ในเรขาคณิตมีสูตรต่างๆ มากมายที่ใช้ในการแสดงการหมุนในสามมิติ ในรูปของ การแปลงทางคณิตศาสตร์ในฟิสิกส์ แนวคิดนี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กับกลศาสตร์คลาสสิก โดยที่ จลนศาสตร์การหมุน (หรือจลนศาสตร์เชิงมุม) คือวิทยาศาสตร์ของ การอธิบาย เชิงปริมาณ ของ การเคลื่อนที่แบบหมุนอย่างเดียวการวางตัวของวัตถุ ณ เวลาใดเวลาหนึ่งจะถูกอธิบายด้วยเครื่องมือเดียวกัน เนื่องจากมันถูกกำหนดให้เป็นการหมุนในจินตนาการจากตำแหน่งอ้างอิงในอวกาศ มากกว่าการหมุนที่สังเกตได้จริงจากตำแหน่งก่อนหน้าในอวกาศ

ตามทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์การหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง (หรือ ระบบพิกัดสามมิติที่มีจุด กำเนิดคงที่ ) อธิบายได้ด้วยการหมุนเพียงครั้งเดียวรอบแกนใดแกนหนึ่ง การหมุนดังกล่าวสามารถอธิบายได้อย่างไม่ซ้ำกันด้วย พารามิเตอร์ จริง อย่างน้อยสามตัว อย่างไรก็ตาม ด้วยเหตุผลหลายประการ จึงมีหลายวิธีในการแสดงการหมุนนั้น วิธีการแสดงเหล่านี้หลายวิธีใช้พารามิเตอร์มากกว่าสามตัวที่จำเป็น แม้ว่าแต่ละวิธีจะมีเพียงสามองศาอิสระก็ตาม

ตัวอย่างหนึ่งของการใช้การแสดงผลแบบหมุนคือในด้านคอมพิวเตอร์วิชั่นซึ่ง ผู้สังเกตการณ์ อัตโนมัติจำเป็นต้องติดตามเป้าหมาย พิจารณาวัตถุแข็งเกร็งที่มีเวกเตอร์หน่วยตั้งฉาก สามตัว ยึดติดกับตัววัตถุ (ซึ่งแสดงถึงแกนทั้งสามของระบบพิกัด ท้องถิ่นของวัตถุ ) ปัญหาพื้นฐานคือการระบุทิศทางของเวกเตอร์หน่วย ทั้งสามนี้ และด้วยเหตุนี้จึงระบุทิศทางของวัตถุแข็งเกร็งเมื่อเทียบกับระบบพิกัดของผู้สังเกตการณ์ ซึ่งถือเป็นตำแหน่งอ้างอิงในอวกาศ

การกำหนดสูตรการหมุนมุ่งเน้นไปที่การเคลื่อนที่ที่เหมาะสม ( รักษาทิศทาง ) ในปริภูมิยูคลิดที่มีจุดคงที่จุดหนึ่งซึ่งการหมุน นั้น อ้างอิงถึงจุดนั้น แม้ว่าการเคลื่อนที่ทางกายภาพที่มีจุดคงที่จะเป็นกรณีสำคัญ (เช่น การเคลื่อนที่ที่อธิบายในกรอบอ้างอิงศูนย์กลางมวลหรือการเคลื่อนที่ของข้อต่อ ) แต่แนวทางนี้สร้างความรู้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ทั้งหมดการเคลื่อนที่ที่เหมาะสม ใดๆ ในปริภูมิยูคลิดจะแยกออกเป็นการหมุนรอบจุดกำเนิดและการเลื่อนไม่ว่าลำดับของการประกอบจะเป็นอย่างไร ส่วนประกอบของการหมุน "บริสุทธิ์" จะไม่เปลี่ยนแปลง โดยถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยการเคลื่อนที่ทั้งหมด

เราสามารถเข้าใจการหมุน "บริสุทธิ์" ได้ว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างแบบยุคลิด ไม่ใช่เป็นแผนที่ของจุดในปริภูมิเชิงเส้น ที่สอดคล้องกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง สูตรการหมุนจะจับเฉพาะส่วนของการหมุนของการเคลื่อนที่ ซึ่งมีสามองศาอิสระ และละเลยส่วนของการเลื่อน ซึ่งมีอีกสามองศาอิสระ

เมื่อแสดงการหมุนเป็นตัวเลขในคอมพิวเตอร์ บางคนชอบการแสดงแบบควอเทอร์เนียนหรือการแสดงแบบแกน+มุม เพราะจะช่วยหลีกเลี่ยงการล็อกแกนหมุนที่อาจเกิดขึ้นกับการหมุนแบบออยเลอร์^{[ 1 ]}

กลุ่ม เวกเตอร์หน่วยสามตัวที่กล่าวถึงข้างต้นเรียกว่าฐาน (basis ) การระบุพิกัด ( ส่วนประกอบ ) ของเวกเตอร์ในฐานนี้ ณ ตำแหน่งปัจจุบัน (ที่หมุนแล้ว) ในแง่ของแกนพิกัดอ้างอิง (ที่ไม่หมุน) จะอธิบายการหมุนได้อย่างสมบูรณ์ เวกเตอร์หน่วยสามตัวû , v̂และŵที่ประกอบเป็นฐานที่หมุนแล้วแต่ละตัวประกอบด้วย 3 พิกัด ทำให้มีพารามิเตอร์ทั้งหมด 9 ตัว

พารามิเตอร์เหล่านี้สามารถเขียนได้เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์3 × 3 Aซึ่งเรียกว่าเมทริกซ์การหมุนโดยทั่วไป พิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวจะถูกจัดเรียงตามคอลัมน์ของเมทริกซ์ (อย่างไรก็ตาม โปรดระวังว่ายังมีคำจำกัดความอื่นของเมทริกซ์การหมุนที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดไว้ข้างต้นจะถูกจัดเรียงตามแถว^{[ 2 ]} ) $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {u} }__{x}&{\hat {\mathbf {v} }}_{x}&{\hat {\mathbf {w} }`{x}\\{\hat {\mathbf {u} }__{y}&{\hat {\mathbf {v} }__{y}&{\hat {\mathbf {w} }__{y}\\{\hat {\mathbf {u} }__{z}&{\hat {\mathbf {v} }__{z}&{\hat {\mathbf {w} }__{z}\\\end{bmatrix}}}$$

