ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งพีชคณิตพีชคณิตนามธรรมหรือพีชคณิตสมัยใหม่คือการศึกษาโครงสร้างพีชคณิตซึ่งเป็นเซต ที่มี การดำเนินการเฉพาะ เจาะจง กระทำกับองค์ประกอบของเซต^{[ 1 ]}โครงสร้างพีชคณิตประกอบด้วยกลุ่มวงแหวนฟิลด์โมดูลปริภูมิเวกเตอร์ แลตทิซและพีชคณิตเหนือฟิลด์คำว่าพีชคณิตนามธรรม ถูกบัญญัติขึ้นในช่วงต้นศตวรรษ ที่20 เพื่อแยกแยะออกจากส่วนเก่าๆ ของพีชคณิต และโดยเฉพาะอย่างยิ่งจากพีชคณิตเบื้องต้นการใช้ตัวแปรเพื่อแทนตัวเลขในการคำนวณและการให้เหตุผล มุมมองนามธรรมเกี่ยวกับพีชคณิตได้กลายเป็นพื้นฐานสำคัญของคณิตศาสตร์ขั้นสูงจนเรียกง่ายๆ ว่า "พีชคณิต" ในขณะที่คำว่า "พีชคณิตนามธรรม" แทบจะไม่ถูกใช้เลย ยกเว้นในด้านการสอน

โครงสร้างเชิงพีชคณิต พร้อมด้วยโฮโมมอร์ฟิ ซึมที่เกี่ยวข้อง ก่อให้เกิดหมวดหมู่ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีหมวดหมู่ให้กรอบการทำงานที่เป็นเอกภาพในการศึกษาคุณสมบัติและการสร้างที่คล้ายคลึงกันสำหรับโครงสร้างต่างๆ

พีชคณิตสากล เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับการ ศึกษา โครงสร้างทางพีชคณิตประเภทต่างๆ ในฐานะวัตถุเดียว ตัวอย่างเช่น โครงสร้างของกลุ่มเป็นวัตถุเดียวในพีชคณิตสากล ซึ่งเรียกว่าวาไรตี้ของกลุ่ม

ก่อนศตวรรษที่ 19 พีชคณิตถูกนิยามว่าเป็นการศึกษาพหุนาม [ ^{2 ] พีชคณิต}นามธรรมถือกำเนิดขึ้นในช่วงศตวรรษที่ 19 เนื่องจากปัญหาที่ซับซ้อนและวิธีการแก้ปัญหาได้รับการพัฒนามากขึ้น ปัญหาและตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมมาจากทฤษฎีจำนวน เรขาคณิต การวิเคราะห์ และการแก้สมการพีชคณิตทฤษฎีส่วนใหญ่ที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิตนามธรรมในปัจจุบันเริ่มต้นจากการรวบรวมข้อเท็จจริงที่แตกต่างกันจากสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ ได้รับธีมร่วมกันซึ่งทำหน้าที่เป็นแกนหลักที่ผลลัพธ์ต่างๆ ถูกจัดกลุ่ม และในที่สุดก็รวมเป็นหนึ่งเดียวบนพื้นฐานของชุดแนวคิดร่วมกัน การรวมกันนี้เกิดขึ้นในช่วงต้นทศวรรษของศตวรรษที่ 20 และส่งผลให้เกิด คำจำกัดความ เชิงสัจพจน์ อย่างเป็นทางการของ โครงสร้างพีชคณิตต่างๆเช่น กลุ่ม วงแหวน และฟิลด์^{[ 3 ] พัฒนาการทางประวัติศาสตร์นี้แทบจะตรงกันข้ามกับวิธีการ ที่}พบในตำราเรียนยอดนิยม เช่นModerne Algebra ของ van der Waerden [ ^{4 ]}ซึ่งเริ่มต้นแต่ละบทด้วยคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของโครงสร้าง แล้วตามด้วยตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม^{[ 5 ]}

การศึกษาเกี่ยวกับสมการพหุนามหรือสมการพีชคณิตมีประวัติศาสตร์อันยาวนาน ประมาณ 1700 ปีก่อนคริสตกาล ชาวบาบิโลนสามารถแก้สมการกำลังสองที่ระบุเป็นโจทย์ปัญหาได้ ขั้นตอนของโจทย์ปัญหานี้จัดเป็นพีชคณิตเชิงวาทศิลป์และเป็นแนวทางที่โดดเด่นจนถึงศตวรรษที่ 16 อัล-ควาริซมีเป็นผู้ริเริ่มคำว่า "พีชคณิต" ในปี ค.ศ. 830 แต่ผลงานของเขาทั้งหมดเป็นพีชคณิตเชิงวาทศิลป์ พีชคณิตเชิงสัญลักษณ์อย่างสมบูรณ์ไม่ได้ปรากฏขึ้นจนกระทั่งพีชคณิตใหม่ของฟรองซัวส์ วิเอต์ ในปี ค.ศ. 1591 และแม้แต่ในเล่มนี้ก็ยังมีคำบางคำที่เขียนออกมาซึ่งได้รับสัญลักษณ์ในเรขาคณิตของเดส์การ์ต ใน ปี ค.ศ. 1637 ^{[ 6 ]}การศึกษาอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับการแก้สมการเชิงสัญลักษณ์ทำให้เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ยอมรับสิ่งที่ในขณะนั้นถือว่าเป็นราก "ไร้สาระ" เช่นจำนวนลบและจำนวนจินตนาการในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 ^{[ 7 ]}อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปส่วนใหญ่ยังคงต่อต้านแนวคิดเหล่านี้จนถึงกลางศตวรรษที่ 19 ^{[ 8 ]}

