ทฤษฎีบทเคปเลอร์ ซึ่งตั้งชื่อตาม โยฮันเนส เคปเลอร์นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 เป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับการจัดเรียงทรงกลม ใน ปริภูมิยูคลิดสามมิติ ทฤษฎีบท นี้กล่าวว่า การจัดเรียงทรงกลม ที่มีขนาดเท่ากันทั้งหมดแบบใด ๆ ก็ตามที่เติมเต็มปริภูมิ โดยไม่มีความหนาแน่นเฉลี่ยมากกว่าการจัดเรียงแบบลูกบาศก์อัดแน่น ( ลูกบาศก์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่หน้า ) และ การจัด เรียงแบบหกเหลี่ยมอัดแน่นความหนาแน่นของการจัดเรียงเหล่านี้อยู่ที่ประมาณ 74.05%

ในปี 1998 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันThomas Halesได้ประกาศว่าเขามีหลักฐานพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของเคปเลอร์โดยปฏิบัติตามแนวทางที่Fejes Tóth (1953) แนะนำ หลักฐานพิสูจน์ของ Hales เป็น หลักฐานพิสูจน์โดยการพิสูจน์อย่างละเอียดถี่ถ้วนซึ่งเกี่ยวข้องกับการตรวจสอบกรณีต่างๆ จำนวนมากโดยใช้การคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ที่ซับซ้อน ผู้ตัดสินกล่าวว่าพวกเขา "มั่นใจ 99%" ในความถูกต้องของหลักฐานพิสูจน์ของ Hales และข้อสันนิษฐานของเคปเลอร์ได้รับการยอมรับเป็นทฤษฎีบทในปี 2014 ทีมงานโครงการ Flyspeck ซึ่งนำโดย Hales ได้ประกาศความสำเร็จของการพิสูจน์อย่างเป็นทางการของข้อสันนิษฐานของเคปเลอร์โดยใช้การผสมผสานของตัวช่วยพิสูจน์IsabelleและHOL Light ในปี 2017 หลักฐานพิสูจน์อย่างเป็นทางการได้รับการยอมรับจากวารสารForum of Mathematics, Pi ^{[ 1 ]}

ลองนึกภาพการบรรจุภาชนะขนาดใหญ่ด้วยลูกทรงกลมขนาดเล็กที่มีขนาดเท่ากัน เช่น เหยือกเซรามิกขนาดหนึ่งแกลลอนที่บรรจุลูกแก้วขนาดเดียวกันทั้งหมด ความหนาแน่นของการจัดเรียงจะเท่ากับปริมาตรทั้งหมดของลูกแก้วหารด้วยปริมาตรของเหยือก การเพิ่มจำนวนลูกแก้วในเหยือกให้มากที่สุดหมายถึงการจัดเรียงลูกแก้วให้ซ้อนกันระหว่างด้านข้างและก้นเหยือก ซึ่งมีความหนาแน่นสูงสุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เพื่อให้ลูกแก้วอยู่ชิดกันมากที่สุด

การทดลองแสดงให้เห็นว่าการหยอดลูกแก้วแบบสุ่ม โดยไม่ต้องจัดเรียงให้แน่น จะทำให้ได้ความหนาแน่นประมาณ 65% ^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม สามารถเพิ่มความหนาแน่นได้โดยการจัดเรียงลูกแก้วอย่างระมัดระวังดังต่อไปนี้:

1. สำหรับชั้นแรกของลูกแก้ว ให้จัดเรียงเป็นรูปทรงหกเหลี่ยม ( แบบรังผึ้ง )
2. วางลูกแก้วชั้นถัดไปลงในช่องว่างที่ต่ำที่สุดเท่าที่จะหาได้ เหนือและระหว่างลูกแก้วในชั้นแรก โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบ
3. ทำตามขั้นตอนเดิมคือเติมลูกแก้วลงในช่องว่างที่ต่ำที่สุดในชั้นก่อนหน้า สำหรับชั้นที่สามและชั้นที่เหลือ จนกระทั่งลูกแก้วเรียงตัวถึงขอบบนสุดของเหยือก

