แรงไฟฟ้าสถิตFที่กระทำต่อประจุqสามารถเขียนได้ในรูปของสนามไฟฟ้าEดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

ตามนิยาม การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตU _Eของประจุจุดqที่เคลื่อนที่จากตำแหน่งอ้างอิงr _refไปยังตำแหน่งrในสนามไฟฟ้าEคือค่าลบของงานที่ทำโดยแรงไฟฟ้าสถิต เพื่อนำ ประจุ จุดนั้นจากตำแหน่งอ้างอิงr _refไปยังตำแหน่งr

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

ที่ไหน:

• r = ตำแหน่งในปริภูมิ 3 มิติของประจุqโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนr = ( x , y , z ) โดยกำหนดตำแหน่งของ ประจุ Qที่r = (0,0,0) ค่าสเกลาร์r = | r | คือค่าบรรทัดฐานของเวกเตอร์ตำแหน่ง
• d s = เวกเตอร์การกระจัดเชิง อนุพันธ์ ตามเส้นทางCที่ไปจากr _refไปยังr ,
• ${\displaystyle W_{r_{\text{ref}}\to r}}$คือ งานที่ทำโดยแรงไฟฟ้าสถิตเพื่อนำประจุจากตำแหน่งอ้างอิงr _refไปยังr ,

โดยปกติแล้วU _Eจะถูกตั้งค่าเป็นศูนย์เมื่อr _refเป็นอนันต์: ดังนั้น $${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

เมื่อcurl ∇ ​​× Eเป็นศูนย์ ปริมาณอินทิกรัลตามเส้นข้างต้นจะไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางCที่เลือก แต่จะขึ้นอยู่กับจุดปลายของเส้นทางเท่านั้น ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นในสนามไฟฟ้าที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เมื่อพูดถึงพลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิต มักจะถือว่าสนามไฟฟ้าไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้นในกรณีนี้ สนามไฟฟ้าจึงเป็นสนามอนุรักษ์และสามารถใช้กฎของคูลอมบ์ได้

จากการใช้กฎของคูลอมบ์เรารู้ว่าแรงไฟฟ้าสถิตFและสนามไฟฟ้าEที่เกิดจากประจุจุดQนั้นมีทิศทางพุ่งออกจากQ ในแนวรัศมี และจากนิยามของเวกเตอร์ตำแหน่งrและเวกเตอร์การกระจัดsจึงสรุปได้ว่าrและsก็มีทิศทางพุ่งออกจากQ ในแนวรัศมีเช่นกัน ดังนั้นEและ ds จึงต้องขนานกัน

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\left|\mathbf {E} \right|\cdot \left|\mathrm {d} \mathbf {s} \right|\cos(0)=E\,\mathrm {d} s}$$

เมื่อใช้กฎของคูลอมบ์ สนามไฟฟ้าจะมีค่าดังนี้

$${\displaystyle \left|\mathbf {E} \right|=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

และสามารถคำนวณปริพันธ์ได้อย่างง่ายดาย:

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตU _Eที่สะสมอยู่ในระบบประจุสองตัวนั้น เท่ากับพลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตของประจุตัวหนึ่งในศักย์ไฟฟ้าสถิตที่เกิดจากประจุอีกตัวหนึ่ง กล่าวคือ ถ้าประจุ q ₁สร้างศักย์ไฟฟ้าสถิต V ₁ซึ่งเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งrแล้ว $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

เมื่อทำการคำนวณแบบเดียวกันกับประจุอีกตัว เราจะได้ $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตถูกแบ่งปันกันระหว่างและดังนั้นพลังงานสะสมทั้งหมดคือ ${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

สามารถสรุปได้ว่า พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตU _Eที่สะสมอยู่ในระบบประจุn ตัว q ₁ , q ₂ , …, q _nที่ตำแหน่งr ₁ , r ₂ , …, r _nตามลำดับ คือ:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

เมื่อใช้สูตรที่กำหนดใน ( 1 ) พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตของระบบประจุทั้งสามจะเป็นดังนี้: $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

ศักย์ไฟฟ้าที่r ₁ที่เกิดจากประจุQ ₂และQ ₃คือค่าใดศักย์ไฟฟ้าที่r ₂ที่เกิดจากประจุQ ₁และQ ₃ คือค่าใด และศักย์ไฟฟ้าที่r ₃ที่เกิดจากประจุQ ₁และQ ₂คือค่าใด ศักย์ไฟฟ้าเหล่านี้คือ: ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

โดยที่r ij _คือระยะห่างระหว่างประจุQ _iและQ _j

ถ้าเรารวมทุกอย่างเข้าด้วยกัน:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

สุดท้ายนี้ เราจะได้ว่าพลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตที่สะสมอยู่ในระบบประจุทั้งสามนั้น:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

เราสามารถนำสมการพลังงานศักย์ ไฟฟ้าสถิต ของการกระจายประจุแบบต่อเนื่องมาเขียนในรูปของสนามไฟฟ้าสถิตได้

เนื่องจากกฎของเกาส์สำหรับสนามไฟฟ้าสถิตในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ระบุ ว่า $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$คือเวกเตอร์สนามไฟฟ้า
• ${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่นประจุ รวม ซึ่งรวมถึงประจุไดโพลที่ถูกยึดไว้ในวัสดุ
• ${\displaystyle dV}$เป็นองค์ประกอบปริมาตร
• ${\displaystyle \Phi }$คือศักย์ไฟฟ้า
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$คือ ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า ของสุญญากาศ

แล้ว, $${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ตอนนี้เราจะใช้เอกลักษณ์เวกเตอร์การล divergence ต่อไปนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})&=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}&=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\end{aligned}}}$$

เรามี

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

โดยใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์และกำหนดให้พื้นที่อยู่ที่อนันต์ โดยที่และใช้${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$${\displaystyle \nabla \Phi =-\mathbf {E} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

ดังนั้น ความหนาแน่นของพลังงาน หรือพลังงานต่อหน่วยปริมาตรของสนามไฟฟ้าสถิตคือ: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

เราสามารถสะสมประจุลงในตัวเก็บประจุได้ทีละน้อยมาก ๆโดยที่ปริมาณงานที่ใช้ในการสะสมประจุแต่ละส่วนจนถึงตำแหน่งสุดท้ายสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

งานทั้งหมดที่ใช้ในการชาร์จตัวเก็บประจุจนเต็มด้วยวิธีนี้คือ โดย ที่คือประจุรวมบนตัวเก็บประจุ งานนี้จะถูกเก็บไว้ในรูปของพลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิต ดังนั้น $${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

ที่สำคัญคือ นิพจน์นี้ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ซึ่งเป็นจริงสำหรับระบบที่มีประจุจำนวนมาก เช่น ตัวเก็บประจุขนาดใหญ่ที่มีขั้วไฟฟ้าโลหะ สำหรับระบบที่มีประจุจำนวนน้อย ลักษณะเฉพาะของประจุมีความสำคัญ พลังงานทั้งหมดที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุที่มีประจุจำนวนน้อยคือ ซึ่งได้มาโดยวิธีการประกอบประจุโดยใช้หน่วยเพิ่มของประจุทางกายภาพที่เล็กที่สุดโดยที่คือหน่วยพื้นฐานของประจุและคือจำนวนประจุทั้งหมดในตัวเก็บประจุ ${\displaystyle dq\to 0}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$${\displaystyle \Delta q=e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle Q=Ne}$${\displaystyle N}$