โดยพื้นฐานแล้ว พีชคณิตสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการคำนวณที่คล้ายกับการคำนวณทางเลขคณิตแต่ใช้กับวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่ตัวเลข อย่างไรก็ตาม จนถึงศตวรรษที่ 19 พีชคณิตประกอบด้วยทฤษฎีสมการ เป็นหลัก ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีสมการและไม่ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิต (อันที่จริงการพิสูจน์ ทุกอย่าง ต้องใช้ความสมบูรณ์ของจำนวนจริงซึ่งไม่ใช่คุณสมบัติของพีชคณิต)

บทความนี้อธิบายถึงประวัติความเป็นมาของทฤษฎีสมการ ซึ่งในบทความนี้เรียกว่า "พีชคณิต" ตั้งแต่จุดเริ่มต้นจนถึงการเกิดขึ้นของพีชคณิตในฐานะสาขาหนึ่งของ คณิตศาสตร์

คำว่า "พีชคณิต" มาจากคำภาษาอาหรับว่าالجبر al-jabrซึ่งมาจากตำราที่เขียนขึ้นในปี 830 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียในยุคกลางนามว่าอัล-คาวาริซมี ชื่อภาษาอาหรับของตำรานี้คือKitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābalaซึ่งแปลได้ว่า " หนังสือรวบรวมเกี่ยวกับการคำนวณโดยการเติมเต็มและการปรับสมดุล"ตำรานี้ได้เสนอวิธีการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองอย่างเป็น ระบบ ตามประวัติศาสตร์ฉบับหนึ่งระบุว่า "[ไม่แน่ชัดว่าคำว่าal-jabrและmuqabalahหมายถึงอะไร แต่การตีความโดยทั่วไปนั้นคล้ายคลึงกับที่แฝงอยู่ในคำแปลก่อนหน้านี้ คำว่า 'al-jabr' น่าจะหมายถึง 'การฟื้นฟู' หรือ 'การทำให้สมบูรณ์' และดูเหมือนจะหมายถึงการสลับตำแหน่งของ พจน์ ที่ถูกลบไปอีกด้านหนึ่งของสมการ ส่วนคำว่า 'muqabalah' กล่าวกันว่าหมายถึง 'การลดลง' หรือ 'การปรับสมดุล' นั่นคือ การหักล้างพจน์ที่เหมือนกันในด้านตรงข้ามของสมการ อิทธิพลของภาษาอาหรับในสเปนหลังจากยุคของ al-Khwarizmi เป็นเวลานานนั้นพบได้ในดอนกิโฆเต้ซึ่งคำว่า 'algebrista' ถูกใช้สำหรับหมอจัดกระดูก นั่นคือ 'ผู้ฟื้นฟู'" ^{[ 1 ]}อัล-ควาริซมีใช้คำนี้เพื่ออธิบายการดำเนินการที่เขาแนะนำ ได้แก่ " การลด " และ "การปรับสมดุล" ซึ่งหมายถึงการสลับตำแหน่งของพจน์ที่ถูกลบไปยังอีกด้านหนึ่งของสมการ นั่นคือ การตัดพจน์ที่เหมือนกันที่อยู่ตรงข้ามกันของสมการ^{[ 2 ]}

พีชคณิตไม่ได้ใช้สัญลักษณ์ที่แพร่หลายในคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเสมอไป แต่ได้ผ่านขั้นตอนที่แตกต่างกันสามขั้นตอน ขั้นตอนในการพัฒนาพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์มีดังนี้โดยประมาณ: ^{[ 3 ]}

• พีชคณิตเชิงวาทศิลป์คือพีชคณิตที่เขียนสมการในรูปประโยคเต็ม ตัวอย่างเช่น รูปแบบวาทศิลป์ของคือ "สิ่งนั้นบวกหนึ่งเท่ากับสอง" หรืออาจจะเป็น "สิ่งนั้นบวกหนึ่งเท่ากับสอง" พีชคณิตเชิงวาทศิลป์ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกโดยชาวบาบิโลน โบราณ และยังคงเป็นที่นิยมจนถึงศตวรรษที่ 16${\displaystyle x+1=2}$

• พีชคณิตแบบซิงโคเพตคือพีชคณิตที่ใช้สัญลักษณ์บางอย่าง แต่ไม่ได้มีลักษณะทั้งหมดของพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ ตัวอย่างเช่น อาจมีข้อจำกัดว่าการลบสามารถใช้ได้เพียงครั้งเดียวในด้านใดด้านหนึ่งของสมการ ซึ่งไม่เป็นเช่นนั้นในพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ การแสดงออกทางพีชคณิตแบบซิงโคเพตปรากฏครั้งแรกในหนังสือ Arithmeticaของดิโอแฟนตัส (คริสต์ศตวรรษที่ 3) ตามด้วยหนังสือBrahma Sphuta Siddhantaของพรหมคุปตะ (คริสต์ศตวรรษที่ 7)
• พีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ซึ่งใช้สัญลักษณ์อย่างสมบูรณ์ ขั้นตอนแรกๆ ของพีชคณิตประเภทนี้สามารถพบได้ในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวอิสลาม หลายท่าน เช่นอิบนุ อัล-บันนา (ศตวรรษที่ 13-14) และอัล-กาลาซาดี (ศตวรรษที่ 15) แม้ว่าพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์อย่างสมบูรณ์จะได้รับการพัฒนาโดยฟรองซัวส์ วีแยต (ศตวรรษที่ 16) ต่อมาเรเน เดส์การ์ต (ศตวรรษที่ 17) ได้นำเสนอสัญลักษณ์สมัยใหม่ (ตัวอย่างเช่น การใช้x — ดูด้านล่าง ) และแสดงให้เห็นว่าปัญหาที่เกิดขึ้นในเรขาคณิตสามารถแสดงและแก้ไขได้ในรูปของพีชคณิต ( เรขาคณิตแบบคาร์ทีเซียน )

การใช้หรือไม่ใช้สัญลักษณ์ในพีชคณิตมีความสำคัญพอๆ กับระดับของสมการที่นำมาพิจารณาสมการกำลังสองมีบทบาทสำคัญในพีชคณิตยุคแรก และตลอดประวัติศาสตร์ส่วนใหญ่ จนกระทั่งถึงยุคสมัยใหม่ตอนต้น สมการกำลังสองทั้งหมดถูกจัดประเภทออกเป็นสามประเภท

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

โดยที่และเป็นค่าบวก การแบ่งสามส่วนนี้เกิดขึ้นเนื่องจากสมการกำลังสองในรูปแบบโดยที่และเป็นค่าบวก จะไม่มีราก ที่เป็น บวก^{[ 4 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

ระหว่างช่วงระหว่างพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์แบบใช้คำพูดและจังหวะที่ไม่สอดคล้องกัน นักคณิตศาสตร์ชาว กรีก โบราณ และชาวอินเดีย ในยุคพระเวท ได้พัฒนาพีชคณิตเชิงสร้างสรรค์ทางเรขาคณิตขึ้นมา ซึ่งสมการพีชคณิตจะได้รับการแก้ไขโดยใช้เรขาคณิต ตัวอย่างเช่น สมการในรูปแบบจะได้รับการแก้ไขโดยการหาความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่${\displaystyle x^{2}=A}$${\displaystyle A.}$

นอกเหนือจากสามขั้นตอนของการแสดงความคิดเชิงพีชคณิตแล้ว ผู้เขียนบางคนยังยอมรับขั้นตอนเชิงแนวคิดสี่ขั้นตอนในการพัฒนาพีชคณิตที่เกิดขึ้นควบคู่ไปกับการเปลี่ยนแปลงในการแสดงออก ขั้นตอนทั้งสี่นี้มีดังต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}

• ยุคเรขาคณิตคือยุคที่แนวคิดของพีชคณิตส่วนใหญ่เป็นเชิงเรขาคณิต ยุคนี้มีมาตั้งแต่สมัยบาบิโลนสืบต่อมาถึงสมัยกรีกและได้รับการฟื้นฟูขึ้นมาอีกครั้งโดยโอมาร์ คัยยัม
• ขั้นตอนการแก้สมการเชิงสถิตซึ่งมีเป้าหมายคือการหาตัวเลขที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์บางอย่าง การเปลี่ยนผ่านจากขั้นตอนทางเรขาคณิตนั้นย้อนกลับไปถึงสมัยของดิโอแฟนตัสและพรหมคุปตะแต่พีชคณิตไม่ได้ก้าวไปสู่ขั้นตอนการแก้สมการเชิงสถิตอย่างเด็ดขาดจนกระทั่งอัล-ควาริซมีได้นำเสนอกระบวนการเชิงอัลกอริทึมแบบทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาทางพีชคณิต
• ขั้นของฟังก์ชันพลวัตซึ่งการเคลื่อนที่คือแนวคิดพื้นฐาน แนวคิดเรื่องฟังก์ชันเริ่มปรากฏขึ้นพร้อมกับชาราฟ อัล-ดิน อัล-ตูซีแต่พีชคณิตไม่ได้ก้าวไปสู่ขั้นของฟังก์ชันพลวัตอย่างเด็ดขาดจนกระทั่งก็อตฟรีด ไลบ์นิซ
• พีชคณิตนามธรรมเป็นศาสตร์ที่โครงสร้างทางคณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญ อย่างยิ่ง พีชคณิตนามธรรมส่วนใหญ่เป็นผลผลิตของศตวรรษที่ 19 และ 20

ต้นกำเนิดของพีชคณิตสามารถสืบย้อนไปถึงชาวบาบิโลน โบราณ ได้^{[ 6 ]}ซึ่งพัฒนาระบบตัวเลข ตามตำแหน่ง ที่ช่วยพวกเขาอย่างมากในการแก้สมการพีชคณิตเชิงวาทศิลป์ ชาวบาบิโลนไม่ได้สนใจคำตอบที่แน่นอน แต่สนใจการประมาณค่า ดังนั้นพวกเขาจึงมักใช้การแทรกสอดเชิงเส้นเพื่อประมาณค่าระหว่างกลาง^{[ 7 ]}หนึ่งในแผ่นจารึกที่มีชื่อเสียงที่สุดคือแผ่นจารึกพลิมป์ตัน 322ซึ่งสร้างขึ้นราว 1900–1600 ปีก่อนคริสตกาล ซึ่งแสดงตารางสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนและแสดงถึงคณิตศาสตร์ขั้นสูงที่สุดบางส่วนก่อนคณิตศาสตร์กรีก^{[ 8 ]}

พีชคณิตของชาวบาบิโลนก้าวหน้ากว่าพีชคณิตของชาวอียิปต์ในสมัยนั้นมาก ในขณะที่ชาวอียิปต์ส่วนใหญ่สนใจสมการเชิงเส้น ชาวบาบิโลนกลับสนใจสมการกำลังสองและกำลังสามมากกว่า^{[ 7 ]}ชาวบาบิโลนได้พัฒนาการดำเนินการทางพีชคณิตที่ยืดหยุ่นซึ่งทำให้พวกเขาสามารถบวกสิ่งที่เท่ากันเข้าด้วยกันและคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยปริมาณที่เหมือนกันเพื่อกำจัดเศษส่วนและตัวประกอบ^{[ 7 ]}พวกเขาคุ้นเคยกับรูปแบบการแยกตัวประกอบ อย่างง่ายหลายรูป แบบ^{[ 7 ]}สมการกำลังสองสามพจน์ที่มีรากเป็นบวก^{[ 9 ]}และสมการกำลังสามหลายสมการ^{[ 10 ]}แม้ว่าจะไม่ทราบว่าพวกเขาสามารถลดรูปสมการกำลังสามทั่วไปได้หรือไม่^{[ 10 ]}

พีชคณิตของอียิปต์โบราณส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงเส้น ในขณะที่ชาวบาบิโลนพบว่าสมการเหล่านี้พื้นฐานเกินไป และได้พัฒนาคณิตศาสตร์ไปสู่ระดับที่สูงกว่าชาวอียิปต์^{[ 7 ]}

ปาปิรัสไรนด์ หรือที่รู้จักกันในชื่อปาปิรัสอาห์เมส เป็นปาปิรัสอียิปต์โบราณที่เขียนขึ้นราว 1650 ปีก่อนคริสตกาลโดยอาห์เมส ซึ่งคัดลอกมาจากงานก่อนหน้าที่เขากำหนดอายุไว้ระหว่าง 2000 ถึง 1800 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 11 ]}ถือเป็นเอกสารทางคณิตศาสตร์ของอียิปต์โบราณที่ครอบคลุมมากที่สุดเท่าที่นักประวัติศาสตร์รู้จัก^{[ 12 ]}ปาปิรัสไรนด์ประกอบด้วยปัญหาที่ต้องแก้ สมการเชิงเส้นในรูปแบบ และ โดยที่ และเป็นที่ทราบ และซึ่งเรียกว่า "อาฮา" หรือกอง เป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่า^{[ 13 ]}วิธีแก้ปัญหาอาจเป็นไปได้ แต่ไม่น่าจะเป็นไปได้ โดยใช้วิธี "วิธีตำแหน่งเท็จ" หรือregula falsiซึ่งขั้นแรกจะแทนค่าเฉพาะลงในด้านซ้ายของสมการ จากนั้นจึงทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น ขั้นที่สามจะเปรียบเทียบผลลัพธ์กับด้านขวาของสมการ และสุดท้ายจะพบคำตอบที่ถูกต้องโดยใช้สัดส่วน ในปัญหาบางข้อ ผู้เขียน "ตรวจสอบ" วิธีแก้ปัญหาของเขา ซึ่งถือเป็นการเขียนบทพิสูจน์ง่ายๆ ที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ^{[ 13 ]}${\displaystyle x+ax=b}$${\displaystyle x+ax+bx=c}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x,}$

บางครั้งมีการกล่าวอ้างว่าชาวกรีกไม่มีพีชคณิต แต่ข้อโต้แย้งนี้มีอยู่^{[ 15 ]}ในสมัยของเพลโตคณิตศาสตร์ของกรีกได้มีการเปลี่ยนแปลงอย่างมาก ชาวกรีกได้สร้างพีชคณิตเชิงเรขาคณิตโดยที่เทอมต่างๆ จะถูกแทนด้วยด้านของวัตถุทางเรขาคณิต^{[ 16 ]}โดยปกติจะเป็นเส้นตรง ซึ่งมีตัวอักษรที่เกี่ยวข้องด้วย^{[ 17 ]}และด้วยพีชคณิตรูปแบบใหม่นี้ พวกเขาสามารถหาคำตอบของสมการได้โดยใช้กระบวนการที่พวกเขาคิดค้นขึ้น ซึ่งรู้จักกันในชื่อ "การประยุกต์ใช้พื้นที่" ^{[ 16 ]} "การประยุกต์ใช้พื้นที่" เป็นเพียงส่วนหนึ่งของพีชคณิตเชิงเรขาคณิต และมีการกล่าวถึงอย่างละเอียดในหนังสือ Elementsของยูคลิด

ตัวอย่างของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตคือการแก้สมการเชิงเส้นชาวกรีกโบราณจะแก้สมการนี้โดยมองว่าเป็นความเท่าเทียมกันของพื้นที่ แทนที่จะเป็นความเท่าเทียมกันระหว่างอัตราส่วนชาวกรีกจะสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาวและจากนั้นขยายด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้มีความยาวและสุดท้ายพวกเขาจะเติมเต็มสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ขยายแล้ว เพื่อหาด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เป็นคำตอบ^{[ 16 ]}${\displaystyle ax=bc.}$${\displaystyle a:b}$${\displaystyle c:x.}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle a,}$

IamblichusในIntroductio arithmaticaกล่าวว่าThymaridas (ประมาณ 400 ปีก่อนคริสตกาล – ประมาณ 350 ปีก่อนคริสตกาล) ทำงานกับสมการเชิงเส้นพร้อมกัน^{[ 18 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาได้สร้างกฎที่มีชื่อเสียงในสมัยนั้นซึ่งรู้จักกันในชื่อ "ดอกไม้ของ Thymaridas" หรือ "ดอกไม้ของ Thymaridas" ซึ่งระบุว่า:

ถ้าผลรวมของปริมาณต่างๆ ถูกกำหนดไว้ และผลรวมของทุกคู่ที่มีปริมาณเฉพาะเจาะจง ปริมาณเฉพาะเจาะจงนี้จะเท่ากับผลต่างระหว่างผลรวมของคู่เหล่านี้กับผลรวมแรกที่กำหนด^{[ 19 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/(n-2)}$

หรือใช้สัญลักษณ์สมัยใหม่ การแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ในตัวแปรที่ไม่ทราบค่า^{[ 18 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s}$${\displaystyle x+x_{1}=m_{1}}$${\displaystyle x+x_{2}=m_{2}}$${\displaystyle \vdots }$${\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}}$

เป็น,

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}$

Iamblichus อธิบายต่อไปว่าระบบสมการเชิงเส้นบางระบบที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบนี้สามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้^{[ 18 ]}

ยูคลิด ( กรีก : Εὐκλείδης ) เป็น นักคณิตศาสตร์ ชาวกรีกที่เจริญรุ่งเรืองในเมืองอเล็กซานเดรียประเทศอียิปต์เกือบจะแน่นอนว่าในช่วงรัชสมัยของปโตเลมีที่ 1 (323–283 ปีก่อนคริสตกาล) ^{[ 20 ] [ 21 ]}ยังไม่มีการระบุปีหรือสถานที่เกิดของเขา^{[ 20 ]}รวมถึงสถานการณ์การเสียชีวิตของเขาด้วย

ยูคลิดได้รับการยกย่องว่าเป็น "บิดาแห่งเรขาคณิต " หนังสือ Elements ของเขา เป็นตำราเรียน ที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด ในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ [ ^{20 ] แม้ว่า}เขาจะเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในประวัติศาสตร์ แต่ก็ไม่มีการค้นพบใหม่ใด ๆ ที่ได้รับการยกให้เป็นผลงานของเขา แต่เขากลับเป็นที่จดจำในด้านทักษะการอธิบายที่ยอดเยี่ยมของเขา^{[ 22 ]}หนังสือElementsไม่ได้เป็นการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ของกรีกทั้งหมดในยุคนั้นอย่างที่บางครั้งเข้าใจกัน แต่เป็นเพียงบทนำเบื้องต้นเท่านั้น^{[ 23 ]}

งานทางเรขาคณิตของชาวกรีก ซึ่งเป็นตัวอย่างที่โดดเด่นในหนังสือElements ของยูคลิด ได้วางรากฐานสำหรับการสรุปสูตรต่างๆ นอกเหนือจากการแก้ปัญหาเฉพาะเรื่อง ไปสู่ระบบทั่วไปของการกำหนดและแก้สมการ

หนังสือเล่มที่ 2 ของElementsประกอบด้วยข้อเสนอ 14 ข้อ ซึ่งในสมัยของยูคลิดมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการทำพีชคณิตเชิงเรขาคณิต ข้อเสนอเหล่านี้และผลลัพธ์ของข้อเสนอเหล่านี้เทียบเท่าทางเรขาคณิตกับพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์และตรีโกณมิติสมัยใหม่ของเรา^{[ 15 ]}ในปัจจุบัน การใช้พีชคณิตเชิงสัญลักษณ์สมัยใหม่ เราใช้สัญลักษณ์แทนขนาดที่ทราบและไม่ทราบ (เช่น ตัวเลข) แล้วจึงใช้การดำเนินการทางพีชคณิตกับสัญลักษณ์เหล่านั้น ในขณะที่ในสมัยของยูคลิด ขนาดต่างๆ ถูกมองว่าเป็นส่วนของเส้นตรง แล้วจึงอนุมานผลลัพธ์โดยใช้สัจพจน์หรือทฤษฎีบทของเรขาคณิต^{[ 15 ]}

กฎพื้นฐานหลายข้อเกี่ยวกับการบวกและการคูณนั้นได้ถูกกล่าวถึงหรือพิสูจน์โดยใช้เรขาคณิตไว้ในหนังสือElementsแล้ว ตัวอย่างเช่น ข้อเสนอที่ 1 ในหนังสือเล่มที่ 2 ระบุว่า:

ถ้ามีเส้นตรงสองเส้น และเส้นตรงเส้นหนึ่งถูกตัดออกเป็นส่วนย่อยจำนวนเท่าใดก็ได้ สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงทั้งสองนั้นจะเท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงที่ไม่ถูกตัดและส่วนย่อยแต่ละส่วน

แต่นี่เป็นเพียงเวอร์ชันเรขาคณิตของกฎการกระจาย (ซ้าย) เท่านั้นและในหนังสือเล่มที่ 5 และ 7 ของElements จะมีการสาธิต กฎการสลับที่และ กฎ การจัดกลุ่มสำหรับการคูณ^{[ 15 ]}${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad}$

สมการพื้นฐานหลายสมการได้รับการพิสูจน์ทางเรขาคณิตเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ข้อเสนอที่ 5 ในหนังสือเล่มที่ 2 พิสูจน์ว่า^{[ 24 ]}และข้อเสนอที่ 4 ในหนังสือเล่มที่ 2 พิสูจน์ว่า^{[ 15 ]}${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),}$${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

นอกจากนี้ ยังมีวิธีแก้ปัญหาทางเรขาคณิตสำหรับสมการหลายสมการ ตัวอย่างเช่น ข้อเสนอที่ 6 ของหนังสือเล่มที่ 2 ให้คำตอบสำหรับสมการกำลังสองและข้อเสนอที่ 11 ของหนังสือเล่มที่ 2 ให้คำตอบสำหรับ^{[ 25 ]}${\displaystyle ax+x^{2}=b^{2},}$${\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}.}$

Dataเป็นผลงานที่ยูคลิดเขียนขึ้นเพื่อใช้ในโรงเรียนแห่งอเล็กซานเดรีย และมีจุดประสงค์เพื่อใช้เป็นหนังสือคู่มือประกอบกับหนังสือ Elements หกเล่มแรก หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยคำจำกัดความประมาณสิบห้าข้อและข้อความเก้าสิบห้าข้อ ซึ่งมีข้อความประมาณสองโหลที่ทำหน้าที่เป็นกฎหรือสูตรทางพีชคณิต ^{[ 26 ]}ข้อความเหล่านี้บางส่วนเป็นค่าเทียบเท่าทางเรขาคณิตของคำตอบของสมการกำลังสอง ^{[ 26 ]}ตัวอย่างเช่น Dataประกอบด้วยคำตอบของสมการและสมการบาบิโลนที่คุ้นเคย ^{[ 26 ]}${\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0}$${\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b.}$

ภาคตัดกรวยคือเส้นโค้งที่เกิดจากการตัดกันของกรวยกับระนาบภาคตัดกรวยมีสามประเภทหลัก ได้แก่วงรี (รวมถึงวงกลม ) พาราโบลาและไฮเปอร์โบลาเชื่อกันว่าภาคตัดกรวยถูกค้นพบโดยเมนาเอคมัส[ ^{27 ] (}ประมาณ 380 ปีก่อนคริสตกาล – ประมาณ 320 ปีก่อนคริสตกาล) และเนื่องจากการจัดการกับภาคตัดกรวยเทียบเท่ากับการจัดการกับสมการที่เกี่ยวข้อง จึงมีบทบาททางเรขาคณิตเทียบเท่ากับสมการกำลังสามและสมการลำดับสูงอื่นๆ

เมนาเอคมัสรู้ว่าในพาราโบลา สมการจะเป็นจริง โดยที่เป็นค่าคงที่ที่เรียกว่าลาตัสเรกตัมแม้ว่าเขาจะไม่ทราบว่าสมการใดๆ ที่มีตัวแปรสองตัวจะกำหนดเส้นโค้งได้^{[ 28 ]}เห็นได้ชัดว่าเขาได้มาจากคุณสมบัติเหล่านี้ของภาคตัดกรวยและอื่นๆ ด้วย การใช้ข้อมูลนี้ทำให้สามารถหาคำตอบของปัญหาการทำซ้ำลูกบาศก์ได้โดยการแก้หาจุดที่พาราโบลาสองเส้นตัดกัน ซึ่งเป็นคำตอบที่เทียบเท่ากับการแก้สมการลูกบาศก์^{[ 28 ]}${\displaystyle y^{2}=lx}$${\displaystyle l}$

ยูโทเซียสแจ้งให้เราทราบว่า วิธีที่เขาใช้แก้สมการกำลังสามนั้นมาจากไดโอนิโซโดรัส (250 ปีก่อนคริสต์ศักราช – 190 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ไดโอนิโซโดรัสแก้สมการกำลังสามโดยใช้จุดตัดของไฮเปอร์โบลาแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าและพาราโบลา ซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหาใน หนังสือเรื่อง " บนทรงกลมและทรงกระบอก" ของ อาร์คิมิดีส ภาคตัดกรวยได้รับการศึกษาและนำไปใช้โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ต่อมาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามและยุโรป เป็นเวลาหลายพันปี โดยเฉพาะอย่างยิ่งหนังสือ "ภาคตัดกรวย " อันโด่งดังของอพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กากล่าวถึงภาคตัดกรวยและหัวข้ออื่นๆ อีกมากมาย

คณิตศาสตร์ของจีนมีอายุย้อนไปอย่างน้อย 300 ปีก่อนคริสตกาล โดยเริ่มจากZhoubi Suanjingซึ่งโดยทั่วไปถือเป็นหนึ่งในเอกสารคณิตศาสตร์ของจีนที่เก่าแก่ที่สุด^{[ 29 ]}

ชิวฉางซวนซูหรือเก้าบทว่าด้วยศิลปะคณิตศาสตร์ซึ่งเขียนขึ้นราว 250 ปีก่อนคริสตกาล เป็นหนึ่งในหนังสือคณิตศาสตร์ของจีนที่มีอิทธิพลมากที่สุด และประกอบด้วยโจทย์ประมาณ 246 ข้อ บทที่แปดกล่าวถึงการแก้สมการเชิงเส้นพร้อมกันแบบกำหนดได้และแบบกำหนดไม่ได้โดยใช้จำนวนบวกและลบ โดยมีโจทย์หนึ่งข้อที่เกี่ยวกับการแก้สมการสี่ตัวแปรห้าตัว^{[ 29 ]}

Ts'e-yuan hai-chingหรือกระจกทะเลแห่งการวัดวงกลมเป็นชุดปัญหาประมาณ 170 ข้อที่เขียนโดยLi Zhi (หรือ Li Ye) (ค.ศ. 1192 – 1279) เขาใช้fan faหรือวิธีของ Hornerในการแก้สมการที่มีดีกรีสูงถึงหก แม้ว่าเขาจะไม่ได้อธิบายวิธีการแก้สมการของเขา^{[ 30 ]}

Shu-shu chiu-changหรือตำราคณิตศาสตร์เก้าส่วนเขียนโดยCh'in Chiu-shao ผู้ว่าราชการและเสนาบดีผู้มั่งคั่ง (ประมาณ ค.ศ. 1202 – ประมาณ ค.ศ. 1261) ด้วยการแนะนำวิธีการแก้ปัญหาความสอดคล้อง พร้อมกัน ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนถือเป็นจุดสูงสุดของการวิเคราะห์ที่ไม่กำหนด ใน จีน^{[ 30 ]}

ตารางเวทมนตร์ที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบปรากฏในประเทศจีน^{[ 31 ]}ในหนังสือเก้าบทผู้เขียนแก้ระบบสมการเชิงเส้นพร้อมกันโดยการวางสัมประสิทธิ์และพจน์คงที่ของสมการเชิงเส้นลงในตารางเวทมนตร์ (เช่น เมทริกซ์) และทำการลดคอลัมน์บนตารางเวทมนตร์^{[ 31 ]}ตารางเวทมนตร์ที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบที่มีลำดับมากกว่าสามนั้นเชื่อกันว่าเป็นผลงานของหยางฮุย (มีชีวิตอยู่ราวปี ค.ศ. 1261 – 1275) ซึ่งทำงานกับตารางเวทมนตร์ที่มีลำดับสูงถึงสิบ^{[ 32 ]}

Ssy-yüan yü-chien《四元玉鑒》 หรือกระจกอันล้ำค่าแห่งธาตุทั้งสี่เขียนโดยChu Shih-chiehในปี 1303 และถือเป็นจุดสูงสุดของการพัฒนาพีชคณิตจีนธาตุทั้งสี่ได้แก่ สวรรค์ โลก มนุษย์ และสสาร เป็นตัวแทนของปริมาณที่ไม่ทราบค่าทั้งสี่ในสมการพีชคณิตของเขาSsy-yüan yü-chienกล่าวถึงสมการพร้อมกันและสมการที่มีดีกรีสูงถึงสิบสี่ ผู้เขียนใช้วิธีfan faซึ่งปัจจุบันเรียกว่าวิธีของ Hornerในการแก้สมการเหล่านี้^{[ 33 ]}

กระจกอันล้ำค่าเปิดด้วยแผนภาพสามเหลี่ยมเลขคณิต ( สามเหลี่ยมของปาสคาล ) โดยใช้สัญลักษณ์ศูนย์กลม แต่ชู ซือเจี๋ยปฏิเสธที่จะให้เครดิตแก่ผลงานนี้ สามเหลี่ยมที่คล้ายกันปรากฏในงานของหยาง ฮุย แต่ไม่มีสัญลักษณ์ศูนย์^{[ 34 ]}

มีสมการผลรวมจำนวนมากที่ให้ไว้โดยไม่มีการพิสูจน์ในกระจกอันล้ำค่า ผล รวมบางส่วนได้แก่: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

ดิโอแฟนตัสเป็น นักคณิตศาสตร์ ชาวเฮลเลนิสติกที่มีชีวิตอยู่ราวปี ค.ศ. 250 แต่ความไม่แน่นอนของวันที่นี้มีมากจนอาจคลาดเคลื่อนไปมากกว่าหนึ่งศตวรรษ เขาเป็นที่รู้จักจากการเขียนArithmeticaซึ่งเป็นตำราที่เดิมทีมีทั้งหมดสิบสามเล่ม แต่เหลือรอดมาเพียงหกเล่มแรกเท่านั้น^{[ 35 ]} Arithmeticaเป็นงานที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ซึ่งแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้พีชคณิต อย่างไรก็ตาม ดิโอแฟนตัสไม่ได้คิดค้นวิธีการของพีชคณิต ซึ่งมีอยู่ก่อนหน้าเขาแล้ว^{[ 36 ]}พีชคณิตได้รับการฝึกฝนและเผยแพร่ด้วยวาจาโดยผู้ปฏิบัติ โดยดิโอแฟนตัสได้เรียนรู้เทคนิคในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์^{[ 37 ]}

ในพีชคณิตสมัยใหม่ พหุนามคือการรวมเชิงเส้นของตัวแปร x ที่สร้างขึ้นจากการยกกำลัง การคูณสเกลาร์ การบวก และการลบ พีชคณิตของไดโอแฟนตัส คล้ายกับพีชคณิตอาหรับในยุคกลาง เป็นการรวมวัตถุประเภทต่างๆ เข้าด้วยกันโดยไม่มีการดำเนินการใดๆ^{[ 38 ]}

ตัวอย่างเช่น ใน Diophantus พหุนาม "6 4 ′กำลังผกผัน 25 กำลังที่ขาด 9 หน่วย" ซึ่งในสัญลักษณ์สมัยใหม่คือการรวบรวมวัตถุประเภทหนึ่งที่มีวัตถุประเภทที่สอง 25 ชิ้นซึ่งขาดวัตถุประเภทที่สาม 9 ชิ้นโดยไม่มีการดำเนินการใดๆ^{[ 39 ]}${\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9}$${\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}}$

เช่นเดียวกับพีชคณิตของชาวอาหรับในยุคกลาง ดิโอแฟนตัสใช้สามขั้นตอนในการแก้ปัญหาโดยใช้พีชคณิต:

1) มีการระบุชื่อตัวแปรที่ไม่ทราบค่าและตั้งสมการขึ้นมา

2) สมการจะถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็นรูปแบบมาตรฐาน (al-jabr และ al-muqābala ในภาษาอาหรับ)

3) แก้สมการที่ลดรูปแล้ว^{[ 40 ]}

Diophantus ไม่ได้จัดประเภทสมการเป็นหกประเภทเหมือน Al-Khwarizmi ในส่วนที่เหลืออยู่ของ Arithmetica เขากล่าวว่าเขาจะให้คำตอบสำหรับสมการสามเทอมในภายหลัง ดังนั้นส่วนนี้ของงานอาจสูญหายไปแล้ว^{[ 37 ]}

ในArithmeticaไดโอแฟนตัสเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์สำหรับจำนวนที่ไม่ทราบค่า รวมทั้งตัวย่อสำหรับกำลังของจำนวน ความสัมพันธ์ และการดำเนินการ^{[ 41 ]}ดังนั้นเขาจึงใช้สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่า พีชคณิตแบบ ซิงโคเพต ความแตกต่างหลักระหว่างพีชคณิตแบบซิงโคเพตของไดโอแฟนตัสกับสัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่คือแบบแรกไม่มีสัญลักษณ์พิเศษสำหรับการดำเนินการ ความสัมพันธ์ และเลขชี้กำลัง^{[ 42 ]}

ตัวอย่างเช่น สิ่งที่เราจะเขียนคือ

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,}$

จะถูกเขียนในรูปแบบโน้ตซิงโคเพตของดิโอแฟนตัสว่า

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}}$

โดยที่สัญลักษณ์แทนสิ่งต่อไปนี้: ^{[ 43 ] [ 44 ]}

เครื่องหมาย	สิ่งที่มันแสดงถึง
${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$	1
${\displaystyle {\overline {\beta }}}$	2
${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$	5
${\displaystyle {\overline {\iota }}}$	10
ἴσ	"เท่ากับ" (ย่อมาจากἴσος )
${\displaystyle \pitchfork }$	แสดงถึงการลบทุกสิ่งที่ตามหลังἴσ${\displaystyle \pitchfork }$
${\displaystyle \mathrm {M} }$	กำลังศูนย์ (เช่น ค่าคงที่)
${\displaystyle \zeta }$	ปริมาณที่ไม่ทราบค่า (เนื่องจากจำนวนที่ยกกำลังหนึ่งก็คือจำนวนหนึ่งนั่นเองจึงอาจคิดได้ว่าเป็น "กำลังแรก") ${\displaystyle x}$${\displaystyle x,}$
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon }}$	พลังที่สอง มาจากภาษากรีกδύναμιςซึ่งหมายถึง ความแข็งแกร่งหรืออำนาจ
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	เลขยกกำลังสาม มาจากภาษากรีกκύβοςซึ่งหมายถึงลูกบาศก์
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon }\Delta }$	กำลังสี่
${\displaystyle \Delta \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	กำลังที่ห้า
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }\mathrm {K} }$	กำลังที่หก

ต่างจากสัญลักษณ์สมัยใหม่ สัมประสิทธิ์จะอยู่หลังตัวแปร และการบวกนั้นแสดงโดยการวางพจน์ไว้ข้างๆกัน การแปลสมการซิงโคเพตของไดโอแฟนตัสแบบตรงตัวเป็นสมการเชิงสัญลักษณ์สมัยใหม่จะเป็นดังนี้: ^{[ 43 ]}

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

เพื่อชี้แจงให้ชัดเจน หากใช้วงเล็บและเครื่องหมายบวกแบบสมัยใหม่ สมการข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: ^{[ 43 ]}

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5}$

อย่างไรก็ตาม เจฟฟรีย์ โอ๊คส์และฌอง คริสเตียนิดิสถือว่าความแตกต่างระหว่าง "พีชคณิตเชิงวาทศิลป์" "พีชคณิตเชิงจังหวะ" และ "พีชคณิตเชิงสัญลักษณ์" นั้นล้าสมัยไปแล้ว ปัญหาต่างๆ ได้รับการแก้ไขบนกระดานฝุ่นโดยใช้สัญลักษณ์บางอย่าง ในขณะที่ในหนังสือมีการเขียนคำตอบใน "รูปแบบเชิงวาทศิลป์" ^{[ 45 ]}

Arithmeticaยังใช้เอกลักษณ์เหล่านี้ด้วย: ^{[ 46 ]}

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$	${\displaystyle =(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}}$
	${\displaystyle =(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}}$

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้ศึกษาเกี่ยวกับระบบจำนวนอย่างแข็งขัน เอกสาร ทางคณิตศาสตร์ของอินเดีย ที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ มีอายุราวกลางสหัสวรรษแรกก่อนคริสต์ศักราช (ประมาณศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) ^{[ 47 ]}

ธีมที่เกิดขึ้นซ้ำๆ ในคณิตศาสตร์อินเดีย ได้แก่ สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองที่กำหนดได้และกำหนดไม่ได้ การวัดแบบง่าย และสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน^{[ 48 ]}

อารยภาต (476–550) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้ประพันธ์อารยภัตติยะ ในนั้นพระองค์ทรงให้กฎเกณฑ์ไว้^{[ 49 ]}

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

และ

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

พรหมคุปตะ (มีชีวิตอยู่ราวปี 628) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้ประพันธ์หนังสือพรหมสภูตะสิทธันตะในงานเขียนของเขา พรหมคุปตะได้แก้สมการกำลังสองทั่วไปสำหรับทั้งรากบวกและรากลบ^{[ 50 ]}ในการวิเคราะห์ที่ไม่กำหนด พรหมคุปตะได้ให้ไตรแอดพีทาโกเรียนแต่เป็นรูปแบบที่ดัดแปลงมาจากกฎบาบิโลนโบราณที่พรหมคุปตะอาจคุ้นเคย^{[ 51 ]}เขาเป็นคนแรกที่ให้คำตอบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นโดยที่และเป็นจำนวนเต็ม แตกต่างจากไดโอแฟนตัสที่ให้คำตอบเพียงคำตอบเดียวสำหรับสมการที่ไม่กำหนด พรหมคุปตะให้ คำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม ทั้งหมดแต่การที่พรหมคุปตะใช้ตัวอย่างเดียวกันกับไดโอแฟนตัสทำให้บางนักประวัติศาสตร์พิจารณาความเป็นไปได้ของอิทธิพลกรีกในงานของพรหมคุปตะ หรืออย่างน้อยก็แหล่งที่มาร่วมกันจากบาบิโลน^{[ 52 ]}${\displaystyle m,{\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}-n\right),}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}+n\right),}$${\displaystyle ax+by=c,}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$

เช่นเดียวกับพีชคณิตของไดโอแฟนตัส พีชคณิตของพรหมคุปตะก็มีการใช้จังหวะตัดเช่นกัน การบวกแสดงโดยการวางตัวเลขไว้เคียงข้างกัน การลบแสดงโดยการวางจุดไว้เหนือตัวลบ และการหารแสดงโดยการวางตัวหารไว้ใต้ตัวตั้งหาร คล้ายกับสัญลักษณ์สมัยใหม่ของเราแต่ไม่มีเส้นขีด การคูณ วิวัฒนาการ และปริมาณที่ไม่ทราบค่าแสดงด้วยตัวย่อของคำที่เหมาะสม^{[ 52 ]}ขอบเขตของอิทธิพลของกรีกที่มีต่อจังหวะตัดนี้ หากมี ก็ไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด และเป็นไปได้ว่าทั้งจังหวะตัดของกรีกและอินเดียอาจมาจากแหล่งกำเนิดบาบิโลนเดียวกัน^{[ 52 ]}

ภัสการะที่ 2 (ค.ศ. 1114 – ประมาณ ค.ศ. 1185) เป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของศตวรรษที่ 12 ในพีชคณิต เขาได้ให้คำตอบทั่วไปของสมการของเพลล์ [ ^{52 ] เขา}เป็นผู้ประพันธ์ลิลาวาติและวิชา-กานิตาซึ่งมีปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองแบบกำหนดได้และกำหนดไม่ได้ รวมถึงสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน^{[ 48 ]}และเขาไม่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างข้อความที่แน่นอนและข้อความโดยประมาณได้^{[ 53 ]}ปัญหาหลายอย่างในลิลาวาติและวิชา-กานิตามาจากแหล่งข้อมูลฮินดูอื่นๆ ดังนั้นภัสการะจึงมีความเชี่ยวชาญมากที่สุดในการวิเคราะห์แบบกำหนดไม่ได้^{[ 53 ]}

ภัสการาใช้อักษรตัวแรกของชื่อสีเป็นสัญลักษณ์ของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ตัวอย่างเช่น สิ่งที่เราเขียนในปัจจุบันจะเป็นดังนี้

${\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

ภัสการาคงเขียนไว้ว่า

. _ .

ยา 1 รู 1

.

ya 2 ru 8

.

Sum ya 1 ru 9

โดยที่yaแทนพยางค์แรกของคำว่าดำและruมาจากคำว่าชนิดจุดเหนือตัวเลขแสดงถึงการลบ

ศตวรรษแรกของจักรวรรดิอาหรับอิสลาม แทบไม่มีความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์หรือคณิตศาสตร์ใดๆ เนื่องจากชาวอาหรับซึ่งเพิ่งพิชิตจักรวรรดิของตนมา ยังไม่มีแรงผลักดันทางปัญญาใดๆ และการวิจัยในส่วนอื่นๆ ของโลกก็จางหายไป ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 8 ศาสนาอิสลามได้ตื่นตัวทางวัฒนธรรม และการวิจัยทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ก็เพิ่มมากขึ้น^{[ 54 ]} กล่าวกันว่า กาหลิบอัลมามูน แห่ง ราชวงศ์อับบาซิ ด (809–833) ฝันเห็นอริสโตเติลปรากฏตัว และด้วยเหตุนี้ อัลมามูนจึงสั่งให้แปลงานเขียนภาษากรีกเป็นภาษาอาหรับให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ รวมถึงAlmagest ของปโตเลมี และElements ของยูคลิด งานเขียนภาษากรีกจะถูกมอบให้กับชาวมุสลิมโดยจักรวรรดิไบแซนไทน์เพื่อแลกกับสนธิสัญญา เนื่องจากทั้งสองจักรวรรดิมีสันติภาพที่ไม่มั่นคง^{[ 54 ]}ผลงานภาษากรีกเหล่านี้จำนวนมากได้รับการแปลโดยThabit ibn Qurra (826–901) ซึ่งแปลหนังสือที่เขียนโดย Euclid, Archimedes, Apollonius, Ptolemy และ Eutocius ^{[ 55 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับได้ก่อตั้งพีชคณิตขึ้นเป็นสาขาวิชาอิสระ และตั้งชื่อว่า "พีชคณิต" ( al-jabr ) พวกเขาเป็นกลุ่มแรกที่สอนพีชคณิตในรูปแบบพื้นฐานและเพื่อตัวมันเอง^{[ 56 ]}มีทฤษฎีสามทฤษฎีเกี่ยวกับต้นกำเนิดของพีชคณิตอาหรับ ทฤษฎีแรกเน้นอิทธิพลของฮินดู ทฤษฎีที่สองเน้นอิทธิพลของเมโสโปเตเมียหรือเปอร์เซีย-ซีเรีย และทฤษฎีที่สามเน้นอิทธิพลของกรีก นักวิชาการหลายคนเชื่อว่ามันเป็นผลมาจากการผสมผสานของแหล่งที่มาทั้งสาม^{[ 57 ]}

ตลอดช่วงเวลาที่ชาวอาหรับมีอำนาจ พวกเขาใช้พีชคณิตเชิงวาทศิลป์อย่างสมบูรณ์ โดยที่ตัวเลขมักจะถูกเขียนเป็นคำ ชาวอาหรับจะแทนที่ตัวเลขที่เขียนเป็นคำ (เช่น ยี่สิบสอง) ด้วยตัวเลขอาหรับ (เช่น 22) ในที่สุด แต่ชาวอาหรับไม่ได้นำพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์มาใช้หรือพัฒนา^{[ 55 ]}จนกระทั่งงานของอิบนุ อัล-บันนาซึ่งพัฒนาพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ในศตวรรษที่ 13 ตามมาด้วยอบู อัล-ฮาซัน อิบนุ อาลี อัล-กาลาซาดีในศตวรรษที่ 15

ซ้าย: ต้นฉบับภาษาอาหรับของหนังสือพีชคณิตโดยอัล-ควาริซมีขวา: หน้าหนึ่งจากหนังสือพีชคณิตของอัล-ควาริซมีโดยเฟรดริก โรเซน ฉบับภาษาอังกฤษ

นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียมุสลิม^{[ 58 ]}มูฮัมหมัด อิบนุ มูซา อัล-คาวาริซมีซึ่งได้รับการอธิบายว่าเป็นบิดา^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ]}หรือผู้ก่อตั้ง^{[ 62 ] [ 63 ]}ของพีชคณิตเป็นสมาชิกคณะของ " บ้านแห่งปัญญา " ( เบต อัล-ฮิกมา ) ในแบกแดด ซึ่งก่อตั้งโดยอัล-มามูน อัล-คาวาริซมี ซึ่งเสียชีวิตราวปี ค.ศ. 850 ได้เขียน ผลงาน ทางคณิตศาสตร์และ ดาราศาสตร์มากกว่าครึ่งโหล^{[ 54 ]}หนึ่งในหนังสือที่มีชื่อเสียงที่สุดของอัล-คาวาริซมี มีชื่อว่าอัล-ญับร์ วาอัล มุคาบาละฮ์หรือหนังสือสรุปเกี่ยวกับการคำนวณโดยการเติมเต็มและการปรับสมดุลและให้รายละเอียดอย่างครบถ้วนเกี่ยวกับการแก้พหุนามจนถึงดีกรี ที่ สอง^{[ 64 ]}หนังสือเล่มนี้ยังได้แนะนำแนวคิดพื้นฐานของ " การลด " และ "การปรับสมดุล" ซึ่งหมายถึงการสลับตำแหน่งของพจน์ที่ถูกลบไปยังอีกด้านหนึ่งของสมการ นั่นคือ การตัดพจน์ที่เหมือนกันที่อยู่ตรงข้ามกันของสมการ นี่คือการดำเนินการที่อัล-ควาริซมีได้อธิบายไว้แต่เดิมว่าอัล-ญับร์ [ ^{65 ] ชื่อ} "พีชคณิต" มาจาก " อัล-ญับร์ " ในชื่อหนังสือของเขา

อาร์. ราชิด และ แองเจลา อาร์มสตรอง เขียนว่า:

"ข้อความของอัล-ควาริซมีนั้นไม่เพียงแต่แตกต่างจากแผ่นจารึกบาบิโลน เท่านั้น แต่ยังแตกต่างจากArithmeticaของไดโอแฟนตัสด้วยมันไม่ได้เกี่ยวข้องกับชุดของปัญหาที่จะต้องแก้ไขอีกต่อไป แต่เป็นการอธิบายที่เริ่มต้นด้วยเงื่อนไขพื้นฐานซึ่งการรวมกันจะต้องให้ต้นแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสมการ ซึ่งต่อจากนี้ไปจะประกอบเป็นวัตถุที่แท้จริงของการศึกษาอย่างชัดเจน ในทางกลับกัน แนวคิดของสมการเพื่อตัวมันเองปรากฏขึ้นตั้งแต่เริ่มต้น และอาจกล่าวได้ว่าในลักษณะทั่วไป ตราบใดที่มันไม่ได้เกิดขึ้นเพียงในระหว่างการแก้ปัญหา แต่ถูกเรียกใช้โดยเฉพาะเพื่อกำหนดคลาสของปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุด" ^{[ 66 ]}

อัล-จาบร์แบ่งออกเป็นหกบท แต่ละบทจะกล่าวถึงสูตรประเภทต่างๆ บทแรกของอัล-จาบร์กล่าวถึงสมการที่มีกำลังสองเท่ากับรากบทที่สองกล่าวถึงกำลังสองเท่ากับจำนวนบทที่สามกล่าวถึงรากเท่ากับจำนวนบทที่สี่กล่าวถึงกำลังสองและรากเท่ากับจำนวนบทที่ห้ากล่าวถึงกำลังสองและจำนวนเท่ากับรากและบทที่หกซึ่งเป็นบทสุดท้ายกล่าวถึงรากและจำนวนเท่ากับกำลังสอง^{[ 67 ]}${\displaystyle \left(ax^{2}=bx\right),}$${\displaystyle \left(ax^{2}=c\right),}$${\displaystyle \left(bx=c\right),}$${\displaystyle \left(ax^{2}+bx=c\right),}$${\displaystyle \left(ax^{2}+c=bx\right),}$${\displaystyle \left(bx+c=ax^{2}\right).}$

ในAl-Jabrอัล-ควาริซมีใช้การพิสูจน์ทางเรขาคณิต^{[ 17 ]}เขาไม่ยอมรับราก^{[ 67 ]}และเขาจัดการเฉพาะรากบวกเท่านั้น^{[ 68 ]}เขายังยอมรับด้วยว่าดิสคริมิแนนต์ต้องเป็นบวกและอธิบายวิธีการทำให้เป็นกำลังสอง สมบูรณ์ แม้ว่าเขาจะไม่ได้ให้เหตุผลของขั้นตอนก็ตาม^{[ 69 ]}อิทธิพลของกรีกแสดงให้เห็นได้จากพื้นฐานทางเรขาคณิตของAl-Jabr ^{[ 57 ] [ 70 ]}และจากปัญหาหนึ่งที่นำมาจากเฮรอน^{[ 71 ]}เขาใช้แผนภาพที่มีตัวอักษร แต่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการทั้งหมดของเขาเป็นตัวเลขเฉพาะ เนื่องจากเขาไม่มีวิธีใดที่จะแสดงสิ่งที่เขาสามารถแสดงทางเรขาคณิตได้ด้วยพารามิเตอร์ แม้ว่าตั้งใจให้วิธีการเป็นแบบทั่วไปก็ตาม^{[ 17 ]}${\displaystyle x=0,}$

อัล-ควาริซมีน่าจะไม่รู้จักArithmetica ของไดโอแฟนตัส [ ^{72 ]}ซึ่งเป็นที่รู้จักในหมู่ชาวอาหรับก่อนศตวรรษที่ 10 ^{[ 73 ] และ}ถึงแม้ว่าอัล-ควาริซมีน่าจะรู้จักผลงานของบราห์มาคุปตะ แต่อัล-จาบรก็เป็นเพียงสำนวนโวหารเท่านั้น โดยตัวเลขยังถูกเขียนออกมาเป็นคำอีกด้วย^{[ 72 ]}ดังนั้น ตัวอย่างเช่น สิ่งที่เราจะเขียนว่า

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

ดิโอแฟนตัสคงจะเขียนว่า^{[ 74 ]}

${\displaystyle \Delta ^{\Upsilon }{\overline {\alpha }}\varsigma {\overline {\iota }}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta }}}$

และอัล-ควาริซมีคงจะเขียนว่า^{[ 74 ]}

หนึ่งกำลังสองและสิบรากของจำนวนเดียวกันนั้นเท่ากับสามสิบเก้าดีร์แฮมกล่าวคือ กำลังสองนั้นต้องมีค่าเท่าใด เมื่อคูณด้วยสิบรากของมันเองแล้วจะได้ค่าเท่ากับสามสิบเก้า?

อับดุลฮามิด อิบนุ ตูร์กได้เขียนต้นฉบับชื่อ " ความจำเป็นเชิงตรรกะในสมการผสม"ซึ่งคล้ายคลึงกับอัลจาบร ของอัล- ควาริซ มีมาก และได้รับการตีพิมพ์ในช่วงเวลาเดียวกัน หรืออาจจะก่อนหน้า อัลจาบร ด้วย ซ้ำ ^{[ 73 ]}ต้นฉบับนี้ให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตแบบเดียวกันกับที่พบในอัลจาบรและในบางกรณีก็มีตัวอย่างเดียวกันกับที่พบในอัลจาบรและยังเหนือกว่าอัลจาบรด้วยการพิสูจน์ทางเรขาคณิตว่า ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นลบ สมการกำลังสองจะไม่มีคำตอบ^{[ 73 ]}ความคล้ายคลึงกันระหว่างงานทั้งสองนี้ทำให้บางนักประวัติศาสตร์สรุปว่าพีชคณิตภาษาอาหรับอาจได้รับการพัฒนาอย่างดีแล้วในสมัยของอัล-ควาริซมีและอับดุลฮามิด^{[ 73 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับถือว่าจำนวนอตรรกยะเป็นวัตถุทางพีชคณิต^{[ 75 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (ประมาณ ค.ศ. 850–930) เป็นคนแรกที่ยอมรับจำนวนอตรรกยะในรูปของรากที่สองหรือรากที่สี่เป็นคำตอบของสมการกำลังสองหรือเป็นสัมประสิทธิ์ในสมการ^{[ 76 ]}เขายังเป็นคนแรกที่แก้สมการเชิงเส้นสามตัวแปรที่ไม่^ทราบ ค่า สามสมการพร้อมกัน [ ^{77 ]}

อัล-คาราจี (953–1029) หรือที่รู้จักกันในชื่อ อัล-คาร์คี เป็นผู้สืบทอดตำแหน่งของอบู อัล-วาฟา อัล-บูซจานี (940–998) และเขาค้นพบวิธีแก้สมการเชิงตัวเลขครั้งแรกในรูปแบบ^{[ 78 ]}อัล-คาราจีพิจารณาเฉพาะรากบวกเท่านั้น^{[ 78 ]}เขายังได้รับการยกย่องว่าเป็นบุคคลแรกที่ปลดปล่อยพีชคณิตจาก การดำเนินการ ทางเรขาคณิตและแทนที่ด้วย การดำเนินการ ทางเลขคณิตซึ่งเป็นแก่นหลักของพีชคณิตในปัจจุบัน งานของเขาเกี่ยวกับพีชคณิตและพหุนามได้ให้กฎสำหรับการดำเนินการทางเลขคณิตเพื่อจัดการกับพหุนามF. Woepcke นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ในExtrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi ( ปารีส , 1853) ได้ยกย่อง Al-Karaji ว่าเป็น "คนแรกที่นำเสนอทฤษฎีแคลคูลัสเชิงพีชคณิต" จากนั้น Al-Karaji จึงได้ศึกษาเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ทวินามและสามเหลี่ยมปาสคาล^{[ 79 ]}${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}=c.}$

โอมาร์ คัยยัม (ประมาณ ค.ศ. 1050 – 1123) เขียนหนังสือเกี่ยวกับพีชคณิตที่ก้าวไปไกลกว่าอัล-จาบร์โดยรวมถึงสมการกำลังสามด้วย^{[ 80 ]}โอมาร์ คัยยัมได้เสนอวิธีแก้สมการกำลังสองทั้งแบบเลขคณิตและเรขาคณิต แต่เขาเสนอวิธีแก้สมการกำลังสาม ทั่วไปแบบเรขาคณิตเท่านั้น เนื่องจากเขาเข้าใจผิดว่าวิธีแก้แบบเลขคณิตเป็นไปไม่ได้^{[ 80 ]}วิธีการแก้สมการกำลังสามโดยใช้ภาคตัดกรวยของเขาเคยถูกใช้โดยเมนาเอคมุส อา ร์คิมิดีสและอิบนุ อัล-ฮัยธัม (อัลฮาเซน)แต่โอมาร์ คัยยัมได้ขยายวิธีการนี้ให้ครอบคลุมสมการกำลังสามทั้งหมดที่มีรากเป็นบวก^{[ 80 ]}เขาพิจารณาเฉพาะรากที่เป็นบวกเท่านั้น และไม่ได้ไปไกลกว่ากำลังสาม^{[ 80 ]}เขายังเห็นความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งระหว่างเรขาคณิตและพีชคณิตด้วย^{[ 80 ]}

ในศตวรรษที่ 12 ชาราฟ อัล-ดิน อัล-ตูซี (1135–1213) ได้เขียนหนังสืออัล-มุอาดาลัต ( ตำราว่าด้วยสมการ ) ซึ่งกล่าวถึงสมการกำลังสามแปดประเภทที่มีคำตอบเป็นบวก และสมการกำลังสามห้าประเภทที่อาจไม่มีคำตอบเป็นบวก เขาใช้วิธีการที่ต่อมาจะรู้จักกันในชื่อ " วิธี รัฟฟินี - ฮอร์เนอร์ " เพื่อ ประมาณค่ารากของสมการกำลังสามใน เชิงตัวเลข เขายังได้พัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของเส้นโค้งเพื่อแก้สมการกำลังสามที่อาจไม่มีคำตอบเป็นบวก^{[ 81 ]}เขาเข้าใจถึงความสำคัญของดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสาม และใช้สูตรของคาร์ดาโน เวอร์ชันแรก ^{[ 82 ]}เพื่อหาคำตอบเชิงพีชคณิตของสมการกำลังสามบางประเภท นักวิชาการบางท่าน เช่น Roshdi Rashed โต้แย้งว่า Sharaf al-Din ค้นพบอนุพันธ์ของพหุนามลูกบาศก์และตระหนักถึงความสำคัญของมัน ในขณะที่นักวิชาการท่านอื่นเชื่อมโยงวิธีแก้ปัญหาของเขากับแนวคิดของ Euclid และ Archimedes ^{[ 83 ]}

