ข้อสันนิษฐานของ คอลลาทซ์ ^{[ a ]}เป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ข้อสันนิษฐานนี้ถามว่าการทำซ้ำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ง่ายๆ สองครั้งจะเปลี่ยนจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนให้เป็น 1 ในที่สุดหรือไม่ ข้อสันนิษฐานนี้เกี่ยวข้อง กับ ลำดับของจำนวนเต็มซึ่งแต่ละพจน์ได้มาจากพจน์ก่อนหน้าดังนี้: ถ้าพจน์เป็นจำนวนคู่พจน์ถัดไปจะเป็นครึ่งหนึ่งของพจน์นั้น ถ้าพจน์เป็นจำนวนคี่ พจน์ถัดไปจะเป็น 3 เท่าของพจน์ก่อนหน้าบวก 1 ข้อสันนิษฐานคือลำดับเหล่านี้จะไปถึง 1 เสมอ ไม่ว่าจำนวนเต็มบวกใดจะถูกเลือกให้เริ่มต้นลำดับ ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดจนถึง2.36 × 10 ²¹แต่ยังไม่พบหลักฐานพิสูจน์ทั่วไป

ชื่อนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์Lothar Collatzผู้ซึ่งนำเสนอแนวคิดนี้ในปี พ.ศ. 2480 สองปีหลังจากที่เขาได้รับปริญญาเอก^{[ 4 ]}ลำดับตัวเลขที่เกี่ยวข้องบางครั้งเรียกว่าลำดับลูกเห็บตัวเลขลูกเห็บหรือตัวเลขลูกเห็บ (เนื่องจากค่ามักจะลดลงและเพิ่มขึ้นหลายครั้งเหมือนลูกเห็บในเมฆ) ^{[ 5 ]}หรือเรียกว่าตัวเลขมหัศจรรย์^{[ 6 ]}

Paul Erdősกล่าวเกี่ยวกับสมมติฐานของ Collatz ว่า "คณิตศาสตร์อาจยังไม่พร้อมสำหรับปัญหาเช่นนี้" ^{[ 7 ]} Jeffrey Lagariasกล่าวในปี 2010 ว่าสมมติฐานของ Collatz "เป็นปัญหาที่ยากอย่างยิ่ง ซึ่งเกินความสามารถของคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน" ^{[ 8 ]}อย่างไรก็ตาม แม้ว่าสมมติฐานของ Collatz เองจะยังคงเปิดอยู่ แต่ความพยายามในการแก้ปัญหานี้ได้นำไปสู่เทคนิคใหม่ๆ และผลลัพธ์บางส่วนมากมาย^{[ 8 ] [ 9 ]}

พิจารณาการดำเนินการต่อไปนี้กับจำนวนเต็มบวก ใดๆ :

• ถ้าจำนวนนั้นเป็นเลขคู่ ให้หารด้วยสอง
• ถ้าจำนวนนั้นเป็นเลขคี่ ให้คูณด้วยสามแล้วบวกหนึ่ง

ใน การเขียนสัญลักษณ์ เลขคณิตแบบมอดูลาร์ให้กำหนดฟังก์ชันfดังนี้: $${\displaystyle f(n)={\begin{cases}n/2&{\text{ถ้า }}n\equiv 0{\pmod {2}},\\3n+1&{\text{ถ้า }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

ทีนี้สร้างลำดับโดยดำเนินการนี้ซ้ำๆ กัน โดยเริ่มจากจำนวนเต็มบวกใดๆ และนำผลลัพธ์ในแต่ละขั้นตอนมาใช้เป็นอินพุตในขั้นตอนถัดไป

ในเชิงสัญลักษณ์: (นั่นคือ: a _iคือค่าของfที่นำไปใช้กับn แบบ เรียกซ้ำiครั้ง; a _i = f ⁱ ( n ) ) $${\displaystyle a_{i}={\begin{cases}n&{\text{สำหรับ }}i=0,\\f(a_{i-1})&{\text{สำหรับ }}i>0\end{cases}}}$$

สมมติฐานของคอลลาทซ์กล่าวว่า: กระบวนการนี้จะไปถึงเลข 1 ในที่สุด ไม่ว่าเราจะเลือกจำนวนเต็มบวกใดในตอนเริ่มต้นก็ตาม นั่นคือ สำหรับแต่ละค่า จะมีค่า บางค่า ที่มีค่าเท่ากับ1 ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}=1}$

หากสมมติฐานนี้เป็นเท็จ ก็คงเป็นเพราะมีจำนวนเริ่มต้นบางจำนวนที่ทำให้เกิดลำดับที่ไม่รวมเลข 1 ลำดับดังกล่าวอาจเข้าสู่รอบการทำซ้ำที่ไม่รวมเลข 1 หรือเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด แต่ยังไม่พบลำดับดังกล่าว

ค่า iที่เล็กที่สุดที่a _i < a ₀เรียกว่าเวลาหยุดของnในทำนองเดียวกัน ค่า k ที่เล็กที่สุดที่a k = ₁เรียกว่าเวลาหยุดทั้งหมดของn ^{[ 2 ]}หากดัชนีiหรือk ตัวใดตัวหนึ่ง ไม่มีอยู่ เราจะกล่าวว่าเวลาหยุดหรือเวลาหยุดทั้งหมดตามลำดับเป็นอนันต์

ข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์กล่าวว่า เวลาหยุดทั้งหมดของทุกค่าnนั้นมีค่าจำกัด ซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่า ทุกค่า n ≥ 2มีเวลาหยุดที่มีค่าจำกัดเช่นกัน

เนื่องจาก3n + 1เป็นจำนวนคู่เสมอเมื่อnเป็นจำนวนคี่ ดังนั้นจึงอาจใช้รูปแบบ "ทางลัด" ของฟังก์ชันคอลลาทซ์แทนได้: นิยาม นี้จะให้ค่าเวลาหยุดและเวลาหยุดทั้งหมดที่น้อยกว่า โดยไม่เปลี่ยนแปลงพลวัตโดยรวมของกระบวนการ $${\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{ถ้า }}n\equiv 0{\pmod {2}},\\{\frac {3n+1}{2}}&{\text{ถ้า }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

ตัวอย่างเช่น หากเริ่มต้นด้วยn = 12และใช้ฟังก์ชันfโดยไม่ใช้ "ทางลัด" จะได้ลำดับ 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

จำนวนn = 19ใช้เวลานานกว่าจะเข้าใกล้ 1: 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

ลำดับสำหรับn = 27ซึ่งแสดงและวาดกราฟไว้ด้านล่าง ใช้เวลา 111 ขั้น (41 ขั้นผ่านเลขคี่ ซึ่งแสดงด้วยตัวหนา) โดยไต่ระดับขึ้นไปสูงสุดที่ 9232 ก่อนที่จะลดลงมาเหลือ 1

27 , 82, 41 , 124, 62, 31 , 94, 47 , 142, 71 , 214 , 107, 322 , 161, 484, 242 , 121, 364,, 91 , 274, 137 , 412, 206, 103 , 310 , 155, 466 , 233, 700, 350 , 175, 526 , 263, 790 , 395, 1186 , 593, 1780, 890 , 445, 1336, 668, 334, 167 , 502 251 , 754, 377 , 1132, 566 , 283, 850 , 425, 1276, 638 , 319, 958 , 479, 1438 , 719 , 2158, 1079 , 3238 , 1619, 4858, 2429 , 7288, 3644, 1822, 911 , 2734 , 1367, 4102 , 2051 , 6154 , 3077 , 9232, 4616, 2308, 1154 , 577, 1732, 866 , 433, 1300, 650 325 , 976, 488, 244, 122, 61 , 184, 92, 46, 23 , 70, 35 , 106, 53 , 160, 80, 40, 20, 10, 5 , 16, 8, 4, 2, 1

(ลำดับA008884ในOEIS )

ตัวเลขที่มีเวลาหยุดรวมนานกว่าเวลาหยุดรวมของค่าเริ่มต้นที่เล็กกว่าใดๆ จะก่อให้เกิดลำดับที่เริ่มต้นด้วย:

1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711, 6171, ... (ลำดับA006877ในOEIS )

ค่าเริ่มต้นที่มี จุด สูงสุดของวิถีการเคลื่อนที่มากกว่าค่าเริ่มต้นที่เล็กกว่าใดๆ มีดังต่อไปนี้:

1, 2, 3, 7, 15, 27, 255, 447, 639, 703, 1819, 4255, 4591, 9663, 20895, 26623, 31911, 60975, 77671, 113383, 138367, 159487, 270271, 665215, 704511, ... (ลำดับA006884ในOEIS )

จำนวนขั้นตอนที่nจะเข้าใกล้ 1 คือ

0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, 20, 20, 7, 7, 15, 15, 10, 23, 10, 111, 18, 18, 18, 106, 5, 26, 13, 13, 21, 21, 21, 34, 8, 109, 8, 29, 16, 16, 16, 104, 11, 24, 24, ... (ลำดับA006577ในOEIS )

ค่าเริ่มต้นที่มีเวลาหยุดรวมมากที่สุดในขณะที่เป็น

น้อยกว่า 10 คือ 9 ซึ่งมี 19 ขั้น

น้อยกว่า 100 คือ 97 ซึ่งมี 118 ขั้น

น้อยกว่า 1000 คือ 871 ซึ่งมี 178 ขั้น

น้อยกว่า^10⁴คือ 6171 ซึ่งมี 261 ขั้น

น้อยกว่า 10 ⁵คือ77 031ซึ่งมี 350 ขั้น

น้อยกว่า 10 ⁶คือ837 799ซึ่งมี 524 ขั้น

น้อยกว่า 10 ⁷คือ8 400 511ซึ่งมี 685 ขั้น

น้อยกว่า 10 ⁸คือ63 728 127ซึ่งมี 949 ขั้น

น้อยกว่า 10 ⁹คือ670 617 279ซึ่งมี 986 ขั้น

น้อยกว่า 10 ¹⁰คือ9 780 657 630ซึ่งมี 1132 ขั้นตอน^{[ 10 ]}

น้อยกว่า 10 ¹¹คือ75 128 138 247ซึ่งมี 1228 ขั้น

น้อยกว่า 10 ¹²คือ989 345 275 647ซึ่งมี 1348 ขั้นตอน^{[ 11 ]} (ลำดับA284668ในOEIS )

ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขต่ำสุดตามจำนวนขั้นตอนที่ระบุไว้ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเลขเดียวที่ต่ำกว่าขีดจำกัดที่กำหนด ตัวอย่างเช่น9 780 657 631มี 1132 ขั้นตอน เช่นเดียวกับ9 780 657 630​

ค่าเริ่มต้นที่มีเวลาหยุดรวมน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับจำนวนหลัก (ในฐาน 2) คือกำลังของสองเนื่องจาก2nจะถูกหารครึ่งⁿครั้งเพื่อให้ได้ 1 และจะไม่เพิ่มขึ้นอีกเลย

• 
  กราฟแสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของตัวเลข 1,000 ตัวแรก
• 
  แกนxแทนหมายเลขเริ่มต้น แกน yแทนหมายเลขสูงสุดที่ได้ในระหว่างห่วงโซ่จนถึง 1 กราฟนี้แสดง แกน y ที่จำกัด : ค่า x บาง ค่าสร้างค่ากลางที่สูงถึง2.7 × 10 ⁷ (สำหรับx = 9663 )
• 
  กราฟนี้เหมือนกับกราฟก่อนหน้า แต่ใช้มาตราส่วนลอการิทึม ดังนั้นจึง แสดงค่า y ทั้งหมด เส้นหนาเส้นแรกตรงกลางกราฟสอดคล้องกับจุดสูงสุดที่ 27 ซึ่งมีค่าสูงสุดที่ 9232
• 
  แผนผังของจำนวนทั้งหมดที่มีจำนวนขั้นน้อยกว่า 20 ขั้น
• 
  จำนวนรอบที่ต้องใช้ในการหาค่าหนึ่งใน 100 ล้านตัวเลขแรก
• 
  เส้นทางการคาดการณ์ของคอลลาทซ์สำหรับจุดเริ่มต้นแบบสุ่ม 5,000 จุดที่ต่ำกว่า 1 ล้าน

แม้ว่าข้อสันนิษฐานนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ แต่บรรดานักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่ศึกษาปัญหานี้ต่างคิดว่าข้อสันนิษฐานนี้เป็นจริง เนื่องจากมีหลักฐานจากการทดลองและข้อโต้แย้งเชิงอนุมานสนับสนุน

สมมติฐานดังกล่าวได้รับการตรวจสอบโดยคอมพิวเตอร์สำหรับค่าเริ่มต้นทั้งหมดจนถึง 2 ⁷¹ ≈2.36 × 10 ²¹ค่าทั้งหมดที่ทดสอบจนถึงตอนนี้ลู่เข้าสู่ 1 ^{[ 12 ]}

หลักฐานจากคอมพิวเตอร์นี้ยังไม่ใช่ข้อพิสูจน์ที่แน่ชัดว่าข้อสันนิษฐานนั้นเป็นจริงสำหรับค่าเริ่มต้นทั้งหมด เนื่องจาก อาจพบ ตัวอย่างค้านได้เมื่อพิจารณาจำนวนเต็มบวกขนาดใหญ่มาก ดังเช่นในกรณีของข้อสันนิษฐานของ Pólyaและข้อสันนิษฐานของ Mertens ที่ถูกพิสูจน์แล้วว่าไม่ถูก ต้อง

อย่างไรก็ตาม การตรวจสอบดังกล่าวอาจมีนัยสำคัญอื่นๆ ข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับวงจรที่ไม่ธรรมดา เช่นขอบเขตล่างของความยาวของวงจร สามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยค่าของพจน์ต่ำสุดในวงจร ดังนั้น การค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์เพื่อตัดวงจรที่มีพจน์ต่ำสุดขนาดเล็กออกไป สามารถเสริมความแข็งแกร่งให้กับข้อจำกัดเหล่านี้ได้^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

