ในบริบทของปรัชญาคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์บริสุทธิ์เป็นคำที่ไม่เป็นทางการที่ใช้อธิบายการศึกษาแนวคิดทางคณิตศาสตร์โดยไม่คำนึงถึงการประยุกต์ใช้ใดๆ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์แนวคิดเหล่านี้อาจมีที่มาจากปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริง และผลลัพธ์ที่ได้อาจเป็นประโยชน์ต่อการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในภายหลัง แต่การวิจัยไม่ได้มีแรงจูงใจหลักมาจากการประยุกต์ใช้ดังกล่าว แต่ความน่าสนใจอยู่ที่ความท้าทายทางปัญญาและความงดงามทางสุนทรียภาพของการกำหนดนิยามของวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ หรือการหาผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์จากหลักการพื้นฐาน

แม้ว่าความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ จะมีมาตั้งแต่สมัย กรีกโบราณเป็นอย่างน้อยแต่แนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาอย่างละเอียดในช่วงประมาณปี 1900 ^{[ 2 ]}หลังจากมีการนำเสนอทฤษฎีที่มีคุณสมบัติที่ขัดแย้งกับสัญชาตญาณ (เช่นเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดและ ทฤษฎีเซตอนันต์ ของแคนเตอร์ ) และการค้นพบความขัดแย้งที่เห็นได้ชัด (เช่นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ ได้ทุกที่ และความขัดแย้งของรัสเซลล์ ) สิ่งนี้ทำให้เกิดความจำเป็นในการปรับปรุงแนวคิดเรื่องความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์และเขียนคณิตศาสตร์ทั้งหมดใหม่ให้สอดคล้องกัน โดยใช้ระเบียบวิธีเชิงสัจพจน์อย่างเป็น ระบบ

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดยังคงได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาที่มาจากโลกแห่งความเป็นจริงหรือจากทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นนามธรรมมากนัก นอกจากนี้ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หลายทฤษฎีที่ดูเหมือนจะเป็นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ล้วน ๆ ในที่สุดก็ถูกนำไปใช้ในด้านประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงในยุคแรกคือการสาธิตของไอแซค นิวตัน ที่แสดงให้เห็นว่า กฎแรงโน้มถ่วงสากล ของเขา บ่งชี้ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ในวงโคจรที่เป็นภาคตัดกรวย ซึ่งเป็นเส้นโค้งทางเรขาคณิตที่ อพอลโลเนียสได้ศึกษาในสมัยโบราณอีกตัวอย่างหนึ่งคือ ปัญหาการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มขนาดใหญ่ซึ่งเป็นพื้นฐานของระบบการเข้ารหัส RSAที่ใช้กันอย่างแพร่หลายเพื่อรักษาความปลอดภัยการสื่อสารทางอินเทอร์เน็ต^{[ 3 ]}

ดังนั้นในปัจจุบัน ความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์จึงเป็นเพียงมุมมองเชิงปรัชญาหรือความชอบมากกว่าการแบ่งย่อยทางคณิตศาสตร์ที่ตายตัว^{[ 4 ]}

แหล่งที่มา: ^{[ 5 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณเป็นกลุ่มแรกๆ ที่แยกแยะความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์เพลโตช่วยสร้างช่องว่างระหว่าง "เลขคณิต" ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีจำนวนและ "โลจิสติก" ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเลขคณิตเพลโตถือว่าโลจิสติก (เลขคณิต) เหมาะสำหรับนักธุรกิจและนักรบผู้ซึ่ง "ต้องเรียนรู้ศิลปะแห่งตัวเลข มิฉะนั้นพวกเขาจะไม่รู้ว่าจะจัดวางกำลังทหารของตนอย่างไร" และเลขคณิต (ทฤษฎีจำนวน) เหมาะสำหรับนักปรัชญา "เพราะพวกเขาต้องลุกขึ้นจากทะเลแห่งการเปลี่ยนแปลงและยึดมั่นในความเป็นอยู่ที่แท้จริง" ^{[ 6 ]}ในทำนอง เดียวกัน ยูคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย ผู้ชาญฉลาด เมื่อนักเรียนคนหนึ่งถามเขาว่าการศึกษาเรขาคณิตมีประโยชน์อย่างไร เขาจึงขอให้ทาสของเขาให้เงินนักเรียนสามเพนนี "เพราะเขาต้องได้รับผลกำไรจากสิ่งที่เขาเรียนรู้" ^{[ 7 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกApollonius แห่ง Pergaเมื่อถูกถามถึงประโยชน์ของทฤษฎีบทบางส่วนของเขาในหนังสือConics เล่มที่ 4 ได้ยืนยันว่า^{[ 8 ]}

สิ่งเหล่านี้สมควรได้รับการยอมรับเนื่องจากตัวการพิสูจน์เอง ในทำนองเดียวกับที่เรายอมรับสิ่งอื่นๆ อีกมากมายในคณิตศาสตร์ด้วยเหตุผลนี้และไม่มีเหตุผลอื่นใดอีก

และเนื่องจากผลลัพธ์หลายอย่างของเขาไม่สามารถนำไปใช้กับวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรรมในยุคของเขาได้ อพอลโลนิอุสจึงโต้แย้งเพิ่มเติมในคำนำของหนังสือConics เล่มที่ห้า ว่าหัวข้อนี้เป็นหนึ่งในหัวข้อที่ "...ดูคุ้มค่าแก่การศึกษาเพื่อตัวมันเอง" ^{[ 8 ]}

เป็นที่น่าสังเกตว่าในปรัชญากรีกโบราณ แนวทางการทดลองทางคณิตศาสตร์และไม่มีการแบ่งแยกที่แท้จริงระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์นั้นมีอยู่แล้วในนักเขียนเช่นเธลส์และอาร์คิมิดีสและตัวอย่างเช่นในอริสโตเติลและสำนักของเขา^{[ 9 ]}ความเป็นคู่กันระหว่างลัทธิเพลโตกับอริสโตเติลยังคงมีอยู่ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่^{[ 10 ]}

บันทึกทางประวัติศาสตร์ต่างๆ ของสำนักคิดพีทาโกรัสแสดงให้เห็นถึงความขัดแย้งนี้เช่นกัน ตั้งแต่องค์ประกอบของลัทธิลึกลับคล้ายกับเพลโตไปจนถึงการพิสูจน์ความไม่สมเหตุสมผลซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้งที่ว่าชุดตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันจำนวนอนันต์นั้นไม่สามารถอยู่ในโลก "จำกัด" และ "กำหนดไว้อย่างชัดเจน" ของเรขาคณิตแบบยุคลิดได้สุดท้ายนี้ปริศนาของซีโนแสดงให้เห็นถึงความเป็นสองด้านระหว่างการใช้เหตุผลเชิงตรรกะบริสุทธิ์ (การแบ่งระยะทางออกเป็นสองส่วนนั้นเป็นไปได้เสมอ) กับโลกแห่งการประยุกต์ใช้ (ข้อเท็จจริงที่ว่านักเดินทางไม่เคยไปถึงจุดหมาย)

คำว่า "คณิตศาสตร์บริสุทธิ์" นั้นเองเป็นส่วนหนึ่งของชื่อเต็มของตำแหน่ง ศาสตราจารย์ ประจำเก้าอี้ซาดเลียร์ (Sadleirian Chair) ซึ่งก่อตั้งขึ้น (ในฐานะตำแหน่งศาสตราจารย์) ในช่วงกลางศตวรรษที่สิบเก้า แนวคิดเรื่องสาขาวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่แยกต่างหากอาจเกิดขึ้นในช่วงเวลานั้น คนรุ่นของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (ค.ศ. 1777 ถึง 1855) ไม่ได้แยกแยะความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่าง คณิตศาสตร์ บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ในอีกหลายปีต่อมา ความเชี่ยวชาญเฉพาะด้านและความเป็นมืออาอาชีพ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแนวทางของไวเออร์สตรัส เกี่ยวกับ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ) เริ่มทำให้ความแตกต่างนั้นชัดเจนยิ่งขึ้น

หลังจากไวเออร์สตรัสในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 การอภิปรายที่สำคัญเกี่ยวกับบทบาทของอนันต์เกิดขึ้นจากผู้เขียนเช่นเกรกอร์ แคนเตอร์และตัวอย่างแรกๆ ของแฟรกทัลและความโกลาหลลุดวิก วิทเกนสไตน์ถือว่าแนวทางของแคนเตอร์กับเซตที่นับไม่ได้นั้น เป็นมะเร็งของคณิตศาสตร์ ^{[ 11 ]}อองรี ปวงกาเรดูเหมือนจะเปรียบเทียบทฤษฎีเซตกับโรคชั่วคราว^{[ 12 ]} โดยทั่วไปแล้วอนันต์นั้นยากที่จะจัดการด้วยสัจพจน์ และด้วยเหตุนี้จึงถูกมองว่าอยู่ชายขอบของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์เสมอ และความซับซ้อนนี้ปรากฏชัดในงานของเบอร์ทรานด์ รัสเซลล์และเกอเดลเกี่ยวกับความขัดแย้งในช่วงต้นศตวรรษที่ 20

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีการเชิงสัจพจน์ มาใช้ โดยได้รับอิทธิพลอย่างมากจากตัวอย่างของเดวิด ฮิลเบิร์ ต การกำหนดสูตรเชิงตรรกะของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่เสนอโดย เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ในแง่ของ โครงสร้าง ตัวบ่งปริมาณของประพจน์ดูเหมือนจะมีความน่าเชื่อถือมากขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจากคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ได้รับการกำหนดเป็นสัจพจน์และอยู่ภายใต้เกณฑ์ง่ายๆ ของ การพิสูจน์ ที่ เข้มงวด

คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ตามมุมมองที่สามารถนำมาอ้างอิงถึงกลุ่ม Bourbakiได้ คือสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว "นักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์" กลายเป็นอาชีพที่ได้รับการยอมรับ ซึ่งสามารถบรรลุได้ผ่านการฝึกอบรม กล่าวคือ มีการกล่าวอ้างว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มีประโยชน์ในการศึกษาทางวิศวกรรม : ^{[ 13 ]}

มีการฝึกฝนในด้านนิสัยการคิด มุมมอง และความเข้าใจเชิงปัญญาเกี่ยวกับปัญหาทางวิศวกรรมทั่วไป ซึ่งมีเพียงการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงเท่านั้นที่สามารถมอบให้ได้

ความก้าวหน้าครั้งสำคัญในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 คือการวางรากฐานทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการของพีชคณิตนามธรรมและโทโพโลยีซึ่งทั้งสองสาขานี้ได้รับอิทธิพลอย่างมากจากปรัชญาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

ในอดีต พื้นที่ที่มักถูกพิจารณาว่าเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ได้แก่ ทฤษฎีจำนวนซึ่งอนันต์เหล่านี้มักจะนับได้และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งฟังก์ชันมักจะเป็นฟังก์ชันที่ควบคุมได้^{[ 14 ]} (เช่นพหุนามแบบแบ่งส่วน หรือฟังก์ชันตรรกยะ ) ความสำเร็จในการพิสูจน์สมมติฐานของ Weilและการรวมกันของสองสาขานี้ในท้ายที่สุดใน โครงการ เรขาคณิต Langlands ได้ให้แรงผลักดันแก่แนวคิดของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ในฐานะกิจกรรมการวิจัยที่สามารถดำรงอยู่ได้ด้วยตนเองอย่างอิสระ ในทาง กลับกัน สาขาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สถิติและระบบพลวัต^{[ 15 ]}มักถูกพิจารณาใน กลุ่ม คณิตศาสตร์ประยุกต์และสิ่งนี้สะท้อนให้เห็นในการจัดหลักสูตรคณิตศาสตร์^{ทั่วไป[ 16} ]

เมื่อถึงปลายศตวรรษ การพิสูจน์เชิงตัวเลขของทฤษฎีบทสี่สีถือเป็นตัวอย่างหลักของความก้าวหน้าของคอมพิวเตอร์^{[ 17 ]}นักคณิตศาสตร์ชื่อดังอย่างพอล โคเฮนได้ท้าทายแนวคิดของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ตั้งแต่ช่วงทศวรรษ 1970 โดยระบุว่าในอนาคตจะมีช่วงเวลาหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะถูกแทนที่ด้วยคอมพิวเตอร์^{[ 18 ]}

สำนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศสและนักเขียนชาวตะวันตกโดยทั่วไปได้รับอิทธิพลอย่างมากจากกลุ่ม Bourbaki และด้วยเหตุนี้จึงได้รับอิทธิพลจากแนวคิดเชิงปรัชญาในการแยกคณิตศาสตร์ออกจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ในทางกลับกัน สำนักคณิตศาสตร์รัสเซีย (เช่นKolmogorov , GelfandและVladimir Arnold ) เชื่อว่าคณิตศาสตร์มีรากฐานมาจากวิทยาศาสตร์เชิงทดลอง เช่น ฟิสิกส์^{[ 19 ]}และชีววิทยา^{[ 20 ] [ 21 ]}ซึ่งสะท้อนให้เห็นในการแยกตัวของทั้งสองสำนักในช่วงสงครามเย็นเนื่องจากแรงจูงใจทางภูมิรัฐศาสตร์ และจากผลงานของนักเขียนเช่นRobert Langlandsซึ่งเริ่มเชื่อมโยงผลงานจากทั้งสองสำนักเข้าด้วยกันทีละเล็กทีละน้อย^{[ 22 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 21 การประยุกต์ใช้ปัญญาประดิษฐ์กับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ดึงดูดความสนใจของบุคคลสำคัญอย่างKen Ono ^{[ 23 ]}และFrançois Charton ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

เมื่อพิจารณาสาขาการวิจัยล่าสุด เช่น สมมติฐานเชิงวิเคราะห์ของ Langlands ^{[ 26 ]}จะเห็นได้ว่าความแตกต่างระหว่างบริสุทธิ์และประยุกต์นั้นเลือนหายไปอีกครั้ง ตัวอย่างอีกประการหนึ่งคือการเกิดขึ้นของความโกลาหลในทฤษฎีจำนวน^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}และผู้เขียนเช่น Robert Langlands สนับสนุนการรวมคณิตศาสตร์เข้ากับฟิสิกส์^{[ 32 ] [ 33 ]}ผ่านโครงการ Langlands

นักคณิตศาสตร์มีความเห็นแตกต่างกันมาโดยตลอดเกี่ยวกับการแบ่งแยกระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ ตัวอย่างที่โด่งดังที่สุด (แต่บางทีอาจถูกเข้าใจผิด) ในยุคปัจจุบันของการถกเถียงนี้ สามารถพบได้ใน บทความเรื่อง "คำขอโทษของนักคณิตศาสตร์"ของ GH Hardy ในปี 1940

เป็นที่เชื่อกันโดยทั่วไปว่าฮาร์ดี้ถือว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์นั้นน่าเกลียดและน่าเบื่อ แม้ว่าจะเป็นความจริงที่ฮาร์ดี้ชอบคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มากกว่า ซึ่งเขามักเปรียบเทียบกับการวาดภาพและบทกวีแต่ฮาร์ดี้ก็มองว่าความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์นั้นเป็นเพียงเพราะคณิตศาสตร์ประยุกต์พยายามที่จะแสดง ความจริง ทางกายภาพในกรอบทางคณิตศาสตร์ ในขณะที่คณิตศาสตร์บริสุทธิ์แสดงความจริงที่ไม่ขึ้นอยู่กับโลกทางกายภาพ ฮาร์ดี้ได้แบ่งแยกคณิตศาสตร์ออกเป็นสองประเภท คือ คณิตศาสตร์ที่เขาเรียกว่า "คณิตศาสตร์ที่แท้จริง" ซึ่ง "มีคุณค่าทางสุนทรียภาพที่ยั่งยืน" และ "ส่วนที่น่าเบื่อและพื้นฐานของคณิตศาสตร์" ที่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ^{[ 34 ]}

