ในคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมทฤษฎีบทคือข้อความที่ได้รับการพิสูจน์ แล้ว หรือสามารถพิสูจน์ได้^{[ก] [ 2 ] [ 3 ]}การพิสูจน์ทฤษฎีบทคือการให้เหตุผลเชิงตรรกะที่ใช้กฎการอนุมานของระบบนิรนัยเพื่อสร้างว่าทฤษฎีบทนั้นเป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของสัจพจน์และทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้

ในคณิตศาสตร์กระแสหลัก สัจพจน์และกฎการอนุมานโดยทั่วไปมักถูกละไว้โดยปริยาย และในกรณีนี้ มักจะเป็นทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelพร้อมด้วยสัจพจน์ของการเลือก (ZFC) หรือทฤษฎีที่มีพลังน้อยกว่า เช่น เลขคณิต ของPeano ^{[ b ]}โดยทั่วไป ข้อความที่ระบุอย่างชัดเจนว่าเป็นทฤษฎีบทคือผลลัพธ์ที่พิสูจน์แล้วซึ่งไม่ใช่ผลสืบเนื่องโดยตรงจากทฤษฎีบทอื่น ๆ ที่รู้จัก ยิ่งไปกว่านั้น ผู้เขียนหลายคนจัดให้เฉพาะผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดเป็นทฤษฎีบทและใช้คำว่าlemma , propositionและcorollaryสำหรับทฤษฎีบทที่มีความสำคัญน้อยกว่า

ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์แนวคิดของทฤษฎีบทและการพิสูจน์ได้รับการทำให้เป็นทางการเพื่อให้สามารถให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสิ่งเหล่านั้นได้ ในบริบทนี้ ข้อความต่างๆ จะกลายเป็นสูตรที่มีรูปแบบดีของภาษาที่เป็นทางการบางภาษาทฤษฎีประกอบด้วยข้อความพื้นฐานบางอย่างที่เรียกว่าสัจพจน์และกฎการอนุมาน บางอย่าง (บางครั้งรวมอยู่ในสัจพจน์) ทฤษฎีบทของทฤษฎีคือข้อความที่สามารถอนุมานได้จากสัจพจน์โดยใช้กฎการอนุมาน^{[ c ]}การทำให้เป็นทางการนี้ทำให้เกิดทฤษฎีการพิสูจน์ซึ่งช่วยให้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับทฤษฎีบทและการพิสูจน์ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลแสดงให้เห็นว่าทุก ทฤษฎี ที่สอดคล้องกันซึ่งประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติมีข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่ทฤษฎีบทของทฤษฎี (นั่นคือไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในทฤษฎี)

เนื่องจากสัจพจน์มักเป็นนามธรรมของคุณสมบัติของโลกทางกายภาพทฤษฎีบทจึงอาจถือได้ว่าแสดงถึงความจริงบางอย่าง แต่ตรงกันข้ามกับแนวคิดของกฎทางวิทยาศาสตร์ซึ่งเป็นการทดลองการพิสูจน์ความจริงของทฤษฎีบทเป็นการอนุมานล้วนๆ^{[ 6 ] [ d ]} ข้อสันนิษฐานคือข้อเสนอชั่วคราวที่อาจพัฒนาไปเป็นทฤษฎีบทได้หากได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริง

จนกระทั่งถึงปลายศตวรรษที่ 19 และวิกฤตการณ์พื้นฐานของคณิตศาสตร์ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นจากคุณสมบัติพื้นฐานไม่กี่อย่างที่ถือว่าเป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดในตัวเอง เช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนธรรมชาติ ทุกจำนวน มีจำนวนถัดไป หรือว่ามีเส้นตรงเพียงเส้น เดียว ที่ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้ หรือกฎการอนุมานเชิงตรรกะที่ใช้ในการรวมข้อเท็จจริงเหล่านี้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท คุณสมบัติพื้นฐานเหล่านี้ที่ถือว่าเป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดอย่างแน่นอนเรียกว่าส postulatesหรือaxiomsตัวอย่างเช่นส postulates ของยูคลิดทฤษฎีบททั้งหมดได้รับการพิสูจน์โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานเหล่านี้โดยปริยายหรือโดยชัดแจ้ง และเนื่องจากคุณสมบัติพื้นฐานเหล่านี้ถือว่าเป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดในตัวเอง ทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วจึงถือว่าเป็นความจริงที่แน่นอน เว้นแต่จะมีข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ ตัวอย่างเช่น ยูคลิดพิสูจน์จาก axioms และ postulates เพียงไม่กี่ข้อว่าผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180° และนี่ถือว่าเป็นข้อเท็จจริงที่ไม่อาจโต้แย้งได้

แง่มุมหนึ่งของวิกฤตพื้นฐานของคณิตศาสตร์คือการค้นพบเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดซึ่งสร้างขึ้นโดยการเปลี่ยนแปลงสัจพจน์ข้อที่ห้าของยุคลิด เรขาคณิตเหล่านี้ไม่ได้นำไปสู่ความขัดแย้งภายในใดๆ แม้ว่าในเรขาคณิตดังกล่าว ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะแตกต่างจาก 180° ก็ตาม กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสมบัติ"ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°"อาจเป็นจริงหรือเท็จก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าสมมติหรือปฏิเสธสัจพจน์ข้อที่ห้าของยุคลิด ในทำนองเดียวกัน ในศตวรรษที่ 19 การใช้คุณสมบัติพื้นฐานที่ "เห็นได้ชัด" บางประการของเซตนำไปสู่ความขัดแย้งของปรากฏการณ์ของรัสเซลล์ซึ่งได้รับการแก้ไขแล้วโดยการปรับเปลี่ยนสัจพจน์ที่อนุญาตให้ใช้ในการจัดการกับเซต

โดยทั่วไป วิกฤตการณ์ในศตวรรษที่ 19 ได้รับการแก้ไขโดยการทบทวนรากฐานของคณิตศาสตร์เพื่อให้มีความเข้มงวด มากขึ้น ในรากฐานใหม่เหล่านี้ ทฤษฎีบทคือสูตรที่สมบูรณ์แบบของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์และกฎการอนุมานของทฤษฎี ดังนั้น ทฤษฎีบทข้างต้นเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมจึงกลายเป็น: ภายใต้สัจพจน์และกฎการอนุมานของเรขาคณิตแบบยุคลิดผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°ในทำนองเดียวกัน ปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์ก็หายไป เพราะในทฤษฎีเซตแบบสัจพจน์สมัยใหม่เซตของเซตทั้งหมดไม่สามารถแสดงได้ด้วยสูตรที่สมบูรณ์แบบ กล่าวคือ ถ้าเซตของเซตทั้งหมดสามารถแสดงได้ด้วยสูตรที่สมบูรณ์แบบ นั่นหมายความว่าทฤษฎีนั้นไม่สอดคล้องกันและข้อความยืนยันที่สมบูรณ์แบบทุกข้อความ รวมถึงการปฏิเสธของมัน จะเป็นทฤษฎีบท

ในบริบทนี้ ความถูกต้องของทฤษฎีบทขึ้นอยู่กับความถูกต้องของการพิสูจน์เท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับความจริง หรือแม้แต่ความหมายของสัจพจน์ใน "โลกแห่งความเป็นจริง" นี่ไม่ได้หมายความว่าความหมายของสัจพจน์ไม่น่าสนใจ แต่หมายความว่าความถูกต้องของทฤษฎีบทไม่ขึ้นอยู่กับความหมายของสัจพจน์ ความเป็นอิสระนี้อาจมีประโยชน์โดยอนุญาตให้ใช้ผลลัพธ์จากสาขาคณิตศาสตร์บางสาขาในสาขาที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันได้

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งของวิธีคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แบบนี้คือ ทำให้สามารถกำหนดทฤษฎีและทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์และพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวัตถุเหล่านั้นได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีข้อความยืนยันที่ถูกต้องซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่ใช่ทฤษฎีบทของทฤษฎีพื้นฐาน แม้ว่าจะสามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีที่กว้างกว่าก็ตาม ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของกูดสไตน์ซึ่งสามารถกล่าวได้ในเลขคณิตของพีอาโนแต่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้ในเลขคณิตของพีอาโน อย่างไรก็ตาม มันสามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีทั่วไปบางทฤษฎี เช่นทฤษฎีเซตของเซอร์เมโล-แฟรงเคิล

ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์หลายข้อเป็นประโยคเงื่อนไข ซึ่งการพิสูจน์จะอนุมานข้อสรุปจากเงื่อนไขที่เรียกว่าสมมติฐานหรือข้อตั้งต้นในแง่ของการตีความการพิสูจน์ว่าเป็นเครื่องยืนยันความจริง ข้อสรุปมักถูกมองว่าเป็นผลลัพธ์ที่จำเป็นของสมมติฐาน กล่าวคือ ข้อสรุปจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อสมมติฐานเป็นจริง โดยไม่ต้องมีข้อสมมติเพิ่มเติมใดๆ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขอาจถูกตีความแตกต่างกันในระบบการอนุมาน บางระบบ ขึ้นอยู่กับความหมายที่กำหนดให้กับกฎการอนุมานและสัญลักษณ์เงื่อนไข (เช่น ตรรกศาสตร์ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิก )

แม้ว่าทฤษฎีบทจะสามารถเขียนได้ในรูปแบบสัญลักษณ์โดยสมบูรณ์ (เช่น ในรูปของประพจน์ในแคลคูลัสเชิงประพจน์ ) แต่บ่อยครั้งที่มักจะแสดงออกมาอย่างไม่เป็นทางการในภาษาธรรมชาติ เช่น ภาษาอังกฤษ เพื่อให้อ่านง่ายขึ้น เช่นเดียวกับการพิสูจน์ ซึ่งมักจะแสดงออกมาในรูปของข้อโต้แย้งที่ไม่เป็นทางการที่มีการจัดระเบียบทางตรรกะและใช้ถ้อยคำที่ชัดเจน โดยมีจุดประสงค์เพื่อโน้มน้าวให้ผู้อ่านเชื่อในความจริงของข้อความทฤษฎีบทโดยปราศจากข้อสงสัยใดๆ และจากข้อโต้แย้งเหล่านั้นก็สามารถสร้างการพิสูจน์เชิงสัญลักษณ์ที่เป็นทางการได้ในทางทฤษฎี

นอกจากจะอ่านง่ายกว่าแล้ว การพิสูจน์แบบไม่เป็นทางการมักตรวจสอบได้ง่ายกว่าการพิสูจน์เชิงสัญลักษณ์เพียงอย่างเดียว อันที่จริง นักคณิตศาสตร์หลายคนอาจชอบการพิสูจน์ที่ไม่เพียงแต่แสดงให้เห็นถึงความถูกต้องของทฤษฎีบทเท่านั้น แต่ยังอธิบายด้วยว่าทำไมทฤษฎีบทนั้นจึงเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด ในบางกรณี อาจสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้โดยใช้รูปภาพเป็นหลักฐานด้วยซ้ำ

เนื่องจากทฤษฎีบทเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์ พวกมันจึงเป็นศูนย์กลางของสุนทรียศาสตร์ ของคณิตศาสตร์ด้วย เช่นกัน ทฤษฎีบทมักถูกอธิบายว่าเป็น "เรื่องธรรมดา" หรือ "ยาก" หรือ "ลึกซึ้ง" หรือแม้กระทั่ง "สวยงาม" การตัดสินเชิงอัตวิสัยเหล่านี้แตกต่างกันไปไม่เพียงแต่ในแต่ละบุคคลเท่านั้น แต่ยังแตกต่างกันไปตามกาลเวลาและวัฒนธรรมด้วย ตัวอย่างเช่น เมื่อมีการพิสูจน์ที่ง่ายขึ้นหรือเข้าใจได้ดีขึ้น ทฤษฎีบทที่เคยยากอาจกลายเป็นเรื่องธรรมดาได้^{[ 7 ]}ในทางกลับกัน ทฤษฎีบทที่ลึกซึ้งอาจกล่าวได้ง่ายๆ แต่การพิสูจน์อาจเกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงที่น่าประหลาดใจและละเอียดอ่อนระหว่างสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีของทฤษฎีบทดังกล่าว^{[ 8 ]}

ในทางตรรกศาสตร์ทฤษฎีบทหลายข้อมีรูปแบบเป็นประโยคเงื่อนไขบ่งชี้ : ถ้า A แล้ว Bทฤษฎีบทเช่นนี้ไม่ได้ยืนยันว่าB เป็น จริงแต่ยืนยันเพียงว่าBเป็นผลลัพธ์ที่จำเป็นของAในกรณีนี้Aเรียกว่าสมมติฐานของทฤษฎีบท ("สมมติฐาน" ในที่นี้มีความหมายแตกต่างจากการคาดเดา ) และB เรียกว่า ข้อสรุปของทฤษฎีบท ทั้งสองอย่างรวมกัน (โดยไม่รวมการพิสูจน์) เรียกว่าข้อเสนอหรือข้อความของทฤษฎีบท (เช่น " ถ้า A แล้ว B " คือข้อเสนอ ) หรืออีกทางหนึ่งAและBอาจเรียกว่าส่วนนำและส่วนตามตามลำดับ^{[ 9 ]}ทฤษฎีบท "ถ้าnเป็นจำนวนธรรมชาติ คู่ แล้วn /2 เป็นจำนวนธรรมชาติ" เป็นตัวอย่างทั่วไปที่สมมติฐานคือ " nเป็นจำนวนธรรมชาติคู่" และข้อสรุปคือ " n /2 ก็เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน"

เพื่อให้ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์ได้ ในทางทฤษฎีแล้ว ทฤษฎีบทนั้นจะต้องสามารถแสดงออกมาในรูปประโยคที่เป็นทางการและแม่นยำได้ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทมักจะแสดงออกมาในภาษาธรรมชาติมากกว่าในรูปแบบสัญลักษณ์โดยสมบูรณ์ โดยมีข้อสันนิษฐานว่าสามารถอนุมานประโยคที่เป็นทางการได้จากประโยคที่ไม่เป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะเลือกสมมติฐานจำนวนหนึ่งภายในภาษาที่กำหนด และประกาศว่าทฤษฎีนั้นประกอบด้วยข้อความทั้งหมดที่สามารถพิสูจน์ได้จากสมมติฐานเหล่านี้ สมมติฐานเหล่านี้เป็นรากฐานของทฤษฎีและเรียกว่าสัจพจน์หรือข้อกำหนดเบื้องต้น สาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีการพิสูจน์ศึกษาภาษาที่เป็นทางการ สัจพจน์ และโครงสร้างของการพิสูจน์

ทฤษฎีบทบางข้อเป็น " ทฤษฎีบทที่ไม่สำคัญ " ในแง่ที่ว่าเป็นผลมาจากคำจำกัดความ สัจพจน์ และทฤษฎีบทอื่นๆ อย่างชัดเจน และไม่มีข้อมูลเชิงลึกที่น่าประหลาดใจใดๆ ในทางกลับกัน บางทฤษฎีบทอาจเรียกว่า "ทฤษฎีบทที่ลึกซึ้ง" เพราะการพิสูจน์อาจยาวและยาก เกี่ยวข้องกับสาขาคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนแตกต่างจากข้อความของทฤษฎีบทเอง หรือแสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงที่น่าประหลาดใจระหว่างสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน^{[ 10 ]}ทฤษฎีบทอาจกล่าวได้ง่ายแต่ลึกซึ้ง ตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมคือทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ [ ^{8 ]}และยังมีตัวอย่างอื่นๆ อีกมากมายของทฤษฎีบทที่เรียบง่ายแต่ลึกซึ้งในทฤษฎีจำนวนและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงรวมถึงสาขาอื่นๆ ^ด้วย

ทฤษฎีบทอื่นๆ มีบทพิสูจน์ที่ทราบกันดีอยู่แล้ว แต่ไม่สามารถเขียนลงได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดคือทฤษฎีบทสี่สีและสมมติฐานของเคปเลอร์ทฤษฎีบททั้งสองนี้ทราบว่าเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อลดทอนให้เหลือเพียงการค้นหาเชิงคำนวณ จากนั้นจึงตรวจสอบโดยโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ในตอนแรก นักคณิตศาสตร์หลายคนไม่ยอมรับรูปแบบการพิสูจน์นี้ แต่ต่อมาได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางมากขึ้น นักคณิตศาสตร์Doron Zeilbergerถึงกับอ้างว่านี่อาจเป็นผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดาเพียงอย่างเดียวที่นักคณิตศาสตร์เคยพิสูจน์ได้^{[ 11 ]}ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์หลายอย่างสามารถลดทอนให้เหลือเพียงการคำนวณที่ตรงไปตรงมามากขึ้นได้ รวมถึงเอกลักษณ์พหุนาม เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ^{[ e ]}และเอกลักษณ์ไฮเปอร์จีโอเมตริก^{[ 12 ]}

ทฤษฎีบทในคณิตศาสตร์และทฤษฎีในวิทยาศาสตร์นั้นแตกต่างกันโดยพื้นฐานในด้านญาณวิทยาทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ไม่สามารถพิสูจน์ได้ คุณลักษณะสำคัญของมันคือสามารถพิสูจน์ได้ว่าผิด กล่าวคือ มันทำนายเกี่ยวกับโลกธรรมชาติที่สามารถทดสอบได้ด้วยการทดลองความไม่สอดคล้องกันระหว่างการทำนายและการทดลองแสดงให้เห็นถึงความไม่ถูกต้องของทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ หรืออย่างน้อยก็จำกัดความถูกต้องหรือขอบเขตความถูกต้องของมัน ในทางกลับกัน ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์เป็นเพียงข้อความเชิงนามธรรมที่เป็นทางการเท่านั้น การพิสูจน์ทฤษฎีบทไม่สามารถเกี่ยวข้องกับการทดลองหรือหลักฐานเชิงประจักษ์อื่น ๆ ในลักษณะเดียวกับที่ใช้หลักฐานดังกล่าวเพื่อสนับสนุนทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์^{[ 6 ]}

ถึงกระนั้น การค้นพบทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ก็ยังเกี่ยวข้องกับการสังเกตและรวบรวมข้อมูลในระดับหนึ่ง โดยการสร้างแบบแผนขึ้นมา บางครั้งอาจใช้คอมพิวเตอร์ที่มีประสิทธิภาพสูง นักคณิตศาสตร์อาจพอรู้ว่าต้องพิสูจน์อะไร และในบางกรณีอาจวางแผนวิธีการพิสูจน์ได้ด้วยซ้ำ นอกจากนี้ยังสามารถหาตัวอย่างค้านเพียงตัวอย่างเดียวเพื่อพิสูจน์ว่าข้อเสนอที่กล่าวมานั้นเป็นไปไม่ได้ และอาจเสนอรูปแบบที่จำกัดของข้อเสนอเดิมที่อาจพิสูจน์ได้

ตัวอย่างเช่น ทั้งข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์และสมมติฐานของรีมันน์เป็นปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกซึ่งเป็นที่รู้จักกันดี มีการศึกษาอย่างกว้างขวางผ่านการตรวจสอบเชิงประจักษ์ แต่ก็ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์ได้รับการยืนยันแล้วสำหรับค่าเริ่มต้นจนถึงประมาณ 2.88 × 10¹⁸ ^ส่วนสมมติฐานของรีมันน์ได้รับการยืนยันแล้วว่าเป็นจริงสำหรับศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ศูนย์แรก 10 ล้านล้านตัวของฟังก์ชันซีตาแม้ว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะยอมรับได้ว่าข้อสันนิษฐานและสมมติฐานนั้นเป็นจริง แต่ก็ยังไม่มีข้อเสนอใดที่ถือว่าได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐานดังกล่าวไม่ถือเป็นข้อพิสูจน์ ตัวอย่างเช่นข้อสันนิษฐานของเมอร์เทนส์เป็นข้อความเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติที่ปัจจุบันทราบกันดีว่าไม่เป็นความจริง แต่ยังไม่มีตัวอย่างค้านที่ชัดเจน (เช่น จำนวนธรรมชาติnที่ฟังก์ชันเมอร์เทนส์M ( n ) เท่ากับหรือมากกว่ารากที่สองของn ) ที่ทราบกันดี: จำนวนทั้งหมดที่น้อยกว่า^10¹⁴มีคุณสมบัติเมอร์เทนส์ และจำนวนที่เล็กที่สุดที่ไม่มีคุณสมบัตินี้ทราบกันเพียงว่าน้อยกว่าเลขชี้กำลังของ 1.59 × ^10⁴⁰ซึ่งประมาณ 10 ยกกำลัง 4.3 × ^10³⁹เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจำนวนอนุภาคในจักรวาลถือว่าน้อยกว่า 10 ยกกำลัง 100 (กูเกิล ) จึงไม่มีหวังที่จะหาตัวอย่างค้านที่ชัดเจนได้ด้วยการค้นหาอย่างละเอียดถี่ถ้วน

คำว่า "ทฤษฎี" ยังมีอยู่ในคณิตศาสตร์ด้วย เพื่อใช้เรียกกลุ่มของสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ เช่น ในทฤษฎีกลุ่ม (ดูทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ ) นอกจากนี้ยังมี "ทฤษฎีบท" ในวิทยาศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และในวิศวกรรมศาสตร์ แต่ทฤษฎีบทเหล่านั้นมักมีข้อความและการพิสูจน์ที่อาศัยสมมติฐานทางกายภาพและสัญชาตญาณเป็นพื้นฐาน ซึ่งสัจพจน์ทางกายภาพที่ใช้เป็นพื้นฐานของ "ทฤษฎีบท" เหล่านั้นเองก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิด

มีคำศัพท์หลายคำที่ใช้เรียกข้อความทางคณิตศาสตร์ คำศัพท์เหล่านี้บ่งบอกถึงบทบาทของข้อความเหล่านั้นในสาขาวิชาเฉพาะ การแยกแยะความแตกต่างระหว่างคำศัพท์ต่างๆ นั้นบางครั้งก็ค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจ และการใช้คำศัพท์บางคำก็มีการเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา

• สัจพจน์หรือสมมติฐานคือข้อสันนิษฐานพื้นฐานเกี่ยวกับวัตถุของการศึกษา ซึ่งได้รับการยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ แนวคิดที่เกี่ยวข้องคือคำจำกัดความ ซึ่งให้ความหมายของคำหรือวลีในแง่ของแนวคิดที่รู้จัก เรขาคณิตแบบคลาสสิ กแยกแยะระหว่างสัจพจน์ ซึ่งเป็นข้อความทั่วไป และสมมติฐาน ซึ่งเป็นข้อความเกี่ยวกับวัตถุทางเรขาคณิต^{[ 13 ]}ในอดีต สัจพจน์ถือว่าเป็น " สิ่งที่เห็นได้ชัดในตัวเอง " ปัจจุบันถือว่าสัจพจน์เป็นจริง เท่านั้น
• ข้อสันนิษฐานคือ ข้อความที่ยังไม่ได้พิสูจน์ แต่เชื่อกันว่าเป็นจริง โดยปกติแล้วข้อสันนิษฐานมักถูกกล่าวในที่สาธารณะ และตั้งชื่อตามผู้กล่าว (เช่นข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคและข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์ ) คำว่าสมมติฐานก็ใช้ในความหมายนี้เช่นกัน (เช่นสมมติฐานของรีมันน์ ) ซึ่งไม่ควรสับสนกับ "สมมติฐาน" ในฐานะข้อตั้งต้นของการพิสูจน์ นอกจากนี้ยังมีการใช้คำอื่นๆ ในบางครั้ง เช่นปัญหาเมื่อผู้คนไม่แน่ใจว่าควรเชื่อว่าข้อความนั้นเป็นจริงหรือไม่
  • บางครั้งชื่อของปัญหาที่ใช้กันทั่วไปอาจไม่ตรงกับสิ่งที่ถูกต้องทางเทคนิคที่สุดทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ถูกเรียกว่าทฤษฎีบทในทางประวัติศาสตร์ แม้ว่าเป็นเวลาหลายศตวรรษที่มันเป็นเพียงข้อสันนิษฐาน^{[ 14 ]}ในทางกลับกันข้อสันนิษฐานของปวงกาเรยังคงถูกเรียกโดยทั่วไปว่าข้อสันนิษฐาน แม้ว่าจะได้รับการพิสูจน์แล้วในปี 2002
• ทฤษฎีบทคือข้อความที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงโดยอาศัยสัจพจน์และทฤษฎีบทอื่นๆ
• ประพจน์ คือ ทฤษฎีบทที่มีความสำคัญน้อยกว่า หรือเป็นทฤษฎีบทที่ถือว่าพื้นฐานหรือชัดเจนมากจนสามารถกล่าวได้โดยไม่ต้องพิสูจน์ ไม่ควรสับสนระหว่างคำว่า "ประพจน์" ในที่นี้กับ "ประพจน์" ที่ใช้ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ในเรขาคณิตคลาสสิก คำว่า "ประพจน์" ถูกใช้แตกต่างออกไป: ในหนังสือ Elementsของยูคลิด ( ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล ) ทฤษฎีบทและการสร้างทางเรขาคณิตทั้งหมดถูกเรียกว่า "ประพจน์" โดยไม่คำนึงถึงความสำคัญของมัน
• บท พิสูจน์เสริม (lemma ) คือ "ข้อเสนอประพจน์เสริม" — ข้อเสนอประพจน์ที่มีประโยชน์น้อยนอกเหนือจากการใช้ในบทพิสูจน์เฉพาะเจาะจง เมื่อเวลาผ่านไป บทพิสูจน์เสริมอาจมีความสำคัญมากขึ้นและได้รับการพิจารณาว่าเป็นทฤษฎีบทแม้ว่าโดยทั่วไปแล้วคำว่า "บทพิสูจน์เสริม" จะยังคงเป็นส่วนหนึ่งของชื่อ (เช่นบทพิสูจน์เสริมของเกาส์บทพิสูจน์เสริมของซอร์นและบทพิสูจน์เสริมพื้นฐาน )
• บทสรุปคือข้อเสนอที่เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทหรือสัจพจน์อื่นโดยไม่จำเป็นต้องพิสูจน์มากนัก^{[ 15 ]}บทสรุปอาจเป็นการกล่าวซ้ำทฤษฎีบทในรูปแบบที่ง่ายกว่า หรือสำหรับกรณีพิเศษตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบท "มุมภายในทั้งหมดในสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นมุมฉาก " มีบทสรุปว่า "มุมภายในทั้งหมดในสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นมุมฉาก " — โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• การสรุปทั่วไปของทฤษฎีบท คือ ทฤษฎีบทที่มีข้อความคล้ายกันแต่มีขอบเขตที่กว้างกว่า ซึ่งสามารถอนุมานทฤษฎีบทดั้งเดิมได้เป็นกรณีพิเศษ ( บทสรุป ) ^{[ f ]}

อาจมีการใช้คำอื่นๆ ด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์หรือธรรมเนียมปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น:

• เอกลักษณ์คือทฤษฎีบทที่ระบุความเท่าเทียมกันระหว่างนิพจน์สองนิพจน์ ซึ่งใช้ได้กับค่าใดๆ ภายในขอบเขต ของมัน (เช่นเอกลักษณ์ของเบซูต์และเอกลักษณ์ของแวนเดอร์มอนด์ )
• กฎ คือ ทฤษฎีบทที่สร้างสูตรที่มีประโยชน์ (เช่นกฎของเบย์สและกฎของเครเมอร์ )
• กฎหรือหลักการคือทฤษฎีบทที่มีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวาง (เช่นกฎของจำนวนมากกฎของโคไซน์ กฎศูนย์-หนึ่งของโคลโมโกรอฟหลักการของฮาร์แน็คหลักการขอบเขตบนน้อยที่สุดและหลักการรังนกพิราบ ) ^{[ g ]}

ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงบางทฤษฎีมีชื่อเรียกเฉพาะตัวที่แปลกประหลาดกว่านั้นอีก ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึมการหาร สูตรของออยเลอร์และความขัดแย้งของบานาค-ทาร์สกี

ในเอกสารภาษาอังกฤษ ทฤษฎีบท (ซึ่งมักถูกจัดประเภทเป็นประพจน์ บทพิสูจน์ย่อย หรือบทสรุป และระบุไว้เช่นนั้น) และการพิสูจน์มักจะนำเสนอในรูปแบบดังต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท (ไวลส์, 1994) ให้ x, y, z และ n เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿและ n ≥ 3 แล้ว xyz = 0

หลักฐาน [เริ่มหลักฐาน]

[ข้อความพิสูจน์ต่อ]

[......................................]

[ข้อความพิสูจน์ต่อ] [จบการพิสูจน์]∎

การสิ้นสุดของการพิสูจน์อาจระบุด้วยตัวอักษรQED ( quod erat demonstrandum ) หรือด้วย เครื่องหมาย หลุมศพ อย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น "□" หรือ "∎" ซึ่งหมายถึง "สิ้นสุดการพิสูจน์" ที่Paul Halmos นำมา ใช้หลังจากที่มีการใช้ในนิตยสารเพื่อระบุจุดสิ้นสุดของบทความ^{[ 16 ]}

รูปแบบการจัดพิมพ์ที่แน่นอนนั้นขึ้นอยู่กับผู้เขียนหรือสำนักพิมพ์ สำนักพิมพ์หลายแห่งมักมีคำแนะนำหรือมาโครสำหรับการจัดพิมพ์ตามรูปแบบของสำนักพิมพ์นั้น ๆ

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทมักจะมีคำนิยามที่อธิบายความหมายที่แท้จริงของคำศัพท์ที่ใช้ในทฤษฎีบทนั้นอยู่ก่อนหน้า นอกจากนี้ ยังมักมีข้อความหรือบทพิสูจน์ย่อย จำนวนหนึ่งอยู่ก่อนหน้าทฤษฎีบท ซึ่งจะนำมาใช้ในการพิสูจน์ อย่างไรก็ตาม บางครั้งบทพิสูจน์ย่อยเหล่านั้นก็ถูกรวมอยู่ในขั้นตอนการพิสูจน์ทฤษฎีบท ไม่ว่าจะเป็นการพิสูจน์แบบซ้อนกัน หรือการนำเสนอการพิสูจน์ของบทพิสูจน์ย่อยเหล่านั้นหลังจากที่พิสูจน์ทฤษฎีบทเสร็จแล้ว

บทสรุปย่อยของทฤษฎีบทมักจะปรากฏอยู่ระหว่างทฤษฎีบทและบทพิสูจน์ หรือปรากฏอยู่หลังบทพิสูจน์โดยตรง บางครั้ง บทสรุปย่อยก็มีบทพิสูจน์ของตนเองที่อธิบายว่าเหตุใดจึงเป็นผลมาจากทฤษฎีบท

มีการประมาณการว่ามีการพิสูจน์ทฤษฎีบทมากกว่าหนึ่งในสี่ล้านทฤษฎีบทในแต่ละปี^{[ 17 ]}

สุภาษิตที่รู้จักกันดีที่ว่า"นักคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือสำหรับเปลี่ยนกาแฟให้เป็นทฤษฎีบท"น่าจะเป็นผลงานของAlfréd Rényiแม้ว่ามักจะถูกยกให้เป็นผลงานของPaul Erdős เพื่อนร่วมงานของ Rényi (และ Rényi อาจกำลังนึกถึง Erdős อยู่) ซึ่งมีชื่อเสียงจากทฤษฎีบทมากมายที่เขาสร้างขึ้นจำนวนการทำงานร่วมกับผู้อื่น และการดื่มกาแฟของเขา^{[ 18 ]}

การจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดถือได้ว่าเป็นบทพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยาวที่สุดโดยบางคน ประกอบด้วยเอกสารหลายหมื่นหน้าในบทความวารสาร 500 ฉบับโดยผู้เขียนประมาณ 100 คน เอกสารเหล่านี้เชื่อกันว่าให้บทพิสูจน์ที่สมบูรณ์ และมีโครงการที่กำลังดำเนินการอยู่หลายโครงการที่หวังจะย่อและทำให้บทพิสูจน์นี้ง่ายขึ้น^{[ 19 ]}ทฤษฎีบทประเภทนี้อีกทฤษฎีบทหนึ่งคือทฤษฎีบทสี่สีซึ่งบทพิสูจน์ที่สร้างโดยคอมพิวเตอร์นั้นยาวเกินกว่าที่มนุษย์จะอ่านได้^{[ 20 ]}

ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีเชิงรูปธรรมคือเซตของประโยคภายในภาษาเชิงรูปธรรมประโยคคือสูตรที่มีรูปแบบดีโดยไม่มีตัวแปรอิสระ ประโยคที่เป็นสมาชิกของทฤษฎีคือทฤษฎีบทหนึ่งของทฤษฎีบทนั้น และทฤษฎีบทคือเซตของทฤษฎีบทนั้น โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทจะเข้าใจได้ว่าปิดภายใต้ความสัมพันธ์ของผลลัพธ์เชิงตรรกะบางทฤษฎีบทกำหนดให้ทฤษฎีบทปิดภายใต้ ความสัมพันธ์ ของผลลัพธ์เชิงความหมาย ( ) ในขณะที่บางทฤษฎีบทกำหนดให้ทฤษฎีบทปิดภายใต้ผลลัพธ์เชิงไวยากรณ์หรือความสัมพันธ์ของการอนุมาน ( ) ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}${\displaystyle \models }$${\displaystyle \vdash }$

เพื่อให้ทฤษฎีหนึ่ง ๆ ปิดภายใต้ความสัมพันธ์ของการอนุมานได้ ทฤษฎีนั้นจะต้องเชื่อมโยงกับระบบการอนุมานที่ระบุวิธีการอนุมานทฤษฎีบท ระบบการอนุมานอาจระบุไว้อย่างชัดเจน หรืออาจเข้าใจได้จากบริบท การปิดของเซตว่างภายใต้ความสัมพันธ์ของผลลัพธ์เชิงตรรกะจะให้เซตที่ประกอบด้วยประโยคเหล่านั้นซึ่งเป็นทฤษฎีบทของระบบการอนุมาน

ในความหมายกว้างๆ ที่ใช้ในตรรกศาสตร์ ทฤษฎีบทไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป เนื่องจากทฤษฎีที่บรรจุทฤษฎีบทนั้นอาจไม่สมเหตุสมผลเมื่อเทียบกับความหมายที่กำหนด หรือเมื่อเทียบกับการตีความ มาตรฐาน ของภาษาพื้นฐาน ทฤษฎีที่ไม่สอดคล้องกัน นั้น จะมีประโยคทั้งหมดเป็นทฤษฎีบท

นิยามของทฤษฎีบทในฐานะประโยคของภาษาเชิงรูปธรรมนั้นมีประโยชน์ในทฤษฎีการพิสูจน์ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างของการพิสูจน์เชิงรูปธรรมและโครงสร้างของสูตรที่พิสูจน์ได้ นอกจากนี้ยังมีความสำคัญในทฤษฎีแบบจำลองซึ่งเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีเชิงรูปธรรมและโครงสร้างที่สามารถให้ความหมายแก่ทฤษฎีบทเหล่านั้นผ่านการ ตีความ

แม้ว่าทฤษฎีบทอาจเป็นประโยคที่ไม่มีการตีความ แต่ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์สนใจความหมายของประโยคมากกว่า กล่าวคือ สนใจข้อเสนอที่ประโยคเหล่านั้นแสดงออกมา สิ่งที่ทำให้ทฤษฎีบทเชิงรูปธรรมมีประโยชน์และน่าสนใจคือ ทฤษฎีบทเหล่านั้นสามารถตีความได้ว่าเป็นข้อเสนอที่เป็นจริง และการพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านั้นสามารถตีความได้ว่าเป็นข้อพิสูจน์ความจริงของทฤษฎีบทเหล่านั้น ทฤษฎีบทที่มีการตีความว่าเป็นข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับระบบเชิงรูปธรรม (ตรงข้ามกับภายในระบบเชิงรูปธรรม) เรียกว่าเมตาทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทที่สำคัญบางประการในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่:

• ความกะทัดรัดของตรรกะลำดับที่หนึ่ง
• ความสมบูรณ์ของตรรกะลำดับที่หนึ่ง
• ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลในเลขคณิตอันดับหนึ่ง
• ความสอดคล้องของเลขคณิตอันดับหนึ่ง
• ทฤษฎีบทที่ไม่อาจนิยามได้ของทาร์สกี้
• ทฤษฎีบทเชิร์ช-ทัวริงว่าด้วยความไม่สามารถตัดสินได้
• ทฤษฎีบทของโลบ
• ทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเลม
• ทฤษฎีบทของลินด์สตรอม
• ทฤษฎีบทของเครก
• ทฤษฎีบทการกำจัดการตัด

แนวคิดของทฤษฎีบทเชิงรูปธรรมนั้นเป็นเรื่องทางไวยากรณ์เป็นพื้นฐาน ตรงกันข้ามกับแนวคิดของประพจน์ที่เป็นจริงซึ่งเกี่ยวข้อง กับความหมาย ระบบการอนุมานที่แตกต่างกันสามารถให้การตีความที่แตกต่างกันได้ ขึ้นอยู่กับข้อสันนิษฐานของกฎการอนุมาน (เช่นความเชื่อการให้เหตุผลหรือรูปแบบอื่นๆ) ความถูกต้องของระบบเชิงรูปธรรมขึ้นอยู่กับว่าทฤษฎีบททั้งหมดของระบบนั้นเป็นสูตรที่ถูกต้องหรือไม่ สูตรที่ถูกต้องคือสูตรที่เป็นจริงภายใต้การตีความที่เป็นไปได้ทุกแบบ (ตัวอย่างเช่น ในตรรกศาสตร์ประพจน์แบบคลาสสิก สูตรที่ถูกต้องคือสัจนิรันดร์ ) ระบบเชิงรูปธรรมจะถือว่าสมบูรณ์ทางความหมายเมื่อทฤษฎีบททั้งหมดของระบบนั้นเป็นสัจนิรันดร์ด้วย

• กฎ (คณิตศาสตร์)
• รายชื่อทฤษฎีบท
• รายชื่อทฤษฎีบทที่เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐาน
• สูตร
• การอนุมาน
• ทฤษฎีของเล่น

• บูลอส, จอร์จ ; เบอร์เจส, จอห์น ; เจฟฟรีย์, ริชาร์ด (2007). ความสามารถในการคำนวณและตรรกศาสตร์ (ฉบับที่ 5). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
• เอ็นเดอร์ตัน, เฮอร์เบิร์ต (2001). บทนำทางคณิตศาสตร์สู่ตรรกศาสตร์ (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์ฮาร์คอร์ต อคาเดมิก เพรส.
• Heath, Sir Thomas Little (1897). ผลงานของอาร์คิมีดีส . โดเวอร์. สืบค้นเมื่อ2009-11-15 .
• เฮดแมน, ชอว์น (2004). ตรรกศาสตร์เบื้องต้น . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.
• ฮินแมน, ปีเตอร์ (2005). พื้นฐานของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ . เวลส์ลีย์, แมสซาชูเซตส์: เอเค ปีเตอร์ส.
• ฮอฟฟ์แมน, พอล (1998). ชายผู้รักเพียงตัวเลข : เรื่องราวของพอล เออร์โดส และการแสวงหาความจริงทางคณิตศาสตร์ไฮเปอเรียน, นิวยอร์กISBN 1-85702-829-5.
• ฮอดจ์ส, วิลฟรีด (1993). ทฤษฎีแบบจำลอง . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์.
• Johnstone, PT (1987). บันทึกเกี่ยวกับตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์.
• มงค์, เจ. โดนัลด์ (1976). ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ . สปริงเกอร์-เวอร์แลก.
• เพตคอฟเซค, มาร์โค; วิลฟ์, เฮอร์เบิร์ต; ไซล์เบอร์เกอร์, โดรอน (1996) ก = ข (PDF) . เอเค ปีเตอร์ส, เวลส์ลีย์, แมสซาชูเซตส์ไอเอสบีเอ็น 1-56881-063-6.
• Rautenberg, Wolfgang (2010). บทนำโดยย่อเกี่ยวกับตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 3). Springer.
• ฟาน ดาเลน, เดิร์ก (1994) ตรรกะและโครงสร้าง (ฉบับที่ 3) สปริงเกอร์-แวร์แลก
• เวนท์เวิร์ธ ก.; สมิธ เดลาแวร์ (1913) เรขาคณิตเครื่องบิน . จินน์ แอนด์ โค

• ชิสเวลล์, เอียน; ฮอดจ์ส, วิลเฟรด (2007). ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.
• Hunter, Geoffrey (1996) [1971]. Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย (ตีพิมพ์ปี 1973). ISBN 9780520023567. OCLC  36312727 .( สามารถเข้าถึงได้สำหรับผู้ใช้บริการที่มีความบกพร่องทางการอ่าน )
• Mates, Benson (1972). ตรรกศาสตร์เบื้องต้น . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-19-501491-X.

ค้นหาคำว่า "ทฤษฎีบท"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบท" . แมทเวิลด์ .
• ทฤษฎีบทประจำวัน