ในทางคณิตศาสตร์ลำดับ( s₁ , s₂ , s₃ , ...) ของจำนวนจริงเรียกว่ามี การ _{กระจาย อย่างสม่ำเสมอ (} equidistributed )หรือมีการกระจายแบบเอกรูป (uniformly distributed ₎ถ้าสัดส่วนของพจน์ที่ตกอยู่ในช่วงย่อยใดๆ เป็นสัดส่วนกับความยาวของช่วงย่อยนั้น ลำดับดังกล่าวได้รับการศึกษาใน ทฤษฎี การประมาณค่าไดโอแฟนไทน์ (Diophantine approximation theory) และมีการประยุกต์ใช้ในการหาปริพันธ์แบบมอนเตคาร์โล (Monte Carlo integration )

ลำดับ ( s₁ _, s₂ _, s₃ , ...) ของจำนวนจริงเรียกว่ามีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงที่ไม่เสื่อมสภาพ_[ a , b ]ถ้าสำหรับทุกช่วงย่อย [ c , d ] ของ [ a , b ] เรามี

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}.}$

(ในที่นี้ สัญลักษณ์ |{ s ₁ ,..., s _n } ∩ [ c , d ]| หมายถึงจำนวนองค์ประกอบจากnองค์ประกอบแรกของลำดับ ที่อยู่ระหว่างcและd )

ตัวอย่างเช่น หากลำดับมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วง [0, 2] เนื่องจากช่วง [0.5, 0.9] ครอบคลุม 1/5 ของความยาวของช่วง [0, 2] ดังนั้นเมื่อnมีค่ามาก สัดส่วนของ สมาชิก n ตัวแรก ของลำดับที่ตกอยู่ระหว่าง 0.5 และ 0.9 จะต้องเข้าใกล้ 1/5 กล่าวโดยคร่าว ๆ ก็คือ สมาชิกแต่ละตัวของลำดับมีโอกาสเท่ากันที่จะตกอยู่ในช่วงใดก็ได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่า ( s _n ) เป็นลำดับของตัวแปรสุ่มแต่เป็นลำดับที่แน่นอนของจำนวนจริง

เรากำหนดความคลาดเคลื่อนD _Nสำหรับลำดับ ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) เทียบกับช่วง [ a ,  b ] ดังนี้

${\displaystyle D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {d-c}{b-a}}\right\vert .}$

ดังนั้น ลำดับจะเรียกว่ามีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ หากความคลาดเคลื่อนD _Nมีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์เมื่อNมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์

การกระจายอย่างเท่าเทียมเป็นเกณฑ์ที่ค่อนข้างอ่อนในการแสดงว่าลำดับนั้นเติมเต็มส่วนนั้นโดยไม่เหลือช่องว่าง ตัวอย่างเช่น การสุ่มตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอทั่วส่วนหนึ่งจะกระจายอย่างเท่าเทียมในส่วนนั้น แต่จะมีช่องว่างขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับลำดับที่แจกแจงค่าทวีคูณของ ε ในส่วนนั้นก่อน สำหรับค่า ε เล็กๆ บางค่า ด้วยวิธีที่เลือกอย่างเหมาะสม แล้วจึงทำเช่นนี้ต่อไปสำหรับค่า ε ที่เล็กลงเรื่อยๆ สำหรับเกณฑ์ที่เข้มงวดกว่าและสำหรับการสร้างลำดับที่กระจายอย่างสม่ำเสมอมากขึ้น โปรดดูที่ ลำดับความคลาดเคลื่อนต่ำ

โปรดจำไว้ว่า ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลรีมันน์ในช่วง [ a , b ] อินทิกรัลของฟังก์ชันนั้นคือลิมิตของผลรวมรีมันน์ที่ได้จากการสุ่มตัวอย่างฟังก์ชันfในเซตของจุดที่เลือกจากการแบ่งช่วงอย่างละเอียด ดังนั้น ถ้าลำดับบางลำดับมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วง [ a , b ] คาดว่าลำดับนี้จะสามารถใช้ในการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลรีมันน์ได้ ซึ่งนำไปสู่เกณฑ์ต่อไปนี้^{[ 1 ]}สำหรับลำดับที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ:

สมมติว่า ( s₁ _, s₂ , s₃ _, ...) เป็นลำดับที่อยู่ในช่วง [ a , b _]แล้วเงื่อนไขต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน :

1. ลำดับดังกล่าวมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันบนช่วง [ a , b ]
2. สำหรับ ฟังก์ชันf  : [ a , b ] → ที่สามารถ หาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ทุกฟังก์ชัน ลิมิตต่อไปนี้จะเป็นจริง:${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

การพิสูจน์

ขั้นแรก โปรดทราบว่านิยามของลำดับที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอจะเทียบเท่ากับเกณฑ์ปริพันธ์เมื่อใดก็ตามที่fเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของช่วง: ถ้าf = 1 [ c , d ]แล้ว ด้านซ้ายมือจะเป็นสัดส่วนของจุดในลำดับที่ตกอยู่ในช่วง [ c , d ] และด้านขวามือจะเป็นค่าที่แน่นอน${\displaystyle \textstyle {\frac {d-c}{b-a}}.}$ นี่หมายความว่า 2 ⇒ 1 (เนื่องจากฟังก์ชันตัวบ่งชี้สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้) และ 1 ⇒ 2 สำหรับfที่เป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของช่วง เหลือเพียงการสมมติว่าเกณฑ์การหาปริพันธ์นั้นใช้ได้กับฟังก์ชันตัวบ่งชี้ และพิสูจน์ว่ามันใช้ได้กับฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ทั่วไปด้วย โปรดสังเกตว่าทั้งสองข้างของสมการเกณฑ์ปริพันธ์เป็นเชิงเส้นในfดังนั้นเกณฑ์นี้จึงใช้ได้กับ การรวม เชิง เส้นของตัวบ่งชี้ช่วง นั่นคือฟังก์ชันขั้นบันได เพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงสำหรับfซึ่งเป็นฟังก์ชันทั่วไปที่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ ก่อนอื่นให้สมมติว่าfเป็นฟังก์ชันค่าจริง จากนั้นโดยใช้คำนิยามของปริพันธ์ของดาร์บูซ์ เราจะได้ว่าสำหรับทุกε  > 0 จะมีฟังก์ชันขั้นบันไดสองฟังก์ชันf 1และf 2โดยที่f 1  ≤  f  ≤  f 2และสังเกตว่า: ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}(f_{2}(x)-f_{1}(x))\,dx\leq \varepsilon (b-a).}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{1}(s_{n})\leq \liminf _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{2}(s_{n})\geq \limsup _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}$ โดยการลบ เราจะเห็นว่าลิมิตบนและลิมิตล่างของ นั้นแตกต่างกันไม่เกิน ε เนื่องจาก ε เป็นค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้นเราจึงมั่นใจได้ว่าลิมิตนั้นมีอยู่จริง และตามนิยามของปริพันธ์ของดาร์บูซ์ มันจึงเป็นลิมิตที่ถูกต้อง ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}$ สุดท้ายนี้ สำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ ผลลัพธ์นี้ก็ได้มาจากความเป็นเชิงเส้น และจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันดังกล่าวทุกฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปf  =  u + viโดยที่uและvเป็นจำนวนจริงและสามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้  ∎

เกณฑ์นี้จึงนำไปสู่แนวคิดของการอินทิเกรตแบบมอนเตคาร์โลซึ่งเป็นการคำนวณอินทิกรัลโดยการสุ่มตัวอย่างฟังก์ชันเหนือลำดับของตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลาดังกล่าว

ไม่สามารถสรุปเกณฑ์การอินทิกรัลไปใช้กับกลุ่มฟังก์ชันที่ใหญ่กว่าฟังก์ชันที่สามารถอินทิกรัลแบบรีมันน์ได้ ตัวอย่างเช่น หาก^{พิจารณา}อินทิกรัลแบบเลเบส และกำหนดให้ fอยู่ในL₁เกณฑ์นี้จะใช้ไม่ได้ตัวอย่างค้าน คือ ให้fเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของลำดับที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ ในกรณีนี้ ด้านซ้ายมือจะเป็น 1 เสมอ ในขณะที่ด้านขวามือจะเป็นศูนย์ เนื่องจากลำดับนั้นสามารถนับได้ดังนั้นf จึง เป็นศูนย์เกือบทุกที่

ในความเป็นจริงทฤษฎีบทเดอ บรูอิน-โพสต์ระบุถึงสิ่งที่ตรงกันข้ามกับเกณฑ์ข้างต้น: ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่ตรงตามเกณฑ์ข้างต้นสำหรับลำดับที่มีการกระจายเท่ากันใน [ a , b ] แล้วfจะสามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ใน [ a , b ] ^{[ 2 ]}

ลำดับ ( a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...) ของจำนวนจริงเรียกว่ามีการกระจายอย่างสม่ำเสมอแบบมอดูล 1หรือมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอแบบมอดูล 1ถ้าลำดับของส่วนเศษส่วนของa _nซึ่งแสดงด้วย ( a _n ) หรือด้วยa _n  − ⌊ a _n ⌋ มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วง [0, 1]

• ทฤษฎีบทการกระจายเท่าๆ กัน : ลำดับของผลคูณทั้งหมดของจำนวนอตรรกยะα

0, α , 2 α , 3 α , 4 α , ...

มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอโมดูล 1 ^{[ 3 ]}

• โดยทั่วไปแล้ว ถ้าpเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่ใช่พจน์คงที่ และ เป็นจำนวนอตรรกยะ ลำดับp ( n ) จะมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอแบบมอดูล 1

สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Weyl และเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทความแตกต่างของ van der Corput ^{[ 4 ]}

• ลำดับ log( n ) ไม่กระจายอย่างสม่ำเสมอโมดูล 1 ^{[ 3 ]}ข้อเท็จจริงนี้เกี่ยวข้องกับกฎของเบนฟอร์ด
• ลำดับของผล คูณทั้งหมดของจำนวนอตรรกยะαกับจำนวนเฉพาะ ที่เรียงต่อกัน

2 α , 3 α , 5 α , 7 α , 11 α , ...

มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอโมดูล 1 นี่เป็นทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ซึ่งเผยแพร่โดยIM Vinogradovในปี พ.ศ. 2491 ^{[ 5 ]}

• ลำดับvan der Corputมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ^{[ 6 ]}

เกณฑ์ของ Weylระบุว่าลำดับa _nมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอโมดูล 1 ก็ต่อเมื่อ สำหรับ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ℓ ทั้งหมด

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.}$

เกณฑ์นี้ตั้งชื่อตามและได้รับการคิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยHermann Weyl [ ^{7 ] เกณฑ์}นี้ช่วยให้คำถามเกี่ยวกับการกระจายอย่างเท่าเทียมกันสามารถลดลงเหลือเพียงขอบเขตของผลรวมเลขชี้กำลังซึ่งเป็นวิธีการพื้นฐานและทั่วไป

ร่างหลักฐาน

ถ้าลำดับนั้นมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอโมดูลัส 1 แล้ว เราสามารถใช้เกณฑ์ปริพันธ์ของรีมันน์ (ที่อธิบายไว้ข้างต้น) กับฟังก์ชันที่มีปริพันธ์เป็นศูนย์ในช่วง [0, 1] ซึ่งจะทำให้ได้เกณฑ์ของไวล์ทันที ${\displaystyle \textstyle f(x)=e^{2\pi i\ell x},}$ ในทางกลับกัน สมมติว่าเกณฑ์ของ Weyl เป็นจริง เกณฑ์ปริพันธ์ของ Riemann ก็จะเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันfดังที่กล่าวมาข้างต้น และด้วยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของเกณฑ์นี้ มันจะเป็นจริงสำหรับfที่เป็นพหุนามตรีโกณมิติ ใดๆ ด้วยทฤษฎีบท Stone–Weierstrassและการใช้เหตุผลเชิงประมาณค่า ทำให้สามารถขยายเกณฑ์นี้ไปยังฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ fได้ สุดท้ายนี้ ให้fเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของช่วงหนึ่ง เป็นไปได้ที่จะจำกัดfจากด้านบนและด้านล่างโดยใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันบนช่วงนั้น ซึ่งปริพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองแตกต่างกันด้วยค่า ε ใดๆ โดยใช้เหตุผลที่คล้ายกับการพิสูจน์เกณฑ์ปริพันธ์ของรีมันน์ เราสามารถขยายผลลัพธ์ไปยังฟังก์ชันบ่งชี้ช่วง ใดๆ f ได้ซึ่งเป็นการพิสูจน์การกระจายอย่างสม่ำเสมอโมดูล 1 ของลำดับที่กำหนด  ∎