ในแต่ละขั้นตอนจะมีทางเลือกอย่างน้อยสองทางในการวางชั้นถัดไป ดังนั้นวิธีการเรียงซ้อนทรงกลมแบบไม่วางแผนนี้จึงสร้างรูปแบบการจัดเรียงที่มีความหนาแน่นเท่ากันเป็นจำนวนอนันต์ที่นับไม่ถ้วน รูปแบบที่รู้จักกันดีที่สุดเรียกว่า การจัดเรียงแบบลูกบาศก์อัดแน่น (cubic close packing ) และการจัดเรียงแบบหกเหลี่ยมอัดแน่น (hexagonal close packing ) การจัดเรียงแต่ละแบบมีความหนาแน่นเฉลี่ยเท่ากับ

$${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0.740480489\ldots }$$

สมมติฐานของ เคปเลอร์ กล่าวว่า นี่คือวิธีที่ดีที่สุดที่สามารถทำได้แล้ว ไม่มีวิธีการจัดเรียงลูกแก้วแบบอื่นใดที่มีความหนาแน่นเฉลี่ยสูงกว่านี้: แม้ว่าจะมีวิธีการจัดเรียงที่แตกต่างกันมากมายอย่างน่าทึ่งซึ่งเป็นไปตามขั้นตอนเดียวกันกับขั้นตอนที่ 1-3 แต่ก็ไม่มีวิธีการบรรจุใด (ไม่ว่าจะตามขั้นตอนหรือไม่ก็ตาม) ที่สามารถใส่ลูกแก้วได้มากกว่านี้ลงในเหยือกเดียวกัน

ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการกล่าวถึงครั้งแรกโดยโยฮันเนส เคปเลอร์  ( 1611 ) ในบทความของเขาเรื่อง 'เกี่ยวกับเกล็ดหิมะหกเหลี่ยม' เขาเริ่มศึกษาการจัดเรียงทรงกลมอันเป็นผลมาจากการติดต่อกับโทมัส แฮร์ริออต นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ ในปี 1606 แฮร์ริออตเป็นเพื่อนและผู้ช่วยของเซอร์วอลเตอร์ ราลีห์ซึ่งได้ขอให้แฮร์ริออตค้นหาสูตรสำหรับการนับลูกปืนใหญ่ที่ซ้อนกัน ซึ่งงานนี้เองที่ทำให้เพื่อนนักคณิตศาสตร์ของราลีห์สงสัยเกี่ยวกับวิธีที่ดีที่สุดในการซ้อนลูกปืนใหญ่^{[ 3 ]}แฮร์ริออตได้ตีพิมพ์การศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบการซ้อนต่างๆ ในปี 1591 และต่อมาได้พัฒนาทฤษฎี อะตอม เวอร์ชันแรก

เคปเลอร์ไม่มีหลักฐานพิสูจน์ข้อสันนิษฐานดังกล่าว และคาร์ล ฟรีดริช เกาส์  ( ค.ศ. 1831 ) จึงได้ก้าวไปอีกขั้นด้วยการพิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานของเคปเลอร์เป็นจริงหากทรงกลมต้องถูกจัด เรียง ใน โครงตาข่ายปกติ

นั่นหมายความว่า การจัดเรียงแบบบรรจุใดๆ ที่หักล้างสมมติฐานของเคปเลอร์จะต้องเป็นการจัดเรียงแบบไม่เป็นระเบียบ แต่การกำจัดการจัดเรียงแบบไม่เป็นระเบียบที่เป็นไปได้ทั้งหมดนั้นยากมาก และนี่คือสิ่งที่ทำให้การพิสูจน์สมมติฐานของเคปเลอร์เป็นเรื่องยาก ในความเป็นจริง มีการจัดเรียงแบบไม่เป็นระเบียบที่หนาแน่นกว่าการจัดเรียงแบบบรรจุแน่นลูกบาศก์ในปริมาตรที่เล็กพอ แต่ความพยายามใดๆ ในการขยายการจัดเรียงเหล่านี้เพื่อเติมเต็มปริมาตรที่ใหญ่ขึ้นนั้นเป็นที่ทราบกันดีว่าจะทำให้ความหนาแน่นลดลงเสมอ

หลังจากเกาส์แล้ว ก็ไม่มีความคืบหน้าใดๆ เพิ่มเติมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทคาดการณ์ของเคปเลอร์ในศตวรรษที่สิบเก้า ในปี ค.ศ. 1900 เดวิด ฮิลเบิร์ตได้รวมทฤษฎีบทนี้ไว้ในรายการปัญหาคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ตกจำนวนยี่สิบสามข้อโดยเป็นส่วนหนึ่งของปัญหาข้อที่สิบแปดของฮิลเบิร์ต

