ในทฤษฎีจำนวนความหนาแน่นตามธรรมชาติหรือที่เรียกว่าความหนาแน่นเชิงอะซิมโทติกหรือความหนาแน่นเชิงเลขคณิตคือมาตรวัดว่าเซตย่อยของเซตของจำนวนธรรมชาติมีขนาด "ใหญ่" เพียงใด โดยอาศัยความน่าจะเป็นที่จะพบสมาชิกของเซตย่อยที่ต้องการเมื่อทำการสำรวจช่วง[1, n ]เมื่อnมีค่ามากขึ้น

ตัวอย่างเช่น อาจดูเหมือนว่าโดยสัญชาตญาณแล้วมีจำนวนเต็มบวกมากกว่ากำลังสองสมบูรณ์เพราะกำลังสองสมบูรณ์ทุกตัวเป็นจำนวนบวกอยู่แล้ว และยังมีจำนวนเต็มบวกอื่นๆ อีกมากมาย อย่างไรก็ตาม เซตของจำนวนเต็มบวกนั้นไม่ได้ใหญ่กว่าเซตของกำลังสองสมบูรณ์แต่อย่างใด ทั้งสองเซตเป็นเซตอนันต์และนับได้ดังนั้นจึงสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งได้ ถึงกระนั้นหากเราพิจารณาจำนวนธรรมชาติ กำลังสองสมบูรณ์ก็จะลดน้อยลงเรื่อยๆ แนวคิดเรื่องความหนาแน่นของจำนวนธรรมชาติทำให้สัญชาตญาณนี้ชัดเจนขึ้นสำหรับเซตย่อยหลายๆ เซตของจำนวนธรรมชาติ แต่ไม่ใช่ทุกเซต (ดูความหนาแน่นของ Schnirelmannซึ่งคล้ายกับความหนาแน่นของจำนวนธรรมชาติ แต่กำหนดไว้สำหรับเซตย่อยทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ) ${\displaystyle \mathbb {N} }$

ถ้าสุ่มเลือกจำนวนเต็มหนึ่งจำนวนจากช่วง[1, n ]ความน่าจะเป็นที่จำนวนนั้นจะอยู่ในเซตAคืออัตราส่วนของจำนวนสมาชิกของAในช่วง[1, n ]ต่อจำนวนสมาชิกทั้งหมดในช่วง[1, n ]ถ้าความน่าจะเป็นนี้มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าจำกัด บางค่า เมื่อnเข้าสู่ค่าอนันต์ ค่าจำกัดนี้จะเรียกว่าความหนาแน่นเชิงอะซิมโทติกของAแนวคิดนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นชนิดหนึ่งของการเลือกจำนวนจากเซตAแท้จริงแล้ว ความหนาแน่นเชิงอะซิมโทติก (รวมถึงความหนาแน่นประเภทอื่นๆ ด้วย) ได้รับการศึกษาในทฤษฎีจำนวนเชิงความน่าจะเป็น

เซตย่อยAของจำนวนเต็มบวกจะมีค่าความหนาแน่นตามธรรมชาติเท่ากับαถ้าสัดส่วนของสมาชิกในเซตA ใน บรรดาจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ตั้งแต่1ถึงnลู่เข้าสู่αเมื่อnมีค่าเข้าสู่∞

กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น หากเรากำหนดฟังก์ชันการนับa ( n ) สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใดๆ ให้เป็นจำนวนองค์ประกอบของAที่น้อยกว่าหรือเท่ากับnแล้วความหนาแน่นตามธรรมชาติของAที่เป็นαหมายความว่า^{[ 1 ]}

จากนิยาม จะได้ว่า ถ้าเซตAมีความหนาแน่นตามธรรมชาติαแล้ว0 ≤ α ≤ 1

ให้เป็นเซตย่อยของเซตของจำนวนธรรมชาติสำหรับทุก ๆกำหนด ให้ เป็น ส่วนตัดกันและให้เป็นจำนวนของสมาชิกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle A(n)}$${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A,}$${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$

กำหนดความหนาแน่นเชิงเส้นกำกับบน ของ(เรียกอีกอย่างว่า "ความหนาแน่นบน") โดย ที่ lim sup คือ ลิ มิต บน${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$

ในทำนองเดียวกัน กำหนดความหนาแน่นเชิงเส้นกำกับล่าง ของ(เรียกอีกอย่างว่า "ความหนาแน่นล่าง") โดย ที่ lim inf คือลิมิตล่างอาจกล่าวได้ว่ามีความหนาแน่นเชิงเส้นกำกับถ้าซึ่งในกรณีนี้จะเท่ากับค่าร่วมนี้ ${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle d(A)}$${\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}$${\displaystyle d(A)}$

นิยามนี้สามารถกล่าวใหม่ได้ดังนี้: ถ้าขีดจำกัดนี้มีอยู่^{[ 2 ]}$${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$

