ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มโทโพโลยีเป็นทั้งกลุ่มและปริภูมิโทโพโลยีในเวลาเดียวกัน โดยที่การดำเนินการของกลุ่มจะต้องต่อเนื่องกันซึ่งเชื่อมโยงโครงสร้างทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน^{[ 1 ]}

กลุ่มโทโพโลยีได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางในช่วงปี พ.ศ. 2468 ถึง พ.ศ. 2483 HaarและWeil (ในปี พ.ศ. 2476 และ พ.ศ. 2483 ตามลำดับ) แสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลและอนุกรมฟูริเยร์เป็นกรณีพิเศษของการสร้างที่สามารถกำหนดได้บนกลุ่มโทโพโลยีที่กว้างมาก^{[ 2 ]}

กลุ่มโทโพโลยี พร้อมกับการกระทำของกลุ่มแบบต่อเนื่องถูกนำมาใช้ในการศึกษาความสมมาตร แบบต่อเนื่อง ซึ่งมีการประยุกต์ใช้มากมาย เช่นในฟิสิกส์ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีทุกปริภูมิเป็นกลุ่มโทโพโลยีแบบบวกที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือ การคูณด้วยสเกลาร์เป็นแบบต่อเนื่อง ดังนั้น ผลลัพธ์มากมายจากทฤษฎีกลุ่มโทโพโลยีจึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันได้

กลุ่มเชิงทอพอโลยี G คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เป็นกลุ่มด้วยเช่นกัน โดยที่การดำเนินการของกลุ่ม (ในกรณีนี้คือผลคูณ):

${\displaystyle \cdot :G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy}$

และแผนที่ผกผัน:

${\displaystyle ^{-1}:G\to G,x\mapsto x^{-1}}$

มี ความ ต่อเนื่อง^{[หมายเหตุ 1 ]} ในที่นี้ถือว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีผลคูณทอพอโลยีดังกล่าวกล่าวได้ว่าเข้ากันได้กับการดำเนินการของกลุ่มและเรียกว่า ทอพอโล ยี กลุ่ม${\displaystyle G\times G}$

ตรวจสอบความต่อเนื่อง

แผนที่ผลคูณมีความต่อเนื่องก็ต่อเมื่อสำหรับย่านใกล้เคียงใดๆของในG จะมีย่านใกล้เคียงUของxและVของyในG อยู่จริง โดยที่แผนที่ผกผันมีความต่อเนื่องก็ต่อเมื่อสำหรับย่านใกล้เคียงใดๆของในG จะมีย่านใกล้เคียงUของxในGอยู่จริง โดยที่${\displaystyle x,y\in G}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle U\cdot V\subseteq W}$${\displaystyle U\cdot V:=\{u\cdot v:u\in U,v\in V\}}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle U^{-1}\subseteq V}$${\displaystyle U^{-1}:=\{u^{-1}:u\in U\}}$

เพื่อแสดงว่าโทโพโลยีเข้ากันได้กับการดำเนินการของกลุ่ม ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าแผนที่นั้น

${\displaystyle G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}}$

เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง กล่าวคือ สำหรับทุกๆและย่านใกล้เคียงWในGของจะมีย่านใกล้เคียงUของxและVของyในGที่ ทำให้${\displaystyle x,y\in G}$${\displaystyle xy^{-1}}$${\displaystyle U\cdot (V^{-1})\subseteq W}$

สัญกรณ์การบวก

คำจำกัดความนี้ใช้สัญลักษณ์สำหรับกลุ่มการคูณ ส่วนที่เทียบเท่าสำหรับกลุ่มการบวกก็คือ การดำเนินการสองอย่างต่อไปนี้มีความต่อเนื่อง:

${\displaystyle +:G\times G\to G,(x,y)\mapsto x+y}$

${\displaystyle -:G\to G,x\mapsto -x}$

เฮาส์ดอร์ฟเนส

แม้ว่าจะไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความนี้ แต่ผู้เขียนหลายคน^{[ 3 ]}ต้องการให้โทโพโลยีบนGเป็นแบบ Hausdorffเหตุผลหนึ่งก็คือกลุ่มโทโพโลยีใดๆ ก็สามารถเชื่อมโยงกับกลุ่มโทโพโลยี Hausdorff ได้โดยการใช้ผลหารที่เหมาะสม อย่างไรก็ตาม วิธีนี้มักจะยังคงต้องใช้กลุ่มโทโพโลยีที่ไม่ใช่ Hausdorff ดั้งเดิมอยู่ เหตุผลอื่นๆ และเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันบางประการจะกล่าวถึงต่อไป

บทความนี้จะไม่ถือว่ากลุ่มทางทอพอโลยีเป็นกลุ่มเฮาส์ดอร์ฟเสมอไป

นิยามเชิงหมวดหมู่ของกลุ่มโทโพโลยี

ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่กลุ่มเชิงทอพอโลยีสามารถนิยามได้อย่างกระชับว่าเป็นวัตถุกลุ่มในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอ โลยี ในทำนองเดียวกับที่กลุ่มทั่วไปเป็นวัตถุกลุ่มในหมวดหมู่ของเซตโปรดสังเกตว่าสัจพจน์นั้นกำหนดขึ้นโดยใช้แผนที่ (ผลคูณทวิภาค ตัวผกผันเอกภาค และเอกลักษณ์ศูนย์ภาค) ดังนั้นจึงเป็นการนิยามเชิงหมวดหมู่

โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มโทโพโลยีถูกกำหนดให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม ต่อเนื่อง กลุ่มโทโพโลยีพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของพวกมันก่อให้เกิดหมวดหมู่ โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มระหว่างกลุ่มโทโพโลยีจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมันต่อเนื่องที่จุดใดจุดหนึ่ง^{[ 4 ]}${\displaystyle G\to H}$

ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มทางทอพอโลยี คือไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ที่ เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของปริภูมิทางทอพอโลยีพื้นฐานด้วย นี่มีความเข้มงวดมากกว่าการกำหนดให้ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มเป็นแบบต่อเนื่องเพียงอย่างเดียว กล่าวคือ ตัวผกผันก็ต้องเป็นแบบต่อเนื่องด้วย มีตัวอย่างของกลุ่มทางทอพอโลยีที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะกลุ่มธรรมดา แต่ไม่ใช่ในฐานะกลุ่มทางทอพอโลยี

ตัวอย่างเช่น ให้Gเป็นกลุ่มใดๆ เราสามารถกำหนดโทโพโลยีอย่างน้อยสองแบบให้กับมันได้ คือ โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง หรือ โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งทั้งสองแบบทำให้การดำเนินการของกลุ่มเป็นแบบต่อเนื่อง โดยกำหนดให้กลุ่มที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องเป็นและกลุ่มที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง เป็น แผนที่เอกลักษณ์ที่กำหนดโดย เป็นการสมสัณฐานของกลุ่มแบบต่อเนื่อง แต่ไม่ใช่การสมสัณฐานของกลุ่มทางโทโพโลยี (ถ้าไม่ใช่กลุ่มที่ไม่สำคัญ) ${\displaystyle (G,{\mathcal {T}}_{1})}$${\displaystyle (G,{\mathcal {T}}_{2})}$${\displaystyle I:(G,{\mathcal {T}}_{1})\to (G,{\mathcal {T}}_{2})}$${\displaystyle I(g)=g}$${\displaystyle G}$

ทุกกลุ่มสามารถทำให้เป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีได้โดยง่าย โดยการพิจารณาด้วยทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องกลุ่มดังกล่าวเรียกว่ากลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องในแง่นี้ ทฤษฎีของกลุ่มเชิงทอพอโลยีจึงครอบคลุมทฤษฎีของกลุ่มทั่วไปทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น ทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง) ก็ทำให้ทุกกลุ่มกลายเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีได้เช่นกัน

กลุ่มของจำนวนจริง ที่มีโทโพโลยีปกติจะก่อให้เกิดกลุ่มโทโพโลยีภายใต้การบวก ปริภูมิ ยูคลิดnมิติก็เป็นกลุ่มโทโพโลยีภายใต้การบวกเช่นกัน และโดยทั่วไปแล้วปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยี ทุกปริภูมิ จะก่อให้เกิดกลุ่มโทโพโลยี (อาเบเลียน) ตัวอย่างอื่นๆ ของ กลุ่มโทโพโลยี อาเบเลียนได้แก่กลุ่มวงกลมหรือทอรัสสำหรับจำนวนธรรมชาติn ใด ๆ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle (S^{1})^{n}}$

กลุ่มคลาสสิกเป็นตัวอย่างที่สำคัญของกลุ่มโทโพโลยีที่ไม่เป็นอาเบเลียน ตัวอย่างเช่นกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ของเมทริกซ์n x n ที่ผกผันได้ทั้งหมด ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง สามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มโทโพโลยีที่มีโทโพโลยีที่กำหนดโดยการมองว่าเป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิยุคลิดอีกกลุ่มคลาสสิกหนึ่งคือกลุ่มตั้งฉากซึ่งเป็นกลุ่มของแผนที่เชิงเส้น ทั้งหมด จากไปยังตัวมันเองที่รักษาระยะความยาวของเวกเตอร์ทั้งหมด กลุ่มตั้งฉากเป็นปริภูมิกระชับ ในฐานะปริภูมิโทโพโลยี เรขาคณิตยุคลิดส่วนใหญ่สามารถมองได้ว่าเป็นการศึกษาโครงสร้างของกลุ่มตั้งฉาก หรือกลุ่มที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของไอโซเมตรี ของ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle {\text{O}}(n)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\text{O}}(n)\ltimes \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

กลุ่มต่างๆ ที่กล่าวมาทั้งหมดล้วนเป็นกลุ่มลี (Lie group)ซึ่งหมายความว่าพวกมันเป็นแมนิโฟลด์เรียบ (smooth manifold)ในลักษณะที่การดำเนินการของกลุ่มนั้นเรียบไม่ใช่แค่ต่อเนื่อง กลุ่มลีเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีที่เข้าใจได้ดีที่สุด คำถามมากมายเกี่ยวกับกลุ่มลีสามารถแปลงเป็นคำถามเชิงพีชคณิตล้วนๆ เกี่ยวกับพีชคณิตลี (Lie algebra)แล้วจึงหาคำตอบได้

ตัวอย่างของกลุ่มทางทอพอโลยีที่ไม่ใช่กลุ่มลี คือ กลุ่มการบวกของจำนวนตรรกยะซึ่งมีทอพอโลยีที่สืบทอดมาจากกลุ่มนี้เป็น ปริภูมิ ที่นับได้และไม่มีทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างที่สำคัญสำหรับทฤษฎีจำนวนคือ กลุ่มของจำนวนเต็มp -adic สำหรับจำนวนเฉพาะpซึ่งหมายถึงลิมิตผกผันของกลุ่มจำกัดเมื่อnเข้าสู่∞ กลุ่มนี้มีพฤติกรรมที่ดี กล่าวคือ เป็นกลุ่มกระชับ (อันที่จริง เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตแคนเตอร์ ) แต่แตกต่างจากกลุ่มลี (จริง) ตรงที่เป็นกลุ่มที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิงโดยทั่วไปแล้ว มีทฤษฎีของกลุ่มลีp -adic รวมถึงกลุ่มกระชับ เช่นและกลุ่มกระชับเฉพาะที่เช่น โดยที่ คือฟิลด์กระชับเฉพาะ ที่ ของจำนวนp - adic ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {Z} _{p})}$${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {Q} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

กลุ่มนี้เป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ (profinite group)กล่าวคือ มันสม isomorphic กับกลุ่มย่อยของผลคูณในลักษณะที่ว่าโทโพโลยีของมันถูกกำหนดโดยโทโพโลยีของผลคูณ โดยที่กลุ่มจำกัดจะได้รับโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง กลุ่มโปรไฟไนต์อีกกลุ่มใหญ่ที่มีความสำคัญในทฤษฎีจำนวนคือกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ (absolute Galois groups ) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$

กลุ่มทางทอพอโลยีบางกลุ่มสามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มลีที่มีมิติอนันต์ วลีนี้ควรเข้าใจในความหมายอย่างไม่เป็นทางการ เพื่อรวมถึงตัวอย่างหลายตระกูลที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นปริภูมิเวกเตอร์ทางทอพอโลยีเช่นปริภูมิบานาคหรือปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีแบบอาเบเลียนภายใต้การบวก กลุ่มที่มีมิติอนันต์อื่นๆ ที่ได้รับการศึกษามาแล้ว โดยมีระดับความสำเร็จที่แตกต่างกัน ได้แก่กลุ่มลูปกลุ่มแคค-มูดีกลุ่มดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมกลุ่มโฮมีโอเมอร์ฟิซึมและกลุ่มเกจ

ในพีชคณิตบานาค ทุกตัว ที่มีเอกลักษณ์การคูณ เซตของสมาชิกที่ผกผันได้จะก่อให้เกิดกลุ่มทางทอพอโลยีภายใต้การคูณ ตัวอย่างเช่น กลุ่มของตัวดำเนินการแบบมีขอบเขต ที่ผกผันได้ บนปริภูมิฮิลเบิร์ตเกิดขึ้นด้วยวิธีนี้

โทโพโลยีของกลุ่มโทโพโลยีทุกกลุ่มคือการแปลงคงที่ซึ่งตามคำจำกัดความหมายความว่า ถ้าการคูณซ้ายหรือขวาใดๆโดยองค์ประกอบนี้ให้ผลลัพธ์เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม สิ่งนี้ทำให้กลุ่มโทโพโลยีทุกกลุ่มกลายเป็นพื้นที่เอกพันธุ์ดังนั้น สำหรับใดๆและเซตย่อยจะเป็นเซตเปิด(หรือเซตปิด) ในก็ต่อเมื่อสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับการแปลงซ้ายและการแปลงขวา ถ้าเป็นฐานใกล้เคียงขององค์ประกอบเอกลักษณ์ในกลุ่มโทโพโลยีแล้ว สำหรับทั้งหมด จะเป็นฐานใกล้เคียงของใน ^{[ 4 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โทโพโลยีกลุ่มใดๆ บนกลุ่มโทโพโลยีจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยฐานใกล้เคียงใดๆ ที่องค์ประกอบเอกลักษณ์ ถ้าเป็นเซตย่อยใดๆ ของและเป็นเซตย่อยเปิดของแล้วจะเป็นเซตย่อยเปิดของ ^{[ 4 ]}${\displaystyle a\in G,}$${\displaystyle G\to G.}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle S\subseteq G,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$${\displaystyle Sa:=\{sa:s\in S\}.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle SU:=\{su:s\in S,u\in U\}}$${\displaystyle G.}$