องค์ประกอบของเมทริกซ์การหมุนไม่ได้เป็นอิสระต่อกันทั้งหมด—ตามทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์ เมทริกซ์การหมุนมีองศาอิสระเพียงสามองศาเท่านั้น

เมทริกซ์การหมุนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• Aคือเมทริกซ์จริงเชิงตั้งฉากดังนั้นแต่ละแถวหรือแต่ละคอลัมน์ของเมทริกซ์นี้จึงแทนเตอร์หน่วย
• ค่าไอเกนของ เมทริก ซ์ Aคือโดยที่iคือหน่วยจินตนาการ มาตรฐาน ที่มีคุณสมบัติi ² = −1$${\displaystyle \left\{1,e^{\pm i\theta }\right\}=\{1,\ \cos \theta +i\sin \theta ,\ \cos \theta -i\sin \theta \}}$$
• ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมท ริก ซ์ Aคือ +1 ซึ่งเทียบเท่ากับผลคูณของค่าไอเกนของเมทริกซ์ A
• ผลรวมของค่าร่องรอย (trace)ของ เมทริก ซ์ Aคือ1 + 2 cos θซึ่งเทียบเท่ากับผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalues) ของเมทริกซ์ A

มุมθที่ปรากฏในนิพจน์ค่าลักษณะเฉพาะนั้น สอดคล้องกับมุมของแกนออยเลอร์และการแสดงมุม เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ 1 คือแกนออยเลอร์ เนื่องจากแกนนี้เป็นเวกเตอร์เดียว (ที่ไม่เป็นศูนย์) ที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคูณทางซ้าย (หมุน) ด้วยเมทริกซ์การหมุน

คุณสมบัติข้างต้นเทียบเท่ากับ ซึ่งเป็นอีกวิธีหนึ่งในการกล่าวว่า( û , v̂ , ŵ )ก่อให้เกิดฐานออร์โทนอร์มอล 3 มิติ ข้อความเหล่านี้ประกอบด้วยเงื่อนไขทั้งหมด 6 ข้อ (ผลคูณไขว้มี 3 ข้อ) ทำให้เมทริกซ์การหมุนมีองศาอิสระเพียง 3 องศาตามที่ต้องการ $${\displaystyle {\begin{aligned}|{\hat {\mathbf {u} }}|=|{\hat {\mathbf {v} }}|=|{\hat {\mathbf {w} }}|&=1\\{\hat {\mathbf {u} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}&=0\\{\hat {\mathbf {u} }}\times {\hat {\mathbf {v} }}&={\hat {\mathbf {w} }}\,,\end{aligned}}}$$

การหมุนสองครั้งติดต่อกันซึ่งแสดงด้วยเมทริกซ์A ₁และA ₂สามารถรวมกันได้อย่างง่ายดายในฐานะองค์ประกอบของกลุ่ม (โปรดสังเกตลำดับ เนื่องจากเวกเตอร์ที่กำลังหมุนจะถูกคูณจากด้านขวา) $${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{total}}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}}$$

ความง่ายในการหมุนเวกเตอร์โดยใช้เมทริกซ์การหมุน รวมถึงความง่ายในการรวมการหมุนต่อเนื่องกัน ทำให้เมทริกซ์การหมุนเป็นวิธีที่มีประโยชน์และเป็นที่นิยมในการแสดงการหมุน แม้ว่าจะกระชับน้อยกว่าการแสดงแบบอื่นก็ตาม

จากทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์เราทราบว่าการหมุนใดๆ สามารถแสดงได้ในรูปการหมุนเพียงครั้งเดียวรอบแกนใดแกนหนึ่ง แกนนั้นคือเวกเตอร์หน่วย (มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ยกเว้นเครื่องหมาย) ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงไปจากการหมุน ขนาดของมุมก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวเช่นกัน โดยเครื่องหมายของมุมจะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของแกนการหมุน

แกนสามารถแสดงได้ด้วย เวกเตอร์หน่วย สามมิติ และมุมสามารถแสดงได้ด้วยค่าสเกลาร์ θ$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$

เนื่องจากแกนถูกทำให้เป็นแกนมาตรฐานแล้ว จึงมีเพียงสององศาอิสระเท่านั้น มุมจะเพิ่มองศาอิสระที่สามให้กับการแสดงการหมุนนี้

เราอาจต้องการแสดงการหมุนในรูปของเวกเตอร์การหมุนหรือเวกเตอร์ออยเลอร์ซึ่ง เป็นเวกเตอร์สามมิติที่ไม่ได้รับการทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วย โดยทิศทางของเวกเตอร์จะระบุแกน และความยาวคือθ$${\displaystyle \mathbf {r} =\theta {\hat {\mathbf {e} }}\,.}$$

เวกเตอร์การหมุนมีประโยชน์ในบางบริบท เนื่องจากมันแสดงถึงการหมุนสามมิติด้วย ค่า สเกลาร์ เพียงสาม ค่า (ส่วนประกอบของมัน) ซึ่งแสดงถึงองศาอิสระทั้งสาม เช่นเดียวกับการแสดงผลโดยใช้ลำดับของมุมออยเลอร์สามมุม (ดูด้านล่าง)

ถ้ามุมการหมุนθเป็นศูนย์ แกนจะไม่สามารถกำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจง การรวมการหมุนสองครั้งที่ต่อเนื่องกัน โดยแต่ละครั้งแทนด้วยแกนและมุมออยเลอร์นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย และในความเป็นจริงแล้วไม่เป็นไปตามกฎการบวกเวกเตอร์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการหมุนแบบจำกัดนั้นไม่ใช่เวกเตอร์อย่างแท้จริง วิธีที่ดีที่สุดคือการใช้เมทริกซ์การหมุนหรือสัญกรณ์ควอเทอร์เนียน คำนวณผลคูณ แล้วแปลงกลับเป็นแกนและมุมออยเลอร์

แนวคิดเบื้องหลังการหมุนแบบออยเลอร์คือการแบ่งการหมุนทั้งหมดของระบบพิกัดออกเป็นการหมุนเชิงโครงสร้างที่ง่ายกว่าสามแบบ เรียกว่า การหมุนควง (precession) การหมุนรอบแกน ( nutation ) และการหมุนภายใน (intrinsic rotation ) โดยแต่ละแบบเป็นการเพิ่มค่าบนมุมออยเลอร์มุมใดมุมหนึ่ง สังเกตว่าเมทริกซ์ภายนอกจะแสดงถึงการหมุนรอบแกนหนึ่งของกรอบอ้างอิง และเมทริกซ์ภายในจะแสดงถึงการหมุนรอบแกนหนึ่งของกรอบเคลื่อนที่ ส่วนเมทริกซ์ตรงกลางจะแสดงถึงการหมุนรอบแกนกลางที่เรียกว่า เส้นของจุดตัด (line of nodes )

อย่างไรก็ตาม นิยามของมุมออยเลอร์นั้นไม่เป็นเอกลักษณ์ และในเอกสารทางวิชาการมีการใช้แบบแผนที่แตกต่างกันมากมาย แบบแผนเหล่านี้ขึ้นอยู่กับแกนที่ใช้ในการหมุน และลำดับของการหมุน (เนื่องจากการหมุนบนทรงกลมนั้นไม่สามารถสลับที่ได้ )

โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบที่ใช้จะระบุโดยการกำหนดแกนที่การหมุนต่อเนื่อง (ก่อนที่จะนำมาประกอบกัน) เกิดขึ้น โดยอ้างอิงด้วยดัชนี(1, 2, 3)หรือตัวอักษร(X, Y, Z)ในวงการวิศวกรรมและหุ่นยนต์มักใช้มุมออยเลอร์แบบ 3-1-3 โปรดสังเกตว่าหลังจากประกอบการหมุนอิสระแล้ว การหมุนเหล่านั้นจะไม่หมุนรอบแกนของตัวเองอีกต่อไป เมทริกซ์ภายนอกสุดจะหมุนเมทริกซ์อีกสองตัว ทำให้เมทริกซ์การหมุนตัวที่สองอยู่เหนือเส้นของโหนด และเมทริกซ์ตัวที่สามอยู่ในเฟรมที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับตัววัตถุ มี ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ 3 × 3 × 3 = 27ชุดของการหมุนพื้นฐานสามแบบ แต่มีเพียง3 × 2 × 2 = 12ชุดเท่านั้นที่สามารถใช้แทนการหมุน 3 มิติแบบใดก็ได้ในรูปของมุมออยเลอร์ ชุดค่าผสมทั้ง 12 แบบนี้จะหลีกเลี่ยงการหมุนต่อเนื่องรอบแกนเดียวกัน (เช่น XXY) ซึ่งจะลดจำนวนองศาอิสระที่สามารถแสดงได้

ดังนั้น มุมออยเลอร์จึงไม่เคยถูกแสดงในรูปของกรอบอ้างอิงภายนอก หรือในรูปของกรอบอ้างอิงของวัตถุที่หมุนไปพร้อมกัน แต่จะแสดงในรูปแบบผสมผสาน จึงมีการใช้สัญลักษณ์อื่นๆ (เช่นเมทริกซ์การหมุนหรือควอเทอร์เนียน ) เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้

ในด้านการบินทิศทางของอากาศยานมักแสดงด้วยมุมTait-Bryanตาม แบบแผน z - y ′- x ″ซึ่งเรียกว่าทิศทาง (heading) , ระดับความสูง (elevation ) และมุมเอียง (bank) (หรือในความหมายเดียวกันคือ มุมหัน ( yaw ) , มุมเงย (pitch ) และมุมเอียง (roll ) )

ควอเทอร์เนียน ซึ่งเป็นปริภูมิ เวกเตอร์สี่มิติได้พิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์อย่างมากในการแสดงการหมุน เนื่องจากมีข้อดีหลายประการเหนือกว่าการแสดงแบบอื่น ๆ ที่กล่าวถึงในบทความนี้

การแสดงผลการหมุนด้วยควอเทอร์เนียนเขียนได้เป็นเวอร์เซอร์ (ควอเทอร์เนียนแบบนอร์มาไลซ์): $${\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

คำจำกัดความข้างต้นจัดเก็บควอเทอร์เนียนเป็นอาร์เรย์ตามแบบแผนที่ใช้ใน (Wertz 1980) และ (Markley 2003) คำจำกัดความทางเลือกอื่น ซึ่งใช้ใน (Coutsias 1999) และ (Schmidt 2001) เป็นต้น กำหนดให้เทอม "สเกลาร์" เป็นองค์ประกอบแรกของควอเทอร์เนียน โดยที่องค์ประกอบอื่นๆ เลื่อนลงมาหนึ่งตำแหน่ง

ในแง่ของแกนออยเลอร์ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$

และมุมθส่วนประกอบของเวอร์เซอร์นี้แสดงได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=e_{x}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=e_{y}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=e_{z}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

จากการตรวจสอบพบว่า การกำหนดพารามิเตอร์ควอเทอร์เนียนเป็นไปตามข้อจำกัดดังต่อไปนี้: $${\displaystyle q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1}$$

พจน์สุดท้าย (ในคำจำกัดความของเรา) มักเรียกว่าพจน์สเกลาร์ ซึ่งมีที่มาจากควอเทอร์เนียนเมื่อเข้าใจว่าเป็นส่วนขยายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงซ้อน เขียนได้เป็น และ โดยที่{ i , j , k }คือจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ที่สอดคล้องกับ $${\displaystyle a+bi+cj+dk\qquad {\text{with }}a,b,c,d\in \mathbb {R} }$$$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1\\ij&=&-ji&=&k&&\\jk&=&-kj&=&i&&\\ki&=&-ik&=&j&&\end{array}}}$$

การคูณควอเทอร์เนียน ซึ่งใช้ในการระบุ การหมุน เชิงประกอบจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการคูณจำนวนเชิงซ้อนยกเว้นว่าต้องคำนึงถึงลำดับขององค์ประกอบ เนื่องจาก1การคูณไม่เป็นไปตามสมบัติการสลับที่ ในสัญกรณ์เมทริกซ์ เราสามารถเขียนการคูณควอเทอร์เนียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}\otimes \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}&-q_{j}&\;\;\,q_{i}\\-q_{k}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{i}&\;\;\,q_{j}\\\;\;\,q_{j}&-q_{i}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}\\-q_{i}&-q_{j}&-q_{k}&\;\;\,q_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\tilde {q}}_{i}\\{\tilde {q}}_{j}\\{\tilde {q}}_{k}\\{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}\\\;\;\,{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}\\-{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&\;\;\,{\tilde {q}}_{k}\\-{\tilde {q}}_{i}&-{\tilde {q}}_{j}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

