ในทางเรขาคณิต การจัดเรียงวงกลม ( circle packing)คือการศึกษาการจัดเรียงวงกลม (ที่มีขนาดเท่ากันหรือแตกต่างกัน) บนพื้นผิวที่กำหนด โดยไม่ให้มีการทับซ้อนกัน และไม่สามารถขยายขนาดวงกลมได้โดยไม่ทำให้เกิดการทับซ้อนกัน ความหนาแน่นของการจัดเรียง(packing density ) ηคือสัดส่วนของพื้นผิวที่ถูกปกคลุมด้วยวงกลม สามารถขยายความไปสู่มิติที่สูงกว่าได้ – ซึ่งเรียกว่าการจัดเรียงทรงกลม (sphere packing ) ซึ่งโดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องเฉพาะกับทรงกลมที่เหมือนกันเท่านั้น

สาขาคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันทั่วไปในชื่อ "การจัดเรียงวงกลม" เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงของวงกลมที่มีขนาดตามอำเภอใจ ซึ่งก่อให้เกิดสิ่งที่คล้ายคลึงกันในรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่อง เช่นการแมปเชิงคอนฟอร์มัลพื้นผิวรีมันน์และอื่นๆ

ใน ระนาบยูคลิดสองมิติโจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์พิสูจน์ในปี 1773 ว่าการจัดเรียงวงกลมแบบแลตติสที่มีความหนาแน่นสูงสุดคือการจัดเรียง แบบ หกเหลี่ยม^{[ 1 ]}ซึ่งจุดศูนย์กลางของวงกลมจะเรียงตัวกันเป็นแลตติสหกเหลี่ยม (แถวสลับกัน เหมือนรังผึ้ง ) และแต่ละวงกลมจะล้อมรอบด้วยวงกลมอีกหกวง สำหรับวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางDและรูปหกเหลี่ยมที่มีความยาวด้านDพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมและพื้นที่ของวงกลมจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\mathrm {H} }&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}\\[4pt]A_{\mathrm {C} }&={\frac {\pi }{4}}D^{2}\end{aligned}}}$

พื้นที่ที่วงกลมแต่ละวงคลุมอยู่ภายในรูปหกเหลี่ยมคือ:

${\displaystyle A_{\mathrm {HC} }=3A_{\mathrm {C} }={\frac {3\pi }{4}}D^{2}}$

สุดท้ายนี้ ความหนาแน่นของการบรรจุคือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ={\frac {A_{\mathrm {HC} }}{A_{\mathrm {H} }}}&={\frac {{\frac {3\pi }{4}}D^{2}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.9069\end{aligned}}}$

ในปี พ.ศ. 2333 Axel Thueได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ว่าความหนาแน่นเดียวกันนี้เป็นค่าที่เหมาะสมที่สุดในบรรดาการบรรจุทั้งหมด ไม่ใช่แค่การบรรจุแบบแลตทิซเท่านั้น แต่บทพิสูจน์ของเขาถูกมองว่าไม่สมบูรณ์โดยบางคน บทพิสูจน์ที่เข้มงวดครั้งแรกได้รับการยกให้เป็นผลงานของLászló Fejes Tóthในปี พ.ศ. 2485 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

แม้ว่าวงกลมจะมีค่าความหนาแน่นการบรรจุสูงสุดที่ค่อนข้างต่ำ แต่ก็ไม่ได้มีค่าต่ำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แม้แต่ในบรรดารูปทรงนูนที่มีสมมาตรแบบศูนย์กลาง ก็ตาม รูป แปดเหลี่ยมเรียบมีค่าความหนาแน่นการบรรจุประมาณ 0.902414 ซึ่งเป็นค่าที่เล็กที่สุดเท่าที่ทราบสำหรับรูปทรงนูนที่มีสมมาตรแบบศูนย์กลาง และคาดว่าจะเป็นค่าที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้^{[ 3 ]} (ค่าความหนาแน่นการบรรจุของรูปทรงเว้า เช่นรูปหลายเหลี่ยมดาวสามารถมีค่าเล็กมากได้ตามอำเภอใจ) ^{[ 4 ]}

