือกำหนดจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง แต่ (ตามทฤษฎีบทของปองเซเลต์-สไตเนอร์ ) หากมีวงกลมเพียงวงเดียวและจุดศูนย์กลาง ก็สามารถสร้างส่วนของเส้นตรงได้

โครงสร้างที่ขยายออกไป

ชาวกรีกโบราณจัดประเภทโครงสร้างออกเป็นสามประเภทหลัก โดยขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา หากโครงสร้างใช้เพียงไม้บรรทัดและวงเวียน จะเรียกว่าโครงสร้างแบบระนาบ หากต้องใช้ภาคตัดกรวยอย่างน้อยหนึ่งภาค (นอกเหนือจากวงกลม) จะเรียกว่าโครงสร้างแบบสามมิติ ประเภทที่สามรวมถึงโครงสร้างทั้งหมดที่ไม่เข้าข่ายในสองประเภทแรก^{[ 15 ]} การจัดประเภทนี้สอดคล้องกับมุมมองทางพีชคณิตสมัยใหม่ จำนวนเชิงซ้อนที่สามารถแสดงได้โดยใช้เพียงการดำเนินการฟิลด์และรากที่สอง (ดังที่อธิบายไว้ข้างต้น ) มีโครงสร้างแบบระนาบ จำนวนเชิงซ้อนที่รวมถึงการหารากที่สามด้วยมีโครงสร้างแบบสามมิติ

ในภาษาของฟิลด์ จำนวนเชิงซ้อนที่เป็นระนาบจะมีดีกรีเป็นกำลังของสอง และอยู่ในส่วนขยายฟิลด์ที่สามารถแตกออกเป็นหอคอยของฟิลด์ โดยแต่ละส่วนขยายมีดีกรีสอง จำนวนเชิงซ้อนที่มีโครงสร้างแบบทึบจะมีดีกรีที่มีตัวประกอบเฉพาะเป็นสองและสามเท่านั้น และอยู่ในส่วนขยายฟิลด์ที่อยู่บนสุดของหอคอยของฟิลด์ โดยแต่ละส่วนขยายมีดีกรี 2 หรือ 3

โครงสร้างที่แข็งแรง

จุดจะมีโครงสร้างที่มั่นคงหากสามารถสร้างได้โดยใช้ไม้บรรทัด วงเวียน และเครื่องมือวาดกรวย (ซึ่งอาจเป็นสมมติฐาน) ที่สามารถวาดกรวยใดๆ ก็ได้โดยมีจุดโฟกัส เส้นไดเรกทริกซ์ และจุดเยื้องศูนย์ที่สร้างไว้แล้ว ชุดจุดเดียวกันมักจะสามารถสร้างได้โดยใช้ชุดเครื่องมือที่เล็กกว่า ตัวอย่างเช่น การใช้วงเวียน ไม้บรรทัด และกระดาษที่มีพาราโบลา^{y = x²}พร้อมกับจุด (0,0) และ (1,0) เราสามารถสร้างจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ที่มีโครงสร้างที่มั่นคงได้ ในทำนองเดียวกัน เครื่องมือที่สามารถวาดวงรีใดๆ ก็ได้โดยมีจุดโฟกัสและแกนหลักที่สร้างไว้แล้ว (นึกถึงหมุดสองตัวและเชือก) ก็มีประสิทธิภาพเช่นกัน^[¹⁶^]

ชาวกรีกโบราณรู้ว่าการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่าและการแบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันนั้นต่างก็มีโครงสร้างที่มั่นคงอาร์คิมิดีสได้เสนอ โครงสร้าง เนอุซิสของรูปเจ็ดเหลี่ยม ปกติ ซึ่งนักวิจารณ์ชาวอาหรับในยุคกลางบาร์เทล เลนเดิร์ต ฟาน เดอร์ แวร์เดนและคนอื่นๆ ได้ตีความว่าเป็นโครงสร้างที่มั่นคง แต่สิ่งนี้ก็ถูกโต้แย้ง เนื่องจากมีการตีความอื่นๆ ที่เป็นไปได้^{[ 17 ]}การหาพื้นที่ของวงกลมไม่มีโครงสร้างที่มั่นคง

รูป หลายเหลี่ยมด้านเท่าn ด้าน ^จะมีโครงสร้างที่เป็นของแข็งก็ต่อเมื่อn = ^2a³bmโดยที่aและbเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และmเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียร์พอนต์ที่แตกต่างกันศูนย์ตัวขึ้นไป( จำนวนเฉพาะในรูปแบบ^2r³s + 1) ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าⁿด้านจะมีโครงสร้างที่เป็นของแข็ง แต่ไม่ใช่ระนาบ ก็ต่อเมื่อnอยู่ในลำดับดังกล่าว

7 , 9 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21 , 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39 , 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97... (ลำดับA051913ในOEIS )

