วัตถุประสงค์ของปัญหาทอมสันคือการกำหนด โครงสร้าง พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิต ขั้นต่ำ ของอิเล็กตรอนN ตัว ที่ถูกจำกัดไว้บนพื้นผิวของทรงกลมหน่วยซึ่งผลักกันด้วยแรงที่กำหนดโดยกฎของคูลอมบ์นักฟิสิกส์JJ Thomsonตั้งปัญหานี้ขึ้นในปี 1904 ^{[ 1 ]}หลังจากเสนอแบบจำลองอะตอมซึ่งต่อมาเรียกว่าแบบจำลองพุดดิ้งลูกพลัมโดยอาศัยความรู้ของเขาเกี่ยวกับการมีอยู่ของอิเล็กตรอนที่มีประจุลบภายในอะตอมที่มีประจุเป็นกลาง

ปัญหาที่เกี่ยวข้อง ได้แก่ การศึกษาเรขาคณิตของโครงสร้างที่มีพลังงานต่ำสุด และการศึกษาพฤติกรรมของโครงสร้างที่มีพลังงานต่ำสุดเมื่อค่า N มีขนาดใหญ่

พลังงานอันตรกิริยาทางไฟฟ้าสถิตที่เกิดขึ้นระหว่างอิเล็กตรอนแต่ละคู่ที่มีประจุเท่ากัน ( โดยมีประจุพื้นฐานของอิเล็กตรอน) เป็นไปตามกฎของคูลอมบ์ ${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={e_{i}e_{j} \over 4\pi \epsilon _{0}r_{ij}},}$

โดยที่คือค่าคงที่ทางไฟฟ้าและคือระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนแต่ละคู่ที่ตำแหน่งจุดบนทรงกลมซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์และตามลำดับ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$

มีการใช้ หน่วยอย่างง่ายของและ( ค่าคงที่คูลอมบ์ ) โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป จากนั้น ${\displaystyle e=1}$${\displaystyle k_{e}=1/4\pi \epsilon _{0}=1}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตรวมของแต่ละ การจัดเรียงอิเล็กตรอน Nตัว สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของพลังงานปฏิสัมพันธ์ระหว่างคู่ต่างๆ ทั้งหมด

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

โดยทั่วไป การหาค่าต่ำสุดทั่วโลกของค่าคงที่สำหรับทุกรูปแบบที่เป็นไปได้ของ จุดที่แตกต่างกัน Nจุด จะทำได้โดยใช้อัลกอริธึมการหาค่าต่ำสุดเชิงตัวเลข ${\displaystyle U(N)}$

ปัญหาของทอมสันเกี่ยวข้องกับปัญหาคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ตกข้อที่ 7 จากทั้งหมด 18 ข้อที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์สตีฟ สเมล — "การกระจายจุดบนทรงกลม 2 มิติ" ^{[ 2 ]} ความแตกต่างหลักคือ ในปัญหาของสเมล ฟังก์ชันที่ต้องทำให้น้อยที่สุดไม่ใช่ศักย์ไฟฟ้าสถิตแต่เป็นศักย์ลอการิทึมที่กำหนดโดยความแตกต่างประการที่สองคือ คำถามของสเมลเกี่ยวกับพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของศักย์รวมเมื่อจำนวน จุด Nเข้าสู่อนันต์ ไม่ใช่สำหรับค่าNที่ แน่นอน${\displaystyle 1 \over r_{ij}}$${\displaystyle -\log r_{ij}.}$

คำตอบของปัญหาทอมสันสำหรับอิเล็กตรอนสองตัวนั้นได้มาเมื่ออิเล็กตรอนทั้งสองอยู่ห่างกันมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยอยู่คนละด้านของจุดกำเนิดหรือ ${\displaystyle r_{ij}=2r=2}$