ฮาร์ดีมองว่านักฟิสิกส์บางคน เช่นไอน์สไตน์และดิแรกเป็นนักคณิตศาสตร์ "ตัวจริง" แต่ในขณะที่เขากำลังเขียนหนังสือApology นั้น เขาคิดว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและกลศาสตร์ควอนตัมนั้น "ไร้ประโยชน์" ซึ่งทำให้เขามีความเห็นว่ามีเพียงคณิตศาสตร์ "น่าเบื่อ" เท่านั้นที่มีประโยชน์ ยิ่งไปกว่านั้น ฮาร์ดีได้ยอมรับสั้นๆ ว่า เช่นเดียวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีเมทริกซ์และทฤษฎีกลุ่มในฟิสิกส์ที่เกิดขึ้นอย่างไม่คาดคิด อาจถึงเวลาที่คณิตศาสตร์ "แท้" ที่สวยงามบางประเภทอาจมีประโยชน์เช่นกัน

อีกหนึ่งมุมมองที่น่าสนใจมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันแอนดี้ แมกิด :

ฉันคิดมาตลอดว่าแบบจำลองที่ดีในที่นี้สามารถดึงมาจากทฤษฎีวงแหวนได้ ในหัวข้อนั้น เรามีสาขาย่อยของทฤษฎีวงแหวนสลับที่และทฤษฎีวงแหวนไม่สลับที่ผู้สังเกตการณ์ที่ไม่รู้เรื่องอาจคิดว่าสิ่งเหล่านี้แสดงถึงความแตกต่าง แต่ในความเป็นจริงแล้ว สาขาหลังครอบคลุมสาขาแรก: วงแหวนไม่สลับที่คือวงแหวนที่ไม่จำเป็นต้องสลับที่ หากเราใช้ข้อตกลงที่คล้ายกัน เราก็สามารถอ้างถึงคณิตศาสตร์ประยุกต์และคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่ประยุกต์ได้ โดยที่สาขาหลังหมายถึงคณิตศาสตร์ที่ไม่จำเป็นต้องประยุกต์ ... [เน้นข้อความ] ^{[ 35 ]}

ฟรีดริช เองเกลส์โต้แย้งในหนังสือAnti-Dühring ปี 1878 ของเขา ว่า "ไม่เป็นความจริงเลยที่ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ จิตใจจะจัดการเฉพาะกับการสร้างสรรค์และจินตนาการของตนเองเท่านั้น แนวคิดเรื่องจำนวนและรูปทรงไม่ได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นจากแหล่งอื่นใดนอกจากโลกแห่งความเป็นจริง" ^{[ 36 ] : 36} เขายังโต้แย้งต่อไปอีกว่า "ก่อนที่จะมีแนวคิดในการอนุมานรูปทรงของทรงกระบอกจากการหมุนสี่เหลี่ยมผืนผ้าเกี่ยวกับด้านใดด้านหนึ่ง จะต้องมีการตรวจสอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าและทรงกระบอกจริงจำนวนหนึ่ง แม้ว่ารูปทรงจะไม่สมบูรณ์แบบก็ตาม เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ คณิตศาสตร์เกิดขึ้นจากความต้องการของมนุษย์...แต่เช่นเดียวกับในทุกสาขาความคิด ในขั้นตอนหนึ่งของการพัฒนา กฎต่างๆ ซึ่งถูกแยกออกจากโลกแห่งความเป็นจริง จะกลายเป็นสิ่งที่แยกออกจากโลกแห่งความเป็นจริง และถูกตั้งขึ้นต่อต้านมันในฐานะสิ่งที่เป็นอิสระ ในฐานะกฎที่มาจากภายนอก ซึ่งโลกต้องปฏิบัติตาม" ^{[ 36 ] : 37}

หลังปี 2000 ^{[ 37 ]} ผู้เขียนเช่น Cédric Villaniได้กล่าวว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และนามธรรมที่ปราศจาก แนวทาง การสร้างสรรค์และคำนึงถึงกระบวนการทางปัญญาอื่นๆ^{[ 38 ]}อาจเป็นอันตรายต่อการศึกษา^{[ 39 ]} กล่าวโดยละเอียดคือ เพื่อปฏิรูปโรงเรียนและหลักสูตรในช่วงทศวรรษ 1960 และ 1970 นักคณิตศาสตร์ชั้นนำถูกถามถึงวิธีการสอนคณิตศาสตร์ และการวางรากฐานระบบการศึกษาบนทฤษฎีเซตดูเหมือนจะเป็นแนวทางที่เหมาะสม^{[ 40 ]}สิ่งนี้ส่งผลให้เกิดครูที่ไม่ได้รับการเตรียมพร้อม สื่อการเรียนการสอนที่มีคุณภาพต่ำ และท้ายที่สุดคือการศึกษาที่ด้อยคุณภาพ