การดำเนินการผกผันบนกลุ่มทางทอพอโลยีคือโฮมีโอเมอร์ฟิซึมจากไปยังตัวมันเอง ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

เซตย่อยจะเรียกว่าสมมาตรก็ต่อเมื่อโดยที่ถ้าEเป็นเซตย่อยใดๆ ของกลุ่มโทโพโลยีGแล้วเซตE ⁻¹ ∩ E , E ⁻¹ ∪ EและE ⁻¹ Eจะเป็นเซตสมมาตร สำหรับกลุ่มอาเบเลียนGการปิดของเซตสมมาตรทุกเซตจะเป็นเซตสมมาตร^{[ 4 ]}${\displaystyle S\subseteq G}$${\displaystyle S^{-1}=S,}$${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$

สำหรับย่านใกล้เคียงN ใดๆ ในกลุ่มทอพอโลยีแบบสลับที่ได้Gขององค์ประกอบเอกลักษณ์ จะมีย่านใกล้เคียงแบบสมมาตรMขององค์ประกอบเอกลักษณ์อยู่เช่นนั้นM ⁻¹ M ⊆ Nโดยสังเกตว่าM ⁻¹ Mจำเป็นต้องเป็นย่านใกล้เคียงแบบสมมาตรขององค์ประกอบเอกลักษณ์^{[ 4 ]} ดังนั้นทุกกลุ่มทอพอโลยีจึงมีฐานย่านใกล้เคียงที่องค์ประกอบเอกลักษณ์ซึ่งประกอบด้วยเซตแบบสมมาตร

ถ้าGเป็น กลุ่มสลับเปลี่ยน ที่กระชับเฉพาะที่แล้ว สำหรับย่านใกล้เคียงN ใดๆ ในGขององค์ประกอบเอกลักษณ์ จะมีย่านใกล้เคียงที่กระชับสัมพัทธ์แบบสมมาตรMขององค์ประกอบเอกลักษณ์อยู่ ซึ่งcl M ⊆ N (โดยที่cl Mก็สมมาตรเช่นกัน) ^{[ 4 ]}

กลุ่มโทโพโลยีทุกกลุ่มสามารถมองได้ว่าเป็นพื้นที่สม่ำเสมอในสองวิธีความสม่ำเสมอทางซ้ายจะเปลี่ยนการคูณทางซ้ายทั้งหมดให้เป็นแผนที่ต่อเนื่องสม่ำเสมอ ในขณะที่ความสม่ำเสมอทางขวาจะเปลี่ยนการคูณทางขวาทั้งหมดให้เป็นแผนที่ต่อเนื่องสม่ำเสมอ^{[ 5 ]} ถ้าGไม่ใช่กลุ่มอาเบล ทั้งสองอย่างนี้ไม่จำเป็นต้องตรงกัน โครงสร้างสม่ำเสมอช่วยให้สามารถพูดถึงแนวคิดต่างๆ เช่นความสมบูรณ์ความต่อเนื่องสม่ำเสมอและการลู่เข้าสม่ำเสมอในกลุ่มโทโพโลยีได้

ถ้าUเป็นเซตย่อยเปิดของกลุ่มทอพอโลยีสลับที่^Gและ U ประกอบด้วยเซตกระชับKแล้วจะมีย่านใกล้เคียงNขององค์ประกอบเอกลักษณ์ที่KN ⊆ U ^{[ 4} ]

เนื่องจากเป็นพื้นที่สม่ำเสมอ กลุ่มทอพอโลยีสลับเปลี่ยนทุกกลุ่มจึงมีความสม่ำเสมอโดยสมบูรณ์ดังนั้น สำหรับกลุ่มทอพอโลยีแบบคูณGที่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์ 1 สิ่งต่อไปนี้จึงเทียบเท่ากัน: ^{[ 4 ]}

1. Gคือปริภูมิ T ₀ ( โคลโมโกรอฟ );
2. Gเป็นปริภูมิ T ₂ ( Hausdorff )
3. Gคือ T _{3 1 ⁄ 2} ( Tychonoff );
4. { 1 }ปิดในG ;
5. { 1 } :=∩N ∈ 𝒩Nโดยที่ 𝒩คือฐานใกล้เคียงขององค์ประกอบเอกลักษณ์ใน G
6. สำหรับองค์ประกอบ ใดๆ ที่ มีย่านใกล้เคียงUในGขององค์ประกอบเอกลักษณ์อยู่ โดยที่${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle x\neq 1,}$${\displaystyle x\not \in U.}$

กลุ่มย่อยของกลุ่มทอพอโลยีสลับที่ถือเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีจุดโดดเดี่ยว^{[ 4 ]}

ถ้าGไม่ใช่ Hausdorff ก็สามารถได้กลุ่ม Hausdorff โดยการเปลี่ยนไปใช้กลุ่มผลหารG / Kโดยที่Kคือการปิดของเอกลักษณ์^{[ 6 ]} ซึ่งเทียบเท่ากับการหาผล หาร KolmogorovของG

ให้เป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยี เช่นเดียวกับปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ เรากล่าวว่าเป็นกลุ่มที่สามารถกำหนดเมตริกได้ก็ต่อเมื่อมีเมตริกบนซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดทอพอโลยีเดียวกัน บน เมตริกบนเรียกว่า ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d}$${\displaystyle G}$

• คงที่ทางซ้าย (หรือคงที่ทางขวา ) ก็ต่อเมื่อ(หรือ) สำหรับทุก(หรือเทียบเท่ากันคือ คงที่ทางซ้ายก็ต่อเมื่อแผนที่นั้นเป็นการแปลงแบบไอโซเมตรีจากไปยังตัวมันเองสำหรับแต่ละ)${\displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in G}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x\mapsto ax}$${\displaystyle (G,d)}$${\displaystyle a\in G}$
• เหมาะสมก็ต่อเมื่อลูกบอลเปิดทั้งหมดสำหรับ นั้นถูกอัดแน่นไว้ล่วงหน้าแล้ว เท่านั้น${\displaystyle B(r)=\{g\in G\mid d(g,\mathbf {1} )<r\}}$${\displaystyle r>0}$

ทฤษฎีบทBirkhoff–Kakutani (ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์Garrett BirkhoffและShizuo Kakutani ) ระบุว่าเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้บนกลุ่มโทโพโลยีนั้นเทียบเท่ากัน: ^{[ 7 ]}${\displaystyle G}$

1. ${\displaystyle G}$เป็นเซตที่นับได้ ( หรือเทียบเท่า: องค์ประกอบเอกลักษณ์ปิดอยู่ในและมีฐานของย่านใกล้เคียง ที่นับได้ สำหรับใน)${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle G}$
2. ${\displaystyle G}$สามารถวัดได้ (ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี)
3. มีเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายบนซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีที่กำหนดบน${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$
4. มีเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางขวาบนซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีที่กำหนดบน${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

นอกจากนี้ สิ่งต่อไปนี้ยังเทียบเท่ากันสำหรับกลุ่มทางทอพอโลยีใดๆ อีกด้วย: ${\displaystyle G}$

1. ${\displaystyle G}$เป็น ปริภูมิที่นับได้ และกะทัดรัดเฉพาะที่ (Hausdorff) อันดับสอง
2. ${\displaystyle G}$เป็น พื้นที่ แบบโปแลนด์ที่มีขนาดกะทัดรัด (ตามแบบเฮาส์ดอร์ฟ)
3. ${\displaystyle G}$สามารถวัดได้อย่างเหมาะสม(ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี)
4. มีเมตริกที่เหมาะสมและไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายบนซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีที่กำหนดบน${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

หมายเหตุ:เช่นเดียวกับส่วนที่เหลือของบทความนี้ เราจะถือว่าโทโพโลยีของ Hausdorff เป็นจริง ข้อสรุป 4 3 2 1 เป็นจริงในปริภูมิโทโพโลยีใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง 3 2 เป็นจริง เนื่องจากปริภูมิเมตริกที่เหมาะสมใดๆ ก็ตามเป็นผลรวมที่นับได้ของเซตย่อยเมตริกแบบกะทัดรัด และแยกได้ ( ดูคุณสมบัติของปริภูมิเมตริกแบบกะทัดรัด ) ข้อสรุปที่ไม่ธรรมดา 1 4 ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดย Raimond Struble ในปี 1974 ^{[ 8 ]}แนวทางทางเลือกอื่นได้รับการเสนอโดยUffe Haagerupและ Agata Przybyszewska ในปี 2006 ^{[ 9 ]} แนวคิดของ ซึ่งเป็นดังนี้: อาศัยการสร้างเมตริกแบบซ้ายคงที่ เช่นเดียวกับในกรณีของปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรกโดยความกะทัดรัดเฉพาะที่ ลูกบอลปิดที่มีรัศมีเล็กพอจะกะทัดรัด และโดยการทำให้เป็นมาตรฐาน เราสามารถสมมติว่าสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับรัศมี การปิดทรงกลมเปิดที่มีรัศมีภายใต้การคูณ จะได้กลุ่มย่อยปิดเปิดของซึ่งมีเมตริกที่เหมาะสม เนื่องจากเป็นเซตเปิดและเป็นเซตที่นับได้ลำดับที่สองกลุ่มย่อย จึงมีโคเซตอย่างมากที่สุดจำนวนนับได้ จากนั้นเราจะใช้ลำดับของโคเซตเหล่านี้และเมตริกบนเพื่อสร้างเมตริกที่เหมาะสมบน ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

ทุกกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงทอพอโลยีจะเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีเองเมื่อกำหนดทอพอโลยีของ ปริภูมิย่อยให้ ทุกกลุ่มย่อยเปิดHก็เป็นกลุ่มปิดในG ด้วย เนื่องจากส่วนเติมเต็มของHคือเซตเปิดที่กำหนดโดยการรวมกันของโคเซตgHสำหรับg ∈ G \ Hซึ่งเป็นเซตเปิด ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGแล้ว การปิดของHก็เป็นกลุ่มย่อยด้วย ในทำนองเดียวกัน ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยปกติของGการปิดของH ก็จะเป็น กลุ่ม ย่อยปกติในG

ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGเซตของโคเซต ซ้าย G / Hที่มีโทโพโลยีผลหารเรียกว่าปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับGแผนที่ผลหารจะเป็นแบบเปิด เสมอ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนเต็มบวกnทรงกลมS ⁿเป็นปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับกลุ่มการหมุนSO( n +1)ในโดยที่S ⁿ = SO( n +1)/SO( n )ปริภูมิเอกพันธุ์G / Hเป็น Hausdorff ก็ต่อเมื่อHปิดในG ^{[ 10} ] ด้วยเหตุผลนี้บางส่วน จึงเป็นเรื่องธรรมชาติที่จะมุ่งเน้นไปที่กลุ่มย่อยแบบปิดเมื่อศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มโทโพโล ^ยี${\displaystyle q:G\to G/H}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยปกติของGแล้วกลุ่มผลหารG / Hจะกลายเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีเมื่อกำหนดทอพอโลยีผลหารให้ และจะเป็นกลุ่มเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อ^Hปิด ใน G ตัวอย่างเช่น กลุ่มผลหารสมสัณฐานกับกลุ่มวงกลมS₁${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

ในกลุ่มโทโพโลยีใดๆส่วนประกอบเอกลักษณ์ (กล่าวคือส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีองค์ประกอบเอกลักษณ์) เป็นกลุ่มย่อยปกติแบบปิด ถ้าCเป็นส่วนประกอบเอกลักษณ์และaเป็นจุดใดๆ ของGแล้วโคเซตซ้ายaCคือส่วนประกอบของGที่มีaดังนั้น การรวบรวมโคเซตซ้ายทั้งหมด (หรือโคเซตขวา) ของCในGจะเท่ากับการรวบรวมส่วนประกอบทั้งหมดของGเป็นผลให้กลุ่มผลหารG / Cเป็น กลุ่มที่ไม่เชื่อม ต่อกันโดยสมบูรณ์^{[ 11 ]}

ในกลุ่มทอพอโลยีแบบสลับเปลี่ยนใดๆ ผลคูณ (โดยสมมติว่ากลุ่มเป็นแบบคูณ) KCของเซตกระชับKและเซตปิดCเป็นเซตปิด^{[ 4 ]} ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับเซตย่อยRและS ใดๆ ของG ( cl R )(cl S ) ⊆ cl ⁽ RS ) ^{[ 4} ]

ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มทอพอโลยีสลับที่ Gและถ้าNเป็นย่านใกล้เคียงในGขององค์ประกอบเอกลักษณ์ที่H ∩ cl Nปิด แล้วHก็ปิด^{[ 4 ]} ทุกกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มทอพอโลยีสลับที่ Hausdorff ปิด^{[ 4 ]}

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมจากทฤษฎีกลุ่มทั่วไปไม่เป็นจริงเสมอไปในบริบททางทอพอโลยี เนื่องจากโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงไม่จำเป็นต้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มทางทอพอโลยีเสมอไป

ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมฉบับดั้งเดิมข้อแรกนั้นไม่เป็นจริงสำหรับกลุ่มทางทอพอโลยี: ถ้าเป็นมอร์ฟิซึมของกลุ่มทางทอพอโลยี (นั่นคือ โฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่อง) ก็ไม่จำเป็นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมที่ได้มานั้นจะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มทางทอพอโลยีเสมอไป มันจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงและต่อเนื่อง แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผันในหมวดหมู่ของกลุ่มทางทอพอโลยี ตัวอย่างเช่น พิจารณาแผนที่เอกลักษณ์จากเซตของจำนวนจริงที่มีทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องไปยังเซตของจำนวนจริงที่มีทอพอโลยีแบบยุคลิด นี่คือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม และมันต่อเนื่องเพราะฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่นอกปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องนั้นต่อเนื่อง แต่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มทางทอพอโลยีเพราะตัวผกผันของมันไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle {\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)}$

มีทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรกสำหรับกลุ่มโทโพโลยีเวอร์ชันหนึ่ง ซึ่งอาจกล่าวได้ดังนี้: ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่อง โฮโมมอร์ฟิซึมที่เหนี่ยวนำจากG /ker( f )ไปยังim( f )จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อแผนที่fเปิดไปยังภาพของมัน^{[ 12 ]}${\displaystyle f:G\to H}$

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อที่สามนั้นเป็นจริงโดยประมาณสำหรับกลุ่มทางทอพอโลยี ดังที่สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ

มีข้อสรุปที่สำคัญหลายประการเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มทางทอพอโลยีและกลุ่มลี ประการแรก โฮโมมอร์ฟิซึมต่อเนื่องทุกตัวของกลุ่มลีนั้นเรียบ ดังนั้น กลุ่มทางทอพอโลยีจึงมีโครงสร้างเฉพาะของกลุ่มลี หากมีอยู่จริง นอกจากนี้ทฤษฎีบทของคาร์ตันกล่าวว่า กลุ่มย่อยปิดทุกกลุ่มของกลุ่มลีเป็นกลุ่มย่อยลี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นกลุ่มย่อยเรียบ ${\displaystyle G\to H}$

ปัญหาข้อที่ห้าของฮิลเบิร์ตถามว่ากลุ่มโทโพโลยี Gที่เป็นแมนิโฟลด์โทโพโลยีจะต้องเป็นกลุ่มลีหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง Gมีโครงสร้างของแมนิโฟลด์เรียบหรือไม่ ทำให้การดำเนินการของกลุ่มเรียบหรือไม่ ดังที่แอนดรูว์ เกลสันดีน มอนต์โกเมอรีและลีโอ ซิปปิน ได้แสดงให้เห็น คำตอบของปัญหานี้คือใช่ ^{[ 13 ]} ในความเป็นจริง Gมี โครงสร้าง เชิงวิเคราะห์จริงการใช้โครงสร้างเรียบทำให้สามารถกำหนดพีชคณิตลีของ Gซึ่งเป็นวัตถุของพีชคณิตเชิงเส้นที่กำหนดกลุ่มที่เชื่อมต่อGจนถึงปริภูมิปกคลุมผลที่ตามมาคือ วิธีแก้ปัญหาข้อที่ห้าของฮิลเบิร์ตช่วยลดการจำแนกกลุ่มโทโพโลยีที่เป็นแมนิโฟลด์โทโพโลยีให้เหลือเพียงปัญหาทางพีชคณิต แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะเป็นปัญหาที่ซับซ้อนก็ตาม

ทฤษฎีบทนี้ยังมีผลตามมาสำหรับกลุ่มโทโพโลยีในวงกว้างขึ้นด้วย ประการแรก ทุกกลุ่มกระชับ (เข้าใจว่าเป็นกลุ่มเฮาส์ดอร์ฟ) เป็นลิมิตผกผันของกลุ่มลีกระชับ (กรณีสำคัญอย่างหนึ่งคือลิมิตผกผันของกลุ่มจำกัด เรียกว่ากลุ่มโปรไฟไนต์ตัวอย่างเช่น กลุ่มของ จำนวนเต็ม p -adic และกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์ของฟิลด์เป็นกลุ่มโปรไฟไนต์) ยิ่งไปกว่านั้น ทุกกลุ่มกระชับเฉพาะที่ที่เชื่อมต่อกันเป็นลิมิตผกผันของกลุ่มลีที่เชื่อมต่อกัน^{[ 14 ]} ในทางตรงกันข้าม กลุ่มกระชับเฉพาะที่ที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์จะมีกลุ่มย่อยเปิดกระชับเสมอ ซึ่งจำเป็นต้องเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์^{[ 15 ]} (ตัวอย่างเช่น กลุ่มกระชับเฉพาะที่ประกอบด้วยกลุ่มย่อยเปิดกระชับซึ่งเป็นลิมิตผกผันของกลุ่มจำกัดเมื่อr ' เข้าสู่อินฟินิตี้) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {Q} _{p})}$${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {Z} _{p})}$${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {Z} /p^{r})}$

การกระทำของกลุ่มทางทอพอโลยีGบนปริภูมิทางทอพอโลยีXคือการกระทำของ กลุ่ม GบนXโดยที่ฟังก์ชันที่สอดคล้องกันนั้นต่อเนื่อง ในทำนองเดียวกันการแทนกลุ่มทางทอพอโลยีGบนปริภูมิเวกเตอร์ทางทอพอโลยีจริงหรือเชิงซ้อนVคือการกระทำต่อเนื่องของGบนVโดยที่สำหรับแต่ละ การแมปจากVไปยังตัวมันเองนั้นเป็นเชิงเส้น ${\displaystyle G\times X\to X}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle v\mapsto gv}$

การกระทำของกลุ่มและทฤษฎีการแทนนั้นเป็นที่เข้าใจกันดีเป็นพิเศษสำหรับกลุ่มกระชับ โดยเป็นการขยายสิ่งที่เกิดขึ้นสำหรับกลุ่มจำกัดตัวอย่างเช่น การแทนแบบมิติจำกัด (จริงหรือเชิงซ้อน) ของกลุ่มกระชับทุกตัวเป็นผลรวมโดยตรงของการแทนแบบลดทอนไม่ได้การแทนแบบเอกภาพมิติอนันต์ของกลุ่มกระชับสามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ตของการแทนแบบลดทอนไม่ได้ ซึ่งทั้งหมดมีมิติจำกัด นี่เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์ [ ^{16 ] ตัวอย่าง} เช่น ทฤษฎีอนุกรมฟูริเยร์อธิบายการแยกส่วนของการแทนแบบเอกภาพของกลุ่มวงกลมบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนการแทนแบบลดทอนไม่ได้ของทั้งหมดมีมิติ 1 ในรูปแบบสำหรับจำนวนเต็มn (โดยที่ถือเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มการคูณ) การแทนเหล่านี้แต่ละรายการเกิดขึ้นด้วยความซ้ำซ้อน 1 ใน ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle {\text{L}}^{2}(S^{1})}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} \ast }$${\displaystyle {\text{L}}^{2}(S^{1})}$

ได้มีการจำแนกประเภทการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันแบบกระชับทั้งหมดแล้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าลักษณะเฉพาะของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้แต่ละแบบนั้นกำหนดโดย สูตรค่าลักษณะเฉพาะ ของ Weyl

โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มที่กระชับเฉพาะที่นั้นมีทฤษฎีการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ที่อุดมสมบูรณ์ เนื่องจากยอมรับแนวคิดตามธรรมชาติของการวัดและปริพันธ์ซึ่งกำหนดโดยการวัดของฮาร์การแสดงแทนเอกภาพทุกแบบของกลุ่มที่กระชับเฉพาะที่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นปริพันธ์โดยตรงของการแสดงแทนเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ (การแยกส่วนนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวหากGเป็นประเภท Iซึ่งรวมถึงตัวอย่างที่สำคัญที่สุด เช่น กลุ่มอาเบลและกลุ่มลีแบบกึ่งง่าย [ ^{17 ] )}ตัวอย่างพื้นฐานคือการแปลงฟูริเยร์ซึ่งแยกการกระทำของกลุ่มบวกบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นปริพันธ์โดยตรงของการแสดงแทนเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ของ การแสดงแทนเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ของทั้งหมดมีมิติเดียว ในรูปแบบ สำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\text{L}}^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi iax}}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

การแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ของกลุ่มที่กระชับเฉพาะที่อาจมีมิติอนันต์ เป้าหมายหลักของทฤษฎีการแทน ซึ่งเกี่ยวข้องกับการ จำแนกประเภท การแทนแบบยอมรับได้ของแลงแลนด์คือการค้นหาคู่เอกภาพ (ปริภูมิของการแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ทั้งหมด) สำหรับกลุ่มลีแบบกึ่งง่าย คู่เอกภาพเป็นที่รู้จักในหลายกรณี เช่น สำหรับกลุ่มเชิงเส้นพิเศษดีกรี 2 เหนือจำนวนจริงแต่ไม่ใช่ทุกกรณี ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$

สำหรับ กลุ่มอาเบเลียน G ที่มีคุณสมบัติ กระชับเฉพาะที่ ทุกการแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้จะมีมิติเท่ากับ 1 ในกรณีนี้ กลุ่มคู่เอกภาพจะเป็นกลุ่ม ซึ่งที่จริงแล้วเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่มีคุณสมบัติกระชับเฉพาะที่อีก กลุ่มหนึ่ง ทฤษฎีบทคู่ของปอนทรียาจิน กล่าวว่า สำหรับกลุ่มอาเบเลียน Gที่มีคุณสมบัติกระชับเฉพาะที่ กลุ่ม คู่ของคือกลุ่มG ดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น กลุ่มคู่ของจำนวนเต็มคือกลุ่มวงกลมในขณะที่กลุ่มของจำนวนจริงสมสัณฐานกับกลุ่มคู่ของตัวเอง ${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

กลุ่มG ที่ มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่ทุกกลุ่มจะมีตัวแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้จำนวนมาก ตัวอย่างเช่น มีตัวแทนเพียงพอที่จะแยกแยะจุดต่างๆ ของG ได้ ( ทฤษฎีบท Gelfand–Raikov ) ในทางตรงกันข้าม ทฤษฎีตัวแทนสำหรับกลุ่มโทโพโลยีที่ไม่มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่นั้นได้รับการพัฒนาเฉพาะในสถานการณ์พิเศษเท่านั้น และอาจไม่สมเหตุสมผลที่จะคาดหวังทฤษฎีทั่วไป ตัวอย่างเช่น มีกลุ่ม Banach–Lie ที่เป็นอาเบลจำนวนมาก ซึ่งตัวแทนทุกตัวบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นศูนย์^{[ 18 ]}

กลุ่มโทโพโลยีมีความพิเศษในบรรดาปริภูมิโทโพโลยีทั้งหมด แม้กระทั่งในแง่ของประเภทโฮโมโทปีประเด็นพื้นฐานประการหนึ่งคือ กลุ่มโทโพโลยีGกำหนดปริภูมิโทโพโลยีที่เชื่อมต่อเส้นทาง ซึ่ง ก็คือ ปริภูมิจำแนก (ซึ่งจำแนก กลุ่ม G -bundle หลักเหนือปริภูมิโทโพโลยี ภายใต้สมมติฐานที่ไม่เข้มงวด) กลุ่มGมีสมมาตรในหมวดหมู่โฮโมโทปีกับปริภูมิวงวนของ; ซึ่งหมายถึงข้อจำกัดต่างๆ เกี่ยวกับประเภทโฮโมโทปีของG ^{[ 19} ] ข้อจำกัดบางประการเหล่านี้ยังคงใช้ได้ในบริบทที่กว้างขึ้น^ของปริภูมิ H${\displaystyle BG}$${\displaystyle BG}$

ตัวอย่างเช่นกลุ่มพื้นฐานของกลุ่มโทโพโลยีGเป็นกลุ่มอาเบเลียน (โดยทั่วไปแล้วผลคูณไวท์เฮดบนกลุ่มโฮโมโทปีของGจะเป็นศูนย์) นอกจากนี้ สำหรับฟิลด์k ใดๆ วงแหวนโคฮอโมโลยีมีโครงสร้างของพีชคณิตฮอปฟ์เมื่อพิจารณาจากทฤษฎีบทโครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิตฮอปฟ์โดยไฮนซ์ ฮอปฟ์และอาร์มันด์ โบเรลสิ่งนี้ทำให้เกิดข้อจำกัดที่เข้มงวดเกี่ยวกับวงแหวนโคฮอโมโลยีที่เป็นไปได้ของกลุ่มโทโพโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าGเป็นกลุ่มโทโพโลยีที่เชื่อมต่อเส้นทางซึ่งวงแหวนโคฮอโมโลยีเชิงตรรกะมีมิติจำกัดในแต่ละระดับ วงแหวนนี้จะต้องเป็น พีชคณิต สลับที่แบบเกรด อิสระ เหนือนั่นคือผลคูณเทนเซอร์ของวงแหวนพหุนามบนตัวสร้างระดับคู่กับพีชคณิตภายนอกบนตัวสร้างระดับคี่^{[ 20 ]}${\displaystyle H^{\ast }(G,k)}$${\displaystyle H^{\ast }(G,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันGวงแหวนโคฮอโมโลยีเชิงตรรกะของGคือพีชคณิตภายนอกบนตัวสร้างที่มีดีกรีคี่ ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันGมีกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดKซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงการผันแปร และการรวมKเข้าไปในGเป็นสมมูลโฮโมโทปีดังนั้น การอธิบายประเภทโฮโมโทปีของกลุ่ม Lie จึงลดลงเหลือเพียงกรณีของกลุ่ม Lie กระชับ ตัวอย่างเช่น กลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของคือกลุ่มวงกลมและปริภูมิเอกพันธุ์สามารถระบุได้ว่าเป็นระนาบไฮเปอร์โบลิกเนื่องจากระนาบไฮเปอร์โบลิกสามารถหดตัวได้การรวมกลุ่มวงกลมเข้าไปในจึงเป็นการสมมูลโฮโมโทปี ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{SO}}(2)}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )/{\text{SO}}(2)}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$

ในที่สุด กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันแบบกะทัดรัดได้รับการจำแนกประเภทโดยWilhelm Killing , Élie CartanและHermann Weylส่งผลให้มีคำอธิบายที่สมบูรณ์เกี่ยวกับประเภทโฮโมโทปีที่เป็นไปได้ของกลุ่ม Lie ตัวอย่างเช่น กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันแบบกะทัดรัดที่มีมิติไม่เกิน 3 จะเป็นทอรัส กลุ่มSU(2) ( ซึ่งมีลักษณะทางเรขาคณิตเหมือนกับทรงกลม 3 มิติ) หรือกลุ่มผลหารSU(2)/{±1} ≅ SO(3) (ซึ่งมีลักษณะทางเรขาคณิตเหมือนกับRP ³ ) ${\displaystyle S^{3}}$

ข้อมูลเกี่ยวกับการบรรจบกันของเน็ตและฟิลเตอร์ เช่น คำจำกัดความและคุณสมบัติ สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับฟิลเตอร์ในทางโทโพโลยี

ต่อจากนี้ไป บทความนี้จะถือว่ากลุ่มทางทอพอโลยีใดๆ ที่เราพิจารณานั้น เป็นกลุ่มทางทอพอโลยีแบบสลับที่บวกได้และมีองค์ประกอบเอกลักษณ์${\displaystyle 0.}$

เส้นทแยงมุมของคือเซต และสำหรับเซตใดๆที่ประกอบด้วยกลุ่มดาวฤกษ์หรือบริเวณใกล้เคียงที่เป็นแบบแผนคือเซต ${\displaystyle X}$$${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$$${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle \Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})}$$

สำหรับกลุ่มโทโพโลยีความสม่ำเสมอแบบแคนอน^{[ 21 ]}บนคือโครงสร้างสม่ำเสมอที่เกิดจากเซตของกลุ่มรอบข้างแบบแคนอนทั้งหมดเมื่อครอบคลุมย่านใกล้เคียงทั้งหมดของใน${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta (N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$

กล่าวคือ เป็นการปิดขึ้นด้านบนของตัวกรองเบื้องต้นต่อไปนี้ ซึ่งตัวกรองเบื้องต้นนี้ก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าฐานของกลุ่มสิ่งรอบข้างที่มีความสม่ำเสมอตามแบบแผน ${\displaystyle X\times X,}$$${\displaystyle \left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$

สำหรับกลุ่มบวกสลับที่ได้ระบบพื้นฐานของเอนทูเรจเรียกว่าเอกภาพที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลถ้าสำหรับทุกๆก็ต่อเมื่อสำหรับทุกๆเอกภาพเรียกว่าไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลถ้ามีฐานของเอนทูเรจที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปล^{[ 22 ]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle (x,y)\in B}$${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$${\displaystyle x,y,z\in X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

• ความสม่ำเสมอเชิงแคนอนในกลุ่มทอพอโลยีแบบสลับที่ใดๆ จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่ง
• การใช้ฐานกลุ่มย่อยรอบจุดกำเนิดแทนการกรองกลุ่มย่อยทั้งหมดรอบจุดกำเนิด จะทำให้ได้ความสม่ำเสมอตามหลักการเดียวกัน
• ทุกขบวนประกอบด้วยเส้นทแยงมุมเพราะ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$${\displaystyle 0\in N.}$
• ถ้าสมมาตร(นั่นคือ) แล้ว ก็จะสมมาตร (หมายความว่า)และ ${\displaystyle N}$${\displaystyle -N=N}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).}$
• โทโพโลยีที่เกิดขึ้นบนโดยความสม่ำเสมอแบบแคนอนิกนั้นเหมือนกับโทโพโลยีที่เริ่มต้นด้วย (นั่นคือ)${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$

ทฤษฎีทั่วไปของปริภูมิเอกรูปมีนิยามของ "ตัวกรองล่วงหน้าของโคชี" และ "โครงข่ายโคชี" เป็นของตัวเอง สำหรับความเป็นเอกรูปตามแบบแผนนั้นจะลดลงเหลือนิยามที่อธิบายไว้ด้านล่าง ${\displaystyle X,}$

สมมติว่าเป็นเน็ตในและเป็นเน็ตในทำให้เป็นเซตทิศทางโดยประกาศว่า ก็ต่อเมื่อจากนั้น^{[ 23 ]}แสดงถึงเน็ตผลคูณถ้าแล้วภาพของเน็ตนี้ภายใต้แผนที่การบวกแสดงถึงผลรวมของเน็ตทั้งสองนี้: และในทำนองเดียวกันผลต่าง ของเน็ตทั้งสองนี้ ถูกกำหนดให้เป็นภาพของเน็ตผลคูณภายใต้แผนที่การลบ: ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle I\times J}$${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$${\displaystyle i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.}$${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$${\displaystyle X=Y}$${\displaystyle X\times X\to X}$$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$$${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

เน็ตในกลุ่มโทโพโลยีแบบบวกเรียกว่าเน็ตโคชีถ้า^{[ 24 ]} หรือเทียบเท่า ถ้าสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของในมีอยู่บางอย่างที่ ทำให้ สำหรับดัชนีทั้งหมด${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle i_{0}\in I}$${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$${\displaystyle i,j\geq i_{0}.}$

ลำดับโคชี (Cauchy sequence)คือ โครงข่ายโคชี (Cauchy net) ซึ่งเป็นลำดับประเภทหนึ่ง

ถ้าเป็นเซตย่อยของกลุ่มบวกและเป็นเซตที่มีแล้วเรียกว่าเป็นเซตเล็กหรือ เซต เล็กที่มีอันดับถ้า^{[ 25 ]}${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B-B\subseteq N.}$

ตัวกรองเบื้องต้นบนกลุ่มโทโพโลยีแบบบวกที่เรียกว่าตัวกรองเบื้องต้นของโคชีหากเป็นไปตามเงื่อนไขเทียบเท่าใดๆ ต่อไปนี้: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$ในตำแหน่งที่มีตัวกรองเบื้องต้น${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$โดยที่ตัวกรองเบื้องต้นเทียบเท่ากับ${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.}$
3. สำหรับทุกย่านใกล้เคียงของในประกอบด้วยเซตเล็ก ๆ บางเซต (นั่นคือมีอยู่บางเซตที่) ^{[ 25 ]}${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B-B\subseteq N}$

และถ้าเป็นสมบัติสลับที่กัน ก็จะเป็นเช่นเดียวกัน: ${\displaystyle X}$

4. สำหรับทุกย่านในนั้นจะมีบางและบางเช่นนั้น^{[ 25 ]}${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\subseteq x+N.}$

• การตรวจสอบเงื่อนไขใดๆ ข้างต้นก็เพียงพอแล้วสำหรับแต่ละย่าน${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$

สมมติว่าเป็นตัวกรองล่วงหน้าบนกลุ่มทอพอโลยีแบบสลับที่ได้และจากนั้นในก็ต่อเมื่อและเป็นโคชี^{[ 23 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

โปรดจำไว้ว่าสำหรับตัวกรอง เบื้องต้นใดๆ บนจะต้องเป็นเซตย่อยของเสมอ นั่นคือ${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \wp (S)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

เซตย่อยของกลุ่มเชิงทอพอโลยีเรียกว่าเซตย่อยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเซตย่อยนั้นสอดคล้องกับเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

1. ตัวกรองล่วงหน้าของ Cauchy ทุกตัวจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุด${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
   • ถ้าเป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟ ตัวกรองล่วงหน้าทุกตัวบนจะลู่เข้าสู่จุดเดียวใน อย่างมากที่สุดแต่ถ้าไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ ตัวกรองล่วงหน้าอาจลู่เข้าสู่หลายจุดใน และหลักการเดียวกันนี้ก็ใช้ได้กับเน็ตด้วย${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
2. โครงข่ายโคชีทุกตัวในจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดใน;${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
3. ตัวกรองโคชีทุกตัวจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle S}$เป็น ปริภูมิเอกรูป สมบูรณ์ (ภายใต้นิยามโทโพโลยีเซตจุดของ " ปริภูมิเอกรูปสมบูรณ์ ") เมื่อได้รับการเสริมด้วยความเอกรูปที่เหนี่ยวนำโดยความเอกรูปเชิงแคนอนของ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

เซตย่อยหนึ่งเรียกว่าเซตย่อยที่สมบูรณ์ตามลำดับถ้าลำดับโคชีทุกตัวในเซตย่อยนั้น(หรือเทียบเท่ากับตัวกรองโคชีพื้นฐาน/ตัวกรองเบื้องต้นทุกตัวบนเซตย่อยนั้น) ลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดในเซตย่อยนั้น${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

• ที่สำคัญคือ อนุญาตให้มีการลู่เข้าภายนอก${\displaystyle S}$ ได้ : ถ้าไม่ใช่ Hausdorff และถ้าตัวกรอง Cauchy ทุกตัวบนลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่งของแล้วจะสมบูรณ์แม้ว่าตัวกรอง Cauchy บางส่วนหรือทั้งหมดบนจะลู่เข้าสู่จุดในส่วนเติมเต็มด้วย ก็ตาม กล่าว โดยสรุป ไม่มีข้อกำหนดว่าตัวกรอง Cauchy เหล่านี้บนจะต้องลู่เข้าสู่จุดในเท่านั้นเช่นเดียวกันนี้สามารถกล่าวได้เกี่ยวกับการลู่เข้าของโครงข่าย Cauchy ใน${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$
  • ด้วยเหตุนี้ หากกลุ่มทอพอโลยีแบบสลับที่ไม่ได้เป็นเฮาส์ดอร์ฟแล้ว เซตย่อยทุกเซตของการปิดของเช่นจะเป็นเซตสมบูรณ์ (เนื่องจากเห็นได้ชัดว่าเป็นเซตกระชับ และเซตกระชับทุกเซตจำเป็นต้องเป็นเซตสมบูรณ์) ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง หาก(ตัวอย่างเช่น หากa เป็นเซตที่มีสมาชิกเดียว เช่น) แล้วจะเป็นเซตสมบูรณ์แม้ว่าเน็ตโคชีทุกตัว ใน (และพรีฟิลเตอร์โคชีทุกตัวบน) จะลู่เข้าสู่ทุกจุดใน(รวมถึงจุดเหล่านั้นในที่ไม่ได้อยู่ใน)${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\},}$${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$${\displaystyle S\neq \varnothing }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\{0\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$${\displaystyle S}$
  • ตัวอย่างนี้ยังแสดงให้เห็นว่าเซตย่อยที่สมบูรณ์ (และแม้แต่เซตย่อยกระชับ) ของปริภูมิที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟอาจไม่เป็นเซตปิด (ตัวอย่างเช่น ถ้าเซตปิดเป็นเซตปิดก็ต่อเมื่อ เซตปิดเป็นเซตปิด )${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\operatorname {cl} \{0\}}$

กลุ่มทอพอโลยีแบบสลับที่ได้เรียกว่ากลุ่มสมบูรณ์ถ้าเงื่อนไขสมมูลต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$สมบูรณ์ในฐานะที่เป็นเซตย่อยของตัวมันเอง
2. โครงข่ายโคชีทุกโครงข่ายจะลู่เข้าสู่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
3. มีละแวกใกล้เคียงของในซึ่งเป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ของ^{[ 25 ]}${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
   • นี่หมายความว่ากลุ่มทอพอโลยีแบบสลับที่กระชับเฉพาะที่ทุกกลุ่มนั้นสมบูรณ์
4. เมื่อได้รับการเสริมด้วยความสม่ำเสมอตามหลักการแล้วจะกลายเป็นพื้นที่สม่ำเสมอที่สมบูรณ์แบบ ${\displaystyle X}$
   • ในทฤษฎีทั่วไปของปริภูมิเอกรูปปริภูมิเอกรูปเรียกว่าปริภูมิเอกรูปสมบูรณ์ถ้าตัวกรอง โคชีแต่ละตัว ใน ปริภูมิเอกรูปนั้น ลู่เข้าสู่จุดใดจุดหนึ่งของปริภูมิเอกรูป${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X.}$

กลุ่มทางทอพอโลยีเรียกว่าสมบูรณ์ตามลำดับ (sequentially complete)ถ้ากลุ่มนั้นเป็นเซตย่อยที่สมบูรณ์ตามลำดับของตัวมันเอง

ฐานใกล้เคียง : สมมติว่าเป็นการเติมเต็มของกลุ่มทอพอโลยีแบบสลับที่โดยมีและเป็นฐานใกล้เคียงของจุดกำเนิดในจากนั้นตระกูลของเซต เป็นฐานใกล้เคียงที่จุดกำเนิดใน^{[ 23 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\subseteq C}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle X.}$$${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$${\displaystyle C.}$

ความต่อเนื่องที่สม่ำเสมอ

ให้และเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีและเป็นฟังก์ชัน แล้วจะมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอถ้าสำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในจะมีย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดใน อยู่เช่นนั้น สำหรับทุกถ้าแล้ว${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D\subseteq X,}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle f:D\to Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x,y\in D,}$${\displaystyle y-x\in U}$${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

การวางนัยทั่วไปต่างๆ ของกลุ่มโทโพโลยีสามารถทำได้โดยการลดเงื่อนไขความต่อเนื่อง: ^{[ 26 ]}

• กลุ่มกึ่งโทโพโลยีคือ กลุ่มGที่มีโทโพโลยีซึ่งสำหรับแต่ละc ∈ Gฟังก์ชันสองฟังก์ชันG → Gที่กำหนดโดยx ↦ xcและx ↦ cxนั้นต่อเนื่องกัน
• กลุ่มกึ่งโทโพโลยี (Quasitopological group)คือกลุ่มกึ่งโทโพโลยี (Semitopological group) ที่ฟังก์ชันซึ่งแปลงสมาชิกไปเป็นสมาชิกผกผันของสมาชิกนั้นมีความต่อเนื่องด้วย
• กลุ่มพาราโทโพโลยีคือกลุ่มที่มีโทโพโลยีซึ่งทำให้การดำเนินการของกลุ่มนั้นต่อเนื่อง

• กลุ่มพีชคณิต  – วาไรตี้พีชคณิตที่มีโครงสร้างแบบกลุ่ม
• ฟิลด์ที่สมบูรณ์
• กลุ่มคอมแพ็กต์  – กลุ่มทางทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีแบบคอมแพ็กต์
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์  – โครงสร้างในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
• คณิตศาสตร์แบบย่อ
• กลุ่ม Lie  – กลุ่มที่เป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ และมีการดำเนินการกลุ่มที่ราบเรียบ
• สนามขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น
• กลุ่มกระชับเฉพาะที่  – ประเภทหนึ่งของกลุ่มเชิงทอพอโลยีในทางคณิตศาสตร์
• กลุ่มควอนตัมขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่
• กลุ่มโปรไฟไนต์  – กลุ่มทางทอพอโลยีที่ประกอบขึ้นจากระบบของกลุ่มจำกัดในแง่หนึ่ง
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่มีลำดับ
• กลุ่มอาเบเลียนเชิงทอพอโลยี
• ฟิลด์เชิงทอพอโลยี  – โครงสร้างพีชคณิตที่มีการบวก การคูณ และการหารPages displaying short descriptions of redirect targets
• โมดูลเชิงทอพอโลยี
• วงแหวนเชิงทอพอโลยี
• เซมิกรุปเชิงทอพอโลยี
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีแนวคิดเรื่องความใกล้เคียง