${\displaystyle U(2)={1 \มากกว่า 2}.}$

มีการระบุโครงสร้างที่มีพลังงานต่ำสุดที่ถูกต้องแม่นยำทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวดในกรณีเพียงไม่กี่กรณีเท่านั้น

• สำหรับN  = 1 คำตอบนั้นง่ายมาก อิเล็กตรอนตัวเดียวอาจอยู่ ณ จุดใดก็ได้บนพื้นผิวของทรงกลมหน่วย พลังงานรวมของการจัดเรียงตัวนั้นถูกกำหนดให้เป็นศูนย์ เนื่องจากประจุของอิเล็กตรอนไม่ได้รับอิทธิพลจากสนามไฟฟ้าใดๆ จากแหล่งกำเนิดประจุอื่นๆ

• สำหรับN  = 2 การจัดเรียงที่เหมาะสมที่สุดจะประกอบด้วยอิเล็กตรอนที่จุดตรงข้ามกัน

• สำหรับN  = 3 อิเล็กตรอนจะอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่ารอบวงกลมใหญ่ใดๆ[ 3 ^{]วงกลมใหญ่}มักถูกพิจารณาว่ากำหนดเส้นศูนย์สูตรรอบทรงกลม และจุดสองจุดที่ตั้งฉากกับระนาบมักถูกพิจารณาว่าเป็นขั้วเพื่อช่วยในการอภิปรายเกี่ยวกับการกำหนดค่าไฟฟ้าสถิตของโซลูชันอิเล็กตรอนN จำนวนมาก

• สำหรับN  = 4 อิเล็กตรอนจะอยู่ที่จุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าปกติ

• สำหรับN  = 5 อิเล็กตรอนจะอยู่ที่จุดยอดของพีระมิดคู่สามเหลี่ยม^{[ 4 ]}

• สำหรับN  = 6 อิเล็กตรอนจะอยู่ที่จุดยอดของทรงแปดเหลี่ยมปกติ^{[ 5 ]}การกำหนดค่านี้อาจอธิบายได้ว่าอิเล็กตรอนสี่ตัวอยู่ที่มุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบเส้นศูนย์สูตร และอีกสองตัวอยู่ที่ขั้ว

• สำหรับN  = 12 อิเล็กตรอนจะอยู่ที่จุดยอดของไอโคซาเฮดรอนปกติ^{[ 6 ]}

คำตอบของปัญหา Thomson สำหรับ อิเล็กตรอน N  = 4, 6 และ 12 คือทรงหลายเหลี่ยมเพลโตที่มีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เท่ากันทุกประการ คำตอบเชิงตัวเลขสำหรับN  = 8 และ 20 ไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตอีกสองรูป ( ลูกบาศก์และทรงสิบ สองเหลี่ยม ตามลำดับ) ^{[ 7 ]}

เราสามารถถามถึงสถานะพื้นฐานของอนุภาคที่ปฏิสัมพันธ์กับศักยภาพใดๆ ก็ได้ เพื่อให้มีความแม่นยำทางคณิตศาสตร์มากขึ้น ให้fเป็นฟังก์ชันค่าจริงที่ลดลง และกำหนดฟังก์ชันพลังงาน

$${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|).}$$

ตามธรรมเนียมแล้ว ถือว่า เคอร์เนล Riesz เป็นที่รู้จักกันในชื่อนี้สำหรับเคอร์เนล Riesz ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ โปรดดูงานของ Landkof ในปี 1972 ^{[ 8 ]}สำหรับเคอร์เนล Riesz ที่ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้ทฤษฎีบทเบเกิลเมล็ดป๊อปปี้ใช้ได้ โปรดดูงานของ Hardin และ Saff ในปี 2004 ^{[ 9 ]}กรณีที่น่าสนใจได้แก่: ^{[ 10 ]}${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