ขั้นตอนต่อไปในการหาทางออกนั้นเกิดขึ้นโดยLászló Fejes Tóth (1953)เขาแสดงให้เห็นว่าปัญหาการหาความหนาแน่นสูงสุดของการจัดเรียงทั้งหมด (ทั้งแบบปกติและไม่ปกติ) สามารถลดทอนลงเหลือเพียง จำนวนการคำนวณ ที่จำกัด (แต่มีขนาดใหญ่มาก) ซึ่งหมายความว่าการพิสูจน์โดยการหาคำตอบทั้งหมดนั้นเป็นไปได้ในทางทฤษฎี และ Fejes Tóth ก็ตระหนักว่าคอมพิวเตอร์ที่เร็วพอสามารถเปลี่ยนผลลัพธ์ทางทฤษฎีนี้ให้เป็นแนวทางปฏิบัติในการแก้ปัญหาได้

ในขณะเดียวกัน มีความพยายามที่จะหาขอบเขตบนสำหรับความหนาแน่นสูงสุดของการจัดเรียงทรงกลมที่เป็นไปได้ทุกรูปแบบ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษClaude Ambrose Rogers (ดูRogers (1958) ) ได้กำหนดค่าขอบเขตบนไว้ที่ประมาณ 78% และความพยายามในภายหลังโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้ลดค่านี้ลงเล็กน้อย แต่ก็ยังคงมากกว่าความหนาแน่นของการจัดเรียงแบบลูกบาศก์อัดแน่นซึ่งอยู่ที่ประมาณ 74% มาก

ในปี พ.ศ. 2533 Wu-Yi Hsiangอ้างว่าได้พิสูจน์สมมติฐานของเคปเลอร์แล้ว การพิสูจน์นี้ได้รับการยกย่องจากEncyclopædia BritannicaและScienceและ Hsiang ยังได้รับเกียรติในการประชุมร่วมของ AMS-MAA อีกด้วย^{[ 4 ​​]} Wu-Yi Hsiang ( 1993 , 2001 ) อ้างว่าได้พิสูจน์สมมติฐานของเคปเลอร์โดยใช้วิธีทางเรขาคณิต อย่างไรก็ตามGábor Fejes Tóth (บุตรชายของ László Fejes Tóth) ได้กล่าวในการวิจารณ์บทความของเขาว่า "ในส่วนของรายละเอียด ความคิดเห็นของผมคือข้อความสำคัญหลายข้อความไม่มีหลักฐานการพิสูจน์ที่ยอมรับได้" Hales (1994)ได้วิจารณ์งานของ Hsiang อย่างละเอียด ซึ่งHsiang (1995)ได้ตอบโต้ ปัจจุบันฉันทามติคือหลักฐานการพิสูจน์ของ Hsiang ไม่สมบูรณ์^{[ 5 ]}

ตามแนวทางที่László Fejes Tóthแนะนำ^{[ 6 ]} Thomas Halesซึ่งขณะนั้นอยู่ที่มหาวิทยาลัยมิชิแกนได้กำหนดว่าความหนาแน่นสูงสุดของการจัดเรียงทั้งหมดสามารถพบได้โดยการลดค่าฟังก์ชันที่มีตัวแปร 150 ตัว ในปี 1992 โดยได้รับความช่วยเหลือจากนักศึกษาปริญญาโทของเขา Samuel Ferguson เขาได้เริ่มโครงการวิจัยเพื่อประยุกต์ใช้ วิธี การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น อย่างเป็นระบบ เพื่อหาขอบเขตล่างของค่าฟังก์ชันนี้สำหรับแต่ละชุดของการจัดเรียงทรงกลมที่แตกต่างกันมากกว่า 5,000 แบบ หากสามารถหาขอบเขตล่าง (สำหรับค่าฟังก์ชัน) สำหรับการจัดเรียงเหล่านี้แต่ละแบบที่มากกว่าค่าฟังก์ชันสำหรับการจัดเรียงแบบบรรจุแน่นลูกบาศก์ได้ สมมติฐานของเคปเลอร์ก็จะได้รับการพิสูจน์ การหาขอบเขตล่างสำหรับทุกกรณีเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นประมาณ 100,000 ปัญหา