• อสมการ Erdős–Turánเป็นรูปแบบเชิงปริมาณของเกณฑ์ของWeyl
• เกณฑ์ของ Weyl สามารถขยายไปสู่มิติ ที่สูงขึ้นได้อย่างเป็นธรรมชาติ โดยถือว่ามีการวางนัยทั่วไปตามธรรมชาติของนิยามของการกระจายอย่างเท่าเทียมกันโมดูล 1:

ลำดับเวกเตอร์v _n ใน R ^kมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอโมดูล 1 ก็ต่อเมื่อสำหรับเวกเตอร์ ℓ ∈ Z k ใดๆ ที่  ไม่ เป็น^{ศูนย์}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.}$

เกณฑ์ของ Weyl สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทการกระจายเท่าๆ กัน ได้อย่างง่ายดาย โดยระบุว่าลำดับของตัวคูณ 0, α , 2 α , 3 α , ... ของจำนวนจริงα บางจำนวน นั้นมีการกระจายเท่าๆ กันโมดูล 1 ก็ต่อเมื่อαเป็นจำนวนอตรรกยะ^{[ 3 ]}

สมมติว่าαเป็นจำนวนอตรรกยะ และให้ลำดับของเราเป็นa _j  =  jα (โดยที่jเริ่มจาก 0 เพื่อให้สูตรง่ายขึ้นในภายหลัง) ให้ℓ  ≠ 0 เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากαเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นℓαจึงไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มได้ ดังนั้น จึงไม่สามารถเป็น 1 ได้ โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของอนุกรม เรขาคณิต จำกัด${\textstyle e^{2\pi i\ell \alpha }}$

${\displaystyle \left|\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell j\alpha }\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n\alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha }\right|}},}$

ขอบเขตจำกัดที่ไม่ขึ้นอยู่กับnดังนั้น หลังจากหารด้วยnและให้nมีค่าเข้าสู่∞ ด้านซ้ายมือจะมีค่าเข้าสู่ศูนย์ และเป็นไปตามเกณฑ์ของ Weyl

ในทางกลับกัน โปรดสังเกตว่าหากαเป็นจำนวนตรรกยะ ลำดับนี้จะไม่ _{เป็นการ} กระจาย อย่าง สม่ำเสมอโมดูล 1 เนื่องจากมีตัวเลือกเพียงจำนวนจำกัดสำหรับส่วนที่เป็นเศษส่วนของj  =  jα

ลำดับของจำนวนจริงจะเรียกว่ามีการแจกแจงแบบเอกรูป k มอด 1ถ้าไม่เพียงแต่ลำดับของส่วนที่เป็นเศษส่วนจะมีการแจกแจงแบบเอกรูปในเท่านั้นแต่ลำดับโดยที่ถูกกำหนดให้เป็น ก็มีการแจกแจงแบบเอก รูป ในด้วย${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$${\displaystyle a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots )}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}}$${\displaystyle [0,1]^{k}}$

ลำดับของจำนวนจริงจะเรียกว่ามีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอสมบูรณ์ mod 1เมื่อมีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอสำหรับจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวน ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\geq 1}$

ตัวอย่างเช่น ลำดับดังกล่าวมีการกระจายแบบเอกรูปมอด 1 (หรือมีการกระจายแบบเอกรูป 1) สำหรับจำนวนอตรรกยะใดๆแต่จะไม่เคยมีการกระจายแบบเอกรูป 2 เลย ในทางตรงกันข้าม ลำดับดังกล่าวมีการกระจายแบบเอกรูปสมบูรณ์สำหรับเกือบทุกจำนวน(กล่าวคือ สำหรับทุกจำนวนยกเว้นเซตที่มีขนาดเป็น 0) ${\displaystyle (\alpha ,2\alpha ,\dots )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots )}$${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle \alpha }$

ทฤษฎีบทของJohannes van der Corput ^{[ 8 ]}ระบุว่า ถ้าสำหรับแต่ละhลำดับs _{n + h} − s _nมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอโมดูล 1 แล้วs _n ก็มีการ กระจาย อย่างสม่ำเสมอเช่นกัน ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