ดังนั้น การรวมการหมุนควอเทอร์เนียนสองครั้งที่ต่อเนื่องกันจึงง่ายเหมือนกับการใช้เมทริกซ์การหมุน เช่นเดียวกับการรวม เมทริกซ์การหมุนสองครั้งที่ต่อเนื่องกัน A ₁ตามด้วยA ₂ ซึ่ง เราสามารถแสดงสิ่งนี้ด้วยพารามิเตอร์ควอเทอร์เนียนในลักษณะที่กระชับเช่นเดียวกัน: $${\displaystyle \mathbf {A} _{3}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1},}$$$${\displaystyle \mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{2}\otimes \mathbf {q} _{1}}$$

ควอเทอร์เนียนเป็นรูปแบบการกำหนดพารามิเตอร์ที่ได้รับความนิยมอย่างมากเนื่องจากมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• มีขนาดกะทัดรัดกว่าการแสดงผลในรูปแบบเมทริกซ์และมีโอกาสเกิดข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ น้อยกว่า
• การแสดงเมทริกซ์การหมุนในรูปของพารามิเตอร์ควอเทอร์เนียนไม่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ใดๆ
• การรวมการหมุนสองแบบที่แสดงในรูปควอเทอร์เนียนเข้าด้วยกันโดยใช้ผลคูณควอเทอร์เนียนนั้นทำได้ง่าย

เช่นเดียวกับเมทริกซ์การหมุน ควอเทอร์เนียนบางครั้งก็ต้องได้รับการปรับขนาดใหม่เนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษ เพื่อให้แน่ใจว่าสอดคล้องกับการหมุนที่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ต้นทุนการคำนวณในการปรับขนาดควอเทอร์เนียนนั้นน้อยกว่าการปรับขนาดเมทริกซ์ 3 × 3 มาก

ควอเทอร์เนียนยังจับลักษณะสปินเนอร์ของการหมุนในสามมิติได้ด้วย สำหรับวัตถุสามมิติที่เชื่อมต่อกับสภาพแวดล้อม (คงที่) ด้วยเชือกหรือแถบที่หย่อนยาน เชือกหรือแถบเหล่านั้นสามารถคลายออกได้หลังจาก หมุนครบ สองรอบรอบแกนคงที่บางแกนจากสถานะเริ่มต้นที่ไม่พันกัน ในทางพีชคณิต ควอเทอร์เนียนที่อธิบายการหมุนดังกล่าวจะเปลี่ยนจากค่าสเกลาร์ +1 (เริ่มต้น) ผ่านค่า (สเกลาร์ + เวกเตอร์เทียม) ไปเป็นสเกลาร์ −1 (เมื่อหมุนครบหนึ่งรอบ) ผ่านค่า (สเกลาร์ + เวกเตอร์เทียม) กลับไปที่สเกลาร์ +1 (เมื่อหมุนครบสองรอบ) วงจรนี้จะเกิดขึ้นซ้ำทุกๆ 2 รอบ หลังจาก2nรอบ (จำนวนเต็มn > 0 ) โดยไม่มีการพยายามคลายออกระหว่างกลาง เชือก/แถบเหล่านั้นสามารถคลายออกได้บางส่วนกลับไปยังสถานะ2( n − 1)รอบด้วยการประยุกต์ใช้ขั้นตอนเดียวกันกับที่ใช้ในการคลายออกจาก 2 รอบเป็น 0 รอบ การใช้ขั้นตอนเดียวกันซ้ำnครั้ง จะทำให้ วัตถุที่พันกัน 2n รอบกลับคืนสู่สถานะคลายตัวหรือ 0 รอบ การคลายตัวยังช่วยขจัดแรงบิดที่เกิดจากการหมุนรอบเส้นเชือก/แถบเหล่านั้นด้วย สามารถใช้แบบจำลองเชิงกล 3 มิติอย่างง่ายเพื่อแสดงข้อเท็จจริงเหล่านี้ได้

เวกเตอร์ Rodrigues (บางครั้งเรียกว่าเวกเตอร์ Gibbsโดยมีพิกัดที่เรียกว่าพารามิเตอร์ Rodrigues ) ^{[ 3 ] [ 4 ]}สามารถแสดงได้ในรูปของแกนและมุมของการหมุนดังต่อไปนี้: $${\displaystyle \mathbf {g} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

การแสดงผลนี้เป็นอนาล็อกในมิติที่สูงกว่าของการฉายภาพโนมอนิก โดยแมป ควอ เทอร์เนียนหน่วยจากทรงกลม 3 มิติไปยังระนาบไฮเปอร์ เวกเตอร์บริสุทธิ์ 3 มิติ

มีจุดไม่ต่อเนื่องที่ 180° ( πเรเดียน): เมื่อเวกเตอร์การหมุนใดๆrเข้าใกล้มุมπเรเดียน ค่าแทนเจนต์ของเวกเตอร์นั้นจะเข้าใกล้ค่าอนันต์

การหมุนgตามด้วยการหมุนfในการแสดงแทนแบบ Rodrigues มีรูปแบบการประกอบการหมุนอย่างง่าย

ในปัจจุบัน วิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุดในการพิสูจน์สูตรนี้คือการใช้การแสดงแทนแบบดับเบิลเล็ต (ที่เที่ยงตรง) โดยที่g = n̂ tan aเป็นต้น

_{คุณสมบัติเชิงการจัดเรียงของการหาอนุพันธ์เมทริกซ์ ของ Pauli ที่กล่าวถึงข้างต้น นั้น}เหมือนกับ การหาอนุพันธ์ ควอเทอร์เนียน ที่เทียบเท่าด้านล่าง _{ทุกประการ สร้างควอเทอร์เนียนที่เกี่ยวข้องกับการหมุนเชิงพื้นที่ R ดังนี้ จากนั้นการประกอบการหมุน RB กับ} RAคือการหมุน RC = RBRA โดยมีแกนการหมุน และมุม _ที่กำหนดโดยผลคูณของควอเทอร์เนียน นั่นคือ $${\displaystyle S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .}$$$${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,}$$$${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).}$$

ขยายผลคูณควอเทอร์เนียนนี้ไปเป็น $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).}$$

หารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วยเอกลักษณ์ที่ได้จากสมการก่อนหน้า แล้วคำนวณหาค่า $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,}$$

นี่คือสูตรของ Rodrigues สำหรับแกนของการหมุนแบบผสมที่กำหนดในแง่ของแกนของการหมุนส่วนประกอบทั้งสอง เขาได้สูตรนี้มาในปี พ.ศ. 2383 (ดูหน้า 408) ^{[ 3 ]} แกนการหมุนทั้งสามA , BและCก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมทรงกลม และมุมไดเฮดรัลระหว่างระนาบที่เกิดจากด้านของสามเหลี่ยมนี้จะถูกกำหนดโดยมุมการหมุน

การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของควอเทอร์เนียนหน่วยลงบนไฮเปอร์เพลนจินตภาพบริสุทธิ์เรียกว่าเวกเตอร์การหมุนแบบคอนฟอร์มอลโดยบางครั้งพิกัดของเวกเตอร์นี้จะเรียกว่าพารามิเตอร์โรดริเกสแบบดัดแปลง (MRPs)

เวกเตอร์การหมุนแบบคอนฟอร์มอลสามารถแสดงได้ในรูปของแกนออยเลอร์และมุม โดยที่ MRPs สามารถแสดงได้ในรูปของส่วนประกอบของควอเทอร์เนียนหน่วยที่แสดงถึงการหมุนแบบเดียวกันกับ $${\displaystyle \mathbf {p} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{4}}\,.}$$$${\displaystyle p_{x,y,z}={\frac {q_{i,j,k}}{1+q_{r}}}\,.}$$

การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของควอเทอร์เนียนตรงข้าม−qส่งผลให้เวกเตอร์การหมุนเชิงคอนฟอร์มัล p ^s แตกต่าง จากการฉายภาพของควอเทอร์เนียนดั้งเดิมqเมื่อเปรียบเทียบส่วนประกอบจะได้ว่า ที่น่าสังเกตคือ ถ้าเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งอยู่ภายในทรงกลม 3 มิติหน่วย อีกตัวหนึ่งจะอยู่นอกทรงกลม $${\displaystyle p_{x,y,z}^{s}={\frac {-q_{i,j,k}}{1-q_{r}}}={\frac {-p_{x,y,z}}{\mathbf {p} ^{2}}}\,.}$$

เมื่อใช้สัญลักษณ์เดียวกันกับข้างต้น จะได้ควอเทอร์เนียนหน่วยดังนี้:

${\displaystyle s={\frac {2}{1+\lVert \mathbf {p} \rVert ^{2}}},\qquad {\begin{cases}q_{r}&=s-1,\\q_{i}&=s\,p_{x},\\q_{j}&=s\,p_{y},\\q_{k}&=s\,p_{z}.\end{cases}}}$

ดูคำจำกัดความได้ที่Wolfram Mathworld

การหมุนแบบแอคทีฟของเวกเตอร์ 3 มิติpในปริภูมิยูคลิดรอบแกนnด้วยมุมηสามารถเขียนได้ง่ายๆ ในรูปของผลคูณจุดและผลคูณไขว้ ดังนี้:

$${\displaystyle \mathbf {p} '=p_{\parallel }\mathbf {n} +\cos {\eta }\,\mathbf {p} _{\perp }+\sin {\eta }\,\mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$ โดยที่ คือส่วนประกอบตามแนวยาวของpตามแนวnซึ่งกำหนดโดยผลคูณดอทคือ ส่วนประกอบตามแนวขวางของpเทียบกับnและ $${\displaystyle p_{\parallel }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} }$$$${\displaystyle \mathbf {p} _{\perp }=\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$$${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$

คือผลคูณเชิงเวกเตอร์ ของpกับn

สูตรข้างต้นแสดงให้เห็นว่าส่วนประกอบตามแนวยาวของpยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่ส่วนตามแนวขวางของpหมุนไปในระนาบที่ตั้งฉากกับnระนาบนี้เกิดจากส่วนตามแนวขวางของpเองและทิศทางที่ตั้งฉากกับทั้งpและn การหมุนสามารถระบุได้โดยตรงในสมการเป็นการ หมุน 2 มิติด้วยมุมη

การ หมุน แบบพาสซีฟสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรเดียวกัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับηหรือn

มุมออยเลอร์( φ , θ , ψ )สามารถหาได้จากเมทริกซ์การหมุนAโดยการตรวจสอบเมทริกซ์การหมุนในรูปแบบเชิงวิเคราะห์

โดยใช้หลักการx -convention มุมออยเลอร์ภายนอก 3-1-3 φ , θและψ (รอบแกนz แกน xและแกน y อีกครั้ง) สามารถหาได้ดังนี้: ${\displaystyle Z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(A_{31},A_{32}\right)\\\theta &=\arccos \left(A_{33}\right)\\\psi &=-\operatorname {atan2} \left(A_{13},A_{23}\right)\end{aligned}}}$$

โปรดทราบว่าatan2( a , b )เทียบเท่ากับarctan ⁠เอ/ขโดยจะพิจารณาควอดแรนต์ที่จุด ( b , a )อยู่ด้วยดู atan2

เมื่อดำเนินการแปลง ต้องคำนึงถึงสถานการณ์หลายประการ: ^{[ 5 ]}

• โดยทั่วไปจะมีสองคำตอบในช่วง[− π , π ] ³สูตรข้างต้นใช้ได้เฉพาะเมื่อθอยู่ในช่วง[0, π ]เท่านั้น
• สำหรับกรณีพิเศษA ₃₃ = 0ค่าφและψจะได้มาจากA ₁₁และA ₁₂
• มีคำ ตอบจำนวนอนันต์แต่มีคำตอบที่นับได้อยู่นอกช่วง[− π , π ] ³
• ว่าวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะใช้ได้กับแอปพลิเคชันที่กำหนดหรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับสถานการณ์

เมทริกซ์การหมุนA ถูกสร้างขึ้นจากมุมออยเลอร์ ภายใน 3-2-1 โดยการคูณเมทริกซ์ทั้งสามที่สร้างขึ้นจากการหมุนรอบแกน $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{3}\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}=\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A} _{Y}\mathbf {A} _{X}}$$

แกนของการหมุนขึ้นอยู่กับแบบแผนที่ใช้ สำหรับ แบบแผน xการหมุนจะเป็นการหมุนรอบ แกน x , yและzด้วยมุมϕ , θและψ โดย เมทริกซ์แต่ละตัวมีดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{X}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Y}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Z}&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

ผลลัพธ์ที่ได้ คือ หมายเหตุ: วิธีนี้ใช้ได้กับ ระบบ เลขชี้กำลังขวาซึ่งเป็นระบบที่ใช้กันทั่วไปในเกือบทุกสาขาวิศวกรรมและฟิสิกส์ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{bmatrix}}}$$

การตีความเมทริกซ์การหมุนแบบมือขวาเหล่านี้คือ เมทริกซ์เหล่านี้แสดงถึงการแปลงพิกัด ( แบบพาสซี ฟ ) ตรงข้ามกับการแปลงจุด ( แบบแอคทีฟ ) เนื่องจากAแสดงถึงการหมุนจากเฟรมท้องถิ่น1ไปยังเฟรมสากล0 (กล่าวคือAเข้ารหัสแกนของเฟรม1เทียบกับเฟรม0 ) เมทริกซ์การหมุนพื้นฐานจึงประกอบขึ้นดังที่กล่าวมาข้างต้น เนื่องจากผกผันการหมุนเป็นเพียงการหมุนที่สลับตำแหน่ง หากเราต้องการการหมุนจากเฟรมสากลไปยังเฟรมท้องถิ่นจากเฟรม0ไปยังเฟรม1เราจะเขียนว่า $${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}=(\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A} _{Y}\mathbf {A} _{X})^{\mathsf {T}}=\mathbf {A} _{X}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} _{Y}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} _{Z}^{\mathsf {T}}\,.}$$

ถ้ามุมออยเลอร์θไม่ใช่พหุคูณของπแกนออยเลอร์êและมุมθสามารถคำนวณได้จากองค์ประกอบของเมทริกซ์การหมุนAดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arccos {\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\\e_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2\sin \theta }}\\e_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2\sin \theta }}\\e_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2\sin \theta }}\end{aligned}}}$$

หรืออีกวิธีหนึ่ง สามารถใช้วิธีการต่อไปนี้ได้:

การแยกส่วนประกอบค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์การหมุนจะให้ค่าลักษณะเฉพาะ 1 และcos θ ± i sin θแกนออยเลอร์คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ 1 และ สามารถคำนวณค่า θได้จากค่าลักษณะเฉพาะที่เหลือ

แกนออยเลอร์สามารถหา ได้ โดยใช้การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ เนื่องจากเป็นเวกเตอร์ปกติที่ครอบคลุมปริภูมิว่างของเมทริกซ์I − A

ในการแปลงกลับไปกลับมา สามารถคำนวณเมทริกซ์การหมุนที่สอดคล้องกับแกนออยเลอร์êและมุมθได้ตามสูตรการหมุนของ Rodrigues (โดยมีการปรับเปลี่ยนที่เหมาะสม) ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} _{3}\cos \theta +(1-\cos \theta ){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e} }}^{\mathsf {T}}+\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }\sin \theta }$$

โดยที่I ₃คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 3 × 3 และ $${\displaystyle \left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-e_{3}&e_{2}\\e_{3}&0&-e_{1}\\-e_{2}&e_{1}&0\end{bmatrix}}}$$

คือเมท ริกซ์ผลคูณไขว้

ซึ่งขยายความได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{11}&=(1-\cos \theta )e_{1}^{2}+\cos \theta \\A_{12}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{2}-e_{3}\sin \theta \\A_{13}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{3}+e_{2}\sin \theta \\A_{21}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{1}+e_{3}\sin \theta \\A_{22}&=(1-\cos \theta )e_{2}^{2}+\cos \theta \\A_{23}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{3}-e_{1}\sin \theta \\A_{31}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{1}-e_{2}\sin \theta \\A_{32}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{2}+e_{1}\sin \theta \\A_{33}&=(1-\cos \theta )e_{3}^{2}+\cos \theta \end{aligned}}}$$

เมื่อคำนวณควอเทอร์เนียนจากเมทริกซ์การหมุน จะเกิดความกำกวมเรื่องเครื่องหมาย เนื่องจากqและ−q แทน การหมุนแบบเดียวกัน

วิธีหนึ่งในการคำนวณควอเทอร์เนียน จากเมทริกซ์การหมุนAมีดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{r}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}}\\q_{i}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{13}-A_{31}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{21}-A_{12}\right)\end{aligned}}}$$

มีวิธีการคำนวณq ที่เทียบเท่าทางคณิตศาสตร์อีกสามวิธี ความไม่แม่นยำเชิงตัวเลขสามารถลดลงได้โดยการหลีกเลี่ยงสถานการณ์ที่ตัวหารอยู่ใกล้ศูนย์ หนึ่งในสามวิธีอื่น ๆ มีลักษณะดังนี้: ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}-A_{22}-A_{33}}}\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{12}+A_{21}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{13}+A_{31}\right)\\q_{r}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\end{aligned}}}$$

เมทริกซ์การหมุนที่สอดคล้องกับควอเทอร์เนียนqสามารถคำนวณได้ดังนี้: โดยที่ ซึ่งให้ผลลัพธ์ ดังนี้:$${\displaystyle \mathbf {A} =\left(q_{r}^{2}-{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}{\check {\mathbf {q} }}\right)\mathbf {I} _{3}+2{\check {\mathbf {q} }}{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}+2q_{r}\mathbf {\mathcal {Q}} }$$$${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {\mathcal {Q}} ={\begin{bmatrix}0&-q_{k}&q_{j}\\q_{k}&0&-q_{i}\\-q_{j}&q_{i}&0\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}}$$

หรือเทียบเท่า $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1+2q_{i}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&-1+2q_{j}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&-1+2q_{k}^{2}+2q_{r}^{2}\end{bmatrix}}}$$

นี่เรียกว่าสูตรออยเลอร์-โรดริเกสสำหรับเมทริกซ์การแปลง${\displaystyle \mathbf {A} }$

เราจะพิจารณาใช้มุมออยเลอร์ภายนอกแบบ 3-1-3 ตามแบบแผน xสำหรับอัลกอริทึมต่อไปนี้ เงื่อนไขของอัลกอริทึมจะขึ้นอยู่กับแบบแผนที่ใช้