เซตของnที่ไม่มีการสร้างรูปหลายเหลี่ยม ปกติ n ด้านแบบสามมิติ คือลำดับ

11 , 22 , 23 , 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100... (ลำดับA048136ในOEIS )

เช่นเดียวกับคำถามเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ ยังคงเป็นคำถามที่เปิดกว้างว่ามีจำนวนเฉพาะของเพียร์พอนต์เป็นอนันต์หรือไม่

การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน

What if, together with the straightedge and compass, we had a tool that could (only) trisect an arbitrary angle? Such constructions are solid constructions, but there exist numbers with solid constructions that cannot be constructed using such a tool. For example, we cannot double the cube with such a tool.^[18] On the other hand, every regular n-gon that has a solid construction can be constructed using such a tool.

Origami

The mathematical theory of origami is more powerful than straightedge-and-compass construction. Folds satisfying the Huzita–Hatori axioms can construct exactly the same set of points as the extended constructions using a compass and conic drawing tool. Therefore, origami can also be used to solve cubic equations (and hence quartic equations), and thus solve two of the classical problems.^[19]

Markable rulers

Archimedes, Nicomedes and Apollonius gave constructions involving the use of a markable ruler. This would permit them, for example, to take a line segment, two lines (or circles), and a point; and then draw a line which passes through the given point and intersects the two given lines, such that the distance between the points of intersection equals the given segment. This the Greeks called neusis ("inclination", "tendency" or "verging"), because the new line tends to the point. In this expanded scheme, we can trisect an arbitrary angle (see Archimedes' trisection) or extract an arbitrary cube root (due to Nicomedes). Hence, any distance whose ratio to an existing distance is the solution of a cubic or a quartic equation is constructible. Using a markable ruler, regular polygons with solid constructions, like the heptagon, are constructible; and John H. Conway and Richard K. Guy give constructions for several of them.^[20]

The neusis construction is more powerful than a conic drawing tool, as one can construct complex numbers that do not have solid constructions. In fact, using this tool one can solve some quintics that are not solvable using radicals.^[21] It is known that one cannot solve an irreducible polynomial of prime degree greater or equal to 7 using the neusis construction, so it is not possible to construct a regular 23-gon or 29-gon using this tool. Benjamin and Snyder proved that it is possible to construct the regular 11-gon, but did not give a construction.^[22] It is still open as to whether a regular 25-gon or 31-gon is constructible using this tool.

Computation of binary digits

In 1998 Simon Plouffe gave a ruler-and-compass algorithm that can be used to compute binary digits of certain numbers, such as $\arctan(1/2)/\pi$ . The algorithm involves the repeated doubling of an angle and becomes physically impractical after about 20 binary digits.^[23]

Notes

↑The compass may fold after being taken off the page, erasing its "stored" radius
↑For example, looking at the construction and guessing at its accuracy
↑If an unlimited number of steps is permitted, some otherwise-impossible constructions become possible by means of infinite sequences converging to a limit.

ลิงก์ภายนอก

การสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติโดย ดร.แมธ ที่The Math Forum @ Drexel
การก่อสร้างด้วยเข็มทิศเท่านั้นที่cut-the-knot
การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนโดยฮิปโปเครติสที่cut-the-knot
ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "Angle Trisection" . แมทเวิลด์ .

[1] The compass may fold after being taken off the page, erasing its "stored" radius

[3] For example, looking at the construction and guessing at its accuracy

[4] If an unlimited number of steps is permitted, some otherwise-impossible constructions become possible by means of infinite sequences converging to a limit.

[ a ]

[ 1 ]

[ b ]

[ c ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[

[

[

[

14 ] ซึ่ง

[ 15 ]

[

[ 17 ]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

การสร้างไม้บรรทัดและวงเวียน

การสร้างไม้บรรทัดและวงเวียน

เครื่องมือไม้บรรทัดและวงเวียน

ประวัติศาสตร์

โครงสร้างพื้นฐาน

การสร้างสิ่งก่อสร้างโดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนแบบทั่วไป

จุดก่อสร้าง

มุมที่สร้างได้

ความสัมพันธ์กับเลขคณิตเชิงซ้อน

สิ่งก่อสร้างที่เป็นไปไม่ได้

การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากวงกลม

การเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า

การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน

ระยะห่างจากวงรี

ปัญหาของอัลฮาเซน

การสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ

การสร้างรูปสามเหลี่ยมจากจุดหรือความยาวลักษณะเฉพาะสามจุดที่กำหนดให้

การก่อสร้างที่ถูกจำกัด

การสร้างโดยใช้เพียงไม้บรรทัดหรือเพียงวงเวียน

โครงสร้างที่ขยายออกไป

โครงสร้างที่แข็งแรง

การแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน

Origami

Markable rulers

Computation of binary digits

See also

Notes

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลสำคัญจากบทความ