ฐานทรงกลม

ใน คณิตศาสตร์ บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ควอนตัมและกราฟิกคอมพิวเตอร์และการประยุกต์ใช้ต่างๆฐานทรงกลมเป็นฐานที่ใช้ในการแสดงเทนเซอร์ทรงกลม ฐานทรงกลมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการอธิบายโมเมนตัมเชิงมุมในกลศาสตร์ควอนตัมและฟังก์ชัน ฮาร์ มอนิกทรงกลม

ในขณะที่พิกัดทรงกลมเป็นระบบพิกัดเชิงตั้งฉากระบบ หนึ่งสำหรับการแสดงเวก เตอร์ และเทนเซอร์โดยใช้มุมเชิงขั้ว มุมอะซิมุท และระยะทางรัศมี ฐานทรงกลมถูกสร้างขึ้นจากฐานมาตรฐานและใช้จำนวนเชิงซ้อน

เวกเตอร์Aในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ R³สามารถแสดงได้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่คุ้นเคย^โดยใช้ฐานมาตรฐานe _x , e _y , e _zและพิกัดA _x , A _y , A _z :

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}}$

1

หรือ ระบบพิกัดอื่นใด ที่มีชุดเวกเตอร์ พื้นฐานที่เกี่ยวข้องจากนั้นขยายสเกลาร์เพื่อให้สามารถคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนได้ ดังนั้นเราจึงทำงานในแทนที่จะเป็น ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ในฐานทรงกลมที่กำหนดโดยe ₊ , e ₋ , e ₀และพิกัดที่เกี่ยวข้องกับฐานนี้ ซึ่งกำหนดโดยA ₊ , A ₋ , A ₀เวกเตอร์Aคือ:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{+}\mathbf {e} _{+}+A_{-}\mathbf {e} _{-}+A_{0}\mathbf {e} _{0}}$

2

โดยที่เวกเตอร์ฐานทรงกลมสามารถกำหนดได้โดยใช้ฐานคาร์ทีเซียนโดยใช้สัมประสิทธิ์ค่าเชิงซ้อนใน ระนาบ xy : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{+}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{-}&=+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} _{\pm }=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y}\right)\,}$

3A

โดยที่หมายถึงหน่วยจินตนาการและ หมายถึงเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบใน ทิศทาง z : ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}}$

ความสัมพันธ์ผกผันมีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{y}&=+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{z}&=\mathbf {e} _{0}\end{aligned}}}$

3บี

แม้ว่าการกำหนดฐานในปริภูมิ 3 มิติจะเป็นนิยามที่ถูกต้องสำหรับเทนเซอร์ทรงกลม แต่ก็ครอบคลุมเฉพาะกรณีที่อันดับเท่ากับ 1 เท่านั้น สำหรับอันดับที่สูงกว่านั้น อาจใช้นิยามของตัวสลับหรือการหมุนของเทนเซอร์ทรงกลมได้ นิยามของตัวสลับมีดังต่อไปนี้ ตัวดำเนินการใดๆที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็นเทนเซอร์ทรงกลม: ${\displaystyle k}$${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$$${\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}$$$${\displaystyle [J_{z},T_{q}^{(k)}]=\hbar qT_{q}^{(k)}}$$

ในทำนองเดียวกันกับที่ฮาร์มอนิกทรงกลมแปลงสภาพภายใต้การหมุน เทนเซอร์ทรงกลมทั่วไปจะแปลงสภาพดังต่อไปนี้ เมื่อสถานะแปลงสภาพภายใต้เมทริกซ์ Wigner D เอกภาพโดย ที่Rเป็นองค์ประกอบกลุ่ม (การหมุน 3×3) ในSO(3)นั่นคือ เมทริกซ์เหล่านี้แสดงถึงองค์ประกอบกลุ่มการหมุน ด้วยความช่วยเหลือของพีชคณิต Lieเราสามารถแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความทั้งสองนี้เทียบเท่ากัน ${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\dagger }(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{\mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}}$

สำหรับฐานทรงกลม พิกัดจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนA ₊ , A ₀ , A ₋และสามารถหาได้โดยการแทนที่ ( 3B ) ลงใน ( 1 ) หรือคำนวณโดยตรงจากผลคูณภายใน ⟨, ⟩ ( 5 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{+}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{+}\right\rangle =-{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\A_{-}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{-}\right\rangle =+{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad A_{\pm }=\left\langle \mathbf {e} _{\pm },\mathbf {A} \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mp A_{x}+iA_{y}\right)}$

4A

${\displaystyle A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \right\rangle =A_{z}}$

โดยมีความสัมพันธ์แบบผกผัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{y}&=-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{+}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{z}&=A_{0}\end{aligned}}}$

4B

โดยทั่วไป สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนในฐานออร์โทนอร์มอลค่าจริงเดียวกันe _iซึ่งมีคุณสมบัติe _i · e _j = δ _ijผลคูณภายในจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\star }=\sum _{j}a_{j}b_{j}^{\star }}$

5

โดยที่ · คือผลคูณดอท ตามปกติ และต้องใช้คอนจูเกตเชิงซ้อน * เพื่อรักษา สภาพของขนาด (หรือ "นอร์ม")ของเวกเตอร์ให้เป็นบวกแน่นอน

ฐานทรงกลมเป็นฐานตั้งฉากปกติเนื่องจากผลคูณภายใน ⟨, ⟩ ( 5 ) ของทุกคู่เป็นศูนย์ ซึ่ง หมายความว่าเวกเตอร์ฐานทั้งหมดตั้งฉาก ซึ่งกันและกัน

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0}$

และเวกเตอร์ฐานแต่ละตัวเป็นเวกเตอร์หน่วย :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1}$

ดังนั้นจึงมีความจำเป็นต้องใช้ปัจจัยการปรับค่ามาตรฐานของ. ${\displaystyle 1/\!{\sqrt {2}}}$

ความสัมพันธ์ที่กำหนด ( 3A ) สามารถสรุปได้ด้วยเมทริกซ์การแปลงU :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

ด้วยค่าผกผัน:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

จะเห็นได้ว่าUเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมทริกซ์ เฮอร์มิเชียนคอนจูเกตU ^† ( คอนจูเกตเชิงซ้อนและเมทริกซ์ทรานสโพส ) ของมันก็คือเมทริกซ์ผกผันU ⁻¹ เช่น กัน

สำหรับพิกัด:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

และในทางกลับกัน:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

เมื่อนำ เวกเตอร์ฐานทรงกลม มาคูณกันเราจะพบความสัมพันธ์ที่ชัดเจนดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}}$

โดยที่qเป็นตัวแทนสำหรับ +, −, 0 และความสัมพันธ์ที่ไม่ชัดเจนอีกสองอย่าง:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }}$

ผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์AและBในฐานทรงกลมนั้นได้มาจากนิยามของผลคูณภายในที่กล่าวไว้ข้างต้น:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \right\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }}$

• ทฤษฎีบทวิกเนอร์-เอคาร์ต
• เมทริกซ์ Wigner D
• กลุ่มการหมุน 3 มิติ