ชาราฟ อั ล-ดิน ยังได้พัฒนาแนวคิดของฟังก์ชัน อีกด้วย ^{[ 84 ]}ในการวิเคราะห์สมการของเขาตัวอย่างเช่น เขาเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนรูปแบบของสมการเป็น จากนั้นเขากล่าวว่าคำถามที่ว่าสมการมีคำตอบหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับว่า "ฟังก์ชัน" ทางด้านซ้ายถึงค่าหรือไม่เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ เขาจึงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน เขาพิสูจน์ว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อซึ่งให้ค่าฟังก์ชันจากนั้นชาราฟ อัล-ดิน กล่าวว่าถ้าค่านี้น้อยกว่าจะไม่มีคำตอบที่เป็นบวก ถ้าเท่ากับ จะมีคำตอบหนึ่งที่และถ้ามากกว่าจะมีคำตอบสองคำตอบ คำตอบหนึ่งอยู่ระหว่างและ และอีก คำ ตอบ หนึ่งอยู่ระหว่างและ^{[ 85 ]}${\displaystyle x^{3}+d=bx^{2}}$${\displaystyle x^{2}(b-x)=d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \textstyle x={\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \textstyle x={\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \textstyle {\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle b}$

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 15 Jamshīd al-Kāshīได้พัฒนารูปแบบเบื้องต้นของวิธีการของนิวตันเพื่อแก้สมการเชิงตัวเลขเพื่อหารากของ[ ^{86 ] Al} -Kāshī ยังได้พัฒนาเศษส่วนทศนิยมและอ้างว่าตนเองเป็นผู้ค้นพบ อย่างไรก็ตาม J. Lennart Berggrenn ตั้งข้อสังเกตว่าเขาเข้าใจผิด เนื่องจากเศษส่วนทศนิยมถูกนำมาใช้ครั้งแรกเมื่อห้าศตวรรษก่อนหน้าเขาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวแบกแดดAbu'l-Hasan al-Uqlidisiในช่วงต้นศตวรรษที่ 10 ^{[ 77 ]}${\displaystyle x^{P}-N=0}$${\displaystyle N}$

อัล-ฮัสซาร์นักคณิตศาสตร์จากโมร็อกโกผู้เชี่ยวชาญด้านนิติศาสตร์มรดกอิสลามในช่วงศตวรรษที่ 12 ได้พัฒนาสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ สมัยใหม่ สำหรับเศษส่วนโดยที่ตัวเศษและตัวส่วนถูกคั่นด้วยเส้นแนวนอน สัญลักษณ์เศษส่วนเดียวกันนี้ปรากฏขึ้นในเวลาต่อมาในงานของฟิโบนาชชีในศตวรรษที่ 13 ^{[ 87 ]}

อะบู อัล-ฮาซัน อิบนุ อาลี อัล-กาลาซาดี (ค.ศ. 1412–1486) เป็น นักพีชคณิต ชาวอาหรับ คนสำคัญคนสุดท้ายในยุคกลาง ซึ่งเป็นผู้ริเริ่มสร้างสัญลักษณ์ทางพีชคณิต เป็นครั้งแรก นับตั้งแต่อิบนุ อัล-บันนาเมื่อสองศตวรรษก่อน ซึ่งตัวเขาเองก็เป็นคนแรกที่พยายามทำเช่นนั้นนับตั้งแต่ดิโอแฟนตัสและพราหมณคุปตะในสมัยโบราณ^{[ 88 ]}อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์แบบซิงโคเพตของบรรพบุรุษของเขานั้นขาดสัญลักษณ์สำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ [ ^{42 ] อั}ล-กาลาซาดี "ได้ก้าวแรกไปสู่การนำสัญลักษณ์ทางพีชคณิตมาใช้โดยใช้ตัวอักษรแทนตัวเลข" ^{[ 88 ]}และโดย "การใช้คำภาษาอาหรับสั้นๆ หรือเพียงแค่อักษรตัวแรกของคำเหล่านั้นเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์" ^{[ 88 ]}

ธีออนแห่งอเล็กซานเดรียและไฮพาเทีย ลูกสาวของเขา เป็นนักคณิตศาสตร์คนสุดท้ายที่ยังทำงานอยู่ในอเล็กซานเดรียในช่วงปลายยุคโบราณและการเสียชีวิตของโบเอทิอุส เป็นสัญญาณ บ่งบอกถึงจุดจบของคณิตศาสตร์ในจักรวรรดิโรมันตะวันตกแม้ว่าจะมีการทำงานบางอย่างในเอเธนส์แต่ก็ต้องยุติลงเมื่อปี 529 จักรพรรดิจัสติเนียนแห่งไบแซนไทน์ได้ปิดโรงเรียนปรัชญานอกรีต ปี 529 ถือเป็นจุดเริ่มต้นของยุคกลาง นักวิชาการได้หลบหนีจากตะวันตกไปยังตะวันออกที่ให้การต้อนรับมากกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งไปยังเปอร์เซียซึ่งพวกเขาได้พบที่ลี้ภัยภายใต้กษัตริย์โชสโรส์และก่อตั้งสิ่งที่อาจเรียกได้ว่าเป็น "สถาบันเอเธนส์ในต่างแดน" ^{[ 89 ]}ภายใต้สนธิสัญญากับจัสติเนียน โชสโรส์จะส่งนักวิชาการกลับไปยังจักรวรรดิโรมันตะวันออก ในที่สุด ในช่วงยุคมืด คณิตศาสตร์ของยุโรปอยู่ในจุดต่ำสุด โดยการวิจัยทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ประกอบด้วยคำอธิบายเกี่ยวกับตำราโบราณ และการวิจัยส่วนใหญ่นี้กระจุกตัวอยู่ในจักรวรรดิไบแซนไทน์ จุดสิ้นสุดของยุคกลางถูกกำหนดให้เป็นการล่มสลายของคอนสแตนติโนเปิลให้กับชาวเติร์กในปี ค.ศ. 1453

ฟิโบนาชชี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีได้นำแนวคิดและเทคนิคของอัล-ควาริซมีมาสู่ยุโรปในผลงานของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งLiber Abaci [ ^{90 ] ใน} ปี ค.ศ. 1545 เจ โรลาโม คาร์ดาโนนักปราชญ์ชาวอิตาลีได้ตีพิมพ์หนังสือArs Magnaซึ่งครอบคลุมหัวข้อต่างๆ มากมายในพีชคณิต อภิปรายจำนวนจินตนาการและเป็นคนแรกที่นำเสนอวิธีการทั่วไปในการแก้^สมการกำลังสามและ กำลังสี่ [ ^{91 ]}

ในขณะที่โลกอิสลามกำลังเสื่อมถอยลงหลังศตวรรษที่ 15 โลกยุโรปกลับเจริญรุ่งเรือง และเป็นที่นี่เองที่พีชคณิตได้รับการพัฒนาต่อไป

สัญกรณ์สมัยใหม่สำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้รับการแนะนำระหว่างปลายศตวรรษที่ 15 และต้นศตวรรษที่ 16 โดยJohannes WidmannและMichael Stifelในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 François Vièteได้แนะนำสัญลักษณ์ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าตัวแปรเพื่อใช้แทนจำนวนที่ไม่แน่นอนหรือไม่ทราบค่า สิ่งนี้ได้สร้างพีชคณิตใหม่ที่ประกอบด้วยการคำนวณด้วยนิพจน์เชิงสัญลักษณ์ราวกับว่าเป็นตัวเลข^{[ 92 ] [ 93 ]}

เหตุการณ์สำคัญอีกประการหนึ่งในการพัฒนาพีชคณิตเพิ่มเติมคือการแก้สมการกำลังสามและกำลังสี่ด้วยวิธีพีชคณิต ทั่วไป ซึ่งพัฒนาขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่ 16 แนวคิดเรื่องดีเทอร์ มิแนนต์ ได้รับการพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นโควะ เซกิในศตวรรษที่ 17 ตามมาด้วยก็ อต ต์ฟรีด ไลบ์นิซในอีกสิบปีต่อมา เพื่อจุดประสงค์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นพร้อมกันโดยใช้เมทริกซ์กาเบรียล เครเมอร์ก็ได้ทำงานเกี่ยวกับเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ในศตวรรษที่ 18 เช่นกัน^{[ 94 ]}

ตามธรรมเนียมแล้วตัวแปร ที่ไม่ทราบค่าตัวแรก ในโจทย์พีชคณิตในปัจจุบันจะใช้สัญลักษณ์ และถ้ามีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าตัวที่สองหรือตัวที่สาม จะใช้สัญลักษณ์และตามลำดับ โดยทั่วไปแล้ว คำว่า "พีชคณิต" จะพิมพ์ด้วยตัวเอียงเพื่อแยกความแตกต่างจากเครื่องหมายการคูณ ${\displaystyle {\mathit {x}}}$${\displaystyle {\mathit {y}}}$${\displaystyle {\mathit {z}}}$${\displaystyle x}$

นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์^{[ 95 ]}โดยทั่วไปเห็นพ้องกันว่าการใช้ในพีชคณิตได้รับการแนะนำโดยเรเน่ เดส์การ์ตและตีพิมพ์ครั้งแรกในตำราLa Géométrie (1637) ของเขา ^{[ 96 ] [ 97 ]}ในงานนั้น เขาใช้ตัวอักษรจากต้นตัวอักษรสำหรับปริมาณที่ทราบ และตัวอักษรจากท้ายตัวอักษรสำหรับค่าที่ไม่ทราบ^{[ 98 ]}มีการเสนอแนะว่าต่อมาเขาเลือกใช้(แทน) สำหรับค่าที่ไม่ทราบค่าแรก เนื่องจากมีให้ใช้มากกว่าในแบบอักษรภาษาฝรั่งเศสและละตินในสมัยนั้น^{[ 99 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle (a,b,c,\ldots )}$${\displaystyle (z,y,x,\ldots )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$

ในศตวรรษที่ 19 มีการเสนอ ทฤษฎีทางเลือก 3 ทฤษฎีเกี่ยวกับที่มาของพีชคณิตได้แก่ (1) สัญลักษณ์ที่นักพีชคณิตชาวเยอรมันใช้และคิดว่ามาจากตัวอักษรเขียนหวัดที่เข้าใจผิดว่าเป็น[ ^{100 ] (} 2) ตัวเลข1 ที่มี ขีดฆ่าเฉียง^{[ 101 ]}และ (3) แหล่งที่มาจากภาษาอาหรับ/สเปน (ดูด้านล่าง) แต่ฟลอเรียน คาโจรี นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวสวิส-อเมริกัน ได้ตรวจสอบทฤษฎีเหล่านี้และพบว่าทั้งสามทฤษฎีขาดหลักฐานที่เป็นรูปธรรม คาโจรีให้เครดิตเดส์การ์ตว่าเป็นผู้ริเริ่ม และอธิบายและ ของเขา ว่า "ปราศจากประเพณี และการเลือกของพวกเขาเป็นไปตามอำเภอใจอย่างแท้จริง" ^{[ 102 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x,y,}$${\displaystyle z}$