• α  = ∞ ปัญหาของ Tammes (การบรรจุ)
• α  = 1 ปัญหาของทอมสัน;
• α  = 0 เพื่อเพิ่มค่าผลคูณของระยะทางให้สูงสุด ซึ่งต่อมาเรียกว่าปัญหาของไวท์ (Whyte's problem )
• α  = −1 : ปัญหาระยะทางเฉลี่ยสูงสุด

นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาการจัดเรียง จุด Nจุดบนทรงกลมที่มีมิติสูงกว่าได้ ดูที่ การ ออกแบบ ทรงกลม

มีการใช้อัลกอริธึมหลายตัว กับปัญหานี้ จุดสนใจตั้งแต่ช่วงสหัสวรรษคือวิธี การเพิ่มประสิทธิภาพเฉพาะที่ที่ใช้กับฟังก์ชันพลังงาน แม้ว่าการเดินแบบสุ่มจะปรากฏตัวขึ้นก็ตาม: ^{[ 10 ]}

• การหาค่าเหมาะสมที่สุดทั่วโลกแบบมีข้อจำกัด (Altschuler et al. 1994)
• ทางลงที่ชันที่สุด (Claxton and Benson 1966, Erber and Hockney 1991)
• การเดินแบบสุ่ม (Weinrach et al. 1990)
• อัลกอริทึมทางพันธุกรรม (มอร์ริสและคณะ 1996)

แม้ว่าเป้าหมายคือการลดพลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตโดยรวมของแต่ละ กรณีที่มีอิเล็กตรอน N ตัวให้เหลือ น้อยที่สุด แต่ก็มีกรณีเริ่มต้นเชิงอัลกอริทึมหลายกรณีที่น่าสนใจ

พลังงานของเปลือกทรงกลมต่อเนื่องที่มีประจุกระจายอยู่ทั่วพื้นผิว มีค่าดังนี้

${\displaystyle U_{\text{shell}}(N)={\frac {N^{2}}{2}}}$

และโดยทั่วไปแล้วจะมีค่ามากกว่าพลังงานของคำตอบของปัญหาทอมสันทุกข้อ หมายเหตุ: ในที่นี้N ถูกใช้เป็นตัวแปรต่อเนื่องที่แสดงถึงประจุ Q ที่แบ่ง ได้ไม่จำกัดซึ่งกระจายอยู่ทั่วเปลือกทรงกลม ตัวอย่างเช่น เปลือกทรงกลมแสดงถึงการกระจายประจุของอิเล็กตรอนตัวเดียวอย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งเปลือก ${\displaystyle N=1}$${\displaystyle -e}$

พลังงานรวมที่คาดหวังของระบบอิเล็กตรอนที่กระจายตัวอย่างสุ่มอย่างสมบูรณ์บนพื้นผิวของทรงกลมนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)={\frac {N(N-1)}{2}}}$

และโดยทั่วไปแล้วจะมีค่ามากกว่าพลังงานของวิธีการแก้ปัญหาของทอมสันทุกวิธี

ในที่นี้Nเป็นตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องที่นับจำนวนอิเล็กตรอนในระบบ นอกจากนี้. ${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)<U_{\text{shell}}(N)}$

สำหรับทุกๆ วิธีแก้ปัญหาลำดับที่ Nของปัญหา Thomson จะมีการกำหนดค่าลำดับที่ th ที่รวมอิเล็กตรอนที่จุดกำเนิดของทรงกลมซึ่งมีพลังงานเป็นเพียงผลรวมของNกับพลังงานของ วิธีแก้ปัญหาลำดับที่ Nนั่นคือ^{[ 11 ]}${\displaystyle (N+1)}$

${\displaystyle U_{0}(N+1)=U_{\text{Thom}}(N)+N.}$

ดังนั้น ถ้าทราบค่า อย่างแน่นอน ก็จะทราบค่า อย่างแน่นอนเช่นกัน ${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N)}$${\displaystyle U_{0}(N+1)}$

โดยทั่วไปแล้วมีค่ามากกว่าแต่มีค่าใกล้เคียงกับคำตอบของปัญหา Thomson แต่ละข้อมากกว่าและอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้น การกระจายประจุแบบศูนย์กลางจึงแสดงถึง "ช่องว่างพลังงาน" ที่เล็กกว่าที่จะต้องข้ามเพื่อให้ได้คำตอบของปัญหา Thomson แต่ละข้อ เมื่อเทียบกับอัลกอริทึมที่เริ่มต้นด้วยการกำหนดค่าประจุอีกสองแบบ ${\displaystyle U_{0}(N+1)}$${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N+1)}$${\displaystyle (N+1)}$${\displaystyle U_{\text{shell}}(N+1)}$${\displaystyle U_{\text{rand}}(N+1)}$

ปัญหาของทอมสันเป็นผลตามธรรมชาติของแบบจำลองพุดดิ้งลูกพลัม ของเจเจ ทอมสัน ในกรณีที่ไม่มีประจุพื้นหลังบวกที่สม่ำเสมอ^{[ 12 ]}

แม้ว่าหลักฐานเชิงทดลองจะนำไปสู่การละทิ้งแบบจำลองพุดดิ้งลูกพลัมของทอมสันในฐานะแบบจำลองอะตอมที่สมบูรณ์ แต่ความผิดปกติที่สังเกตได้ในการแก้ปัญหาพลังงานเชิงตัวเลขของปัญหาของทอมสันพบว่าสอดคล้องกับการเติมเปลือกอิเล็กตรอนในอะตอมที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติทั่วทั้งตารางธาตุ^{[ 14 ]}

ปัญหาของทอมสันยังมีบทบาทในการศึกษาแบบจำลองทางฟิสิกส์อื่นๆ รวมถึงฟองอากาศที่มีอิเล็กตรอนหลายตัวและการเรียงตัวของพื้นผิวของหยดโลหะเหลวที่ถูกกักอยู่ในกับดักของพอล

ปัญหาทอมสันแบบทั่วไปเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ในการกำหนดการจัดเรียงของหน่วยย่อยโปรตีนที่ประกอบเป็นเปลือกของไวรัส ทรงกลม "อนุภาค" ในการประยุกต์ใช้นี้คือกลุ่มของหน่วยย่อยโปรตีนที่จัดเรียงอยู่บนเปลือก การนำไปใช้ในด้านอื่นๆ ได้แก่ การจัดเรียงอย่างเป็นระเบียบของ อนุภาค คอลลอยด์ในคอลลอยโดโซมซึ่งเสนอสำหรับการห่อหุ้มส่วนประกอบที่ออกฤทธิ์ เช่น ยา สารอาหาร หรือเซลล์สิ่งมีชีวิต รูปแบบ ฟูลเลอรีนของอะตอมคาร์บอน และทฤษฎี VSEPRตัวอย่างที่มีปฏิสัมพันธ์แบบลอการิทึมระยะไกล ได้แก่กระแสน้ำวน Abrikosovที่ก่อตัวขึ้นที่อุณหภูมิต่ำใน เปลือกโลหะ ตัวนำยิ่งยวดที่มีโมโนโพลขนาดใหญ่อยู่ที่ศูนย์กลาง

ในตารางต่อไปนี้คือจำนวนจุด (ประจุ) ในการจัดเรียงตัวคือพลังงาน ประเภทสมมาตรแสดงด้วยสัญลักษณ์ของ Schönflies (ดูกลุ่มจุดในสามมิติ ) และคือตำแหน่งของประจุ ประเภทสมมาตรส่วนใหญ่กำหนดให้ผลรวมเวกเตอร์ของตำแหน่ง (และดังนั้นโมเมนต์ไดโพลไฟฟ้า ) ต้องเป็นศูนย์ ${\displaystyle N}$${\displaystyle U_{\textrm {Thom}}}$${\displaystyle r_{i}}$

ตามธรรมเนียมแล้วจะต้องพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนนูนของจุดด้วย ดังนั้นคือจำนวนจุดยอดที่จำนวนขอบที่กำหนดมาบรรจบกันคือจำนวนขอบทั้งหมดคือจำนวนหน้าสามเหลี่ยมคือจำนวนหน้าสี่เหลี่ยม และคือมุมที่เล็กที่สุดที่รองรับโดยเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับคู่ประจุที่ใกล้ที่สุด ความยาวของขอบโดยทั่วไปจะไม่เท่ากัน ดังนั้น ยกเว้นในกรณีที่N  = 2, 3, 4, 6, 12 และรูปทรงหลายเหลี่ยมจีโอเดสิก ส่วนนูนจึงเทียบเท่า ทางโทโพโลยีกับรูปที่แสดงในคอลัมน์สุดท้ายเท่านั้น^{[ 15 ]}${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f_{3}}$${\displaystyle f_{4}}$${\displaystyle \theta _{1}}$

เอ็น	${\displaystyle U_{\textrm {Thom}}}$	สมมาตร	${\displaystyle \left|\sum \mathbf {r} _{i}\right|}$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5}}$	${\displaystyle v_{6}}$	${\displaystyle v_{7}}$	${\displaystyle v_{8}}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle f_{3}}$	${\displaystyle f_{4}}$	${\displaystyle \theta _{1}}$	ทรงหลายเหลี่ยมที่เทียบเท่ากัน
2	0.500000000	${\displaystyle D_{\infty h}}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180.000°	ดิกอน
3	1.732050808	${\displaystyle D_{3h}}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120,000°	สามเหลี่ยม
4	3.674234614	${\displaystyle T_{d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	จัตุรมุข
5	6.474691495	${\displaystyle D_{3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	พีระมิดคู่สามเหลี่ยม
6	9.985281374	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	ทรงแปดเหลี่ยม
7	14.452977414	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	พีระมิดคู่ห้าเหลี่ยม
8	19.675287861	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	ปริซึมสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า
9	25.759986531	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	ปริซึมสามเหลี่ยมเสริมสามเหลี่ยม
10	32.716949460	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	พีระมิดคู่สี่เหลี่ยมยาวแบบไจโร
11	40.596450510	${\displaystyle C_{2v}}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	ไอโคซาเฮดรอนที่หดตัวตามขอบ
12	49.165253058	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	ทรงยี่สิบหน้า ( ทรงกลมจีโอเดสิก {3,5+} 1,0 )
13	58.853230612	${\displaystyle C_{2v}}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	พีระมิดคู่หกเหลี่ยมที่ยืดออก
15	80.670244114	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°	ทรงสิบสองเหลี่ยมที่ลดขนาดลงตามรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า
17	106.050404829	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	พีระมิดคู่ห้าเหลี่ยมแบบไจโรยาวสองชั้น
18	120.084467447	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	${\displaystyle C_{2v}}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	${\displaystyle T_{d}}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	${\displaystyle O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	ลูกบาศก์สั้น
25	243.812760299	${\displaystyle C_{s}}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	${\displaystyle C_{2}}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	${\displaystyle C_{3v}}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	เพนทาคิส โดเดคาเฮดรอน ( ทรงกลมจีโอ เดสิก {3,5+} 1,1 )
33	440.204057448	${\displaystyle C_{s}}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	${\displaystyle C_{2}}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	${\displaystyle T_{d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	${\displaystyle C_{s}}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	${\displaystyle O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	${\displaystyle C_{3}}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	${\displaystyle C_{3}}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	${\displaystyle C_{2}}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	${\displaystyle C_{2}}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	${\displaystyle C_{2}}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	${\displaystyle C_{1}}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	${\displaystyle C_{2}}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	${\displaystyle C_{2}}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	${\displaystyle C_{2}}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°	ทรงกลมจีโอเดสิก {3,5+} 2,1
73	2320.633883745	${\displaystyle C_{2}}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	${\displaystyle C_{2}}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	${\displaystyle C_{2}}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	${\displaystyle C_{s}}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	${\displaystyle C_{2}}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	${\displaystyle C_{2}}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	${\displaystyle C_{2}}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	${\displaystyle C_{2}}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	${\displaystyle C_{2}}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	${\displaystyle C_{2}}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	${\displaystyle C_{2}}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	${\displaystyle C_{2}}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	${\displaystyle C_{2}}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	${\displaystyle C_{2}}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	${\displaystyle C_{2}}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	${\displaystyle C_{2}}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	${\displaystyle C_{2}}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	${\displaystyle C_{2}}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°
101	4540.590051694	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	${\displaystyle C_{2}}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°
106	5015.984595705	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	${\displaystyle C_{2}}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°
108	5212.813507831	${\displaystyle C_{2}}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°
109	5312.735079920	${\displaystyle C_{2}}$	0.000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°
112	5618.044882327	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°
114	5826.521572163	${\displaystyle C_{2}}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°