ตำราพีชคณิต ของ George Peacockในปี ค.ศ. 1830 เป็นความพยายามครั้งแรกที่จะวางพีชคณิตบนพื้นฐานเชิงสัญลักษณ์อย่างเคร่งครัด เขาได้แยกแยะพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ แบบใหม่ ซึ่งแตกต่างจากพีชคณิตเชิงเลขคณิต แบบเก่า ในขณะที่ในพีชคณิตเชิงเลขคณิตนั้นถูกจำกัดไว้เฉพาะในพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ กฎการดำเนินการทั้งหมดจะคงอยู่โดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ การใช้สิ่งนี้ Peacock สามารถแสดงกฎต่างๆ เช่นโดยการปล่อยให้ เข้ามาPeacock ใช้สิ่งที่เขาเรียกว่าหลักการคงอยู่ของรูปแบบที่เทียบเท่ากันเพื่อพิสูจน์ข้อโต้แย้งของเขา แต่การให้เหตุผลของเขานั้นประสบปัญหาจากปัญหาของการอุปมาน [ ^{9 ] ตัวอย่าง}เช่นใช้ได้กับจำนวนจริง ที่ไม่เป็นลบ แต่ใช้ไม่ได้กับจำนวนเชิงซ้อนทั่วไป ${\displaystyle ab}$${\displaystyle a\geq b}$${\displaystyle (-a)(-b)=ab}$${\displaystyle d=0,c=0}$${\displaystyle (db)(ca)=dc+ba-ad-bc}$${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$

หลายสาขาของคณิตศาสตร์นำไปสู่การศึกษากลุ่ม การศึกษาของ Lagrange ในปี 1770 เกี่ยวกับคำตอบของสมการกำลังห้า นำไปสู่กลุ่ม Galois ของพหุนามการศึกษาของ Gauss ในปี 1801 เกี่ยวกับ ทฤษฎีบทเล็กของ Fermatนำไปสู่วงแหวนของจำนวนเต็มมอดูล nกลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล nและแนวคิดทั่วไปของกลุ่มวัฏจักรและกลุ่มอาเบเลียนโครงการ Erlangenของ Klein ในปี 1872 ศึกษาเรขาคณิตและนำไปสู่กลุ่มสมมาตรเช่นกลุ่มยุคลิดและกลุ่มการแปลงเชิงโปรเจกทีฟ ในปี 1874 Lie ได้นำเสนอทฤษฎีกลุ่ม Lieโดยมุ่งเป้าไปที่ "ทฤษฎี Galois ของสมการเชิงอนุพันธ์" ในปี 1876 Poincaré และ Klein ได้นำเสนอกลุ่มการแปลง Möbiusและกลุ่มย่อย เช่นกลุ่มมอดูลาร์และกลุ่ม Fuchsianโดยอิงจากงานเกี่ยวกับฟังก์ชันอัตโนมัติในการวิเคราะห์^{[ 10 ]}

แนวคิดเชิงนามธรรมของกลุ่มค่อยๆ เกิดขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่สิบเก้า Galois ในปี 1832 เป็นคนแรกที่ใช้คำว่า "กลุ่ม" ^{[ 11 ]}ซึ่งหมายถึงชุดของการเรียงสับเปลี่ยนที่ปิดภายใต้การประกอบ^{[ 12 ]} บทความเรื่อง On the theory of groupsของArthur Cayley ในปี 1854 ได้นิยามกลุ่มว่าเป็นเซตที่มีการดำเนินการประกอบแบบสมาคมและเอกลักษณ์ 1 ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าโมโนอิด [ ^{13 ] ใน}ปี 1870 Kronecker ได้นิยามการดำเนินการทวิภาคเชิงนามธรรมที่ปิด สลับที่ได้ สมาคม และมีคุณสมบัติการตัดทอนทาง ซ้าย ^{[ 14 ]}คล้ายกับกฎสมัยใหม่สำหรับกลุ่มอาเบเลียนจำกัด^{[ 15 ]}นิยามของกลุ่มของ Weber ในปี 1882 คือการดำเนินการทวิภาคแบบปิดที่เป็นสมาคมและมีการตัดทอนทางซ้ายและขวา^{[ 16 ]} Walther von Dyckในปี 1882 เป็นคนแรกที่กำหนดให้มีองค์ประกอบผกผันเป็นส่วนหนึ่งของนิยามของกลุ่ม^{[ 17 ]}${\displaystyle b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot c}$