เมื่อนำเสนอความคืบหน้าของโครงการในปี 1996 เฮลส์กล่าวว่าใกล้จะเสร็จสมบูรณ์แล้ว แต่อาจต้องใช้เวลา "หนึ่งหรือสองปี" จึงจะแล้วเสร็จ ในเดือนสิงหาคม 1998 เฮลส์ประกาศว่าการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์แล้ว ในขั้นตอนนี้ ประกอบด้วยบันทึก 250 หน้า และโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ข้อมูล และผลลัพธ์ ขนาด 3 กิกะไบต์

แม้ว่าวิธีการพิสูจน์จะมีลักษณะที่ผิดปกติ แต่บรรณาธิการของวารสาร Annals of Mathematicsก็ตกลงที่จะตีพิมพ์ โดยมีเงื่อนไขว่าต้องได้รับการยอมรับจากคณะกรรมการผู้ทรงคุณวุฒิ 12 คน ในปี 2003 หลังจากทำงานมาสี่ปี หัวหน้าคณะกรรมการผู้ทรงคุณวุฒิ Gábor Fejes Tóth รายงานว่าคณะกรรมการมีความมั่นใจในความถูกต้องของการพิสูจน์ถึง "99%" แต่ไม่สามารถรับรองความถูกต้องของการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ทั้งหมดได้ ในปี 2005 วารสารAnnalsได้ตีพิมพ์บทความ 100 หน้าที่อธิบายส่วนที่ไม่ใช้คอมพิวเตอร์ของการพิสูจน์โดยละเอียด ( Hales (2005) ) Hales & Ferguson (2006)และบทความต่อมาอีกหลายฉบับได้อธิบายส่วนที่เป็นการคำนวณ Hales และ Ferguson ได้รับรางวัล Fulkerson สำหรับบทความดีเด่นในสาขาคณิตศาสตร์เชิงดิสครีตประจำปี 2009

ในเดือนมกราคม พ.ศ. 2546 เฮลส์ประกาศเริ่มโครงการความร่วมมือเพื่อสร้างบทพิสูจน์อย่างเป็นทางการที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบทคาดการณ์ของเคปเลอร์ จุดมุ่งหมายคือการขจัดความไม่แน่นอนที่เหลืออยู่เกี่ยวกับความถูกต้องของบทพิสูจน์โดยการสร้างบทพิสูจน์อย่างเป็นทางการที่สามารถตรวจสอบได้ด้วย ซอฟต์แวร์ ตรวจสอบบทพิสูจน์อัตโนมัติเช่นHOL LightและIsabelleโครงการนี้เรียกว่าFlyspeckซึ่งเป็นการขยายความของคำย่อ FPK ซึ่งย่อมาจากFormal Proof of Kepler (บทพิสูจน์อย่างเป็นทางการของเคปเลอร์ ) ในช่วงเริ่มต้นของโครงการนี้ในปี พ.ศ. 2550 เฮลส์ประเมินว่าการสร้างบทพิสูจน์อย่างเป็นทางการที่สมบูรณ์จะใช้เวลาทำงานประมาณ 20 ปี^{[ 7 ]}เฮลส์ได้เผยแพร่ "พิมพ์เขียว" สำหรับบทพิสูจน์อย่างเป็นทางการในปี พ.ศ. 2555 ^{[ 8 ]}การประกาศความสำเร็จของโครงการเกิดขึ้นเมื่อวันที่ 10 สิงหาคม พ.ศ. 2557 ^{[ 9 ]}ในเดือนมกราคม พ.ศ. 2558 เฮลส์และผู้ร่วมงาน 21 คนได้โพสต์เอกสารชื่อ "บทพิสูจน์อย่างเป็นทางการของทฤษฎีบทคาดการณ์ของเคปเลอร์" บนarXivโดยอ้างว่าได้พิสูจน์ทฤษฎีบทคาดการณ์แล้ว^{[ 10 ]} ในปี 2017 บทพิสูจน์อย่างเป็นทางการได้รับการยอมรับจากวารสารForum of Mathematics ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทของธู

การจัดเรียงแบบหกเหลี่ยมปกติเป็นการจัดเรียงวงกลมที่หนาแน่นที่สุดในระนาบ (1890) ความหนาแน่นคือπ ⁄ √ 12