115	5932.181285777	${\displaystyle C_{3}}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	${\displaystyle C_{2}}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°
117	6146.342446579	${\displaystyle C_{2}}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	${\displaystyle C_{2}}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	${\displaystyle C_{2}}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	${\displaystyle C_{s}}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°
121	6586.121949584	${\displaystyle C_{3}}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°	ทรงกลมจีโอเดสิก {3,5+} 2,2
123	6811.827228174	${\displaystyle C_{2v}}$	0.001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	${\displaystyle C_{2}}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	${\displaystyle D_{4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	${\displaystyle C_{2}}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	${\displaystyle C_{2}}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°
130	7632.167378912	${\displaystyle C_{2}}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°
131	7753.205166941	${\displaystyle C_{2}}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°	ทรงกลมจีโอเดสิก {3,5+} 3,1
133	7998.179212898	${\displaystyle C_{3}}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	${\displaystyle C_{2}}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	${\displaystyle C_{2}}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°
139	8756.227056057	${\displaystyle C_{2}}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°
140	8885.980609041	${\displaystyle C_{1}}$	0.000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	${\displaystyle C_{2}}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	${\displaystyle C_{2}}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°
145	9548.928837232	${\displaystyle C_{s}}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°
146	9684.381825575	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	${\displaystyle C_{2}}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°
148	9958.406004270	${\displaystyle C_{2}}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°
149	10096.859907397	${\displaystyle C_{1}}$	0.000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	${\displaystyle C_{2}}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	${\displaystyle C_{2}}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°
155	10947.574692279	${\displaystyle C_{2}}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	${\displaystyle C_{2}}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°
157	11238.903041156	${\displaystyle C_{2}}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°
158	11385.990186197	${\displaystyle C_{2}}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°
159	11534.023960956	${\displaystyle C_{2}}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	${\displaystyle C_{2}}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°
163	12136.013053220	${\displaystyle C_{2}}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°
164	12288.930105320	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°
165	12442.804451373	${\displaystyle C_{2}}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	${\displaystyle C_{2}}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°
169	13068.006451127	${\displaystyle C_{s}}$	0.000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°
172	13547.018108787	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15.292°
173	13708.635243034	${\displaystyle C_{s}}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°
175	14034.781306929	${\displaystyle C_{2}}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	${\displaystyle C_{1}}$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°
178	14531.309552587	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°
179	14698.754594220	${\displaystyle C_{1}}$	0.000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968°
180	14867.099927525	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°
181	15036.467239769	${\displaystyle C_{2}}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	${\displaystyle C_{1}}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°
185	15723.720074072	${\displaystyle C_{2}}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°
186	15897.897437048	${\displaystyle C_{1}}$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	${\displaystyle C_{2}}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	${\displaystyle C_{3}}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	${\displaystyle C_{1}}$	0.001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°	ทรงกลมจีโอเดสิก {3,5+} 3,2
193	17144.564740880	${\displaystyle C_{2}}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	${\displaystyle C_{1}}$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	${\displaystyle C_{2}}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	${\displaystyle C_{2}}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	${\displaystyle C_{1}}$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	${\displaystyle C_{1}}$	0.001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	${\displaystyle C_{s}}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°
204	19199.540775603	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°	ทรงกลมจีโอเดสิก {3,5+} 4,1
214	21169.910410375	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	ทรงกลมจีโอเดสิก {3,5+} 3,3
282	37147.294418462	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°	ทรงกลมจีโอเดสิก {3,5+} 4,2
292	39877.008012909	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°
312	45629.313804002	${\displaystyle C_{2}}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°
358	60341.830924588	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°	ทรงกลมจีโอเดสิก {3,5+} 4,3
382	68839.426839215	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	${\displaystyle C_{1}}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°
400	75582.448512213	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10.068°
402	76351.192432673	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	${\displaystyle T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	${\displaystyle T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