เราสามารถคำนวณควอเทอร์เนียน จากมุมออยเลอร์( ϕ , θ , ψ )ได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=\cos {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=\sin {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=\sin {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

ควอเทอร์เนียนที่เทียบเท่ากับ มุม yaw ( ψ ), pitch ( θ ) และ roll ( ϕ ) หรือมุม Tait–Bryan ภายใน ตาม แบบแผน z - y′ - x ″สามารถคำนวณได้โดย

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}-\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{j}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{k}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}-\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\end{aligned}}}$$

เมื่อกำหนดควอเทอร์เนียนการหมุนแล้ว มุมออยเลอร์ภายนอก( φ , θ , ψ ) ตาม แบบแผนx -convention 3-1-3 สามารถคำนวณได้โดย $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right),-\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\right)\\\theta &=\arccos \left(-q_{i}^{2}-q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}\right)\\\psi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right),\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)\right)\end{aligned}}}$$

เมื่อทราบค่าควอเทอร์เนียนการหมุน มุมยอว์มุมพิทช์และมุมโรล หรือมุมเทต-ไบรอันที่แท้จริงตาม แบบแผน z - y ′- x ″ แล้ว สามารถคำนวณได้โดย $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{roll}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r}q_{i}+q_{j}q_{k}\right),1-2\left(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}\right)\right)\\{\text{pitch}}&=\arcsin \left(2\left(q_{r}q_{j}-q_{k}q_{i}\right)\right)\\{\text{yaw}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r}q_{k}+q_{i}q_{j}\right),1-2\left(q_{j}^{2}+q_{k}^{2}\right)\right)\end{aligned}}}$$

เมื่อกำหนดแกนออยเลอร์êและมุมθแล้ว ควอเทอร์เนียนจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

สามารถคำนวณได้โดย $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\hat {e}}_{1}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&={\hat {e}}_{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&={\hat {e}}_{3}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

เมื่อกำหนดควอเทอร์เนียนการหมุนq แล้ว ให้กำหนด จากนั้น สามารถคำนวณ แกนออยเลอร์êและมุมθ ได้โดย$${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {e} }}&={\frac {\check {\mathbf {q} }}{\left\|{\check {\mathbf {q} }}\right\|}}\\\theta &=2\arccos q_{r}\end{aligned}}}$$

เนื่องจากนิยามของเวกเตอร์ Rodrigues สามารถเชื่อมโยงกับควอเทอร์เนียนการหมุนได้: โดยใช้คุณสมบัติต่อไปนี้สูตรสามารถหาได้โดยการแยกตัวประกอบq$${\displaystyle {\begin{cases}g_{i}={\dfrac {q_{i}}{q_{r}}}=e_{x}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\\g_{j}={\dfrac {q_{j}}{q_{r}}}=e_{y}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\\g_{k}={\dfrac {q_{k}}{q_{r}}}=e_{z}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\end{cases}}}$$$${\displaystyle 1=q_{r}^{2}+q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}=q_{r}^{2}\left(1+{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}+{\frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2}}}+{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}\right)=q_{r}^{2}\left(1+g_{i}^{2}+g_{j}^{2}+g_{k}^{2}\right)}$$² _รจากนิพจน์สุดท้ายที่ได้สำหรับควอเทอร์เนียน:

${\displaystyle \mathbf {A} =q_{r}^{2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}&2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{j}}{q_{r}}}-{\frac {q_{k}}{q_{r}}}\right)&2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}+{\frac {q_{j}}{q_{r}}}\right)\\2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{j}}{q_{r}}}+{\frac {q_{k}}{q_{r}}}\right)&{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}&2\left({\frac {q_{j}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}-{\frac {q_{i}}{q_{r}}}\right)\\2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}-{\frac {q_{j}}{q_{r}}}\right)&2\left({\frac {q_{j}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}+{\frac {q_{i}}{q_{r}}}\right)&{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2}}}\end{bmatrix}}}$

นำไปสู่สูตรสุดท้าย:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{1+g_{i}^{2}+g_{j}^{2}+g_{k}^{2}}}{\begin{bmatrix}1+g_{i}^{2}-g_{j}^{2}-g_{k}^{2}&2\left(g_{i}g_{j}-g_{k}\right)&2\left(g_{i}g_{k}+g_{j}\right)\\2\left(g_{i}g_{j}+g_{k}\right)&1-g_{i}^{2}+g_{j}^{2}-g_{k}^{2}&2\left(g_{j}g_{k}-g_{i}\right)\\2\left(g_{i}g_{k}-g_{j}\right)&2\left(g_{j}g_{k}+g_{i}\right)&1-g_{i}^{2}-g_{j}^{2}+g_{k}^{2}\end{bmatrix}}}$

เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม สามารถหาได้จากอนุพันธ์เทียบกับเวลาของเมทริกซ์การหมุน$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}}$$d A/d tโดยมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: $${\displaystyle [{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$$

การพิสูจน์นี้ดัดแปลงมาจาก Ioffe ^{[ 8 ]}ดังต่อไปนี้:

สำหรับเวกเตอร์r ₀ ใดๆ ให้พิจารณาr ( t ) = A ( t ) r ₀แล้วทำการหาอนุพันธ์: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {r} _{0}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathrm {r} (t)}$$

อนุพันธ์ของเวกเตอร์คือความเร็วเชิงเส้นของปลายเวกเตอร์นั้น เนื่องจาก_A เป็นเมทริกซ์การหมุน ตามคำนิยามแล้ว ความยาวของr ( t )จะเท่ากับความยาวของr₀ เสมอ ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น เมื่อr ( t )หมุน ปลายเวกเตอร์จะเคลื่อนที่ไปตามวงกลม และความเร็วเชิงเส้นของปลายเวกเตอร์จะเป็นแนวสัมผัสกับวงกลม กล่าวคือ ตั้งฉากกับr ( t ) เสมอ ในกรณีเฉพาะนี้ ความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นและเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมคือ (ดูการเคลื่อนที่แบบวงกลมและผลคูณเชิงเวกเตอร์ ) $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)}$$

โดยอาศัยคุณสมบัติการถ่ายทอดของสมการที่กล่าวมาข้างต้น $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {r} (t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)}$$

ซึ่งหมายความว่า $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }}$$

เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม สามารถหาได้จากอนุพันธ์ของควอเทอร์เนียน$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}}$$d q/d tดังต่อไปนี้: ^{[ 9 ]} โดยที่ q̃คือคอนจูเกต (อินเวอร์ส)ของ q$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}{\tilde {\mathbf {q} }}}$$