อย่างไรก็ตาม สมมติฐานฮิสปาโน-อาหรับยังคงปรากฏอยู่ในวัฒนธรรมสมัยนิยมในปัจจุบัน^{[ 103 ]}เป็นการอ้างว่าคำว่า algebraic เป็นคำย่อของคำยืมจากภาษาอาหรับในภาษาสเปนโบราณ ทฤษฎีนี้เริ่มต้นขึ้นในปี 1884 โดยนักตะวันออกศึกษาชาว เยอรมัน Paul de Lagardeไม่นานหลังจากที่เขาตีพิมพ์พจนานุกรมสองภาษา สเปน/อาหรับ ฉบับปี 1505 ^{[ 104 ]}ซึ่งคำว่า cosa ("สิ่งของ") ในภาษาสเปนถูกจับคู่กับคำที่เทียบเท่าในภาษาอาหรับ คือشىء ( shay ^ʔ ) ซึ่งถอดเสียงเป็นxei (เสียง "sh" ในภาษาสเปนโบราณมักจะสะกดด้วย) เห็นได้ชัดว่า Lagarde ตระหนักดีว่านักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับ ในขั้นตอน "วาทศิลป์" ของการพัฒนาพีชคณิต มักใช้คำนั้นเพื่อแทนปริมาณที่ไม่ทราบค่า เขาคาดเดาว่า "ไม่มีอะไรจะเป็นธรรมชาติไปกว่านี้แล้ว" ("Nichts war also natürlicher...") การนำอักษรตัวแรกของคำภาษาอาหรับ— ซึ่งถอดเสียงเป็นภาษาสเปนโบราณ—มาใช้ในพีชคณิต^{[ 105 ]}ผู้อ่านในภายหลังตีความการคาดเดาของลาการ์ดใหม่ว่า "พิสูจน์" ประเด็นดังกล่าวแล้ว^{[ 106 ]}ลาการ์ดไม่ทราบว่านักคณิตศาสตร์ชาวสเปนในยุคแรกๆ ไม่ได้ใช้การถอดเสียงคำภาษาอาหรับ แต่ใช้คำแปลในภาษาของตนเองว่า "cosa" ^{[ 107 ]}ไม่มีตัวอย่างของxeiหรือรูปแบบที่คล้ายกันในพจนานุกรมประวัติศาสตร์ภาษาสเปนที่รวบรวมไว้หลายเล่ม^{[ 108 ] [ 109 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x}$

แม้ว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันจะแฝงอยู่ในตารางตรีโกณมิติและ ลอการิทึม ซึ่งมีอยู่ในสมัยของเขา แต่Gottfried Leibnizเป็นคนแรกที่ใช้แนวคิดนี้อย่างชัดเจนในปี 1692 และ 1694 เพื่อแสดงถึงแนวคิดทางเรขาคณิตหลายอย่างที่ได้มาจากเส้นโค้ง เช่นพิกัดแกน x , แกน y , เส้นสัมผัส , คอร์ดและเส้นตั้งฉาก [ ^{110 ] ใน}ศตวรรษที่ 18 คำว่า "ฟังก์ชัน" สูญเสียความเกี่ยวข้องทางเรขาคณิตเหล่านี้ไป

ไลบ์นิซตระหนักว่าสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้นสามารถจัดเรียงเป็นอาร์เรย์ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเมทริกซ์ซึ่งสามารถนำมาใช้หาคำตอบของระบบได้ หากมีคำตอบ วิธีนี้ต่อมาเรียกว่าการกำจัดแบบเกาส์เซียนไลบ์นิซยังค้นพบพีชคณิตบูลีนและตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ซึ่งมีความเกี่ยวข้องกับพีชคณิตเช่นกัน

ในศตวรรษที่ 17 และ 18 มีความพยายามมากมายที่จะหาคำตอบทั่วไปสำหรับพหุนามดีกรีห้าขึ้นไป แต่ทั้งหมดก็พิสูจน์แล้วว่าไม่ประสบความสำเร็จ^{[ 111 ]}ในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตซึ่งอธิบายถึงการมีอยู่ของศูนย์ของพหุนามทุกดีกรีโดยไม่ให้คำตอบทั่วไป^{[ 112 ]}ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 เปาโล รัฟฟินี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี และนีลส์ เฮนริก อาเบล นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ สามารถแสดงให้เห็นว่าไม่มีคำตอบทั่วไปสำหรับพหุนามดีกรีห้าขึ้นไป^{[ 111 ]} เพื่อตอบสนองต่อและหลังจากนั้นไม่นาน เอวาริสต์ กาโลอิสนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้พัฒนาสิ่งที่ต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีกาโลอิสซึ่งนำเสนอการวิเคราะห์เชิงลึกมากขึ้นเกี่ยวกับคำตอบของพหุนาม ในขณะเดียวกันก็วางรากฐานของทฤษฎีกลุ่มด้วย^{[ 113 ]}

ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 19 ความสนใจในพีชคณิตได้เปลี่ยนจากการศึกษาพหุนามที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตเบื้องต้นไปสู่การสอบถามทั่วไปเกี่ยวกับโครงสร้างพีชคณิต ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของพีชคณิตนามธรรมแนวทางนี้ได้สำรวจพื้นฐานเชิงสัจพจน์ของการดำเนินการทางพีชคณิตใด ๆ ^{[ 114 ]}การคิดค้นระบบพีชคณิตใหม่ๆ ที่อิงตามการดำเนินการและองค์ประกอบที่แตกต่างกันเกิดขึ้นพร้อมกับการพัฒนานี้ เช่นพีชคณิตบูลีนพีชคณิตเวกเตอร์และพีชคณิตเมทริกซ์ [ ^{115 ] การ}พัฒนาที่สำคัญในช่วงแรกของพีชคณิตนามธรรมเกิดขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันDavid Hilbert , Ernst SteinitzและEmmy Noetherรวมถึงนักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรียEmil Artinพวกเขาได้วิจัยโครงสร้างพีชคณิตรูปแบบต่างๆ และจัดหมวดหมู่ตามสัจพจน์พื้นฐานเป็นประเภทต่างๆ เช่น กลุ่ม วงแหวน และฟิลด์^{[ 116 ]}

แนวคิดของแนวทางทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตสากลนั้นเกิดขึ้นจากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษAlfred North WhiteheadในหนังสือA Treatise on Universal Algebra ในปี 1898 เริ่มตั้งแต่ทศวรรษ 1930 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันGarrett Birkhoffได้ขยายแนวคิดเหล่านี้และพัฒนาแนวคิดพื้นฐานหลายประการของสาขานี้^{[ 117 ]}การคิดค้นพีชคณิตสากลนำไปสู่การเกิดขึ้นของสาขาใหม่ๆ มากมายที่มุ่งเน้นการใช้พีชคณิตในคณิตศาสตร์ นั่นคือ การประยุกต์ใช้วิธีการทางพีชคณิตกับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงทอพอโลยีเกิดขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 โดยศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิต เช่นกลุ่มเชิงทอพอโลยีและกลุ่มLie ^{[ 118 ]}ในช่วงทศวรรษ 1940 และ 1950 พีชคณิต เชิงโฮโมโลยี ได้เกิดขึ้น โดยใช้เทคนิคทางพีชคณิตเพื่อศึกษาโฮโมโลยี^{[ 119 ]}ในช่วงเวลาเดียวกันนั้นทฤษฎีหมวดหมู่ได้รับการพัฒนาขึ้น และตั้งแต่นั้นมาก็มีบทบาทสำคัญในรากฐานของคณิตศาสตร์ [ ^{120 ] การ}พัฒนาอื่นๆ ได้แก่ การกำหนดทฤษฎีแบบจำลองและการศึกษาพีชคณิตอิสระ^{[ 121 ]}

ตำแหน่ง "บิดาแห่งพีชคณิต" มักถูกยกให้แก่อัล-ควาริซมี นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซีย [ ^{122 ] [ 123 ] [ 124 ] ซึ่ง}ได้รับการสนับสนุนจากนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์เช่นคาร์ล เบนจามิน บอยเออร์^{[ 122 ] โซโลมอน แกนด์ซ และ บาร์เทล เลนเดิร์ต ฟาน เดอร์ แวร์เดน [ 125 ]}อย่างไรก็ตาม^{ประเด็นนี้เป็น}ที่ถกเถียงกัน และบางครั้งตำแหน่งนี้ก็ถูกยกให้แก่ ดิโอแฟนตัส นักคณิตศาสตร์ชาวเฮลเลนิสติก [ ^{122 ]} [ 126 ] ผู้ที่^{สนับสนุนดิโอแฟนตัส}ชี้ให้เห็นว่าพีชคณิตที่พบในอัล-จาบร นั้น เป็นพื้นฐานมากกว่าพีชคณิตที่พบในอาริธเมติกา ​​และอาริธเมติกาเป็นการใช้จังหวะซิงโคเพต ในขณะที่อัล-จาบรเป็นเพียงการใช้สำนวนโวหารเท่านั้น^{[ 122 ]}อย่างไรก็ตามเคิร์ท โฟเกล นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ โต้แย้งว่าดิโอแฟนตัสไม่ควรได้รับตำแหน่งนี้^{[ 127 ]}เนื่องจากคณิตศาสตร์ของเขาไม่ได้เป็นพีชคณิตมากไปกว่าของชาวบาบิโลนโบราณ^{[ 128 ]}

ผู้ที่สนับสนุนอัล-ควาริซมีชี้ให้เห็นว่าเขาได้ให้คำอธิบายอย่างละเอียดถี่ถ้วนเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองที่มีรากบวกด้วยวิธีพีชคณิต^{[ 129 ]}และเป็นคนแรกที่สอนพีชคณิตในรูปแบบพื้นฐานและเพื่อตัวมันเอง ในขณะที่ดิโอแฟนตัสสนใจทฤษฎีจำนวน เป็น หลัก^{[ 56 ]}อัล-ควาริซมียังได้แนะนำแนวคิดพื้นฐานของ "การลดรูป" และ "การปรับสมดุล" (ซึ่งเดิมทีเขาใช้คำว่าอัล-จาบรเพื่ออ้างถึง) โดยหมายถึงการสลับตำแหน่งของพจน์ที่ถูกลบไปยังอีกด้านหนึ่งของสมการ นั่นคือ การตัดพจน์ที่เหมือนกันในด้านตรงข้ามของสมการ^{[ 65 ]}ผู้สนับสนุนอัล-ควาริซมีคนอื่นๆ ชี้ให้เห็นว่าพีชคณิตของเขาไม่ได้เกี่ยวข้องกับ "ชุดของปัญหาที่จะต้องแก้ไข แต่เป็นการอธิบายที่เริ่มต้นด้วยพจน์พื้นฐานซึ่งการรวมกันจะต้องให้ต้นแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสมการ ซึ่งต่อจากนี้ไปจะประกอบเป็นวัตถุที่แท้จริงของการศึกษาอย่างชัดเจน" พวกเขายังชี้ให้เห็นถึงการจัดการสมการของเขาเพื่อตัวมันเองและ "ในลักษณะทั่วไป ตราบใดที่มันไม่ได้เกิดขึ้นเพียงในระหว่างการแก้ปัญหา แต่ถูกเรียกใช้โดยเฉพาะเพื่อกำหนดกลุ่มปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุด" ^{[ 66 ]} Victor J. Katzถือว่าAl-Jabrเป็นตำราพีชคณิตที่แท้จริงเล่มแรกที่ยังคงมีอยู่^{[ 130 ]}

ตามที่ Jeffrey Oaks และ Jean Christianidis กล่าวไว้ ทั้ง Diophantus และ Al-Khwarizmi ไม่ควรถูกเรียกว่า "บิดาแห่งพีชคณิต" ^{[ 131 ] [ 132 ]}พีชคณิตในยุคก่อนสมัยใหม่ได้รับการพัฒนาและใช้งานโดยพ่อค้าและนักสำรวจ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสิ่งที่Jens Høyrupเรียกว่า "ประเพณีกึ่งวิทยาศาสตร์" Diophantus ใช้พีชคณิตวิธีนี้ในหนังสือของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปัญหาที่ไม่แน่นอน ในขณะที่ Al-Khwarizmi เขียนหนังสือเล่มแรกๆ ในภาษาอาหรับเกี่ยวกับวิธีนี้^{[ 37 ]}

• อัล-มันซูร์  – คอลีฟะห์อับบาซิดที่ 2 (ค.ศ. 754–775)
• ลำดับเหตุการณ์สำคัญของพีชคณิต  – เหตุการณ์ที่โดดเด่นในประวัติศาสตร์ของพีชคณิต

• Alcalá, Pedro de (1505), De lingua arabica , กรานาดาฉบับโดย Paul de Lagarde, Göttingen: Arnold Hoyer, 1883
• Alonso, Martín [ในภาษาสเปน] (1986), Diccionario del español ยุคกลาง , Salamanca: Universidad Pontificia de Salamanca
• Aurel, Marco (1552), Libro primero de arithmetica algebratica , บาเลนเซีย: Joan de Mey
• Bashmakova, I ; Smirnova, G. (2000). จุดเริ่มต้นและวิวัฒนาการของพีชคณิต . Dolciani Mathematical Expositions. เล่มที่ 23. แปลโดย Abe Shenitzer. สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา.
• บอยเออร์, คาร์ล บี. (1991), ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2), สำนักพิมพ์จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ อิงค์, ISBN 978-0-471-54397-8
• เบอร์ตัน, เดวิด เอ็ม. (1995), ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ของเบอร์ตัน: บทนำ (ฉบับที่ 3), ดูบูก: วิลเลียม ซี. บราวน์
• เบอร์ตัน, เดวิด เอ็ม. (1997), ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์: บทนำ (ฉบับที่ 3), บริษัท แมคกรอว์-ฮิลล์ จำกัด, ISBN 978-0-07-009465-9
• Cajori, Florian (1919), "วิธีที่ x กลายมาแทนปริมาณที่ไม่ทราบค่า" , วิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ในโรงเรียน , 19 (8): 698– 699, doi : 10.1111/j.1949-8594.1919.tb07713.x
• Cajori, Florian (1928), ประวัติของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ , ชิคาโก: Open Court Publishing, ISBN 9780486161167{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• คาร์ลสัน, สเตฟาน ซี. (2024). "โทโพโลยี – โฮโมโลยี โคโฮโมโลยี แมนิโฟลด์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2 ตุลาคม 2024 .
• Chang, CC; Keisler, HJ (1990). ทฤษฎีแบบจำลอง . Elsevier. ISBN 978-0-08-088007-5สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 27 มกราคม 2567
• คุก, โรเจอร์ (1997), ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์: หลักสูตรโดยสังเขป , ไวลีย์-อินเตอร์ไซแอนซ์, ISBN 978-0-471-18082-1
• คอร์รี, ลีโอ (2024). "พีชคณิต" . สารานุกรมบริแทนนิกา . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 19 มกราคม 2024 . สืบค้นเมื่อเมื่อวันที่ 25 มกราคม 2024 .
• เดอร์บีเชอร์, จอห์น (2006), ปริมาณที่ไม่ทราบค่า: ประวัติศาสตร์พีชคณิตที่แท้จริงและจินตนาการ , วอชิงตัน ดี.ซี.: สำนักพิมพ์โจเซฟ เฮนรี, ISBN 978-0-309-09657-7
• เดการ์ต, เรอเน่ (1637), ลาจีโอเมทรี , เลย์ด์: เอียน แมร์. ออนไลน์ 2551 เอ็ด โดย แอล. เฮอร์มันน์ โครงการกูเทนเบิร์ก
• เดส์การ์ต, เรเน่ (1925), เรขาคณิตของเรเน่ เดส์การ์ต , ชิคาโก: โอเพ่นคอร์ต, ISBN 9781602066922{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Díez, Juan (1556), Sumario compendioso de las quentas de plata y oro que en los reynos del Piru son necessarias a los mercaderes: y todo genero de tratantes, con algunas reglas tocantes al arithmetica , เม็กซิโกซิตี้
• เอเนสสตรอม, กุสตาฟ (1905), "Kleine Mitteilungen" , Bibliotheca Mathematica , Ser. 3, 6(เข้าถึงได้ทางออนไลน์เฉพาะในสหรัฐอเมริกา)
• เฟลกก์, เกรแฮม (1983), ตัวเลข: ประวัติและความหมายของตัวเลข , สำนักพิมพ์โดเวอร์, ISBN 978-0-486-42165-0
• เกรทเซอร์, จอร์จ (2008) พีชคณิตสากล (ฉบับที่ 2) สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-77487-9สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 27 มกราคม 2567
• ฮาเซวิงเคิล, มิเชล (1994) สารานุกรมคณิตศาสตร์ (ชุด) . สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 978-1-55608-010-4สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 27 มกราคม 2567
• Heath, Thomas Little (1981a), ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์กรีกเล่มที่ 1สำนักพิมพ์ Dover ISBN 978-0-486-24073-2
• Heath, Thomas Little (1981b), ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์กรีกเล่มที่ 2สำนักพิมพ์ Dover ISBN 978-0-486-24074-9
• จาคอบ, จอร์จ (1903), " องค์ประกอบทางวัฒนธรรมตะวันออกในโลกตะวันตก" รายงานประจำปีของคณะกรรมการผู้บริหารสถาบันสมิธโซเนียน [...] สำหรับปีสิ้นสุดวันที่ 30 มิถุนายน 1902 : 509– 529
• คาสเตน, ลอยด์ เอ. ; โคดี้, ฟลอเรียน เจ. (2001), พจนานุกรมภาษาสเปนยุคกลางฉบับร่าง (ฉบับที่ 2), นิวยอร์ก: วิทยาลัยภาษาสเปนเพื่อการศึกษาในยุคกลาง
• Katz, Victor J.; Parshall, Karen Hunger (2014), Taming the Unknown: A History of Algebra from Antiquity to the Early Twentieth Century , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-1-400-85052-5
• ไคลเนอร์, อิสราเอล (2007). ประวัติศาสตร์ของพีชคณิตนามธรรม . สปริงเกอร์. ISBN 978-0-8176-4685-1.
• Knoebel, Arthur (2011). Sheaves of Algebras Over Boolean Spaces . Springer. ISBN 978-0-8176-4218-1สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 27 มกราคม 2567
• Krömer, Ralph (2007). เครื่องมือและวัตถุ: ประวัติศาสตร์และปรัชญาของทฤษฎีหมวดหมู่ . Springer. ISBN 978-3-7643-7524-9.
• Kvasz, L. (2006). "ประวัติศาสตร์ของพีชคณิตและการพัฒนารูปแบบของภาษา" . Philosophia Mathematica . 14 (3): 287– 317. doi : 10.1093/philmat/nkj017 . ISSN  1744-6406 .
• ลาการ์ด, พอล เดอ (1884), "Woher stammt das x der Mathematiker?" , มิทไธลุงเงิน , vol. 1 , Goettingen: Dieterichsche Sortimentsbuchhandlung, หน้า  134–137
• Laos, Nicolas K. (1998). Topics in Mathematical Analysis and Differential Geometry . World Scientific. ISBN 978-981-02-3180-4.
• Miyake, Katsuya (2002). "แง่มุมบางประการเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์"ใน Kanemitsu, Shigeru; Jia, Chaohua (บรรณาธิการ). วิธีการทางทฤษฎีจำนวน: แนวโน้มในอนาคต . Springer. ISBN 978-1-4419-5239-4สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 7 สิงหาคม 2567
• Merzlyakov, Yu. I.; Shirshov, AI (2020). "Algebra(2)" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . Springer. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 7 เมษายน 2023 . สืบค้นเมื่อ11 มกราคม 2023 .
• Nunes, Pedro (1567), Libro de algebra en arithmetica y geometria , แอนต์เวิร์ป: Arnoldo Birckman
• Oelschläger, Victor RB (1940), รายชื่อคำศัพท์ภาษาสเปนยุคกลาง , แมดิสัน: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยวิสคอนซิน
• Ortega, Juan de (1552), Tractado subtilissimo de arismetica และ geometria , กรานาดา: René Rabut
• Pérez de Moya, Juan [ในภาษาสเปน] (1562), Aritmética práctica y especulativa , Salamanca: Mathias Gast
• Pratt, Vaughan (2022). "พีชคณิต" . สารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด . ห้องปฏิบัติการวิจัยอภิปรัชญา มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 29 มกราคม 2024 . สืบค้นเมื่อเมื่อวันที่ 11 มกราคม 2024 .
• Puig, Andrés (1672), Arithmetica especulativa และ practica; ศิลปะแห่งพีชคณิต , บาร์เซโลนา: Antonio Lacavalleria
• Rider, Robin E. (1982), บรรณานุกรมของพีชคณิตยุคต้นสมัยใหม่ ค.ศ. 1500–1800 , เบิร์กลีย์: Berkeley Papers in History of Science
• เซเซียโน, ฌาคส์ (1999), บทนำสู่ประวัติศาสตร์ของพีชคณิต: การแก้สมการตั้งแต่สมัยเมโสโปเตเมียจนถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา , พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, ISBN 9780821844731
• สติลเวลล์, จอห์น (2004), คณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ (ฉบับที่ 2), สปริงเกอร์ ไซเอนซ์ + บิสซิเนส มีเดีย อิงค์, ISBN 978-0-387-95336-6
• Swetz, Frank J. (2013), การตื่นตัวทางคณิตศาสตร์ของยุโรป: การเดินทางผ่านประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์, 1000–1800 (ฉบับที่ 2), Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 9780486498058
• Tanton, James (2005). สารานุกรมคณิตศาสตร์ . ข้อมูลสถิติ. ISBN 978-0-8160-5124-3.
• Tropfke, Johannes (1902), Geschichte der Elementar-Mathematik ใน systematischer Darstellung , เล่ม. 1, ไลพ์ซิก: ฟอน ไวต์ แอนด์ คอมป์.
• Waerden, Bartel L. van der (2013). ประวัติศาสตร์ของพีชคณิต: จากอัล-คาวาริซมี ถึงเอ็มมี เนอเธอร์ . สปริงเกอร์. ISBN 978-3-642-51599-6สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 27 มกราคม 2567
• ไวเบล, ชาร์ลส์ เอ. (1995). บทนำสู่พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-1-139-64307-8.

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับประวัติศาสตร์ของพีชคณิต

• "คำอธิบายโดยเชคซาการียา อัล-อันซารี แห่งศาสนาอิสลาม เกี่ยวกับบทกวีของอิบนุ อัล-ฮาอิม ว่าด้วยวิทยาศาสตร์แห่งพีชคณิตและการทรงตัว ซึ่งเรียกว่า การสำแดงของพระผู้สร้างในการอธิบายสิ่งที่มีเหตุผล"ซึ่งนำเสนอแนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตที่มีมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 15 จากห้องสมุดดิจิทัลโลก