เมื่อแนวคิดกลุ่มนามธรรมนี้เกิดขึ้น ผลลัพธ์ต่างๆ ก็ได้รับการปรับปรุงใหม่ในบริบทนามธรรมนี้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของ Sylowได้รับการพิสูจน์ซ้ำโดย Frobenius ในปี 1887 โดยตรงจากกฎของกลุ่มจำกัด แม้ว่า Frobenius จะกล่าวว่าทฤษฎีบทนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของ Cauchy เกี่ยวกับกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนและข้อเท็จจริงที่ว่าทุกกลุ่มจำกัดเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน^{[ 18 ] [ 19 ]} Otto Hölderมีผลงานมากมายในด้านนี้ โดยได้กำหนดกลุ่มผลหารในปี 1889 ออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มในปี 1893 รวมถึงกลุ่มแบบง่าย เขายังทำให้ทฤษฎีบท Jordan–Hölder สมบูรณ์อีกด้วย Dedekind และ Miller ได้กำหนดลักษณะของกลุ่ม Hamiltonian อย่างอิสระ และแนะนำแนวคิดของตัวสลับของสององค์ประกอบ Burnside, Frobenius และ Molien ได้สร้างทฤษฎีการแทนของกลุ่มจำกัดในช่วงปลายศตวรรษที่สิบเก้า^{[ 18 ]} เอกสารวิจัย เรื่อง Elements of the Theory of Abstract Groupsของ JA de Séguier ในปี 1905 ได้นำเสนอผลลัพธ์เหล่านี้จำนวนมากในรูปแบบนามธรรมทั่วไป โดยจัดกลุ่ม "รูปธรรม" ไว้ในภาคผนวก แม้ว่าจะจำกัดเฉพาะกลุ่มจำกัดก็ตาม เอกสารวิจัยฉบับแรกเกี่ยวกับกลุ่มนามธรรมทั้งแบบจำกัดและอนันต์คือAbstract Theory of Groups ของ OK Schmidt ใน ปี 1916 ^{[ 20 ]}

ทฤษฎีวงแหวนไม่สลับที่เริ่มต้นด้วยการขยายจำนวนเชิงซ้อนไปสู่จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ควอ เทอร์เนียนของวิลเลียม โรวัน แฮมิลตันในปี 1843 ระบบจำนวนอื่นๆ อีกมากมายตามมาในไม่ช้า ในปี 1844 แฮมิลตันนำเสนอไบควอเท อร์ เนียน เคย์ลีย์แนะนำ อ็ อกโทเนียนและกราสแมนแนะนำพีชคณิตภายนอก^{[ 21 ]}เจมส์ ค็อกเคิลนำ เสนอเทสซารีน ในปี 1848 ^{[ 22 ]}และโคควอเทอร์เนียนในปี 1849 ^{[ 23 ]}วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดแนะนำสปลิตไบควอเทอร์เนียนในปี 1873 นอกจากนี้ เคย์ลีย์ยังแนะนำพีชคณิตกลุ่มเหนือจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนในปี 1854 และเมทริกซ์จัตุรัสในเอกสารสองฉบับในปี 1855 และ 1858 ^{[ 24 ]}