ตามสมมติฐาน ถ้าเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนนูนของโครงสร้างคำตอบของปัญหาทอมสันสำหรับอิเล็กตรอน และเป็นจำนวนหน้าสี่เหลี่ยมของแล้วจะมีขอบ^{[ 16 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f(m)=\delta _{0,m-2}+3(m-2)-q}$

• เรขาคณิตโมเลกุล
• ปัญหาของแทมเมส – การจัดเรียงจุดบนพื้นผิวของทรงกลมเพื่อให้ระยะห่างขั้นต่ำระหว่างจุดเหล่านั้นมีค่ามากที่สุด

• Whyte, LL (1952). "การจัดเรียงจุดที่ไม่ซ้ำกันบนทรงกลม". Amer. Math. Monthly . 59 (9): 606– 611. doi : 10.2307/2306764 . JSTOR  2306764 .
• Cohn, Harvey (1956). "การจัดเรียงเสถียรภาพของอิเล็กตรอนบนทรงกลม" . Math. Comput . 10 (55): 117– 120. doi : 10.1090/S0025-5718-1956-0081133-0 .
• Goldberg, Michael (1969). "การจัดเรียงเสถียรภาพของอิเล็กตรอนบนทรงกลม" . Math. Comp . 23 (108): 785– 786. doi : 10.1090/S0025-5718-69-99642-2 .
• Erber, T.; Hockney, GM (1991). "การจัดเรียงสมดุลของประจุเท่ากัน N ตัวบนทรงกลม". J. Phys. A: Math. Gen . 24 (23): L1369. Bibcode : 1991JPhA...24L1369E . doi : 10.1088/0305-4470/24/23/008 . S2CID  122561279 .
• Morris, JR; Deaven, DM; Ho, KM (1996). "การลดพลังงานด้วยอัลกอริทึมทางพันธุกรรมสำหรับประจุจุดบนทรงกลม" Phys. Rev. B . 53 (4): R1740– R1743. Bibcode : 1996PhRvB..53.1740M . CiteSeerX  10.1.1.28.93 . doi : 10.1103/PhysRevB.53.R1740 . PMID  9983695 .
• Erber, T.; Hockney, GM (1997). "ระบบที่ซับซ้อน: การจัดเรียงสมดุลของ ประจุ เท่ากันบนทรงกลม" ความก้าวหน้าในฟิสิกส์เคมี เล่มที่ 98 หน้า  495–594 doi : 10.1002/9780470141571.ch5 ISBN${\displaystyle N}$${\displaystyle (2\leq N\leq 112)}$ 978-0-470-14157-1..
• Altschuler, EL; Williams, TJ; Ratner, ER; Tipton, R.; Stong, R.; Dowla, F.; Wooten, F. (1997). "การกำหนดค่าแลตติซขั้นต่ำทั่วโลกที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาประจุบนทรงกลมของทอมสัน" . Phys. Rev. Lett . 78 (14): 2681– 2685. Bibcode : 1997PhRvL..78.2681A . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.2681 .
• Bowick, M.; Cacciuto, A.; Nelson, DR; Travesset, A. (2002). "การเรียงตัวของผลึกบนทรงกลมและปัญหา Thomson ทั่วไป" Phys. Rev. Lett . 89 (18): 249902. arXiv : cond-mat/0206144 . Bibcode : 2002PhRvL..89r5502B . doi : 10.1103/PhysRevLett.89.185502 . PMID  12398614 . S2CID  20362989 .