เซตvan der CorputคือเซตHของจำนวนเต็ม โดยที่ถ้าสำหรับแต่ละhในHลำดับs _{n + h} − s _nมีการแจกแจงอย่างสม่ำเสมอโมดูล 1 แล้ว s _n ก็มีการ แจกแจง อย่างสม่ำเสมอเช่นกัน ^{[ 10 ] [ 11 ]}

ทฤษฎีบทเมตริกอธิบายพฤติกรรมของลำดับที่มีพารามิเตอร์สำหรับ ค่า เกือบทั้งหมดของพารามิเตอร์α บางตัว กล่าวคือ สำหรับค่าของαที่ไม่อยู่ในเซตพิเศษบางเซตของมาตรวัดเลเบสที่เท่ากับศูนย์

• สำหรับลำดับจำนวนเต็มที่แตกต่างกันb _{n ใด} ^ๆลำดับ ( b _n α ) จะมีการกระจายเท่ากัน mod 1 สำหรับค่าα เกือบทั้งหมด [ ^{7 ]}
• ลำดับ ( α ⁿ ) มีการกระจายเท่ากัน mod 1 สำหรับค่าα > 1 เกือบทั้งหมด ^{[ 12 ]}

ยังไม่ทราบว่าลำดับ ( e ⁿ ) หรือ ( π ⁿ ) มีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอแบบมอด 1 หรือ ไม่ อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันว่าลำดับ ( α ⁿ ) ไม่มีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอแบบมอด 1 หากαเป็นจำนวน PV

ลำดับ ( s₁, s₂ _, s₃ , ... ₎ของจำนวนจริงเรียกว่ามีการกระจายตัวดีบนช่วง [ a , b ] ถ้าสำหรับช่วงย่อยใดๆ [ _c , d ]ของ [ a , b ] เรามี

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{k+1},\dots ,s_{k+n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}}$

กระจายอย่างสม่ำเสมอในkเห็นได้ชัดว่าลำดับที่มีการกระจายตัวดีทุกลำดับจะมีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง นิยามของการกระจายตัวดีมอดูล 1 ก็คล้ายคลึงกัน

สำหรับปริภูมิการวัดความน่าจะ เป็น ใดๆ ลำดับของจุดจะเรียกว่ามีการกระจายอย่างสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับถ้าค่าเฉลี่ยของการวัดจุดลู่เข้าอย่างอ่อนไปยัง: ^{[ 13 ]}${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\Rightarrow \mu \ .}$

ในการวัดความน่าจะเป็นแบบบอเรล ใดๆ บน ปริภูมิ ที่แยกได้และสามารถกำหนดเมตริกได้จะมีลำดับที่มีการกระจายเท่ากันโดยสัมพันธ์กับการวัดนั้น อันที่จริง สิ่งนี้เป็นผลโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิดังกล่าวเป็นปริภูมิ มาตรฐาน

ปรากฏการณ์ทั่วไปของการกระจายอย่างเท่าเทียมกันเกิดขึ้นบ่อยครั้งในระบบพลวัตที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มลีตัวอย่างเช่น ในวิธีแก้ปัญหาของมาร์กูลิสสำหรับข้อสันนิษฐานของออปเพนไฮม์

• ทฤษฎีบทการกระจายอย่างเท่าเทียม
• ลำดับความคลาดเคลื่อนต่ำ
• อสมการ Erdős–Turán

• Granville, Andrew; Rudnick, Zeév, บรรณาธิการ (2007). การกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอในทฤษฎีจำนวน บทนำ รายงานการประชุมสถาบันการศึกษาขั้นสูงของนาโตว่าด้วยการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอในทฤษฎีจำนวน มอนทรีออล ประเทศแคนาดา 11-22 กรกฎาคม 2548 ชุดวิทยาศาสตร์ของนาโต เล่ม ที่ 2: คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และเคมี เล่มที่ 237 ดอร์เดรชท์: Springer-Verlag ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl  1121.11004 .
• Tao, Terence (2012). การวิเคราะห์ฟูริเยร์ลำดับสูง . การศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 142. พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 978-0-8218-8986-2. Zbl  1277.11010 .

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ลำดับที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เกณฑ์ของเวย์ล" . แมธเวิลด์ .
• เกณฑ์ของ Weyl ที่PlanetMath
• บันทึกการบรรยายโดย ชาร์ลส์ วอล์คเดน พร้อมบทพิสูจน์เกณฑ์ของเวย์ล