เมื่อมีตัวอย่างเพียงพอแล้ว ขั้นตอนต่อไปคือการจัดประเภท ในงานวิจัยปี 1870 เบนจามิน เพียร์ซได้จัดประเภทระบบจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์มากกว่า 150 ระบบที่มีมิติน้อยกว่า 6 และให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของพีชคณิตแบบเชื่อมโยงเขาได้กำหนดนิยามขององค์ประกอบนิลโพเทนต์และอิเดมโพเทนต์ และพิสูจน์ว่าพีชคณิตใดๆ ก็ตามจะมีองค์ประกอบอย่างใดอย่างหนึ่ง นอกจากนี้เขายังได้กำหนดนิยามของการแยกส่วนของเพียร์ซด้วย ฟรอเบเนียสในปี 1878 และชาร์ลส์ แซนเดอร์ส เพียร์ซในปี 1881 ได้พิสูจน์โดยอิสระว่าพีชคณิตการหารที่มีมิติจำกัดเหนือจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และควอเทอร์เนียนเท่านั้น ในช่วงทศวรรษ 1880 คิลลิงและคาร์ตันได้แสดงให้เห็นว่าพีชคณิตลี แบบกึ่ง ง่ายสามารถแยกส่วนเป็นพีชคณิตลีแบบง่ายได้ และได้จัดประเภทพีชคณิตลีแบบง่ายทั้งหมด ด้วยแรงบันดาลใจจากสิ่งนี้ ในช่วงทศวรรษ 1890 คาร์ตัน โฟรเบนิอุส และโมเลียน ได้พิสูจน์ (โดยอิสระ) ว่าพีชคณิตแบบเชื่อมโยงมิติจำกัดเหนือหรือแยกส่วนได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นผลรวมโดยตรง ของพีชคณิตนิลโพเทนต์และพีชคณิตกึ่งง่ายซึ่งเป็นผลคูณของ พีชคณิตเชิงง่ายจำนวนหนึ่งเมทริกซ์จัตุรัสเหนือพีชคณิตการหาร คาร์ตันเป็นคนแรกที่กำหนดแนวคิดต่างๆ เช่น ผลรวมโดยตรงและพีชคณิตเชิงง่าย และแนวคิดเหล่านี้พิสูจน์แล้วว่ามีอิทธิพลอย่างมาก ในปี 1907 เว็ดเดอร์เบิร์นได้ขยายผลลัพธ์ของคาร์ตันไปยังฟิลด์ใดๆ ในสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีบทหลักของเว็ดเดอร์เบิร์นและทฤษฎีบทอาร์ติน-เว็ดเดอร์เบิร์น^{[ 25 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

สำหรับวงแหวนสลับที่ หลายสาขารวมกันนำไปสู่ทฤษฎีวงแหวนสลับที่^{[ 26 ]}ในเอกสารสองฉบับในปี 1828 และ 1832 เกาส์ได้กำหนดสูตรจำนวนเต็มเกาส์เซียนและแสดงให้เห็นว่าพวกมันก่อตัวเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน (UFD) และพิสูจน์ กฎ การแลกเปลี่ยนแบบกำลังสอง จาโคบีและไอเซนสไตน์ได้พิสูจน์กฎ การแลกเปลี่ยนแบบกำลังสามสำหรับจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ในเวลาเดียวกัน^{[ 25 ]}การศึกษาทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นำไปสู่จำนวนเต็มพีชคณิตในปี 1847 กาเบรียล ลาเมคิดว่าเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แล้ว แต่การพิสูจน์ของเขามีข้อบกพร่องเนื่องจากเขาสมมติว่าฟิลด์ไซโคลโทมิก ทั้งหมด เป็น UFD แต่ตามที่คุมเมอร์ชี้ให้เห็นมันไม่ใช่ UFD ^{[ 27 ]}ในปี 1846 และ 1847 คุมเมอร์ได้แนะนำจำนวนอุดมคติและพิสูจน์การแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันเป็นจำนวนเฉพาะอุดมคติสำหรับฟิลด์ไซโคลโทมิก^{[ 28 ]} Dedekind ได้ขยายสิ่งนี้ในปี พ.ศ. 2414 เพื่อแสดงให้เห็นว่าไอเดียลที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวในโดเมนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนพีชคณิตเป็นผลคูณที่ไม่ซ้ำกันของ ไอ เดีย ล เฉพาะ ซึ่งเป็นต้นแบบของทฤษฎีโดเมนของ Dedekindโดยรวมแล้ว งานของ Dedekind ได้สร้างวิชาทฤษฎีจำนวนพีชคณิตขึ้น มา ^{[ 29 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{23}))}$

ในช่วงทศวรรษ 1850 รีมันน์ได้นำเสนอแนวคิดพื้นฐานของพื้นผิวรี มันน์ ^วิธีการของรีมันน์อาศัยสมมติฐานที่เขาเรียกว่าหลักการของดิริชเลต์ [ ^{30 ]}ซึ่งในปี 1870 ถูกตั้งคำถามโดยไวเออร์สตรัส ต่อมาในปี 1900 ฮิลเบิร์ตได้พิสูจน์วิธีการของรีมันน์โดยการพัฒนาวิธีการโดยตรงในแคลคูลัสของการแปรผัน [ ^{31 ] ใน}ช่วงทศวรรษ 1860 และ 1870 เคล็บช์ กอร์ดัน บริลล์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเอ็ม. โนเอเธอร์ได้ศึกษาฟังก์ชันและเส้นโค้งพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โนเอเธอร์ได้ศึกษาเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับพหุนามที่จะเป็นองค์ประกอบของอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยเส้นโค้งพีชคณิตสองเส้นในวงแหวนพหุนามแม้ว่าโนเอเธอร์จะไม่ได้ใช้ภาษาสมัยใหม่นี้ก็ตาม ในปี ค.ศ. 1882 Dedekind และ Weber ได้สร้างทฤษฎีฟิลด์ฟังก์ชันพีชคณิตโดยเปรียบเทียบกับงานก่อนหน้าของ Dedekind เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนพีชคณิตซึ่งทำให้สามารถกำหนดนิยามพื้นผิว Riemann ได้อย่างเข้มงวดเป็นครั้งแรก และพิสูจน์ทฤษฎีบทRiemann–Roch ได้อย่างเข้มงวด Kronecker ในช่วงปี ค.ศ. 1880, Hilbert ในปี ค.ศ. 1890, Lasker ในปี ค.ศ. 1905 และMacaulayในปี ค.ศ. 1913 ได้ศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับอุดมคติของวงแหวนพหุนามที่แฝงอยู่ในงานของE. Noether Lasker พิสูจน์กรณีพิเศษของ ทฤษฎีบท Lasker-Noether กล่าวคือ อุดมคติทุกตัวในวงแหวนพหุนามเป็นการตัดกันแบบจำกัดของอุดมคติหลัก Macaulay พิสูจน์ความไม่ซ้ำกันของการแยกส่วนนี้^{[ 32 ]}โดยรวมแล้ว งานนี้นำไปสู่การพัฒนาเรขาคณิตพีชคณิต^{[ 26 ]}${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$