หากพิจารณาเฉพาะ เลข คี่ในลำดับที่สร้างขึ้นโดยกระบวนการคอลลาทซ์แล้ว เลขคี่แต่ละตัวจะมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ⁠3/4ของอันก่อนหน้า^{[ 16 ]} (กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอัตราส่วนของผลลัพธ์คือ⁠3/4( .) วิธีนี้ให้ข้อโต้แย้งเชิงอนุมานว่าลำดับ Hailstone ทุกลำดับควรลดลงในระยะยาว แม้ว่านี่จะไม่ใช่หลักฐานที่ขัดแย้งกับวัฏจักรอื่น ๆ แต่เป็นเพียงหลักฐานที่ขัดแย้งกับการล divergence เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งนี้ไม่ใช่การพิสูจน์ เพราะมันสมมติว่าลำดับ Hailstone ประกอบขึ้นจากเหตุการณ์ความน่าจะเป็นที่ไม่เกี่ยวข้องกัน (แต่เป็นการพิสูจน์อย่างเข้มงวดว่า ส่วนขยาย 2-adicของกระบวนการ Collatz มีขั้นตอนการหารสองขั้นตอนสำหรับทุกขั้นตอนการคูณสำหรับ ค่าเริ่มต้น 2-adic เกือบทั้งหมด )

ตามที่พิสูจน์โดยRiho Terrasเกือบทุกจำนวนเต็มบวกมีเวลาหยุดที่จำกัด^{[ b ] [ 17 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับ Collatz เกือบทุกลำดับจะถึงจุดที่ต่ำกว่าค่าเริ่มต้นอย่างเคร่งครัด การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับการกระจายของเวกเตอร์พาริตีและใช้ทฤษฎีบท ขีดจำกัดกลาง

ในปี 2019 Terence Taoได้ปรับปรุงผลลัพธ์นี้โดยแสดงให้เห็นโดยใช้ความหนาแน่นลอการิทึมว่าวงโคจร Collatz เกือบทั้งหมด (ในแง่ของความหนาแน่นลอการิทึม) จะลดลงต่ำกว่าฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดของจุดเริ่มต้น โดยที่ฟังก์ชันนี้จะลู่เข้าสู่อนันต์ ไม่ว่าจะช้าเพียงใดก็ตาม นิตยสาร Quanta Magazine ได้ตอบสนองต่องานนี้ โดยเขียนว่า Tao "ได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งเกี่ยวกับสมมติฐาน Collatz ในรอบหลายทศวรรษ" ^{[ 9 ] [ 18 ]}

ในการพิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์ Krasikov และ Lagarias แสดงให้เห็นว่าจำนวนจำนวนเต็มในช่วง[1, x ]ที่ในที่สุดจะถึง 1 นั้นมีอย่างน้อยเท่ากับx ^0.84สำหรับxที่ มีค่ามากพอ ^{[ 19 ]}

ในส่วนนี้ ให้พิจารณารูปแบบย่อของฟังก์ชันคอลลาท ซ์ วงจร คือลำดับ( a ₀ , a ₁ , ..., a _q )ของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน โดยที่f ( a ₀ ) = a ₁ , f ( a ₁ ) = a ₂ , ..., และf ( a _q ) = a ₀$${\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{ถ้า }}n\equiv 0{\pmod {2}},\\{\frac {3n+1}{2}}&{\text{ถ้า }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

วัฏจักรเดียวที่ทราบคือ(1,2)ที่มีคาบ 2 เรียกว่าวัฏจักรที่ไม่สำคัญ

ณ ปี 2025 ขีดจำกัดที่ทราบดีที่สุดเกี่ยวกับความยาววัฏจักรคือ217 976 794 617 (355 504 839 929โดยไม่มีทางลัด) ^{[ 12 ]}ในปี 1993 Eliahou พิสูจน์ว่าคาบpของวัฏจักรที่ไม่ใช่วัฏจักรธรรมดาใดๆ จะอยู่ในรูปแบบ ที่a , bและcเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบb ≥ 1และac = 0ผลลัพธ์นี้ขึ้นอยู่กับ การขยาย เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่ายของ⁠$${\displaystyle p=301994a+17087915b+85137581c}$$ln 3/ln 2. ^{[ 14 ]}​

k - cycle คือวงจรที่สามารถแบ่งออกเป็นkลำดับย่อยที่ต่อเนื่องกัน โดยแต่ละลำดับย่อยประกอบด้วยลำดับเลขคี่ที่เพิ่มขึ้น ตามด้วยลำดับเลขคู่ที่ลดลง^{[ 15 ]}ตัวอย่างเช่น หากวงจรประกอบด้วยลำดับเลขคี่ที่เพิ่มขึ้นเพียงลำดับเดียว ตามด้วยลำดับเลขคู่ที่ลดลง จะเรียกว่า1- cycle

สไตเนอร์ (1977) พิสูจน์ว่าไม่มีวงจร 1 วงอื่นใดนอกจากวงจรที่ไม่สำคัญ⁽ 1; 2) [ ^{20 ]}ไซมอนส์ (2005) ใช้วิธีการของสไตเนอร์เพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีวงจร 2 วง^{[ 21 ]}ไซมอนส์และเดอ เวเกอร์ (2005) ขยายการพิสูจน์นี้ไปจนถึงวงจร 68 วง ไม่มี วงจร k วงจนถึงk = 68 [ ^{15 ] เฮอ}ร์เชอร์ขยายวิธีการนี้ต่อไปและพิสูจน์ว่าไม่มีวงจรk วงที่มี k ≤ 91 ^{[ 22 ]}เมื่อการค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์อย่างละเอียดถี่ถ้วนดำเนินต่อไป ค่า k ที่มากขึ้น อาจถูกตัดออกไปได้ เพื่ออธิบายข้อโต้แย้งให้เข้าใจง่ายขึ้น เราไม่จำเป็นต้องค้นหาวงจรที่มีลำดับย่อยน้อยกว่า 92 ลำดับ โดยที่แต่ละลำดับย่อยประกอบด้วยการขึ้นที่ต่อเนื่องกันตามด้วยการลงที่ต่อเนื่องกัน

มีอีกแนวทางหนึ่งในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานนี้ ซึ่งพิจารณาถึงวิธีการสร้างกราฟคอลลาทซ์ จากล่างขึ้นบน กราฟ คอ ลลาทซ์เป็นกราฟ ที่กำหนดโดย ความสัมพันธ์ผกผัน$${\displaystyle R(n)={\begin{cases}\{2n\}&{\text{ถ้า }}n\equiv 0,1,2,3,5\\\left\{2n,{\frac {n-1}{3}}\right\}&{\text{ถ้า }}n\equiv 4\end{cases}}{\pmod {6}}.}$$

ดังนั้น แทนที่จะพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มบวกทั้งหมดจะนำไปสู่ ​​1 ในที่สุด เราอาจลองพิสูจน์ว่า 1 นำไปสู่จำนวนเต็มบวกทั้งหมดได้ สำหรับจำนวนเต็ม n ใดๆn ≡ 1 (mod 2) ก็ต่อเมื่อ3n + 1 ≡ 4 (mod 6) หรือเทียบเท่ากับ⁠n − 1/3⁠ ≡ 1 (mod 2)ก็ต่อเมื่อ n ≡ 4 (mod 6) เท่านั้น โดยคาดการณ์ว่าความสัมพันธ์ผกผันนี้ก่อให้เกิดโครงสร้างแบบต้นไม้ สำหรับจำนวนเต็มบวก ยกเว้นลูป 1–2–4 (ซึ่งเป็นส่วนกลับของลูป 4–2–1 ของฟังก์ชัน fที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งกำหนดไว้ใน ส่วน "คำแถลงปัญหา " ของบทความนี้)

เมื่อความสัมพันธ์3 n + 1ของฟังก์ชันf ถูก แทนที่ด้วยความสัมพันธ์ "ทางลัด" ทั่วไป3n + 1/2กราฟคอลลาทซ์ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ ผกผัน$${\displaystyle R(n)={\begin{cases}\{2n\}&{\text{ถ้า }}n\equiv 0,1\\\left\{2n,{\frac {2n-1}{3}}\right\}&{\text{ถ้า }}n\equiv 2\end{cases}}{\pmod {3}}.}$$

สำหรับจำนวนเต็มn ใด ๆ n ≡ 1 (mod 2)ก็ต่อเมื่อ⁠3n + 1/2⁠ ≡ 2 (mod 3) . หรือเทียบเท่ากับ ⁠2 n − 1/3⁠ ≡ 1 (mod 2)ก็ต่อเมื่อ n ≡ 2 (mod 3) เท่านั้น โดยคาดการณ์ว่าความสัมพันธ์ผกผันนี้ก่อให้เกิดโครงสร้างแบบต้นไม้สำหรับจำนวนเต็มบวก ยกเว้นลูป 1–2 (ซึ่งเป็นส่วนกลับของลูป 1–2 ของฟังก์ชัน f(n) ที่ปรับปรุงตามที่ระบุไว้ข้างต้น)

หรืออีกวิธีหนึ่ง ให้แทนที่3 n + 1ด้วย⁠n ′/H ( n ′ )โดยที่ n ′ = 3 n + 1และ H ( n ′ )คือกำลังสูงสุดของ 2ที่หาร n ′ ลงตัว (โดยไม่มีเศษเหลือ ) ฟังก์ชัน f ที่ได้จะ แปลงจากจำนวนคี่เป็นจำนวนคี่ สมมติว่าสำหรับจำนวนคี่ n บาง ตัว การดำเนินการนี้ kครั้งจะได้ผลลัพธ์เป็น 1 (นั่นคือ f ^k ( n ) = 1 ) จากนั้นในระบบเลขฐานสองจำนวน nสามารถเขียนได้เป็นการต่อกันของสตริงw _k w _{k −1} ... w _{1 โดยที่} w _hแต่ละตัวเป็นส่วนที่จำกัดและต่อเนื่องจากตัวแทนของ ⁠1/3 ^{ชั่วโมง}[ ^{23 ] ดังนั้น}การแสดงแทนของ nจึงถือเอาที่ซ้ำกันของ1/3 ^{ชั่วโมง}โดยที่แต่ละส่วนที่ทำซ้ำจะถูกหมุนตามความเหมาะสม จากนั้นจึงทำซ้ำจนถึงจำนวนบิตที่จำกัด สิ่งนี้เกิดขึ้นเฉพาะในระบบเลขฐานสองเท่านั้น ^{[ 24 ]}โดยคาดการณ์ได้ว่า สตริงเลขฐานสอง s ทุกตัว ที่ลงท้ายด้วย '1' สามารถเข้าถึงได้โดยการแสดงในรูปแบบนี้ (โดยที่เราอาจเพิ่มหรือลบ '0' นำหน้า  s ได้ )

การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันคอลลาทซ์ซ้ำๆ สามารถแสดงได้ในรูปของเครื่องจักรนามธรรมที่จัดการกับสตริงของบิตเครื่องจักรนี้จะดำเนินการสามขั้นตอนต่อไปนี้กับจำนวนคี่ใดๆ จนกว่าจะเหลือเพียงเลข1 ตัวเดียว :

1. เพิ่ม1 ต่อท้าย ( ด้านขวา) ของตัวเลขในระบบเลขฐานสอง (จะได้2n + 1 )
2. นำค่านี้ไป บวกกับเลขเดิมโดยใช้การบวกเลขฐานสอง (จะได้2n + 1 + n = 3n + 1 )
3. ลบเลข 0ที่อยู่ท้ายสุดออกทั้งหมด(กล่าวคือ หารด้วย 2 ซ้ำๆ จนกว่าผลลัพธ์จะเป็นเลขคี่)

เลขเริ่มต้น 7 เขียนเป็นเลขฐานสองได้เป็น111ลำดับคอลลาทซ์ที่ได้คือ:

 111 111 1 1011 0 1011 1 10001 0 10001 1 1101 00 1101 1 101 000 101 1 1 0000

สำหรับส่วนนี้ ให้พิจารณารูปแบบย่อของฟังก์ชันคอลลาทซ์ $${\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{ถ้า }}n\equiv 0\\{\frac {3n+1}{2}}&{\text{ถ้า }}n\equiv 1\end{cases}}{\pmod {2}}.}$$

ถ้าP(...)คือค่าความเท่าเทียมกันของจำนวน นั่นคือP(2 n ) = 0และP(2 n + 1) = 1 แล้วเราสามารถกำหนดลำดับความเท่าเทียมกันของคอลลาทซ์ (หรือเวกเตอร์ความเท่าเทียมกัน ) สำหรับจำนวนnได้เป็นp _i = P( a _i )โดยที่a ₀ = nและa _{i +1} = f ( a _i )

มีการดำเนินการใด⁠3n + 1/2หรือ​​n/2ขึ้นอยู่กับค่าพาริตี ลำดับพาริตีจะเหมือนกับลำดับการดำเนินการ

โดยใช้รูปแบบนี้สำหรับf ( n )จะสามารถแสดงได้ว่าลำดับความเท่าเทียมกันสำหรับตัวเลขสองตัวmและn จะตรงกันใน k เทอม แรกก็ต่อเมื่อmและnเทียบเท่ากันโมดูล^2kเท่านั้นซึ่งหมายความว่าตัวเลขทุกตัวจะถูกระบุอย่างไม่ซ้ำกันด้วยลำดับความเท่าเทียมกัน และยิ่งไปกว่านั้น หากมีวงจร Hailstone หลายวงจร วงจรความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกันจะต้องแตกต่างกัน^{[ 2 ] [ 17 ]}

การใช้ฟังก์ชันfกับจำนวนn = 2k ^a + b จำนวน k ครั้ง จะได้ผลลัพธ์เป็น3c a + ^dโดยที่ d คือผลลัพธ์ของการใช้ฟังก์ชันfกับb จำนวน k ครั้ง และcคือจำนวนครั้งที่ค่าเพิ่มขึ้นในลำดับนั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับ25a + 1 จะมีการเพิ่มขึ้น 3 ครั้ง เนื่องจาก 1 เพิ่มขึ้นเป็น 2, 1, 2, 1 และสุดท้ายเป็น 2 ดังนั้นผลลัพธ์คือ 33a + 2; สำหรับ 22a + 1 ^จะมีการเพิ่มขึ้นเพียง1 ครั้ง^{เนื่องจาก1}เพิ่มขึ้นเป็น 2 และลดลงเป็น 1 ดังนั้นผลลัพธ์คือ3a + 1เมื่อbเท่ากับ2k − 1จะมี การเพิ่มขึ้น k ครั้งและผลลัพธ์จะเป็น3ka + ^{3k −} 1กำลังของ 3 ที่คูณกับa นั้น^ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของaแต่ขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของb เท่านั้นวิธีนี้ช่วยให้เราสามารถทำนายได้ว่าตัวเลขบางรูปแบบจะนำไปสู่ตัวเลขที่เล็กลงเสมอหลังจากจำนวนครั้งการทำซ้ำที่กำหนดไว้ ตัวอย่างเช่น4a + 1จะกลายเป็น3a + 1หลังจากใช้ฟังก์ชันf สองครั้ง และ16a + 3จะกลายเป็น9a + 2หลังจากใช้ฟังก์ชันf สี่ครั้ง อย่างไรก็ตาม การที่ตัวเลขที่เล็กลงเหล่านั้นจะเข้าใกล้ 1 ต่อไปหรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับค่าของa