ในอีกขั้วหนึ่ง Böröczky ได้แสดงให้เห็นว่าการจัดเรียงวงกลมที่บรรจุแน่นอย่างแข็งทื่อที่มีความหนาแน่นต่ำตามอำเภอใจนั้นมีอยู่จริง^{[ 5 ] [ 6 ]}

มีการจัดเรียงวงกลม 11 แบบโดยอิงจาก การ ปูพื้นระนาบแบบสม่ำเสมอ 11 แบบ ^{[ 7 ]}ในการจัดเรียงเหล่านี้ วงกลมทุกวงสามารถแมปไปยังวงกลมอื่น ๆ ได้โดยการสะท้อนและการหมุน ช่องว่าง รูปหกเหลี่ยมสามารถเติมได้ด้วยวงกลมหนึ่งวง และ ช่องว่าง รูปสิบสองเหลี่ยมสามารถเติมได้ด้วยวงกลมเจ็ดวง ทำให้เกิดการจัดเรียงแบบสม่ำเสมอ 3 แบบ การปูพื้นรูปสามเหลี่ยมหกเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนที่มีช่องว่างทั้งสองประเภทสามารถเติมได้เป็นการจัดเรียงแบบสม่ำเสมอ 4 แบบการปูพื้นรูปหกเหลี่ยมแบบสนับมีรูปแบบภาพสะท้อนสองแบบ

ปัญหาที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือการหาการจัดเรียงจุดที่มีปฏิสัมพันธ์เหมือนกันซึ่งมีพลังงานต่ำที่สุด โดยที่จุดเหล่านั้นต้องอยู่ภายในพื้นผิวที่กำหนดปัญหาของทอมสันเกี่ยวข้องกับการกระจายประจุไฟฟ้าที่เหมือนกันบนพื้นผิวทรงกลมที่มีพลังงานต่ำที่สุดปัญหาของแทมเมสเป็นการขยายความของปัญหานี้ โดยเกี่ยวข้องกับการเพิ่มระยะห่างขั้นต่ำระหว่างวงกลมบนทรงกลมให้มากที่สุด ซึ่งคล้ายคลึงกับการกระจายประจุที่ไม่ใช่จุดบนทรงกลม

การจัดเรียงวงกลมในรูปทรงที่มีขอบเขตอย่างง่ายเป็นปัญหาประเภทหนึ่งที่พบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิงอิทธิพลของผนังภาชนะมีความสำคัญ และการจัดเรียงแบบหกเหลี่ยมโดยทั่วไปไม่ใช่ทางเลือกที่ดีที่สุดสำหรับวงกลมจำนวนน้อย ปัญหาเฉพาะประเภทนี้ที่ได้รับการศึกษา ได้แก่:

• การจัดเรียงแบบวงกลมในวงกลม
• การจัดเรียงวงกลมในสี่เหลี่ยม
• การจัดเรียงวงกลมในสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• การจัดเรียงวงกลมในสามเหลี่ยมด้านเท่า
• การจัดเรียงวงกลมในสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