ในปี ค.ศ. 1801 เกาส์ได้แนะนำรูปแบบกำลังสองแบบไบนารีเหนือจำนวนเต็มและกำหนดความเท่าเทียมกัน ของรูปแบบเหล่านั้น เขายังกำหนดดิสคริมิแนนต์ของรูปแบบเหล่านี้ ซึ่งเป็นค่าคงที่ของรูปแบบไบนารีระหว่างช่วงปี ค.ศ. 1860 ถึง 1890 ทฤษฎีค่าคงที่ได้รับการพัฒนาและกลายเป็นสาขาหลักของพีชคณิต เคย์ลีย์ ซิลเวสเตอร์ กอร์ดอน และคนอื่นๆ ได้ค้นพบเมท ริกซ์จา โคเบียนและเมท ริก ซ์เฮส เซียน สำหรับรูปแบบกำลังสี่และกำลังสามแบบไบนารี^{[ 33 ]}ในปี ค.ศ. 1868 กอร์ดอนพิสูจน์ว่าพีชคณิตแบบแบ่งระดับของค่าคงที่ของรูปแบบไบนารีเหนือจำนวนเชิงซ้อนนั้นสร้างขึ้นอย่างจำกัด กล่าวคือ มีฐาน^{[ 34 ]}ฮิลเบิร์ตเขียนวิทยานิพนธ์เกี่ยวกับค่าคงที่ในปี ค.ศ. 1885 และในปี ค.ศ. 1890 ได้แสดงให้เห็นว่ารูปแบบใดๆ ที่มีดีกรีหรือจำนวนตัวแปรใดๆ ก็มีฐาน เขาได้ขยายสิ่งนี้ต่อไปในปี ค.ศ. 1890 เป็นทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ต^{[ 35 ]}

เมื่อทฤษฎีเหล่านี้ได้รับการพัฒนาแล้ว ก็ยังต้องใช้เวลาอีกหลายทศวรรษกว่าที่แนวคิดวงแหวนนามธรรมจะปรากฏขึ้น คำจำกัดความเชิงสัจพจน์แรกนั้นได้มาจากAbraham Fraenkelในปี 1914 ^{[ 35 ]}คำจำกัดความของเขาส่วนใหญ่เป็นสัจพจน์มาตรฐาน: เซตที่มีการดำเนินการสองอย่างคือการบวก ซึ่งก่อให้เกิดกลุ่ม (ไม่จำเป็นต้องสลับที่ได้) และการคูณ ซึ่งเป็นการเชื่อมโยง กระจายเหนือการบวก และมีองค์ประกอบเอกลักษณ์^{[ 36 ]}นอกจากนี้ เขายังมีสัจพจน์สองข้อเกี่ยวกับ "องค์ประกอบปกติ" ที่ได้รับแรงบันดาลใจจากงานเกี่ยวกับจำนวน p-adicซึ่งไม่รวมวงแหวนทั่วไปในปัจจุบัน เช่น วงแหวนของจำนวนเต็ม สิ่งเหล่านี้ทำให้ Fraenkel สามารถพิสูจน์ได้ว่าการบวกเป็นการสลับที่ได้^{[ 37 ]}งานของ Fraenkel มีเป้าหมายที่จะถ่ายทอดคำจำกัดความของฟิลด์ของ Steinitz ในปี 1910 ไปยังวงแหวน แต่ไม่ได้เชื่อมโยงกับงานที่มีอยู่เกี่ยวกับระบบที่เป็นรูปธรรม คำจำกัดความของ Masazo Sono ในปี 1917 เป็นคำจำกัดความแรกที่เทียบเท่ากับคำจำกัดความในปัจจุบัน^{[ 38 ]}