เป็นข้อสันนิษฐานแบบสองมิติที่คล้ายกับข้อสันนิษฐานของเคปเลอร์ การพิสูจน์นั้นง่ายมาก เฮงค์และซีเกลอร์ระบุว่าผลลัพธ์นี้เป็นผลงานของลากรองจ์ในปี ค.ศ. 1773 (ดูเอกสารอ้างอิง หน้า 770)

การพิสูจน์อย่างง่ายโดย Chau และ Chung จากปี 2010 ใช้การสร้างสามเหลี่ยม Delaunayสำหรับเซตของจุดที่เป็นศูนย์กลางของวงกลมในการบรรจุวงกลมอิ่มตัว^{[ 11 ]}

ทฤษฎีรังผึ้งหกเหลี่ยม

การแบ่งระนาบให้มีพื้นที่เท่ากันอย่างมีประสิทธิภาพที่สุดคือการปูกระเบื้องหกเหลี่ยมปกติ^{[ 12 ]}

เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของธู (Thue's ormology)

สมมติฐานทรงสิบสองเหลี่ยม

ปริมาตรของทรงหลายเหลี่ยมโวโรนอยของทรงกลมในการบรรจุทรงกลมที่เท่ากันนั้นมีค่าอย่างน้อยเท่ากับปริมาตรของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติที่มีรัศมีภายในเท่ากับ 1 หลักฐานของ McLaughlin ^{[ 13 ]}ซึ่งเขาได้รับรางวัล Morgan Prize ประจำปี 1999

ปัญหาที่เกี่ยวข้อง ซึ่งการพิสูจน์ใช้วิธีการที่คล้ายคลึงกับการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของเคปเลอร์โดยเฮลส์ ข้อสันนิษฐานโดยแอล. เฟเจส โทธ ในช่วงทศวรรษ 1950

ปัญหาเคลวิน

โฟมที่มีประสิทธิภาพสูงสุดใน 3 มิติคืออะไร ? เดิมทีมีการคาดการณ์ว่า โครงสร้างของเคลวินสามารถหาคำตอบได้และความเชื่อนี้แพร่หลายมานานกว่า 100 ปี จนกระทั่งถูกหักล้างในปี 1993 ด้วยการค้นพบโครงสร้างของแวร์-เฟแลนการค้นพบโครงสร้างแวร์-เฟแลนที่น่าประหลาดใจและการหักล้างสมมติฐานของเคลวินเป็นเหตุผลหนึ่งที่ทำให้ต้องระมัดระวังในการยอมรับหลักฐานของเฮลส์เกี่ยวกับสมมติฐานของเคปเลอร์

การจัดเรียงทรงกลมในมิติที่สูงขึ้น

ในปี 2016 Maryna Viazovskaประกาศการพิสูจน์การบรรจุทรงกลมที่เหมาะสมที่สุดในมิติ 8 ซึ่งนำไปสู่การแก้ปัญหาในมิติ 24 อย่างรวดเร็ว^{[ 14 ]}อย่างไรก็ตาม คำถามเกี่ยวกับการบรรจุทรงกลมที่เหมาะสมที่สุดในมิติอื่นที่ไม่ใช่ 1, 2, 3, 8 และ 24 ยังคงเปิดอยู่

การคาดเดาการบรรจุของอูแลม

ยังไม่ทราบแน่ชัดว่ามีทรงตันนูนใดที่มีความหนาแน่นในการบรรจุ ที่เหมาะสม ต่ำกว่าทรงกลมหรือไม่

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทสมมติฐานของเคปเลอร์" . MathWorld .
• หน้าแรกของหนังสือ 'เกี่ยวกับเกล็ดหิมะหกเหลี่ยม'
• โฮมเพจของโทมัส เฮลส์
• หน้าหลักโครงการ Flyspeck
• ภาพรวมของหลักฐานการพิสูจน์ของ Hales ที่เก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 27 กันยายน 2011 ในWayback Machine
• บทความในนิตยสาร American Scientist โดย Dana Mackenzie
• Flyspeck I: กราฟควบคุม (Tame Graphs) การนับกราฟระนาบควบคุมที่ได้รับการตรวจสอบแล้ว ตามที่ Thomas C. Hales นิยามไว้ในบทพิสูจน์ทฤษฎีบทคาดการณ์ของเคปเลอร์ ( เก็บถาวรเมื่อ 27 กันยายน 2011 ที่Wayback Machine)