ในทางกลับกัน อนุพันธ์ของควอเทอร์เนียนคือ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}\mathbf {q} \,.}$$

สูตรของพีชคณิตเชิงเรขาคณิต (GA) เป็นการขยายและตีความวิธีการควอเทอร์เนียน หัวใจสำคัญของ GA คือผลคูณเชิงเรขาคณิตของเวกเตอร์ ซึ่งเป็นการขยายผลคูณภายในและผลคูณไขว้ แบบดั้งเดิม โดยกำหนดโดย $${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$$

โดยที่สัญลักษณ์∧หมายถึงผลคูณภายนอกหรือผลคูณลิ่มผลคูณของเวกเตอร์aและb นี้ ให้ผลลัพธ์สองส่วน คือ ส่วนที่เป็นสเกลาร์จากผลคูณภายใน และ ส่วนที่ เป็นไบเวกเตอร์จากผลคูณลิ่ม ไบเวกเตอร์นี้อธิบายระนาบที่ตั้งฉากกับสิ่งที่ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์

ในอัลกอริทึมพันธุกรรม (GA) ไบเวกเตอร์มีคุณสมบัติที่ผิดปกติบางอย่างเมื่อเทียบกับเวกเตอร์ ภายใต้ผลคูณเชิงเรขาคณิต ไบเวกเตอร์จะมีกำลังสองเป็นลบ: ไบเวกเตอร์x̂ŷ อธิบายระนาบ xy กำลังสองของมันคือ ( x̂ŷ ) 2 = x̂ŷx̂ŷเนื่องจาก^เวกเตอร์ฐานหน่วยตั้งฉากกัน ผลคูณเชิงเรขาคณิตจึงลดลงเหลือผลคูณภายนอกแบบไม่สมมาตร ดังนั้นx̂และŷสามารถสลับกันได้อย่างอิสระโดยมีค่าใช้จ่ายเป็น −1 กำลังสองลดลงเหลือ− x̂x̂ŷŷ = −1เนื่องจากเวกเตอร์ฐานเองกำลังสองได้ +1

ผลลัพธ์นี้ใช้ได้โดยทั่วไปกับไบเวกเตอร์ทั้งหมด และด้วยเหตุนี้ ไบเวกเตอร์จึงมีบทบาทคล้ายกับหน่วยจินตนาการพีชคณิตเชิงเรขาคณิตใช้ไบเวกเตอร์ในรูปแบบที่คล้ายกับควอเท อร์เนียน คือ โรเตอร์ ซึ่ง กำหนดโดย โดย ที่B̂คือไบเวกเตอร์หน่วยที่อธิบายระนาบการหมุนเนื่องจากB̂ยกกำลังสองได้ −1 การขยาย อนุกรมกำลังของRจึงสร้างฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกสูตรการหมุนที่แปลงเวกเตอร์aเป็นเวกเตอร์ที่หมุนแล้วbคือ โดย ที่ คือส่วนกลับของ(การกลับลำดับของเวกเตอร์ในเทียบเท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมาย) $${\displaystyle \mathbf {R} =\exp \left({\frac {-{\hat {\mathbf {B} }}\theta }{2}}\right)=\cos {\frac {\theta }{2}}-{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\,,}$$$${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {RaR} ^{\dagger }}$$$${\displaystyle \mathbf {R} ^{\dagger }=\exp \left({\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}\theta \right)=\cos {\frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}}$$${\displaystyle \scriptstyle R}$${\displaystyle B}$

ตัวอย่าง การหมุนรอบแกน สามารถทำได้โดยการแปลงv̂ไปเป็นไบเวกเตอร์คู่ของมัน โดยที่i = x̂ŷẑคือองค์ประกอบปริมาตรหน่วย ซึ่งเป็นไตรเวกเตอร์ (ซูโดสเกลาร์) เพียงตัวเดียวในปริภูมิสามมิติ ผลลัพธ์คือ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {z} }}\right)}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}={\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf {z} }}{\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {i} {\hat {\mathbf {v} }}\,,}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf {z} }}+{\hat {\mathbf {z} }}{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}\right)\,.}$$

อย่างไรก็ตาม ในพื้นที่สามมิติ มักจะง่ายกว่าที่จะปล่อยให้สูตรB̂ = iv̂ เป็น ไปตามเดิม โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าiสลับที่ได้กับวัตถุทั้งหมดใน 3 มิติ และยกกำลังสองได้เท่ากับ −1 การหมุน เวกเตอร์ x̂ในระนาบนี้ด้วยมุมθจะเป็นดังนี้

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}'=\mathbf {R} {\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} ^{\dagger }=e^{-i{\hat {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}{\hat {\mathbf {x} }}e^{i{\hat {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\mathbf {i} \left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}\right)\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$$

เมื่อพิจารณาว่า และ− v̂x̂v̂คือการสะท้อนของx̂รอบระนาบที่ตั้งฉากกับ v̂จะทำให้สามารถตีความการหมุนในเชิงเรขาคณิตได้ กล่าวคือ การหมุนจะคงส่วนประกอบที่ขนานกับ v̂ ไว้และเปลี่ยนแปลงเฉพาะส่วนประกอบที่ตั้งฉากเท่านั้น จากนั้นจึงคำนวณค่าต่างๆ ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }})=2\mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }})}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}&={\frac {1}{3}}\left(-{\hat {\mathbf {x} }}+2{\hat {\mathbf {y} }}+2{\hat {\mathbf {z} }}\right)\\2\mathbf {i} {\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }}&=2\mathbf {i} {\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {z} }}\right)={\frac {2}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}-{\hat {\mathbf {z} }}\right)\end{aligned}}}$$

ผลลัพธ์ของการหมุนคือ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}'={\hat {\mathbf {x} }}\left(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}+{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}-{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$$

การตรวจสอบผลลัพธ์นี้อย่างง่ายคือ มุมθ = ⁠2/3πการหมุนดังกล่าวควรจะแมป x̂ไปยัง ŷ อัน ที่จริง การหมุนจะลดลงเหลือ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}'&={\hat {\mathbf {x} }}\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{3}}{\frac {3}{4}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)\\&=0{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+0{\hat {\mathbf {z} }}={\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$