ในปี ค.ศ. 1920 เอมมี โนเธอร์ร่วมกับ ดับเบิลยู. ชไมด์เลอร์ ได้ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับทฤษฎีของไอเดียลซึ่งพวกเขาได้กำหนดไอเดียลซ้ายและขวาในวงแหวนในปีต่อมา เธอได้ตีพิมพ์บทความสำคัญชื่อIdealtheorie in Ringbereichen ( ทฤษฎีไอเดียลในวงแหวน ) ซึ่งวิเคราะห์เงื่อนไขลูกโซ่ขึ้นที่เกี่ยวข้องกับไอเดียล (ทางคณิตศาสตร์) การตีพิมพ์นี้ทำให้เกิดคำว่า " วงแหวนโนเธอร์เรียน " และวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกหลายอย่างก็ถูกเรียกว่าโนเธอร์เรียน [ ^{39 ] [ 40 ] นัก}พีชคณิตชื่อดังเออร์วิง คาปลันสกีเรียกงานนี้ว่า "ปฏิวัติวงการ" ^{[ 39 ]}ผลลัพธ์ที่ดูเหมือนจะเชื่อมโยงกับคุณสมบัติของวงแหวนพหุนามอย่างแยกไม่ออกนั้น แสดงให้เห็นว่าเป็นผลมาจากสัจพจน์เพียงข้อเดียว^{[ 41 ]}อาร์ติน ได้รับแรงบันดาลใจจากงานของโนเธอร์ จึงได้คิดค้นเงื่อนไขลูกโซ่ลงคำจำกัดความเหล่านี้ถือเป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีวงแหวนนามธรรม^{[ 42 ]}

ในปี ค.ศ. 1801 เกาส์ได้แนะนำจำนวนเต็ม mod pโดยที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ กาโลอิสได้ขยายสิ่งนี้ในปี ค.ศ. 1830 ไปสู่ฟิลด์จำกัดที่มีองค์ประกอบ^{[ 43 ]}ในปี ค.ศ. 1871 ริชาร์ด เดเดคินด์ได้ แนะนำ คำภาษาเยอรมัน ว่า Körperสำหรับเซตของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนที่ปิดภายใต้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่^{[ 44 ]}ซึ่งหมายถึง "ร่างกาย" หรือ "คอร์ปัส" (เพื่อแนะนำเอนทิตีที่ปิดแบบอินทรีย์) คำว่า "field" ในภาษาอังกฤษได้รับการแนะนำโดยมัวร์ในปี ค.ศ. 1893 ^{[ 45 ]}ในปี ค.ศ. 1881 ลีโอโปลด์ โครเนกเกอร์ได้กำหนดสิ่งที่เขาเรียกว่าโดเมนของความมีเหตุผลซึ่งเป็นฟิลด์ของเศษส่วนตรรกยะในแง่สมัยใหม่^{[ 46 ]}คำจำกัดความที่ชัดเจนครั้งแรกของฟิลด์นามธรรมนั้นมาจากไฮน์ริช มาร์ติน เวเบอร์ในปี ค.ศ. 1893 คำจำกัดความนี้ขาดกฎการสมาพันธ์สำหรับการคูณ แต่ครอบคลุมฟิลด์จำกัดและฟิลด์ของทฤษฎีจำนวนพีชคณิตและเรขาคณิตพีชคณิต^{[ 47 ]}ในปี พ.ศ. 2453 สไตน์นิทซ์ได้สังเคราะห์ความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีสนามนามธรรมที่สะสมมาจนถึงปัจจุบัน เขาได้กำหนดนิยามของสนามตามสัจพจน์ด้วยนิยามสมัยใหม่ จัดประเภทสนามตามลักษณะเฉพาะและพิสูจน์ทฤษฎีบทหลายข้อที่พบเห็นได้ทั่วไปในปัจจุบัน^{[ 48 ]}${\displaystyle p^{n}}$

• การแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งนำไปสู่พีชคณิตเชิงเส้น^{[ 49 ]}

ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 มีการเปลี่ยนแปลงในวิธีการทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตนามธรรมเกิดขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ภายใต้ชื่อพีชคณิตสมัยใหม่การศึกษาพีชคณิตนามธรรมเป็นส่วนหนึ่งของแรงผลักดันให้เกิดความเข้มงวดทางปัญญา มากขึ้น ในคณิตศาสตร์ ในขั้นต้น ข้อสมมติในพีชคณิต คลาสสิก ซึ่งเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด (และส่วนสำคัญของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ) อยู่ในรูปของระบบสัจพจน์นักคณิตศาสตร์ไม่พอใจกับการสร้างคุณสมบัติของวัตถุที่เป็นรูปธรรมอีกต่อไป จึงเริ่มหันมาสนใจทฤษฎีทั่วไป คำจำกัดความที่เป็นทางการของโครงสร้างพีชคณิต บางอย่าง เริ่มปรากฏขึ้นในศตวรรษที่ 19 ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์เกี่ยวกับกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนต่างๆ ถูกมองว่าเป็นตัวอย่างของทฤษฎีบททั่วไปที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดทั่วไปของกลุ่มนามธรรมคำถามเกี่ยวกับโครงสร้างและการจำแนกประเภทของวัตถุทางคณิตศาสตร์ต่างๆ กลายเป็นประเด็นสำคัญ^{[ 50 ]}