โปรดดูบทความที่เชื่อมโยงไว้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

นอกจากนี้ยังมีปัญหาอีกหลายประการที่อนุญาตให้ขนาดของวงกลมไม่สม่ำเสมอ การขยายประการหนึ่งคือการค้นหาความหนาแน่นสูงสุดที่เป็นไปได้ของระบบที่มีวงกลมสองขนาดเฉพาะ ( ระบบ ไบนารี ) มีเพียงอัตราส่วนรัศมีเฉพาะเก้าอัตราส่วนเท่านั้นที่อนุญาตให้มีการบรรจุแบบกะทัดรัดซึ่งก็คือเมื่อวงกลมทุกคู่ที่สัมผัสกันจะสัมผัสกันกับวงกลมอีกสองวง (เมื่อลากส่วนของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสกันไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม ส่วนของเส้นตรงเหล่านั้นจะสร้างรูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิว) ^{[ 8 ]}สำหรับอัตราส่วนรัศมีทั้งหมดเหล่านี้ มีการบรรจุแบบกะทัดรัดที่ทราบแล้วซึ่งบรรลุเศษส่วนการบรรจุสูงสุดที่เป็นไปได้ (สูงกว่าของแผ่นดิสก์ที่มีขนาดสม่ำเสมอ) สำหรับส่วนผสมของแผ่นดิสก์ที่มีอัตราส่วนรัศมีนั้น^{[ 10 ]}ทั้งเก้าอัตราส่วนมีการบรรจุเฉพาะอัตราส่วนที่หนาแน่นกว่าการบรรจุแบบหกเหลี่ยมที่สม่ำเสมอ เช่นเดียวกับอัตราส่วนรัศมีบางอัตราส่วนที่ไม่มีการบรรจุแบบกะทัดรัด^{[ 11 ]}

เป็นที่ทราบกันดีว่าหากอัตราส่วนรัศมีสูงกว่า 0.742 ส่วนผสมไบนารีจะไม่สามารถบรรจุได้ดีกว่าแผ่นดิสก์ที่มีขนาดสม่ำเสมอ^{[ 9 ]} ขอบเขตบนสำหรับความหนาแน่นที่สามารถได้รับในการบรรจุไบนารีดังกล่าวที่อัตราส่วนที่เล็กกว่าก็ได้รับมาแล้วเช่นกัน^{[ 12 ]}

การมอดู เลชั่นแบบควอดราเจอร์แอมพลิจูด (Quadrature amplitude modulation)อาศัยการจัดเรียงวงกลมลงในวงกลมภายในพื้นที่เฟส-แอมพลิจูด โมเด็มส่งข้อมูลเป็นชุดจุดในระนาบเฟส-แอมพลิจูดสองมิติ ระยะห่างระหว่างจุดกำหนดความทนทานต่อสัญญาณรบกวนของการส่งสัญญาณ ในขณะที่เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบกำหนดกำลังส่งที่ต้องการ ประสิทธิภาพสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อกลุ่มจุดรหัสอยู่ที่จุดศูนย์กลางของการจัดเรียงวงกลมที่มีประสิทธิภาพ ในทางปฏิบัติ มักใช้การจัดเรียงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่เหมาะสมเพื่อลดความซับซ้อนในการถอดรหัส

การจัดเรียงวงกลมกลายเป็นเครื่องมือสำคัญใน การออกแบบ โอริกามิเนื่องจากส่วนประกอบแต่ละส่วนของรูปโอริกามิจำเป็นต้องใช้กระดาษเป็นวงกลม^{[ 13 ]}โรเบิร์ต เจ. แลงได้ใช้คณิตศาสตร์ของการจัดเรียงวงกลมเพื่อพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ช่วยในการออกแบบรูปโอริกามิที่ซับซ้อน

• ปะเก็นอพอลโลเนียน
• การจัดเรียงวงกลมในสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• การจัดเรียงวงกลมในสี่เหลี่ยม
• การจัดเรียงแบบวงกลมในวงกลม
• ระยะทางผกผัน
• สมมติฐานของเคปเลอร์
• กลุ่มของมัลฟัตติ
• ปัญหาการบรรจุหีบห่อ

• Wells D (1991). พจนานุกรมเรขาคณิตที่น่าสนใจและแปลกใหม่ของเพนกวิน . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์เพนกวิน. หน้า  30–31, 167. ISBN 0-14-011813-6.
• Stephenson, Kenneth (ธันวาคม 2003). "การบรรจุวงกลม: นิทานคณิตศาสตร์" (PDF) . ประกาศของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . 50 (11).