สำหรับฟังก์ชันคอลลาทซ์ในรูปแบบย่อ

${\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{ถ้า }}n\equiv 0\\{\frac {3n+1}{2}}&{\text{ถ้า }}n\equiv 1.\end{cases}}{\pmod {2}}}$

ลำดับของลูกเห็บสามารถคำนวณได้โดยใช้ระบบ 2-tagพร้อมกฎการผลิต

ก → บีซี ,ข → ก ,ค → aaa .

ในระบบนี้ จำนวนเต็มบวกnจะถูกแทนด้วยสตริงที่ประกอบด้วย ตัวอักษร a จำนวน nตัวและการวนซ้ำของการดำเนินการแท็กจะหยุดลงเมื่อพบคำใดๆ ที่มีความยาวน้อยกว่า 2 (ดัดแปลงจาก De Mol.)

ข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์กล่าวในทำนองเดียวกันว่า ระบบแท็กนี้ ซึ่งมีสตริงจำกัดใดๆ ที่มีตัวอักษรaเป็นคำเริ่มต้น จะหยุดลงในที่สุด (ดูระบบแท็กสำหรับตัวอย่างการใช้งาน)

การขยายความของสมมติฐานคอลลาทซ์คือการรวมจำนวนเต็มทั้งหมด ไม่ใช่เฉพาะจำนวนเต็มบวกเท่านั้น หากไม่นับวงจร 0 → 0 ซึ่งไม่สามารถเข้าถึงได้จากภายนอก จะมีวงจรที่ทราบทั้งหมดสี่วงจร ซึ่งจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดดูเหมือนจะตกอยู่ในวงจรเหล่านี้ในที่สุดภายใต้การวนซ้ำของฟังก์ชันfวงจรเหล่านี้แสดงไว้ที่นี่ โดยเริ่มจากวงจรที่รู้จักกันดีสำหรับ  n ที่เป็นบวก :

ค่าคี่จะแสดงด้วยตัวหนาขนาดใหญ่ แต่ละวัฏจักรจะแสดงโดยเรียงลำดับสมาชิกที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยที่สุด (ซึ่งจะเป็นค่าคี่เสมอ) ขึ้นก่อน

สมมติฐานคอลลาทซ์แบบทั่วไปคือการกล่าวอ้างว่าจำนวนเต็มทุกจำนวน เมื่อถูกวนซ้ำด้วยฟังก์ชันfในที่สุดจะตกอยู่ในหนึ่งในสี่วัฏจักรข้างต้น หรือวัฏจักร 0 → 0

แผนที่คอลลาทซ์สามารถขยายไปยังจำนวนตรรกยะ (บวกหรือลบ) ที่มีตัวส่วนเป็นเลขคี่เมื่อเขียนในรูปอย่างง่ายที่สุดได้ จำนวนนั้นจะถูกพิจารณาว่าเป็น 'เลขคี่' หรือ 'เลขคู่' ขึ้นอยู่กับว่าตัวเศษเป็นเลขคี่หรือเลขคู่ จากนั้นสูตรสำหรับแผนที่นี้จะเหมือนกับเมื่อโดเมนเป็นจำนวนเต็มทุกประการ กล่าวคือ จำนวนตรรกยะ 'เลขคู่' ดังกล่าวจะถูกหารด้วย 2; จำนวนตรรกยะ 'เลขคี่' ดังกล่าวจะถูกคูณด้วย 3 แล้วบวกด้วย 1 ข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือ แผนที่คอลลาทซ์ขยายไปยังวงแหวนของจำนวนเต็ม 2-adicซึ่งมีวงแหวนของจำนวนตรรกยะที่มีตัวส่วนเป็นเลขคี่เป็นวงแหวนย่อย

เมื่อใช้คำจำกัดความ "ทางลัด" ของแผนที่คอลลาทซ์ เป็นที่ทราบกันว่าลำดับความเท่าเทียม กันแบบเป็นคาบใดๆ จะถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนตรรกยะเพียงจำนวนเดียว^{[ 25 ]}ในทางกลับกัน มีการคาดการณ์ว่าจำนวนตรรกยะทุกจำนวนที่มีตัวส่วนเป็นเลขคี่จะมีลำดับความเท่าเทียมกันแบบเป็นวัฏจักรในที่สุด (การคาดการณ์ความเป็นคาบ^{[ 2 ]} )

ถ้าวัฏจักรพาริตีมีความยาวnและประกอบด้วยจำนวนคี่จำนวนmครั้งพอดีที่ดัชนีk ₀ < ⋯ < k _{m −1}แล้ว จำนวนตรรกยะเพียงหนึ่งเดียวที่สร้างวัฏจักรพาริตีนี้ได้ทันทีและเป็นคาบคือ

${\displaystyle {\frac {3^{m-1}2^{k_{0}}+\cdots +3^{0}2^{k_{m-1}}}{2^{n}-3^{m}}}.}$

1

ตัวอย่างเช่น วงจรพาริตี(1 0 1 1 0 0 1)มีความยาว 7 และมีพจน์คี่สี่พจน์ที่ดัชนี 0, 2, 3 และ 6 วงจรนี้ถูกสร้างขึ้นซ้ำๆ โดยเศษส่วน เนื่องจากเศษส่วนดังกล่าวทำให้เกิดวงจรตรรกยะ $${\displaystyle {\frac {3^{3}2^{0}+3^{2}2^{2}+3^{1}2^{3}+3^{0}2^{6}}{2^{7}-3^{4}}}={\frac {151}{47}}}$$$${\displaystyle {\frac {151}{47}}\rightarrow {\frac {250}{47}}\rightarrow {\frac {125}{47}}\rightarrow {\frac {211}{47}}\rightarrow {\frac {340}{47}}\rightarrow {\frac {170}{47}}\rightarrow {\frac {85}{47}}\rightarrow {\frac {151}{47}}.}$$

การเรียงสับเปลี่ยนแบบวนรอบใดๆ ของ(1 0 1 1 0 0 1)จะสัมพันธ์กับเศษส่วนข้างต้นอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น วงจร(0 1 1 0 0 1 1)เกิดจากเศษส่วน $${\displaystyle {\frac {3^{3}2^{1}+3^{2}2^{2}+3^{1}2^{5}+3^{0}2^{6}}{2^{7}-3^{4}}}={\frac {250}{47}}.}$$

สำหรับการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง วงจรพาริตีจะต้องไม่สามารถลดทอนได้กล่าวคือ ไม่สามารถแบ่งออกเป็นวงจรย่อยที่เหมือนกันได้ เพื่อเป็นตัวอย่าง วงจรพาริตี(1 1 0 0 1 1 0 0)และวงจรย่อยของมัน(1 1 0 0)เกี่ยวข้องกับเศษส่วนเดียวกัน5/7เมื่อลดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด แล้ว

ในบริบทนี้ การสมมติว่าสมมติฐานของคอลลาทซ์มีความถูกต้อง หมายความว่า(1 0)และ(0 1)เป็นวัฏจักรพาริตีเพียงวัฏจักรเดียวที่สร้างขึ้นโดยจำนวนเต็มบวก (1 และ 2 ตามลำดับ)

ถ้าตัวส่วนคี่dของจำนวนตรรกยะไม่ใช่พหุคูณของ 3 แล้วตัววนซ้ำทั้งหมดจะมีตัวส่วนเดียวกัน และลำดับของตัวเศษสามารถหาได้โดยการใช้การวางนัยทั่วไป " 3 n + d  " ^{[ 26 ]}ของฟังก์ชันคอลลาทซ์ $${\displaystyle T_{d}(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}&{\text{ถ้า }}x\equiv 0{\pmod {2}},\\{\frac {3x+d}{2}}&{\text{ถ้า }}x\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

ฟังก์ชันนี้ ได้ รับการกำหนดไว้อย่างดีบนวงแหวนของจำนวนเต็ม 2-adicโดยที่มันมีความต่อเนื่องและรักษาการวัดเมื่อเทียบกับการวัด 2-adic ยิ่งไปกว่านั้น ไดนามิกของมันยังเป็นที่ทราบกันว่าเป็นergodic ^{[ 2 ]}$${\displaystyle T(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}&{\text{ถ้า }}x\equiv 0{\pmod {2}}\\{\frac {3x+1}{2}}&{\text{ถ้า }}x\equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

กำหนดฟังก์ชันเวกเตอร์พาริตีQที่กระทำต่อดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$$${\displaystyle Q(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(T^{k}(x){\bmod {2}}\right)2^{k}.}$$

ฟังก์ชันQเป็นไอโซเมตรี 2 -adic ^{[ 27 ]}ดังนั้น ลำดับพาริตีอนันต์ทุกลำดับจะเกิดขึ้นสำหรับจำนวนเต็ม 2-adic เพียงตัวเดียวเท่านั้น ดังนั้น วิถี เกือบทั้งหมดจึงไม่มีวัฏจักรใน ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

รูปแบบที่เทียบเท่ากันของสมมติฐานคอลลาทซ์คือ $${\displaystyle Q\left(\mathbb {Z} ^{+}\right)\subset {\tfrac {1}{3}}\mathbb {Z} .}$$

แผนที่คอลลาทซ์สามารถขยายไปยังเส้นจำนวนจริงได้โดยการเลือกฟังก์ชันใดๆ ที่มีค่าเป็นเมื่อเป็นจำนวนเต็มคู่ และมีค่าเป็นหรือ(สำหรับเวอร์ชัน "ทางลัด") เมื่อเป็นจำนวนเต็มคี่ นี่เรียกว่า ฟังก์ชัน การประมาณค่าวิธีง่ายๆ ในการทำเช่นนี้คือการเลือกสองฟังก์ชันและโดยที่: ${\displaystyle x/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 3x+1}$${\displaystyle (3x+1)/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2}}$

${\displaystyle g_{1}(n)={\begin{cases}1,&n{\text{ เป็นจำนวนคู่,}}\\0,&n{\text{ เป็นจำนวนคี่,}}\end{cases}}}$

${\displaystyle g_{2}(n)={\begin{cases}0,&n{\text{ เป็นจำนวนคู่,}}\\1,&n{\text{ เป็นจำนวนคี่,}}\end{cases}}}$

และใช้พวกมันเป็นสวิตช์สำหรับค่าที่เราต้องการ:

${\displaystyle f(x)={\frac {x}{2}}\cdot g_{1}(x)\,+\,{\frac {3x+1}{2}}\cdot g_{2}(x)}$.

หนึ่งในตัวเลือกดังกล่าวคือและการวนซ้ำของแผนที่นี้ทำให้เกิดระบบไดนามิกซึ่งได้รับการตรวจสอบเพิ่มเติมโดย Marc Chamberland ^{[ 28 ]}เขาแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานไม่เป็นจริงสำหรับจำนวนจริงบวก เนื่องจากมีจุดคงที่ จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับวงโคจรที่หลุดออก ไปสู่อนันต์ อย่างต่อเนื่องฟังก์ชันมีวัฏจักรดึงดูด สองรอบที่มีคาบ คือและยิ่งไปกว่านั้น เซตของวงโคจรที่ไม่จำกัดขอบเขตนั้นคาดว่าจะมี ขนาด${\displaystyle g_{1}(x)=\cos ^{2}\left({\tfrac {\pi }{2}}x\right)}$${\displaystyle g_{2}(x)=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{2}}x\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (1;\,2)}$${\displaystyle (1.1925...;\,2.1386...)}$${\displaystyle 0}$

Letherman, Schleicher และ Wood ขยายการศึกษาไปยังระนาบเชิงซ้อน^{[ 29 ]}พวกเขาใช้ฟังก์ชันของ Chamberland สำหรับไซน์และโคไซน์เชิงซ้อนและเพิ่มเทอมพิเศษโดยที่เป็นฟังก์ชันทั้งหมดเนื่องจากนิพจน์นี้ประเมินค่าเป็นศูนย์สำหรับจำนวนเต็มจริง ฟังก์ชันที่ขยายแล้ว ${\displaystyle {\tfrac {1}{\pi }}\left({\tfrac {1}{2}}-\cos(\pi z)\right)\sin(\pi z)\,+}$${\displaystyle h(z)\sin ^{2}(\pi z)}$${\displaystyle h(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)=\;&{\frac {z}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)+{\frac {3z+1}{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}z\right)\,+\\&{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2}}-\cos(\pi z)\right)\sin(\pi z)+h(z)\sin ^{2}(\pi z)\end{aligned}}}$

เป็นการประมาณค่าแบบแทรกสอดของแผนที่คอลลาทซ์ไปยังระนาบเชิงซ้อน เหตุผลที่เพิ่มพจน์พิเศษเข้าไปก็เพื่อให้จำนวนเต็มทั้งหมดเป็นจุดวิกฤตของด้วยวิธีนี้ พวกเขาแสดงให้เห็นว่าไม่มีจำนวนเต็มใดอยู่ในโดเมนเบเกอร์ซึ่งหมายความว่าจำนวนเต็มใด ๆ จะเป็นคาบในที่สุดหรืออยู่ในโดเมนที่เคลื่อนที่ไปมาพวกเขาตั้งข้อสันนิษฐานว่ากรณีหลังไม่น่าจะเป็นไปได้ ซึ่งจะทำให้วงโคจรของจำนวนเต็มทั้งหมดมีค่าจำกัด ${\displaystyle f}$

จุดส่วนใหญ่มีวงโคจรที่ลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ การระบายสีจุดเหล่านี้ตามความเร็วในการลู่เข้าจะสร้างภาพทางด้านซ้าย สำหรับบริเวณสีดำด้านในและบริเวณด้านนอกคือส่วนประกอบฟาตูและขอบเขตระหว่างทั้งสองคือเซตจูเลียของซึ่งก่อให้เกิด รูปแบบ แฟรกทัลบางครั้งเรียกว่า "แฟรกทัลคอลลาทซ์" ${\displaystyle h(z)=0}$${\displaystyle f}$

มีวิธีการกำหนดฟังก์ชันการประมาณค่าเชิงซ้อนอีกหลายวิธี เช่น การใช้เลขชี้กำลังเชิงซ้อนแทนไซน์และโคไซน์:

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{2}}+{\frac {1}{4}}(2z+1)\left(1-e^{i\pi z}\right)}$,

ซึ่งแสดงพลวัตที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้ว เซตจูเลียที่สอดคล้องกัน ซึ่ง แสดงอยู่ทางด้านขวา ประกอบด้วยเส้นโค้งจำนวนนับไม่ถ้วน เรียกว่าเส้นขนหรือรังสี${\displaystyle \operatorname {Im} (z)\gg 1}$${\displaystyle f(z)\approx z+{\tfrac {1}{4}}}$

ส่วน"ลำดับพาริตี"ด้านบนได้อธิบายวิธีการเร่งความเร็วในการจำลองลำดับ โดยการข้ามไปข้างหน้าkขั้นในแต่ละรอบ (โดยใช้ ฟังก์ชัน fจากส่วนนั้น) แบ่งตัวเลขปัจจุบันออกเป็นสองส่วน คือb ( บิตที่มีค่าน้อยที่สุด kบิต ซึ่งตีความว่าเป็นจำนวนเต็ม) และa (บิตที่เหลือซึ่งตีความว่าเป็นจำนวนเต็ม) ผลลัพธ์ของการข้ามไปข้างหน้าkจะได้จาก สูตรต่อไปนี้

f ^k (2 ^k a + b ) = 3 ^{c ( b , k )} a + d ( b , k ) .

ค่าของc (หรือดีกว่า^{คือ 3c} )และdสามารถคำนวณล่วงหน้าได้สำหรับจำนวนk บิตที่เป็นไปได้ทั้งหมด bโดยที่d ( b , k )คือผลลัพธ์ของการใช้ฟังก์ชันfกับb จำนวน k ครั้ง และc ( b , k )คือจำนวนเลขคี่ที่พบระหว่างทาง^{[ 30 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้าk = 5เราสามารถข้ามไปข้างหน้า 5 ขั้นตอนในแต่ละรอบโดยการแยกบิตที่มีค่าน้อยที่สุด 5 บิตของตัวเลขและใช้

c (0...31, 5) = { 0, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 5 },

d (0...31, 5) = { 0, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 20, 1, 26, 1, 10, 4, 4, 13, 40, 2, 5, 17, 17, 2, 2, 20, 20, 8, 22, 8, 71, 26, 26, 80, 242 }.

วิธีนี้ต้องใช้การคำนวณล่วงหน้า และการจัดเก็บข้อมูล 2k เพื่อเร่งความเร็วในการคำนวณที่ได้ด้วยปัจจัยkซึ่ง^{เป็นการ} แลกเปลี่ยนระหว่างพื้นที่จัดเก็บ ข้อมูล และเวลา

เพื่อจุดประสงค์พิเศษในการค้นหาตัวอย่างค้านสำหรับสมมติฐานของคอลลาทซ์ การคำนวณล่วงหน้านี้จะนำไปสู่การเร่งความเร็วที่สำคัญยิ่งขึ้น ซึ่งโทมัส โอลิเวียรา อี ซิลวา ใช้ในการยืนยันเชิงคำนวณของสมมติฐานของคอลลาทซ์จนถึงค่า  n ขนาดใหญ่ ถ้าหากสำหรับค่าbและk ที่กำหนดบาง ค่า อสมการ

f ^k (2 ^k a + b ) = 3 ^{c ( b )} a + d ( b ) < 2 ^k a + b

หากเงื่อนไข นี้ใช้ได้กับค่าa ทั้งหมด ตัวอย่างค้านแรก หากมีอยู่ จะต้องไม่ใช่b modulo 2 ^{k [ 13 ]}ตัวอย่างเช่น ตัวอย่างค้านแรกจะต้องเป็นจำนวนคี่ เพราะf (2 n ) = nซึ่งน้อยกว่า2 nและจะต้องเป็น 3 mod 4 เพราะf ² (4 n + 1) = 3 n + 1ซึ่งน้อยกว่า4 n + 1สำหรับค่าเริ่มต้นa แต่ละค่า ที่ไม่ใช่ตัวอย่างค้านของสมมติฐาน Collatz จะมีค่าkที่อสมการดังกล่าวเป็นจริง ดังนั้นการตรวจสอบสมมติฐาน Collatz สำหรับค่าเริ่มต้นค่าเดียวจึงดีพอๆ กับการตรวจสอบคลาสความสอดคล้องทั้งหมด เมื่อkเพิ่มขึ้น การค้นหาจะต้องตรวจสอบเฉพาะเศษbที่ไม่ถูกกำจัดโดยค่า  k ที่ต่ำกว่า เท่านั้น เศษเหลือเพียงเศษส่วนเล็กน้อยแบบเลขชี้กำลังเท่านั้นที่ยังคงอยู่^{[ 31 ]}ตัวอย่างเช่น สารตกค้างที่เหลืออยู่เพียงอย่างเดียวของ mod 32 คือ 7, 15, 27 และ 31

จำนวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัวไม่สามารถสร้างวัฏจักรได้ ดังนั้นจำนวนเต็มเหล่านี้จึงไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเป็นตัวอย่างค้าน^{[ 32 ]}

ถ้าkเป็นจำนวนเต็มคี่ แล้ว3k + 1 จะเป็น จำนวนคู่ ดังนั้น3k + 1 = ^2ak ′โดยที่k ′ เป็น จำนวนคี่และa ≥ 1ฟังก์ชันSyracuseคือฟังก์ชันfจากเซตIของจำนวนเต็มคี่บวกไปยังตัวมันเอง ซึ่งf ( k ) = k ′ (ลำดับA075677ในOEIS )

คุณสมบัติบางประการของฟังก์ชัน Syracuse มีดังนี้:

• สำหรับทุกk ∈ I , f (4 k + 1) = f ( k ) . (เนื่องจาก3(4 k + 1) + 1 = 12 k + 4 = 4(3 k + 1) .)
• โดยทั่วไปแล้ว: สำหรับทุกp ≥ 1และh เป็นจำนวนคี่ , f ^{p − 1} (2 ^p h − 1) = 2 × 3 ^{p − 1} h − 1 . (ในที่นี้f ^{p − 1}คือสัญลักษณ์การวนซ้ำของฟังก์ชัน )
• สำหรับhที่เป็นเลขคี่ทั้งหมดf (2 h − 1) ≤ ⁠3 ชั่วโมง − 1/2⁠

ข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์เทียบเท่ากับข้อความที่ว่า สำหรับทุกkในIจะมีจำนวนเต็มn ≥ 1 อยู่จริง ซึ่งf ⁿ ( k ) = 1