กระบวนการเหล่านี้เกิดขึ้นในคณิตศาสตร์ทุกแขนง แต่เห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษในพีชคณิต มีการเสนอคำจำกัดความอย่างเป็นทางการผ่านการดำเนินการพื้นฐานและสัจพจน์สำหรับโครงสร้างพีชคณิตพื้นฐานหลายอย่าง เช่นกลุ่มวงแหวนและฟิลด์ดังนั้นทฤษฎีกลุ่มและทฤษฎีวงแหวนจึงเข้ามามีบทบาทในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์การศึกษาเชิงพีชคณิตของฟิลด์ทั่วไปโดยErnst Steinitzและวงแหวนสลับที่และวงแหวนทั่วไปโดยDavid Hilbert , Emil ArtinและEmmy Noetherซึ่งต่อยอดจากงานของErnst Kummer , Leopold KroneckerและRichard Dedekindผู้ซึ่งพิจารณาอุดมคติในวงแหวนสลับที่ และงานของGeorg FrobeniusและIssai Schurเกี่ยวกับทฤษฎีการแทนของกลุ่ม ได้กำหนดนิยามของพีชคณิตนามธรรม การพัฒนาเหล่านี้ในช่วงไตรมาสสุดท้ายของศตวรรษที่ 19 และไตรมาสแรกของศตวรรษที่ 20 ได้รับการนำเสนออย่างเป็นระบบในModerne AlgebraของBartel van der Waerden ซึ่งเป็น เอกสารสองเล่มที่ตีพิมพ์ในปี 1930–1931 ซึ่งได้ปรับเปลี่ยนแนวคิดของพีชคณิตจากทฤษฎีสมการไปสู่ทฤษฎีโครงสร้างพีชคณิต^{[ 51 ]}

โดยการตัดรายละเอียดปลีกย่อยต่างๆ ออกไป นักคณิตศาสตร์ได้กำหนดโครงสร้างทางพีชคณิตต่างๆ ที่ใช้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ระบบเกือบทั้งหมดที่ศึกษาเป็นเซตซึ่งทฤษฎีบทของทฤษฎีเซต สามารถนำไป ใช้ได้ เซตที่มีการดำเนินการทวิภาคบางอย่างกำหนดไว้บนเซตนั้นจะก่อตัวเป็นแมกมาซึ่งแนวคิดเกี่ยวกับแมกมา เช่นเดียวกับแนวคิดเกี่ยวกับเซต สามารถนำไปใช้ได้ เราสามารถเพิ่มข้อจำกัดเพิ่มเติมให้กับโครงสร้างทางพีชคณิตได้ เช่น การเชื่อมโยง (เพื่อสร้างเซมิกรุป ) เอกลักษณ์ และตัวผกผัน (เพื่อสร้างกรุป ) และโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าอื่นๆ ด้วยโครงสร้างเพิ่มเติม เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้มากขึ้น แต่ความทั่วไปจะลดลง "ลำดับชั้น" ของวัตถุทางพีชคณิต (ในแง่ของความทั่วไป) สร้างลำดับชั้นของทฤษฎีที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทของทฤษฎีกลุ่มอาจใช้เมื่อศึกษาริง (วัตถุทางพีชคณิตที่มีการดำเนินการทวิภาคสองอย่างที่มีสัจพจน์บางอย่าง) เนื่องจากริงเป็นกรุปเหนือการดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งของมัน โดยทั่วไปแล้วจะมีความสมดุลระหว่างขอบเขตของความทั่วไปและความสมบูรณ์ของทฤษฎี: โครงสร้างที่มีความทั่วไปมากกว่ามักจะมี ทฤษฎีบท ที่ไม่ธรรมดา น้อยกว่า และมีการประยุกต์ใช้น้อยกว่า

ตัวอย่างของโครงสร้างพีชคณิตที่มีการดำเนินการทวิภาค เพียงอย่างเดียว ได้แก่:

• แมกมา
• กลุ่มย่อย
• โมโนอิด
• เซมิกรุ๊ป
• กลุ่ม

ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการหลายอย่าง ได้แก่:

กลุ่มคือเซตที่รวมกับ "ผลคูณกลุ่ม" ซึ่งเป็นการดำเนินการทวิภาคกลุ่มต้องเป็นไปตามสัจพจน์กำหนดต่อไปนี้ ${\displaystyle G}$${\displaystyle \cdot :G\times G\rightarrow G}$

ตัวตน

มีองค์ประกอบหนึ่งอยู่ซึ่งสำหรับแต่ละองค์ประกอบในจะเป็นจริงว่า${\displaystyle e}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

ผกผัน

สำหรับแต่ละองค์ประกอบของจะมีองค์ประกอบ อยู่ซึ่งทำให้${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$

ความสัมพันธ์

สำหรับแต่ละกลุ่มสามองค์ประกอบในจะเป็นจริงว่า${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

ริง คือเซต ที่มี การดำเนินการทวิภาคสอง อย่าง คือ การบวกและการคูณ ซึ่งเป็นไปตาม สัจพจน์ต่อไปนี้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$

• ${\displaystyle R}$เป็นกลุ่มสลับที่ภายใต้การบวก
• ${\displaystyle R}$เป็นโมโนอิดภายใต้การคูณ
• การคูณมีคุณสมบัติการกระจายเมื่อเทียบกับการบวก

เนื่องจากความทั่วไปของมัน พีชคณิตนามธรรมจึงถูกนำไปใช้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างเช่นโทโพโลยีเชิงพีชคณิตใช้สิ่งต่างๆ เชิงพีชคณิตในการศึกษาโทโพโลยี ข้อสันนิษฐานของปวงกาเรซึ่งได้รับการพิสูจน์ในปี 2003 ระบุว่ากลุ่มพื้นฐานของแมนิโฟลด์ ซึ่งเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับการเชื่อมต่อ สามารถใช้เพื่อพิจารณาว่าแมนิโฟลด์นั้นเป็นทรงกลมหรือไม่ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ศึกษา วงแหวนจำนวนต่างๆที่ขยายเซตของจำนวนเต็ม โดยใช้เครื่องมือของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตแอนดรูว์ ไวลส์พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

ในฟิสิกส์ กลุ่มต่างๆ ถูกใช้เพื่อแสดงการดำเนินการสมมาตร และการใช้ทฤษฎีกลุ่มสามารถทำให้สมการเชิงอนุพันธ์ง่ายขึ้น ในทฤษฎีเกจข้อกำหนดของสมมาตรเฉพาะที่สามารถใช้เพื่ออนุมานสมการที่อธิบายระบบ กลุ่มที่อธิบายสมมาตรเหล่านั้นคือกลุ่มลีและการศึกษากลุ่มลีและพีชคณิตลีเผยให้เห็นหลายสิ่งหลายอย่างเกี่ยวกับระบบทางกายภาพ ตัวอย่างเช่น จำนวนตัวพาแรงในทฤษฎีเท่ากับมิติของพีชคณิตลี และโบซอน เหล่านี้ มีปฏิสัมพันธ์กับแรงที่พวกมันเป็นตัวกลางหากพีชคณิตลีไม่ใช่แบบอะเบเลียน^{[ 52 ]}

• ทฤษฎีการเข้ารหัส
• ทฤษฎีกลุ่ม
• รายชื่อผลงานตีพิมพ์ในสาขาพีชคณิตนามธรรม

• Allenby, RBJT (1991), Rings, Fields and Groups , Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
• อาร์ติน, ไมเคิล (1991), พีชคณิต , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
• เบอร์ริส, สแตนลีย์ เอ็น.; ซันคัปปานาวาร์, เอชพี (1999) [1981], หลักสูตรพีชคณิตสากล
• กิลเบิร์ต, จิมมี่; กิลเบิร์ต, ลินดา (2005), องค์ประกอบของพีชคณิตสมัยใหม่ , ทอมสัน บรูคส์/โคล, ISBN 978-0-534-40264-8
• Lang, Serge (2002), พีชคณิต , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา , เล่มที่ 211 (ฉบับปรับปรุงครั้งที่ 3), นิวยอร์ก: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Sethuraman, BA (1996), วงแหวน ฟิลด์ ปริภูมิเวกเตอร์ และทฤษฎีกลุ่ม: บทนำสู่พีชคณิตนามธรรมผ่านการสร้างเชิงเรขาคณิตเบอร์ลิน นิวยอร์ก: Springer- Verlag ISBN 978-0-387-94848-5
• ไวท์เฮด, ซี. (2002), คู่มือพีชคณิตนามธรรม (ฉบับที่ 2), ฮาวด์มิลส์: พัลเกรฟ, ISBN 978-0-333-79447-0
• W. Keith Nicholson (2012) บทนำสู่พีชคณิตนามธรรมฉบับที่ 4 สำนักพิมพ์John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8.
• จอห์น อาร์. เดอร์บิน (1992) พีชคณิตสมัยใหม่: บทนำ สำนักพิมพ์จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์

เว็บไซต์ Wikibooks มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อ: พีชคณิตนามธรรม

• Charles C. Pinter (1990) [1982] หนังสือพีชคณิตนามธรรม ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง จากมหาวิทยาลัยแมริแลนด์