แท้จริงแล้วเรายังไม่รู้ว่าผู้คนเรียนรู้คณิตศาสตร์ได้อย่างไร และควรส่งเสริมแนวทางการทดลองเพื่อทำความเข้าใจวิธีการสอนคณิตศาสตร์

ตัวอย่างบางส่วนดังกล่าว ได้แก่ การลงทุนในการศึกษาคณิตศาสตร์^{[ 41 ]}และโดยมูลนิธิไซมอนส์^{[ 42 ]}

วิทยาศาสตร์ที่แม่นยำทุกแขนงมักประกอบด้วยกระบวนการทางปัญญา 2 กระบวนการ ได้แก่ กระบวนการ อุปนัย (เช่น จากหลักฐานเชิงทดลองไปสู่ข้อสรุป) และ กระบวนการ นิรนัย (เช่น จากสัจพจน์ไปสู่ทฤษฎีบทและการพิสูจน์ ) ทั้งสองกระบวนการมีความสำคัญใน กระบวนการ สอนโดยเฉพาะอย่างยิ่งกระบวนการนิรนัยเป็นลักษณะเฉพาะของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ในขณะที่กระบวนการอุปนัยมีความสำคัญต่อการศึกษาคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ เชิงทดลอง

การระบาดของโควิดยังนำไปสู่สิ่งที่เรียกว่าวิกฤตการเรียนรู้ระดับโลก ^{[ 43 ]}ซึ่งส่งผลเสียต่อ การ ศึกษา ทางวิทยาศาสตร์ ทั้งหมด

ณ ปี 2026 LLM ที่วางจำหน่ายในเชิงพาณิชย์หลักๆ สามารถสร้างการพิสูจน์ทฤษฎีบทคลาสสิกได้หลายแบบ LLM อื่นๆ สามารถทำคะแนนได้สูงมากในการแข่งขันโอลิมปิกคณิตศาสตร์^{[ 44 ]}ซึ่งสะท้อนถึงคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลายโดยเฉลี่ย เทคโนโลยีนี้ แม้ว่าจะไม่สามารถสร้างสิ่งใหม่ๆ ได้ แต่ก็มีศักยภาพที่จะเปลี่ยนแปลงการศึกษาได้อย่างแท้จริง แต่ในปัจจุบันยังไม่เป็นเช่นนั้น

ณ ปี 2026 อาจเป็นไปได้ในบางกรณีที่จะสร้างฐานข้อมูลความรู้ทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่โดยอัตโนมัติ^{[ 45 ]} (เช่น การทำให้กระบวนการทดลองเป็นไปโดยอัตโนมัติ) และค้นหารูปแบบในชุดข้อมูลขนาดใหญ่โดยอัตโนมัติด้วยปัญญาประดิษฐ์เพื่อหาข้อสันนิษฐาน ทางคณิตศาสตร์ (เช่น การ ทำให้กระบวนการ อุปนัย เป็นไปโดยอัตโนมัติ ) ^{[ 46 ]}จากนั้น หลักฐานที่คาดการณ์ไว้ซึ่งสร้างขึ้นโดยปัญญาประดิษฐ์สามารถตรวจสอบได้ผ่านเครื่องมือช่วยพิสูจน์ เช่นLeanและฐานข้อมูลทฤษฎีบทขนาดใหญ่ที่สนับสนุน^{[ 47 ]} (การทำให้ กระบวนการ อนุมาน เป็นไปโดยอัตโนมัติ ) นักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่าแนวทางเหล่านี้อาจกลายเป็นกระแสหลักในศตวรรษที่ 21 ^{[ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]}

• คณิตศาสตร์ประยุกต์
• ตรรกะ
• ตรรกะเชิงอภิปรัชญา
• อภิคณิตศาสตร์

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

• คณิตศาสตร์บริสุทธิ์คืออะไร? – ภาควิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มหาวิทยาลัยวอเตอร์ลู
• หลักการทางคณิตศาสตร์โดยเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์