• Dragnev, PD; Legg, DA; Townsend, DW (2002). "พลังงานลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องบนทรงกลม" . Pacific J. Math . 207 (2): 345– 358. doi : 10.2140/pjm.2002.207.345 ..
• Katanforoush, A.; Shahshahani, M. (2003). "การกระจายจุดบนทรงกลม. I" . Exper. Math . 12 (2): 199– 209. doi : 10.1080/10586458.2003.10504492 . S2CID  7306812 .
• Wales, David J.; Ulker, Sidika (2006). "โครงสร้างและพลวัตของผลึกทรงกลมที่มีลักษณะเฉพาะสำหรับปัญหาของ Thomson" Phys. Rev. B . 74 (21) 212101. Bibcode : 2006PhRvB..74u2101W . doi : 10.1103/PhysRevB.74.212101 . S2CID  119932997 .การกำหนดค่าพิมพ์ซ้ำในWales, DJ; Ulker, S. "ฐานข้อมูลคลัสเตอร์เคมบริดจ์ "
• Slosar, A.; Podgornik, R. (2006). "เกี่ยวกับปัญหา Thomson ของประจุที่เชื่อมต่อกัน". Europhys. Lett . 75 (4): 631. arXiv : cond-mat/0606765 . Bibcode : 2006EL.....75..631S . doi : 10.1209/epl/i2006-10146-1 . S2CID  119005054 .
• Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2007). "การกระจายจุดบนทรงกลมที่เหมาะสมที่สุดโดยทั่วไป". J. Amer. Math. Soc . 20 (1): 99– 148. arXiv : math/0607446 . Bibcode : 2007JAMS...20...99C . doi : 10.1090/S0894-0347-06-00546-7 . S2CID  26614691 .
• Wales, DJ; McKay, H.; Altschuler, EL (2009). "รูปแบบข้อบกพร่องสำหรับโทโพโลยีทรงกลม" Phys. Rev. B . 79 (22) 224115. Bibcode : 2009PhRvB..79v4115W . doi : 10.1103/PhysRevB.79.224115 .การกำหนดค่าต่างๆ ได้ถูกนำมาแสดงซ้ำในWales, DJ; Ulker, S. "ฐานข้อมูลคลัสเตอร์เคมบริดจ์ "
• Ridgway, WJM; Cheviakov, AF (2018). "กระบวนการวนซ้ำเพื่อค้นหาการจัดเรียงอนุภาคที่เหมาะสมที่สุดทั้งในระดับท้องถิ่นและระดับโลกบนทรงกลมหน่วย" Comput. Phys. Commun . 233 : 84–109 . Bibcode : 2018CoPhC.233...84R . doi : 10.1016/j.cpc.2018.03.029 . S2CID  52097788 .
• Cecka, Cris; Bowick, Mark J.; Middleton, Alan A. "ปัญหาของ Thomson ที่ SU"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2018-04-09 เรียกดูเมื่อ2009-11-24
• เว็บเพจนี้มีข้อมูลการจัดเรียงอิเล็กตรอนที่มีพลังงานต่ำที่สุดเท่าที่ทราบอีกมากมาย: https://www.hars.us