ในกลศาสตร์และเรขาคณิตกลุ่มการหมุน 3 มิติซึ่งมักจะแสดงด้วยSO (3)คือกลุ่ม ของ การหมุนทั้งหมดรอบจุดกำเนิดของปริภูมิยูคลิดสามมิติ ภายใต้การดำเนินการประกอบซึ่งรวมการหมุนสองแบบเข้าด้วยกันโดยดำเนินการทีละแบบ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

การหมุนรอบจุดหนึ่งเป็นการแปลงที่รักษาจุดนั้นไว้ พร้อมทั้งรักษาระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุดใดๆ (ดังนั้นจึงเป็นการแปลงแบบไอโซเมตรี ) และทิศทาง (เช่น ความเป็นมือซ้ายหรือมือขวาของพื้นที่) การประกอบการหมุนสองครั้งเข้าด้วยกันจะทำให้เกิดการหมุนอีกครั้ง การหมุนทุกครั้งจะมี รูปแบบการหมุน ผกผันที่ไม่ ซ้ำกัน และแผนที่เอกลักษณ์จะตรงตามนิยามของการหมุน ด้วยคุณสมบัติข้างต้น (รวมถึงคุณสมบัติการสลับที่ ของการหมุนแบบประกอบ ) เซตของการหมุนทั้งหมดจึงเป็นกลุ่มภายใต้การประกอบ

การหมุนที่ไม่ใช่การหมุนธรรมดาแต่ละครั้งจะถูกกำหนดโดยแกนการหมุน (เส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด) และมุมการหมุน การหมุนไม่สามารถสลับที่ได้ (ตัวอย่างเช่น การหมุนR 90° ในระนาบ xy ตามด้วยS 90° ในระนาบ yz ไม่เหมือนกับ การหมุน Sตามด้วยR ) ทำให้กลุ่มการหมุน 3 มิติเป็นกลุ่มที่ไม่สลับที่นอกจากนี้ กลุ่มการหมุนยังมีโครงสร้างตามธรรมชาติเป็นแมนิโฟลด์ซึ่งการดำเนินการของกลุ่มสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างราบรื่นดังนั้นจึงเป็นกลุ่มลี (Lie group ) มันเป็น กลุ่ม กะทัดรัดและมีมิติ 3

การหมุนเป็นการแปลงเชิงเส้นของและสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์เมื่อเลือกฐาน ( เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากสามตัวของแกน x, y และ z) ของ แล้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราเลือก ฐานตั้งฉากปกติของทุกการหมุนจะถูกอธิบายด้วยเมทริกซ์ตั้งฉาก 3 × 3 (กล่าวคือ เมทริกซ์ 3 × 3 ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง ซึ่งเมื่อคูณด้วยทรานสโพส ของมัน จะได้ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ) ที่มีดีเท อร์ มิแนน ต์เท่ากับ 1 ดังนั้น กลุ่ม SO(3) จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นกลุ่มของเมทริกซ์เหล่านี้ภายใต้การคูณเมทริกซ์ เมทริกซ์เหล่านี้เรียกว่า "เมทริกซ์ตั้งฉากพิเศษ" ซึ่งอธิบายสัญลักษณ์ SO(3) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

กลุ่ม SO(3) ใช้เพื่ออธิบายสมมาตรการหมุนที่เป็นไปได้ของวัตถุ รวมถึงการวางแนวที่เป็นไปได้ของวัตถุในอวกาศการแสดงแทน ของกลุ่มนี้ มีความสำคัญในฟิสิกส์ โดยก่อให้เกิดอนุภาคพื้นฐานที่มีสปิน จำนวนเต็ม

นอกจากจะรักษาระยะความยาวแล้ว การหมุนยังรักษาค่ามุมระหว่างเวกเตอร์ด้วย ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลคูณดอท มาตรฐาน ระหว่างเวกเตอร์uและvสามารถเขียนได้ในรูปของความยาวเท่านั้น (ดูจากกฎของโคไซน์ ): $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\tfrac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$$

ดังนั้น การแปลงเชิงเส้นที่รักษาความยาวทุกรูปแบบในจะรักษาผลคูณดอท และด้วยเหตุนี้จึงรักษามุมระหว่างเวกเตอร์ การหมุนมักถูกกำหนดให้เป็นการแปลงเชิงเส้นที่รักษาผลคูณภายในบนซึ่งเทียบเท่ากับการกำหนดให้รักษาความยาว ดูกลุ่มคลาสสิกสำหรับการจัดการแนวทางทั่วไปนี้ ซึ่งSO(3)ปรากฏเป็นกรณีพิเศษ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

การหมุนทุกครั้งจะแปลงฐานเชิงตั้งฉากปกติของ_{ปริภูมิ}เวกเตอร์หนึ่งไปยังฐานเชิงตั้งฉากปกติอีกฐานหนึ่ง เช่นเดียวกับการแปลงเชิงเส้นใดๆ ของ_{ปริภูมิ} เวกเตอร์ มิติจำกัดการหมุนสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ เสมอ ให้Rเป็นการหมุนที่กำหนด เมื่อเทียบกับฐานมาตรฐานe₁ , e₂ , e₃คอลัมน์ของR จะกำหนดโดย( R _{= e₁} , R = _e₂ , R = _e₃ )เนื่องจากฐานมาตรฐานเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติ และเนื่องจากRรักษาค่ามุมและความยาว คอลัมน์ของR จึงเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติอีกฐานหนึ่ง เงื่อนไขความเป็น _ฐานเชิงตั้งฉากปกตินี้สามารถแสดงได้ในรูปแบบ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,}$

โดยที่R ^Tหมายถึงเมทริกซ์สลับตำแหน่งของRและIคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 3 × 3 เมทริกซ์ที่ตรงตามคุณสมบัตินี้เรียกว่าเมทริกซ์เชิงตั้งฉากกลุ่มของ เมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาด 3 × 3 ทั้งหมด จะใช้สัญลักษณ์O(3)และประกอบด้วยการหมุนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสมทั้งหมด

นอกจากการรักษาความยาวแล้ว การหมุนที่เหมาะสมจะต้องรักษาทิศทางด้วย เมทริกซ์จะรักษาหรือกลับทิศทางตามว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เป็นบวกหรือลบ สำหรับเมทริกซ์เชิงตั้งฉากRโปรดทราบว่าdet R ^T = det Rหมายความว่า(det R ) ² = 1ดังนั้นdet R = ±1กลุ่มย่อยของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์+1เรียกว่ากลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษซึ่งเขียนแทนด้วยSO(3 )

ดังนั้นการหมุนแต่ละครั้งสามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับหนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากการประกอบการหมุนสอดคล้องกับการคูณเมทริก ซ์ กลุ่มการหมุนจึงสมมาตรกับกลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษSO(3 )

การหมุนที่ไม่เหมาะสมจะสอดคล้องกับเมทริกซ์เชิงตั้งฉากที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ-1และจะไม่ก่อตัวเป็นกลุ่มเนื่องจากผลคูณของการหมุนที่ไม่เหมาะสมสองครั้งคือการหมุนที่เหมาะสม

กลุ่มการหมุนเป็นกลุ่มภายใต้การประกอบฟังก์ชัน (หรือเทียบเท่ากับผลคูณของการแปลงเชิงเส้น ) เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ซึ่งประกอบด้วยการแปลงเชิงเส้น ผกผันทั้งหมดของปริภูมิ3 มิติ จริง^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

นอกจากนี้ กลุ่มการหมุนยังเป็นกลุ่มที่ไม่สลับที่กันกล่าวคือ ลำดับในการหมุนจะส่งผลต่อผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น การหมุนหนึ่งในสี่รอบแกนxบวก ตามด้วยการหมุนหนึ่งในสี่รอบแกนy บวก จะให้ผลลัพธ์การหมุน ที่ แตกต่างจากการหมุนรอบแกนy ก่อน แล้วจึง หมุนรอบแกน x

กลุ่มออร์โธโกนอล ซึ่งประกอบด้วยการหมุนที่เหมาะสมและไม่เหมาะสมทั้งหมด ถูกสร้างขึ้นโดยการสะท้อน การหมุนที่เหมาะสมทุกครั้งเป็นการประกอบกันของการสะท้อนสองครั้ง ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทคาร์ตัน-ดีเออโดเน่

กลุ่มย่อยจำกัดของ ได้รับ การจำแนกอย่างสมบูรณ์^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

ทุกกลุ่มย่อยจำกัดจะสมสัณฐานกับสมาชิกของหนึ่งในสอง ตระกูล อนันต์นับได้ของไอโซเมตรีระนาบ ได้แก่กลุ่มวัฏจักร หรือกลุ่มไดเฮดรัลหรือกับหนึ่งในสามกลุ่มอื่น ๆ ได้แก่ กลุ่ม เตตระ เฮดรัล กลุ่ม ออก ตา เฮดรัลหรือกลุ่มอิโคซาเฮดรัล ${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle D_{2n}}$${\displaystyle \cong A_{4}}$${\displaystyle \cong S_{4}}$${\displaystyle \cong A_{5}}$

การหมุนที่เหมาะสมทุกรูปแบบที่ไม่ใช่การหมุนแบบธรรมดาใน 3 มิติ จะกำหนด ปริภูมิย่อยเชิงเส้น 1 มิติที่ไม่ซ้ำกันซึ่งเรียกว่าแกนการหมุน (นี่คือทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์ ) การหมุนแต่ละครั้งดังกล่าวจะทำหน้าที่เหมือนการหมุน 2 มิติธรรมดาในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนนี้ เนื่องจากทุกการหมุน 2 มิติสามารถแทนด้วยมุมφได้ การหมุน 3 มิติใดๆ จึงสามารถระบุได้ด้วยแกนการหมุนพร้อมกับมุมการหมุนรอบแกนนี้ (ในทางเทคนิค จำเป็นต้องระบุทิศทางของแกนและว่าการหมุนนั้นเป็นการหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกาเมื่อเทียบกับทิศทางนี้) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ตัวอย่างเช่น การหมุนทวนเข็มนาฬิกา รอบแกนzบวก ด้วยมุมφกำหนดโดย

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

กำหนดให้เวกเตอร์หน่วยnในและมุมφให้R ( φ , n ) แทนการหมุนทวนเข็มนาฬิกา รอบแกนที่ผ่านn (โดยทิศทางกำหนดโดยn ) แล้ว ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• R (0, n ) คือการแปลงเอกลักษณ์สำหรับn ใดๆ
• R ( φ , n ) = R (- φ , - n )
• R ( π + φ , n ) = R ( π − φ , − n )

โดยใช้คุณสมบัติเหล่านี้ เราสามารถแสดงได้ว่าการหมุนใดๆ สามารถแทนได้ด้วยมุมφ ที่ไม่ซ้ำกัน ในช่วง 0 ≤ φ ≤ πและเวกเตอร์หน่วยnโดยที่

• nจะเป็นค่าใดๆ ก็ได้หากφ = 0
• nจะมีค่าเฉพาะตัวก็ต่อเมื่อ 0 < φ < π
• nมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ยกเว้นเครื่องหมายถ้าφ = π (นั่นคือ การหมุนR ( π , ± n ) เหมือนกันทุกประการ)

ในส่วนถัดไป การแสดงการหมุนนี้จะใช้เพื่อระบุ SO(3) ในเชิงโทโพโลยีกับปริภูมิโปรเจคทีฟจริงสามมิติ

พิจารณาทรงกลมตันรัศมีπ (นั่นคือ จุดทุกจุดบนทรงกลมที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะπหรือน้อยกว่า) จากข้อมูลข้างต้น สำหรับทุกจุดบนทรงกลมนี้ จะมีการหมุน โดยมีแกนหมุนผ่านจุดนั้นและจุดกำเนิด และมุมการหมุนเท่ากับระยะห่างของจุดนั้นจากจุดกำเนิด การหมุนเอกลักษณ์สอดคล้องกับจุดที่อยู่ตรงกลางของทรงกลม การหมุนด้วยมุม φ ระหว่าง 0 ถึงπ (ไม่รวมทั้งสองค่า) จะอยู่บนแกนเดียวกันและมีระยะห่างเท่ากัน การหมุนด้วยมุมระหว่าง 0 ถึง −π สอดคล้องกับจุดที่อยู่บนแกนเดียวกันและมีระยะห่างจากจุดกำเนิดเท่ากัน แต่อยู่ด้านตรงข้ามของจุดกำเนิด ปัญหาที่เหลืออยู่คือ การหมุนสองแบบที่ผ่านมุมπและผ่านมุม−πนั้นเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงระบุ (หรือ "เชื่อมต่อ") จุดตรงข้ามบนพื้นผิวของทรงกลม หลังจากระบุแล้ว เราจะได้ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เป็นโฮโมมอร์ฟิกกับกลุ่มการหมุน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

อันที่จริง ทรงกลมที่มีจุดพื้นผิวตรงข้ามกันที่ระบุได้นั้นเป็นแมนิโฟลด์เรียบและแมนิโฟลด์นี้เป็น ไดฟ์ ฟีโอเมอร์ฟิกกับกลุ่มการหมุน นอกจากนี้ยังเป็นไดฟ์ฟีโอเมอร์ฟิกกับปริภูมิเชิงฉายสามมิติที่แท้จริง ดังนั้นปริภูมิเชิงฉายสามมิติที่แท้จริง จึงสามารถใช้เป็นแบบจำลองทางโทโพโลยีสำหรับกลุ่มการหมุนได้เช่นกัน ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),}$

การระบุเหล่านี้แสดงให้เห็นว่า SO(3) เชื่อมต่อกันแต่ไม่ได้เชื่อมต่อกันแบบง่ายๆในส่วนหลังนี้ ในทรงกลมที่มีจุดพื้นผิวตรงข้ามกันที่ระบุไว้ ให้พิจารณาเส้นทางที่วิ่งจาก "ขั้วเหนือ" ตรงผ่านภายในลงไปยังขั้วใต้ นี่คือวงปิด เนื่องจากขั้วเหนือและขั้วใต้ถูกระบุ วงนี้ไม่สามารถหดให้เหลือเพียงจุดเดียวได้ เนื่องจากไม่ว่าจะมีการบิดเบี้ยวอย่างไร จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดจะต้องยังคงอยู่ตรงข้ามกัน มิฉะนั้นวงจะ "แตกออก" ในแง่ของการหมุน วงนี้แสดงถึงลำดับการหมุนอย่างต่อเนื่องรอบ แกน z โดยเริ่มต้น (เช่น) ที่จุดเอกลักษณ์ (ศูนย์กลางของทรงกลม) ผ่านขั้วใต้ กระโดดไปยังขั้วเหนือ และสิ้นสุดอีกครั้งที่การ หมุน เอกลักษณ์ (กล่าวคือ ชุดของการหมุนผ่านมุมφโดยที่φวิ่งจาก 0 ถึง2π )

น่าประหลาดใจที่การวิ่งผ่านเส้นทางสองครั้ง กล่าวคือ วิ่งจากขั้วโลกเหนือลงไปที่ขั้วโลกใต้ กระโดดกลับไปยังขั้วโลกเหนือ (โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้สามารถระบุได้) แล้ววิ่งจากขั้วโลกเหนือลงไปที่ขั้วโลกใต้อีกครั้ง เพื่อให้φวิ่งจาก 0 ถึง 4π จะได้วงปิดที่สามารถย่อให้เหลือจุดเดียวได้: ขั้นแรก ให้เลื่อนเส้นทางอย่างต่อเนื่องไปยังพื้นผิวของลูกบอล โดยยังคงเชื่อมต่อขั้วโลกเหนือกับขั้วโลกใต้สองครั้ง จากนั้นสามารถสะท้อนเส้นทางที่สองไปยังด้านตรงข้ามได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนเส้นทางเลย ตอนนี้เรามีวงปิดธรรมดาบนพื้นผิวของลูกบอล ซึ่งเชื่อมต่อขั้วโลกเหนือกับตัวมันเองตามวงกลมใหญ่วงกลมนี้สามารถย่อให้เหลือขั้วโลกเหนือได้โดยไม่มีปัญหาเทคนิคจานและเทคนิคที่คล้ายกันแสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้ในทางปฏิบัติ

สามารถดำเนินการโต้แย้งแบบเดียวกันได้โดยทั่วไป และแสดงให้เห็นว่ากลุ่มพื้นฐานของ SO(3) คือกลุ่มวัฏจักรอันดับ 2 (กลุ่มที่มีสมาชิกสองตัว)

การปกคลุมสากลของ SO(3) คือกลุ่ม Lieที่เรียกว่าSpin(3)กลุ่ม Spin(3) มีสมมาตรกับกลุ่มเอกภาพพิเศษ SU(2) นอกจากนี้ยังมีสมมาตรกับทรงกลม 3 มิติS ³และสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นกลุ่มของเวอร์เซอร์ ( ควอเทอร์เนียนที่มีค่าสัมบูรณ์ 1) ความเชื่อมโยงระหว่างควอเทอร์เนียนและการหมุน ซึ่งมักใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์อธิบายไว้ในควอเทอร์เนียนและการหมุนเชิงพื้นที่แผนที่จากS ³ไปยัง SO(3) ที่ระบุจุดตรงข้ามของS ³เป็นโฮโมมอร์ฟิ ซึม แบบทั่วถึง ของกลุ่ม Lie โดยมีเคอร์เนล {±1} ในทางโทโพโลยี แผนที่นี้เป็น แผนที่ปกคลุมแบบ สองต่อหนึ่ง

ใน การประยุกต์ใช้ทาง ฟิสิกส์โดยเฉพาะกลศาสตร์ควอนตัมโครงสร้างแบบสองชั้นนี้ช่วยให้สามารถดำรงอยู่ของวัตถุที่เรียกว่าสปินเนอร์ได้และเป็นเครื่องมือสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีบทสปิน-สถิติ (ดูเพิ่มเติมที่สปินเนอร์ในสามมิติ )

ในส่วนนี้ เราจะนำเสนอโครงสร้างสองแบบที่แตกต่างกันของ โฮโมมอร์ฟิซึมแบบสองต่อหนึ่งและทั่วถึง ของ SU(2) ไปยัง SO(3)

กลุ่มSU(2)มีลักษณะสมมาตรกับควอเทอร์เนียนของบรรทัดฐานหน่วยผ่านแผนที่ที่กำหนดโดย^{[ 4 ​​]} ซึ่งจำกัดไว้ ที่ โดย ที่, , , และ, . $${\displaystyle q=a\mathbf {1} +b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =\alpha +\beta \mathbf {j} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bเมทริกซ์}}=U}$$${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$${\textstyle q\in \mathbb {H} }$${\textstyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$${\textstyle U\in \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \alpha =a+bi\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \beta =c+di\in \mathbb {C} }$

ต่อไปนี้เราจะระบุช่วงของ. จากนั้นเราสามารถตรวจสอบได้ว่า ถ้าอยู่ในและเป็นควอเทอร์เนียนหน่วย แล้ว ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle qvq^{-1}\in \mathbb {R} ^{3}.}$$

นอกจากนี้ แผนที่ยังเป็นการหมุนของยิ่งไปกว่านั้นก็เหมือนกับซึ่งหมายความว่ามี โฮโมมอร์ฟิซึม 2:1จากควอเทอร์เนียนที่มีบรรทัดฐานหน่วยไปยังกลุ่มการหมุน 3 มิติSO(3 ) ${\displaystyle v\mapsto qvq^{-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$${\displaystyle (-q)v(-q)^{-1}}$${\displaystyle qvq^{-1}}$

เราสามารถแสดงโฮโมมอร์ฟิซึมนี้ออกมาได้อย่างชัดเจน: ควอเทอร์เนียนหน่วยqที่มี จะถูกแมปไปยังเมทริกซ์การหมุน$${\displaystyle {\begin{aligned}q&=w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,\\1&=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$$

นี่คือการหมุนรอบเวกเตอร์( x , y , z )ด้วยมุม2 θโดยที่cos θ = wและ|sin θ | = ‖ ( x , y , z ) ‖เครื่องหมายที่ถูกต้องสำหรับsin θนั้นถูกกำหนดโดยปริยาย เมื่อกำหนดเครื่องหมายของส่วนประกอบแกนแล้วลักษณะ2:1นั้นชัดเจน เนื่องจากทั้งqและ− q ต่างก็แมปไป ยัง Qเดียวกัน

เอกสารอ้างอิงทั่วไปสำหรับส่วนนี้คือGelfand, Minlos & Shapiro (1963)จุดPบนทรงกลม

${\displaystyle \mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\tfrac {1}{4}}\right\}}$

ยกเว้นขั้วโลกเหนือN สามารถ จับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่ง กับจุดS ( P ) = P'บนระนาบMที่กำหนดโดยz = − ⁠ ได้1/2ดูภาพประกอบ แผนที่ Sเรียกว่าการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก

ให้พิกัดบนMเป็น( ξ , η )เส้นตรงLที่ผ่านNและPสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ดังนี้

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .}$

เรียก ร้องให้พิกัดzเท่ากับ− ⁠${\displaystyle L(t_{0})}$1/2พบ ว่า

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

ดังนั้นแผนที่นี้ จึงเป็น เช่นนั้น${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).}$

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\dfrac {x}{{\tfrac {1}{2}}-z}},{\dfrac {y}{{\tfrac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

โดยเพื่อความสะดวกในภายหลัง ระนาบMจะถูกระบุว่าเป็นระนาบเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} .}$

สำหรับส่วนกลับ ให้เขียนLดังนี้

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right),}$

และความต้องการx ² + y ² + z ² = ⁠1/4เพื่อหาค่าs =1/1 + ξ ² + η ²และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle {\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\dfrac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\dfrac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\dfrac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

ถ้าg ∈ SO(3)เป็นการหมุน มันจะเปลี่ยนจุดบนSไปยังจุดบนSโดยใช้การกระทำมาตรฐานΠ _s ( g )บนพื้นที่ฝังตัวโดยการประกอบการกระทำนี้กับSจะได้การแปลงS ∘ Π s ₍ g ) ∘ S ⁻¹ของM${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

${\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

ดังนั้นΠ _u ( g )จึงเป็นการแปลงที่เกี่ยวข้อง กับการแปลงΠ _s ( g )ของ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ปรากฏว่าg ∈ SO(3)ที่แสดงในลักษณะนี้โดยΠ _u ( g )สามารถแสดงเป็นเมทริกซ์Π _u ( g ) ∈ SU(2) ได้ (โดยที่สัญลักษณ์ถูกนำกลับมาใช้ใหม่เพื่อให้ใช้ชื่อเดียวกันสำหรับเมทริกซ์เช่นเดียวกับการแปลงที่มัน แสดง) ในการระบุเมทริกซ์นี้ ให้พิจารณาการหมุน g _φรอบแกนzผ่านมุมφก่อน${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

เพราะฉะนั้น

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\tfrac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\tfrac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},}$

ซึ่งก็คือการหมุนในระนาบเชิงซ้อนนั่นเอง ในทำนองเดียวกัน ถ้าg _θคือการหมุนรอบแกนxด้วยมุมθแล้ว

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

ซึ่งเมื่อคำนวณทางพีชคณิตเล็กน้อยแล้วจะได้เป็น

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

ดังนั้น การหมุนทั้งสองนี้จึงสอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้นคู่ของR ² ≃ C ≃ Mกล่าวคือ เป็นตัวอย่างของการแปลงโมเบียส ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta },}$

การแปลงโมเบียสทั่วไปกำหนดโดย

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$

การหมุน จะสร้าง SO(3)ทั้งหมดและกฎการประกอบของการแปลงโมเบียสแสดงให้เห็นว่าการประกอบใด ๆ ของจะแปลเป็นการประกอบที่สอดคล้องกันของการแปลงโมเบียส การแปลงโมเบียสสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

เนื่องจากปัจจัยทั่วไปของα , β , γ , δยกเลิก

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เมทริกซ์จึงไม่ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง เนื่องจากผลคูณด้วย− Iไม่มีผลต่อทั้งดีเทอร์มิแนนต์หรือการแปลงโมเบียส กฎการประกอบของการแปลงโมเบียสเป็นไปตามกฎของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน ข้อสรุปคือ การแปลงโมเบียสแต่ละครั้งสอดคล้องกับเมทริกซ์สองตัวg , − g ∈ SL(2, C )

โดยใช้การติดต่อสื่อสารนี้ เราสามารถเขียนได้

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

เมทริกซ์เหล่านี้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นΠ _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C )ในแง่ของมุมออยเลอร์^{[ nb 1 ]}พบว่าสำหรับการหมุนทั่วไป

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi ,\theta ,\psi )=g_{\phi }g_{\theta }g_{\psi }&={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \phi \cos \psi -\cos \theta \sin \phi \sin \psi &-\cos \phi \sin \psi -\cos \theta \sin \phi \cos \psi &\sin \phi \sin \theta \\\sin \phi \cos \psi +\cos \theta \cos \phi \sin \psi &-\sin \phi \sin \psi +\cos \theta \cos \phi \cos \psi &-\cos \phi \sin \theta \\\sin \psi \sin \theta &\cos \psi \sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

1

หนึ่งมี^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g(\phi ,\theta ,\psi ))&=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&-i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\psi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\psi }{2}}}\end{pmatrix}}\\&=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi +\psi }{2}}}&-i\sin {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi -\psi }{2}}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi -\psi }{2}}}&\cos {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi +\psi }{2}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

2

ในทางกลับกัน ให้พิจารณาเมทริกซ์ทั่วไป

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).}$

ทำการเปลี่ยนตัว

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\tfrac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\tfrac {1}{2}}(\phi +\psi )&=\arg \alpha ,&{\tfrac {1}{2}}(\psi -\phi )&=\arg \beta .&\end{aligned}}}$

ด้วยการแทนที่Π( g _{α , β} )จะมีรูปแบบเป็นด้านขวามือ ( RHS ) ของ ( 2 ) ซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์ในรูปแบบ RHS ของ ( 1 ) ภายใต้ Π _uโดยมีφ , θ , ψ เหมือนกัน ในแง่ของพารามิเตอร์เชิงซ้อนα , β ,

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.}$

เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ ให้แทนที่α . βด้วยองค์ประกอบของเมทริกซ์ทางด้านขวาของ ( 2 ) หลังจากการจัดการบางอย่าง เมทริกซ์จะมีรูปแบบเป็นด้านขวาของ ( 1 )

จากรูปแบบที่แสดงออกมาอย่างชัดเจนในแง่ของมุมออยเลอร์ ทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าแผนที่นี้

${\displaystyle {\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\pm \Pi _{u}(g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}}$

สิ่งที่เพิ่งอธิบายไปนั้นเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม ที่เรียบ 2:1และทั่วถึงดังนั้นจึงเป็นการอธิบายที่ชัดเจนของปริภูมิปกคลุมสากลของSO(3)จากกลุ่มปกคลุมสากลSU(2 )

กลุ่ม Lieทุก กลุ่ม จะมีพีชคณิต Lie ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเป็นปริภูมิเชิงเส้นที่มีมิติเท่ากับกลุ่ม Lie และปิดภายใต้ผลคูณสลับเชิงเส้นคู่ที่เรียกว่าวงเล็บ Lieพีชคณิต Lie ของจะถูกแทนด้วยและประกอบด้วยเมทริกซ์ 3 × 3 สมมาตรเฉียงทั้งหมด[ 6 ] ^{สิ่งนี้สามารถ}เห็นได้จากการหาอนุพันธ์ของเงื่อนไขความเป็นตั้งฉาก , . ^{[ nb 2 ]}วงเล็บ Lie ของสององค์ประกอบของนั้น เช่นเดียวกับพีชคณิต Lie ของกลุ่มเมทริกซ์ทุกกลุ่ม จะกำหนดโดยเมทริกซ์สลับ , , ซึ่งเป็นเมทริกซ์สมมาตรเฉียงอีกครั้ง วงเล็บพีชคณิต Lie จับสาระสำคัญของผลคูณกลุ่ม Lie ในความหมายที่แม่นยำยิ่งขึ้นด้วยสูตร Baker–Campbell–Hausdorff${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle A^{T}A=I,\ A\in \operatorname {SO} (3)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle [A_{1},A_{2}]=A_{1}A_{2}-A_{2}A_{1}}$

องค์ประกอบของคือ "ตัวสร้างอนันต์" ของการหมุน กล่าวคือ พวกมันคือองค์ประกอบของปริภูมิสัมผัสของแมนิโฟลด์ที่องค์ประกอบเอกลักษณ์ ถ้าแทนการหมุนทวนเข็มนาฬิกาด้วยมุมรอบแกนที่ระบุโดยเวกเตอร์หน่วยแล้ว ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol {n}})}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\boldsymbol {n}},}$

${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.}$

สิ่งนี้สามารถใช้เพื่อแสดงว่าพีชคณิตลี(ที่มีตัวสลับ) สม isomorphic กับพีชคณิตลี(ที่มีผลคูณไขว้ ) ภายใต้ความสม isomorphic นี้เวกเตอร์ออยเลอร์จะสอดคล้องกับแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดโดย${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.}$

กล่าวโดยละเอียดแล้ว ฐานที่เหมาะสมสำหรับปริภูมิ เวกเตอร์ 3มิติส่วนใหญ่ มักจะ เป็น ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งขององค์ประกอบพื้นฐานเหล่านี้มีดังนี้

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์ของเวกเตอร์หน่วยมาตรฐาน ทั้งสาม ภายใต้ผลคูณไขว้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ตามที่ประกาศไว้ข้างต้น เราสามารถระบุเมทริกซ์ใดๆ ในพีชคณิต Lie นี้ด้วยเวกเตอร์ออยเลอร์ได้^{[ 7 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

บางครั้งการระบุนี้เรียกว่าแผนที่หมวก^{[ 8 ]}ภายใต้การระบุนี้วงเล็บจะสอดคล้องกับ ผล คูณ ไขว้${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.}$

เมทริกซ์ที่ระบุด้วยเวกเตอร์นั้นมีคุณสมบัติว่า ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},}$

โดยที่ด้านซ้ายมือเป็นการคูณเมทริกซ์แบบธรรมดา ซึ่งหมายความว่าอยู่ในปริภูมิว่างของเมทริกซ์สมมาตรเฉียงที่มันถูกกำหนดด้วย เนื่องจาก${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

ในการแสดงแทนพีชคณิตลีกลุ่ม SO(3) เป็นกลุ่มกระชับและเรียบง่ายที่มีอันดับ 1 ดังนั้นจึงมีองค์ประกอบแคสิเมียร์อิสระเพียงตัวเดียว ซึ่งเป็นฟังก์ชันไม่แปรเปลี่ยนกำลังสองของตัวสร้างทั้งสามตัวซึ่งสลับตำแหน่งกับตัวสร้างทั้งหมด รูปแบบคิลลิงสำหรับกลุ่มการหมุนก็คือเดลต้าโครเนกเกอร์ดังนั้นตัวแปรแคสิเมียร์นี้จึงเป็นเพียงผลรวมของกำลังสองของตัวสร้างของพีชคณิต ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z},}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]={\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]={\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]={\boldsymbol {J}}_{x}.}$

นั่นคือ ค่าคงที่แคซิเมียร์กำหนดโดย

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}\equiv {\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{x}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{y}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{z}^{2}\propto {\boldsymbol {I}}.}$

สำหรับการแสดง แทนแบบไม่สามารถลดทอนได้แบบเอกภาพ D ^jค่าลักษณะเฉพาะของตัวแปรคงที่นี้เป็นจำนวนจริงและไม่ต่อเนื่อง และบ่งบอกลักษณะเฉพาะของการแสดงแทนแต่ละแบบ ซึ่งมีมิติจำกัดนั่นคือ ค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ Casimir นี้คือ ${\displaystyle 2j+1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=-j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1},}$

โดยที่jเป็นจำนวนเต็มหรือครึ่งจำนวนเต็ม และเรียกว่า โมเมนตัม การหมุนหรือโมเมนตัม เชิงมุม

ดังนั้น ตัวสร้าง 3 × 3 Lที่แสดงด้านบนจะกระทำกับตัวแทนแบบทริปเล็ต (สปิน 1) ในขณะที่ตัวสร้าง 2 × 2 ด้านล่างtจะกระทำกับ ตัวแทน แบบดับเบิลเล็ต ( สปิน 1/2 ) โดยการนำผลคูณโครเนกเกอร์ของD ^1/2 มา คูณกับตัวเองซ้ำๆ เราสามารถสร้างตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้สูงกว่าทั้งหมดD ^jได้ นั่นคือ ตัวสร้างที่ได้สำหรับระบบสปินที่สูงกว่าในสามมิติเชิงพื้นที่ สำหรับj ที่มีขนาดใหญ่มาก สามารถคำนวณได้โดยใช้ตัวดำเนินการสปินและตัวดำเนินการบันได เหล่า นี้

สำหรับตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้แบบเอกภาพทุกตัวD ^jจะมีตัวแทนที่เทียบเท่ากันD ^{− j −1}ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ในมิติอนันต์ทั้งหมดจะต้องไม่ใช่แบบเอกภาพ เนื่องจากกลุ่มนั้นเป็นกลุ่มกระชับ

ในกลศาสตร์ควอนตัมตัวแปรแคสิเมียร์คือตัวดำเนินการ "กำลังสองของโมเมนตัมเชิงมุม" ค่าจำนวนเต็มของสปินjบ่งบอกถึงการแทนแบบโบซอนิกในขณะที่ค่าครึ่งจำนวนเต็มบ่งบอกถึงการแทนแบบเฟอร์มิออนิก เมทริกซ์ แอนติเฮอร์มิเชียนที่ใช้ข้างต้นถูกนำมาใช้เป็นตัวดำเนินการสปินหลังจากที่คูณด้วยiแล้ว จึง กลาย เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน (เช่นเดียวกับเมทริกซ์ของเปาลี) ดังนั้น ในภาษานี้

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]=i{\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]=i{\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]=i{\boldsymbol {J}}_{x}.}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1}.}$

นิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับD ^j เหล่านี้ คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {J}}_{z}^{(j)}\right)_{ba}&=(j+1-a)\delta _{b,a}\\\left({\boldsymbol {J}}_{x}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{b,a+1}+\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left({\boldsymbol {J}}_{y}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2i}}\left(\delta _{b,a+1}-\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\end{aligned}}}$

โดยที่jเป็นค่าใดๆ และ. ${\displaystyle 1\leq a,b\leq 2j+1}$

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์สปินที่ได้สำหรับสปิน 1 ( ) คือ ${\displaystyle j=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่าสิ่งเหล่านี้อยู่ในฐานที่เทียบเท่ากัน แต่แตกต่างกัน คือฐานทรงกลม เมื่อเทียบกับ i Lข้างต้น ในฐานคาร์ทีเซียน^{[ nb 3 ]}

สำหรับการหมุนที่สูงขึ้น เช่น การหมุน⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ ( ): ${\displaystyle j={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

สำหรับการหมุน⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}$ ( ), ${\displaystyle j={\tfrac {5}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

พีชคณิต Lie และมีความสมมาตรกัน ฐานหนึ่งสำหรับได้รับจาก^{[ 9 ]}${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.}$

สิ่งเหล่านี้เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ของเปาลีโดย

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}\longleftrightarrow {\frac {1}{2i}}\sigma _{i}.}$

เมทริกซ์ Pauli เป็นไปตามแบบแผนของนักฟิสิกส์สำหรับพีชคณิต Lie ตามแบบแผนนั้น องค์ประกอบของพีชคณิต Lie จะถูกคูณด้วยiแผนที่เลขชี้กำลัง (ด้านล่าง) ถูกกำหนดโดยมีตัวประกอบi เพิ่มเติม ในเลขชี้กำลัง และค่าคงที่โครงสร้างยังคงเหมือนเดิม แต่คำจำกัดความของค่าคงที่เหล่านั้นจะมีตัวประกอบiในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งจะมีตัวประกอบiความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งสำหรับเมทริกซ์ Pauli คือ ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {t}}_{i},{\boldsymbol {t}}_{j}]=\varepsilon _{ijk}{\boldsymbol {t}}_{k},}$

โดยที่ε _ijkคือสัญลักษณ์ที่ไม่สมมาตรโดยสมบูรณ์ที่มีε ₁₂₃ = 1ความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างและสามารถกำหนดได้หลายวิธี เพื่อความสะดวกในภายหลังและจะถูกระบุโดยการแมป ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{1},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{2},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{3},}$

และขยายออกไปโดยใช้ความเป็นเส้นตรง

เนื่องจากSO(3)เป็นกลุ่ม Lie เมทริกซ์ แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลจึงถูกกำหนดโดยใช้ ชุด อนุกรมเอกซ์โพเนนเชียลเมทริกซ์ มาตรฐาน

${\displaystyle {\begin{cases}\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}}$

สำหรับเมทริกซ์สมมาตรเฉียง ใดๆ A ∈ 𝖘𝖔(3) , e ^Aจะอยู่ในSO(3) เสมอ การพิสูจน์ใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล

${\displaystyle \left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.}$

เนื่องจากเมทริกซ์AและA ^Tสลับกันได้ จึงสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ ด้วยเงื่อนไขเมทริกซ์สมมาตรเฉียง นี่ไม่เพียงพอที่จะแสดงว่า𝖘𝖔(3)เป็นพีชคณิต Lie ที่สอดคล้องกันสำหรับSO(3)และจะต้องพิสูจน์แยกต่างหาก

ระดับความยากของการพิสูจน์ขึ้นอยู่กับว่ากลุ่มเมทริกซ์ Lie algebra ถูกนิยามอย่างไรHall (2003)นิยาม Lie algebra ว่าเป็นเซตของเมทริกซ์

${\displaystyle \left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},}$

ในกรณีนี้มันเป็นเรื่องเล็กน้อยRossmann (2002)ใช้การอนุพันธ์ของส่วนโค้งเรียบในSO(3)ผ่านเอกลักษณ์ที่นำมาใช้กับเอกลักษณ์ ในกรณีนี้มันยากกว่า^{[ 10 ]}

สำหรับA ≠ 0 ที่กำหนดไว้ e ^tA , −∞ < t < ∞เป็นกลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียวตามเส้นทางจีโอเดสิกในSO(3)การที่สิ่งนี้ให้กลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียวเป็นผลโดยตรงจากคุณสมบัติของแผนที่เอกซ์โพเนนเชียล^{[ 11 ]}

แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลให้การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลระหว่างย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดใน𝖘𝖔(3)และย่านใกล้เคียงของเอกลักษณ์ในSO(3) [ ^{12 ] สำหรับ} การพิสูจน์ โปรด ดูทฤษฎีบทกลุ่มย่อยปิด

แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันทั่วถึงซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าทุกR ∈ SO(3)เนื่องจากการหมุนทุกครั้งจะทำให้แกนคงที่ ( ทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์ ) และเป็นคู่สมกับเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงมุมในรูปแบบ

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},}$

โดยที่A = BDB ⁻¹และว่า

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},}$

พร้อมกับข้อเท็จจริงที่ว่า𝖘𝖔(3)ปิดภายใต้การกระทำแบบผกผันของSO(3)ซึ่งหมายความว่าBθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3 )

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น การตรวจสอบอัตลักษณ์ที่เป็นที่นิยมจึงทำได้ง่าย

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.}$

ดังที่แสดงข้างต้น องค์ประกอบA ∈ 𝖘𝖔(3) ทุกตัว จะเชื่อมโยงกับเวกเตอร์ω = θ uโดยที่u = ( x , y , z )เป็นเวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วย เนื่องจากuอยู่ในปริภูมิว่างของAหากหมุนไปยังฐานใหม่ผ่านเมทริกซ์เชิงตั้งฉากอื่นOโดยมีuเป็น แกน zคอลัมน์และแถวสุดท้ายของเมทริกซ์การหมุนในฐานใหม่จะเป็นศูนย์

ดังนั้น เรารู้ล่วงหน้าจากสูตรสำหรับเลขชี้กำลังว่าexp( OAO ^T )จะต้องทำให้uคงที่ ในทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะหาสูตรโดยตรงสำหรับฐานดังกล่าวในรูปฟังก์ชันของuเพราะการมีอยู่ของมันจะขัดแย้งกับทฤษฎีลูกบอลขนปุยแต่การยกกำลังโดยตรงนั้นเป็นไปได้ และให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&=I+s({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})+(1-c)({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}c+x^{2}(1-c)&-zs+xy(1-c)&ys+xz(1-c)\\zs+yx(1-c)&c+y^{2}(1-c)&-xs+yz(1-c)\\-ys+zx(1-c)&xs+zy(1-c)&c+z^{2}(1-c)\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

โดยที่และนี่คือเมทริกซ์สำหรับการหมุนรอบแกนuด้วยมุมθ : ดูสูตรการหมุนของ Rodriguesประกอบ ${\textstyle c=\cos \theta }$${\textstyle s=\sin \theta }$

กำหนดR ∈ SO(3)ให้แทนส่วนที่ไม่สมมาตรและให้จากนั้นลอการิทึมของRจะได้รับจาก^{[ 8 ]}${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.}$

สิ่งนี้ปรากฏชัดเจนจากการตรวจสอบรูปแบบสมมาตรแบบผสมของสูตรของโรดริเกส

${\displaystyle e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,}$

โดยที่พจน์แรกและพจน์สุดท้ายทางด้านขวามือมีความสมมาตรกัน

${\displaystyle SO(3)}$ถูกครอบคลุมสองครั้งโดยกลุ่มของควอเทอร์เนียนหน่วย ซึ่งมีสมมาตรกับทรงกลม 3 มิติ เนื่องจากมาตรวัดฮาร์บนควอเทอร์เนียนหน่วยเป็นเพียงมาตรวัดพื้นที่ 3 มิติใน 4 มิติ ดังนั้นมาตรวัดฮาร์บนจึงเป็นเพียงการผลักดันไปข้างหน้าของมาตรวัดพื้นที่ 3 มิติ ${\displaystyle SO(3)}$

ด้วยเหตุนี้ การสร้างการหมุนแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอจึงเทียบเท่ากับการสร้างจุดแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอบนทรงกลม 3 มิติ ซึ่งสามารถทำได้โดยวิธีต่อไปนี้${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle ({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))}$$

โดยที่^{ตัวอย่าง}สุ่มสม่ำเสมอของ[ ^{13 ]}${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$${\displaystyle [0,1]}$

สมมติว่ากำหนดXและYในพีชคณิตลีมาให้แล้ว ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลของพวกมันexp( X )และexp( Y )คือเมทริกซ์การหมุน ซึ่งสามารถคูณกันได้ เนื่องจากแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลเป็นการส่งแบบทั่วถึง ดังนั้นสำหรับZ บางตัว ในพีชคณิตลีexp( Z ) = exp(X)exp(Y) และเราอาจเขียนอย่างคร่าวๆ ได้ว่า Z = exp( X )exp( Y )

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

สำหรับCนิพจน์บางอย่างในXและYเมื่อเมทริกซ์การหมุนexp( X )และexp( Y )สลับที่ได้ (ตัวอย่างเช่น การหมุนรอบแกนเดียวกัน) แล้วZ = X + Yซึ่งเลียนแบบพฤติกรรมของการยกกำลังเชิงซ้อน

กรณีทั่วไปของการไม่สลับที่กันนั้นกำหนดโดยสูตร BCH ที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งเป็นการขยายอนุกรมของวงเล็บ Lie ที่ซ้อนกัน^{[ 14 ]}สำหรับเมทริกซ์ วงเล็บ Lie เป็นการดำเนินการเดียวกันกับตัวสลับที่ซึ่งตรวจสอบการขาดการสลับที่กันในการคูณ การขยายทั่วไปนี้คลี่คลายออกมาดังนี้^{[ nb 4 ]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\tfrac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .}$

การขยายอนันต์ในสูตร BCH สำหรับSO(3)ลดลงเหลือรูปแบบที่กระชับ

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

สำหรับ ค่าสัมประสิทธิ์ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหมาะสม( α , β , γ )

การเขียนตัวสร้างการหมุนแบบผสมนี้จึงคุ้มค่า

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\tfrac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

เพื่อเน้นย้ำว่านี่คือเอกลักษณ์ของพีชคณิตลี (Lie algebra identity )

เอกลักษณ์ข้างต้นใช้ได้กับการแสดงแทนแบบซื่อสัตย์ ทั้งหมด ของ𝖘𝖔(3)เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลีเป็นไอเดียลแต่𝖘𝖔(3)เป็นแบบง่ายจึงไม่มีไอเดียลที่ไม่ธรรมดา และการแสดงแทนแบบไม่ธรรมดาทั้งหมดจึงซื่อสัตย์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแสดงแทนแบบดับเบิลเล็ตหรือสปินเนอร์ สูตรที่ชัดเจนเดียวกันนี้จึงตามมาในวิธีที่ง่ายกว่าผ่านเมทริกซ์ Pauli ดูการหาอนุพันธ์ 2×2 สำหรับ SU(2 )