ในปี พ.ศ. 2515 จอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์พิสูจน์ว่าการวางนัยทั่วไปตามธรรมชาติของปัญหาคอลลาทซ์นั้นไม่สามารถตัดสินได้ด้วย อัลกอริทึม ^{[ 33 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาพิจารณาฟังก์ชันในรูปแบบ ที่a ₀ , b ₀ , ..., a _{P − 1} , b _{P − 1}เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งถูกเลือกไว้เพื่อให้g ( n )เป็นจำนวนเต็มเสมอ ฟังก์ชัน Collatz มาตรฐานกำหนดโดยP = 2 , a ₀ = ⁠$${\displaystyle {g(n)=a_{i}n+b_{i}}{\text{ when }}{n\equiv i{\pmod {P}}},}$$1/2⁠ , b ₀ = 0 , a ₁ = 3 , b ₁ = 1 . คอนเวย์พิสูจน์ว่าปัญหา

เมื่อกำหนดค่าgและnแล้ว ลำดับการวนซ้ำg ^k ( n )จะถึง1หรือไม่

ไม่สามารถตัดสินได้ โดยการแสดงปัญหาการหยุดทำงานในลักษณะนี้

ปัญหาที่ใกล้เคียงกับปัญหาของคอลลาทซ์คือ ปัญหา ที่มีการวัดปริมาณในระดับสากล ดังต่อไปนี้ :

เมื่อกำหนดgแล้ว ลำดับการวนซ้ำg ^k ( n ) จะ ถึง1สำหรับทุกn > 0 หรือ ไม่?

การปรับเปลี่ยนเงื่อนไขในลักษณะนี้อาจทำให้ปัญหาแก้ได้ยากขึ้นหรือง่ายขึ้น (โดยสัญชาตญาณแล้ว การหาเหตุผลให้กับคำตอบเชิงบวกจะยากกว่า แต่การหาเหตุผลให้กับคำตอบเชิงลบอาจง่ายกว่า) เคิร์ตซ์และไซมอน^{[ 34 ]}พิสูจน์แล้วว่าปัญหาที่มีปริมาณสากลนั้นไม่สามารถตัดสินได้จริง ๆ และอยู่ในระดับที่สูงกว่าในลำดับชั้นทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งคือΠ⁰ ₂-สมบูรณ์ ผลลัพธ์ความยากลำบากนี้ยังคงใช้ได้แม้ว่าจะจำกัดคลาสของฟังก์ชันgโดยกำหนดค่าโมดูลัสPเป็น 6480 ^{[ 35 ]}

การวนซ้ำของgในรูปแบบที่เรียบง่ายกว่านี้ โดยที่ทุกค่าเท่ากับ ศูนย์ จะถูกกำหนดเป็นทางการในภาษาโปรแกรมเฉพาะทางที่เรียกว่าFRACTRAN${\displaystyle b_{i}}$

ข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์และข้อสันนิษฐานที่เกี่ยวข้องมักถูกนำมาใช้เมื่อศึกษาความซับซ้อนของการคำนวณ^{[ 36 ] [ 37 ]} การเชื่อมโยงเกิดขึ้นผ่าน ฟังก์ชัน busiest beaverโดยที่ BB(n) คือจำนวนขั้นตอนสูงสุดที่เครื่องจักรทัวริงnสถานะ ใดๆ ที่จะหยุดทำงาน มีเครื่องจักรทัวริง 15 สถานะที่จะหยุดทำงานก็ต่อเมื่อข้อสันนิษฐานต่อไปนี้ของPaul Erdős (ซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์) เป็นเท็จ: สำหรับ n > 8 ทั้งหมด จะมีอย่างน้อยหนึ่งหลัก 2 ในการแสดงฐาน 3 ของ 2 n ^{[ 38 ] [ 39 ] ดังนั้น}หากทราบ BB(15) และเครื่องจักรนี้ไม่หยุดในจำนวนขั้นตอนดังกล่าว ก็จะทราบว่าเครื่องจักรทำงานตลอดไป ดังนั้นจึงไม่มีตัวอย่างค้าน (ซึ่งพิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานเป็นจริง) นี่เป็นวิธีที่ไม่สามารถนำไปใช้ได้จริงในการตัดสินข้อสันนิษฐาน แต่กลับใช้เพื่อแนะนำว่า BB(15) จะคำนวณได้ยากมาก อย่างน้อยก็ยากพอๆ กับการพิสูจน์สมมติฐานแบบคอลลาทซ์นี้

ในปี 2024 มีการค้นพบเครื่องจักรสถานะหกสถานะซึ่งการพิจารณาว่ามันจะหยุดทำงานหรือไม่นั้นเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาที่คล้ายกับ Collatz ที่เรียกว่าปัญหาแอนติไฮดรา เนื่องจากปัจจุบันยังไม่มีหลักฐานการพิสูจน์แม้แต่สมมติฐานง่ายๆ ในลักษณะนี้ จึงแสดงให้เห็นว่า BB(6) จะคำนวณได้ยากมาก^{[ 40 ] [ 41 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทคาดการณ์ของคอลลาทซ์

• เซมิกรุป3 x + 1
• พลศาสตร์เชิงเลขคณิต
• ลำดับนักเล่นกล
• เลขคณิตแบบโมดูลาร์
• กลุ่มแอฟฟินตามคลาสตกค้าง

• แมทธิวส์, คีธ. " 3 x + 1หน้า" .
• โครงการคอมพิวเตอร์อาสาสมัครที่ดำเนินอยู่โดย Eric Roosendaal ตรวจสอบสมมติฐานของ Collatz สำหรับค่าที่มากขึ้นเรื่อยๆ
• อีกหนึ่ง โครงการคอมพิวเตอร์อาสาสมัครที่กำลังดำเนินอยู่โดย Tomás Oliveira e Silva ยังคงตรวจสอบสมมติฐานของ Collatz ต่อไป (โดยมีสถิติน้อยกว่าในหน้าเว็บของ Eric Roosendaal แต่ก็มีความคืบหน้าเพิ่มเติม)
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ปัญหาคอลลัทซ์" . แมทเวิลด์ .
• ปัญหาคอลลาทซ์ (Collatz Problem ) ที่PlanetMath
• โนเชลลา, เจสซี. "เส้นทางคอลลาทซ์" . โครงการสาธิตวูลฟราม .
• Eisenbud, D. (8 สิงหาคม 2016). ถอดรหัสไม่ได้หรือ? ข้อสันนิษฐานของคอลลาทซ์ (วิดีโอสั้น). Numberphile. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 11 ธันวาคม 2021 – ผ่านทาง YouTube.
• Eisenbud, D. (9 สิงหาคม 2016). ถอดรหัสไม่ได้หรือ? สมมติฐานของคอลลาทซ์ (ฟุตเทจเพิ่มเติม). Numberphile. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 11 ธันวาคม 2021 – ผ่านทาง YouTube.
• อเล็กซ์ คอนโทโรวิช (ร่วมแสดง) (30 กรกฎาคม 2021) ปัญหาคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดที่ไม่มีใครแก้ได้ (วิดีโอสั้น) Veritasium – ผ่านทาง YouTube
• คอมพิวเตอร์พร้อมที่จะแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ขึ้นชื่อว่ายุ่งยากนี้แล้วหรือยัง?