นิยามเหล่านี้สามารถแสดงได้อย่างเทียบเท่ากันในลักษณะต่อไปนี้ กำหนดให้เซตย่อยของเขียนเซตย่อยนั้นในรูปของลำดับที่เพิ่มขึ้นโดยใช้จำนวนธรรมชาติเป็นดัชนี: จากนั้น และ ถ้าลิมิตมีอยู่ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}.}$$$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}$$$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$$$${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$$

แนวคิดเรื่องความหนาแน่นที่อ่อนกว่าเล็กน้อยคือความหนาแน่นแบบบานาคบน ของเซต ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle d^{*}(A)}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} .}$$${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{NM\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}.}$$

• สำหรับเซตจำกัด ใดๆ Fของจำนวนเต็มบวกd ( F ) = 0
• ถ้าd ( A ) มีอยู่สำหรับเซตA บางเซต และAcแทนเซตส่วนเติมเต็ม ของเซต ^Aโดยสัมพันธ์กับAc แล้วd ( Ac ⁾ = 1 − d ( A ) ${\displaystyle \mathbb {N} }$
  • บทสรุป: ถ้ามีค่าจำกัด (รวมถึงกรณี) ${\displaystyle F\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle F=\emptyset }$${\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1.}$
• ถ้าและมีอยู่จริงแล้ว${\displaystyle d(A),d(B),}$${\displaystyle d(A\cup B)}$$${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}$$
• ถ้าA คือเซตของกำลังสองทั้งหมด แล้วd ( A ) = 0${\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}$
• ถ้าA คือเซตของจำนวนคู่ทั้งหมด แล้วd ( A ) = 0.5 ในทำนองเดียวกัน สำหรับลำดับเลขคณิตใดๆเราจะได้${\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}$
• สำหรับเซตPของจำนวนเฉพาะ ทั้งหมด เราจะได้จากทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะว่าd ( P ) = 0
• เซตของจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลัง สอง มีค่าความหนาแน่นโดยทั่วไปแล้ว เซตของจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังn สำหรับจำนวนธรรมชาติ n ใดๆ มีค่าความหนาแน่นโดยที่คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$${\displaystyle \zeta (n)}$
• เซตของจำนวนที่อุดมสมบูรณ์มีความหนาแน่นไม่เป็นศูนย์^{[ 3 ]} Marc Deléglise แสดงให้เห็นในปี 1998 ว่าความหนาแน่นของเซตของจำนวนที่อุดมสมบูรณ์อยู่ระหว่าง 0.2474 และ 0.2480 ^{[ 4 ]}
• เซตของจำนวนที่มีการขยายเลขฐานสองเป็นจำนวนหลักคี่ เป็นตัวอย่างของเซตที่ไม่มีความหนาแน่นเชิงเส้นกำกับ เนื่องจากความหนาแน่นสูงสุดของเซตนี้คือในขณะที่ความหนาแน่นต่ำสุดคือ$${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}$$$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}$$$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}$$
• เซตของตัวเลขที่มีการขยายทศนิยมเริ่มต้นด้วยเลข 1 ก็ไม่มีความหนาแน่นตามธรรมชาติเช่นกัน: ความหนาแน่นต่ำสุดคือ 1/9 และความหนาแน่นสูงสุดคือ 5/9 ^{[ 1 ]} (ดูกฎของเบนฟอร์ด )
• พิจารณาลำดับที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ ในและกำหนดตระกูลของเซตแบบโมโนโทน: จากนั้น ตามคำนิยามสำหรับทุก${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$$${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.}$$${\displaystyle d(A_{x})=x}$${\displaystyle x}$
• ถ้าSเป็นเซตที่มีความหนาแน่นบนเป็นบวกทฤษฎีบทของ Szemerédiกล่าวว่าS ประกอบด้วย ลำดับเลขคณิตจำกัดขนาดใหญ่ตามอำเภอใจและทฤษฎีบทของ Furstenberg–Sárközyกล่าวว่า สมาชิกสองตัวในS บางตัว จะแตกต่างกันด้วยจำนวนกำลังสอง

ฟังก์ชันความหนาแน่นอื่นๆ บนเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติอาจถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างเช่นความหนาแน่นเชิงลอการิทึมของเซตAถูกกำหนดให้เป็นลิมิต (ถ้ามีอยู่) $${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}.}$$

ความหนาแน่นลอการิทึมบนและล่างถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

แนวคิดเบื้องหลังการใช้ในพจน์บวก มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าอนุกรมฮาร์มอนิกเข้าใกล้ โดยที่คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีดังนั้น นิยามนี้จึงรับประกันว่าความหนาแน่นลอการิทึมของจำนวนธรรมชาติคือ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$${\displaystyle \log n+\gamma }$${\displaystyle \gamma =0.577\ldots }$${\displaystyle 1}$

สำหรับเซตของพหุคูณของลำดับจำนวนเต็มทฤษฎีบท Davenport–Erdősระบุว่าความหนาแน่นตามธรรมชาติ เมื่อมีอยู่ จะเท่ากับความหนาแน่นลอการิทึม^{[ 5 ]}

• ความหนาแน่นของ Dirichlet
• ข้อสันนิษฐานของ Erdős เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต