ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มสปินซึ่งเขียนแทนด้วย Spin( n ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นกลุ่มลี ที่มี แมนิโฟลด์พื้นฐานเป็นดับเบิลคัฟเวอร์ของกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษSO( n ) = SO( n , R )โดยที่ยังมีลำดับที่แน่นอนสั้นๆของกลุ่มลีอยู่ (เมื่อn ≠ 2 )

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

กฎการคูณกลุ่มบนการปกคลุมสองชั้นได้มาจากการยกการคูณบน ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

เนื่องจาก Spin( n ) เป็นกลุ่ม Lie จึงมี มิติ ร่วมกัน กับ กลุ่ม Lie ⁠n ( n − 1)/2และพีชคณิตลีของมันพร้อมด้วยกลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษ

สำหรับn > 2นั้น Spin( n ) เป็นแบบเชื่อมต่ออย่างง่ายและจึงตรงกับการครอบคลุมสากลของSO ( n )

องค์ประกอบที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ของเคอร์เนลจะถูกแทนด้วย −1 ซึ่งไม่ควรสับสนกับการแปลงเชิงตั้งฉากของการสะท้อนผ่านจุดกำเนิดซึ่ง โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์−I

Spin( n ) สามารถสร้างขึ้นเป็นกลุ่มย่อยขององค์ประกอบที่ผกผันได้ในพีชคณิตคลิฟฟอร์ด Cl( n ) บทความแยกต่างหากจะกล่าวถึงการแสดงแทนของสปิน

กลุ่มสปิน (Spin group) ใช้ในฟิสิกส์เพื่ออธิบายสมมาตรของเฟอร์มิออน (ที่เป็นกลางทางไฟฟ้า ไม่มีประจุ) ส่วนกลุ่มสปิน ที่ซับซ้อนกว่า (Spnc) ใช้ในการอธิบายเฟอร์มิออนที่มีประจุไฟฟ้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งอิเล็กตรอนโดยทั่วไปแล้ว กลุ่มสปินอธิบายเฟอร์มิออนในปริภูมิศูนย์มิติ แต่ในความเป็นจริงปริภูมิไม่ได้เป็นศูนย์มิติ ดังนั้นกลุ่มสปินจึงถูกใช้เพื่อกำหนดโครงสร้างสปิน (ที่ไม่มีอยู่จริง) เป็นเครื่องมือในการคำนวณบนแมนิโฟลด์แบบ (เสมือน) รีมันน์ ( Riemannian manifolds ) กลุ่มสปินคือกลุ่มโครงสร้างของมัดสปินเนอร์ (spinor bundle ) การเชื่อมต่อเชิงเส้นตรงบนมัดสปินเนอร์คือการเชื่อมต่อสปิน (spin connection) การเชื่อมต่อสปินสามารถทำให้การคำนวณใน ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปง่ายขึ้น และในทางกลับกัน การเชื่อมต่อสปินทำให้สามารถเขียนสมการของดิแรก (Dirac equation) ในปริภูมิเวลาโค้ง (หรือใน พิกัด เทตระด ) ได้

การสร้างกลุ่ม Spin มักเริ่มต้นด้วยการสร้างพีชคณิต Cliffordเหนือปริภูมิเวกเตอร์จริงVที่มีรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนq ^{[ 3} ] พีชคณิต Clifford คือผลหารของพีชคณิตเทนเซอร์ T VของVโดยอุดมคติสองด้าน พีชคณิตเทนเซอร์ (เหนือจำนวนจริง) อาจเขียนได้ ^{ดังนี้}

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

พีชคณิตคลิฟฟอร์ด Cl( V ) จึงเป็นพีชคณิตผลหาร

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes vq(v)\right),}$

โดยที่รูปแบบกำลังสองถูกนำมาใช้กับเวกเตอร์ ปริภูมิที่ได้จะมีมิติจำกัดมีการจัดลำดับ ตามธรรมชาติ (เช่นเดียวกับปริภูมิเวกเตอร์) และสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle q(v)}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

โดยที่มิติของและพีชคณิตสปินถูกกำหนดให้เป็นพีชคณิต ย่อยไบเวกเตอร์${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$${\displaystyle {\mathfrak {หมุน}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

โดยที่ตัวสุดท้ายเป็นตัวย่อสำหรับVซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติจริงnมันคือพีชคณิตลีที่มีตัวสลับคือการคูณ มันมีการกระทำตามธรรมชาติบนVและสมมาตรกับพีชคณิตลีของกลุ่มตั้งฉากพิเศษ : ถ้าเซตเป็นฐานตั้งฉากปกติของปริภูมิเวกเตอร์ (จริง) Vแล้ว ผลหารข้างต้นจะทำให้พีชคณิตคลิฟฟอร์ดมีโครงสร้างต่อต้านการสลับตามธรรมชาติ: ${\displaystyle {\mathfrak {ดังนั้น}}(n)}$${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$สำหรับ${\displaystyle i\neq j,}$

ซึ่งตามมาโดยการพิจารณาสำหรับจากนั้นในเรามีว่าตัวสลับของ Lie และดังนั้นจึงให้ไอโซมอร์ฟิซึมกับ ทางด้านขวามือคือผลคูณภายนอกการคูณด้วย 2 อธิบายว่าทำไมการหมุนสปินเนอร์ 360 องศาจึงได้ผลลัพธ์เป็นลบของสปินเนอร์: ในการหารองค์ประกอบพื้นฐานbด้วย 2 จะได้การหมุนครึ่งหนึ่งสำหรับ 360 องศา ${\displaystyle v\otimes v}$${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {spin}}(n)}$${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{j}\otimes e_{k}]=2e_{i}\otimes e_{k}}$${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{k}\otimes e_{l}]=0}$${\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}\rightarrow 2e_{i}\otimes e_{j}-2e_{j}\otimes e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {ดังนั้น}}(n)}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle e^{i\phi b}}$

กลุ่มพิน เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มคลิฟฟอร์ดขององค์ประกอบทั้งหมดในรูปแบบ ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

โดยแต่ละอันมีความยาวหนึ่งหน่วย:${\displaystyle v_{i}\in V}$${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

จากนั้นกลุ่มสปินจะถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

โดยที่ คือปริภูมิย่อยที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบที่เป็นผลคูณของเวกเตอร์จำนวนคู่ นั่นคือ Spin( V ) ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของ Pin( V ) ที่ระบุไว้ข้างต้น โดยมีข้อจำกัดว่าkต้องเป็นจำนวนคู่ ข้อจำกัดของปริภูมิย่อยที่เป็นจำนวนคู่นี้เป็นกุญแจสำคัญในการสร้างสปินเนอร์สององค์ประกอบ (Weyl) ซึ่งจะสร้างขึ้นด้านล่าง ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$

การสลับตำแหน่งแบบผกผันของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดมีความสำคัญในทางฟิสิกส์ เนื่องจากมันสะท้อนถึงหลักการกีดกันของเปาลีสำหรับเฟอร์มิออนการอธิบายอย่างละเอียดนั้นอยู่นอกเหนือขอบเขตของที่กล่าวถึงในที่นี้ แต่เกี่ยวข้องกับการสร้างบันเดิลสปินเนอร์บนปริภูมิเวลามิงโกวสกี ฟิลด์สปินเนอร์ที่ได้นั้นสามารถมองได้ว่ามีการสลับตำแหน่งแบบผกผันเป็นผลพลอยได้จากการสร้างพีชคณิตคลิฟฟอร์ด คุณสมบัติการสลับตำแหน่งแบบผกผันนี้ยังเป็นกุญแจสำคัญในการกำหนดสูตรของซูเปอร์สมมาตร พีชคณิตคลิฟฟอร์ดและกลุ่มสปินมีคุณสมบัติที่น่าสนใจและแปลกประหลาดมากมาย ซึ่งบางส่วนได้ระบุไว้ด้านล่าง

กลุ่มสปินสามารถสร้างขึ้นได้โดยไม่ชัดเจนนัก แต่ไม่ต้องอาศัยพีชคณิตคลิฟฟอร์ด ในฐานะที่เป็นแมนิโฟลด์คือการคลุมสองชั้นของกฎการคูณของมันสามารถกำหนดได้โดยการยกขึ้นดังต่อไปนี้ เรียกแผนที่การคลุมว่าจากนั้นคือเซตที่มีสององค์ประกอบ และสามารถเลือกหนึ่งองค์ประกอบได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปให้เป็นเอกลักษณ์ เรียกสิ่งนี้ว่าจากนั้นเพื่อกำหนดการคูณในสำหรับให้เลือกเส้นทางที่สอดคล้องกับและสิ่งเหล่านี้กำหนดเส้นทางในที่กำหนดซึ่งสอดคล้องกับเนื่องจากคือการคลุมสองชั้น จึงมีการยกขึ้นที่ไม่ซ้ำกันของ ที่มี จากนั้นกำหนดผลคูณเป็น ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle p:\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle p^{-1}(\{e\})}$${\displaystyle {\tilde {e}}}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle a,b\in \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$${\displaystyle \gamma _{a}(0)=\gamma _{b}(0)={\tilde {e}}}$${\displaystyle \gamma _{a}(1)=a,\gamma _{b}(1)=b}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \gamma (t)=p(\gamma _{a}(t))\cdot p(\gamma _{b}(t))}$${\displaystyle \gamma (0)=e}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {e}}}$${\displaystyle a\cdot b={\tilde {\gamma }}(1)}$

จากนั้นสามารถแสดงได้ว่าคำจำกัดความนี้ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางการคูณมีความต่อเนื่อง และสัจพจน์ของกลุ่มเป็นไปตามเงื่อนไข โดยการผกผันมีความต่อเนื่อง ทำให้เกิดกลุ่มลี (Lie group) ${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$

สำหรับปริภูมิกำลังสองVการปกคลุมสองชั้นของ SO( V ) โดย Spin( V ) สามารถระบุได้อย่างชัดเจนดังต่อไปนี้ ให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับVกำหนดแอนติออโตมอร์ฟิซึมโดย ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

สิ่งนี้สามารถขยายไปยังองค์ประกอบทั้งหมดของโดยความเป็นเชิงเส้นได้ มันเป็นแอนติโฮโมมอร์ฟิซึมเนื่องจาก ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

โปรดสังเกตว่าสามารถนิยามได้ว่าเป็นองค์ประกอบทั้งหมดที่ ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

ต่อไปนี้จะนิยามออโตมอร์ฟิซึมซึ่งกำหนดโดยองค์ประกอบดีกรี 1 ${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

และให้แทนซึ่งเป็นแอนติออโตมอร์ฟิซึมของด้วยสัญลักษณ์นี้ การครอบคลุมสองชั้นที่ชัดเจนคือโฮโมมอร์ฟิซึมที่กำหนดโดย ${\displaystyle a^{*}}$${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$${\displaystyle \rho :\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)}$

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

โดยที่. เมื่อมีดีกรี 1 (เช่น) คือการสะท้อนข้ามระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกับ; ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติการสลับที่กันของพีชคณิตคลิฟฟอร์ด ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\in V}$${\displaystyle \rho (a)}$${\displaystyle a}$

สิ่งนี้ทำให้เกิดการครอบคลุมสองชั้นทั้งโดยและโดยเนื่องจากให้การแปลงแบบเดียวกันกับ ${\displaystyle \operatorname {O} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$

เป็นเรื่องคุ้มค่าที่จะทบทวนวิธีการสร้าง ปริภูมิสปินเนอร์และ สปินเนอร์ของไวล์ โดยพิจารณาจากรูปแบบดังกล่าว กำหนดให้ปริภูมิเวกเตอร์จริง Vที่มีมิติn = 2 mซึ่งเป็นจำนวนคู่ การทำให้เป็นเชิงซ้อน ของมัน คือซึ่งสามารถเขียนได้เป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิย่อยของสปินเนอร์และปริภูมิย่อยของแอนติสปินเนอร์: ${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\overline {W}}}$

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

ปริภูมิถูกสร้างขึ้นโดยสปินเนอร์ สำหรับและสปินเนอร์สังยุคเชิงซ้อนสร้างขึ้นโดย เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสปินเนอร์นั้นมีคุณสมบัติการสลับที่กัน และผลคูณของสปินเนอร์และแอนติสปินเนอร์เป็นสเกลาร์ ${\displaystyle W}$${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1\leq k\leq m}$${\displaystyle {\overline {W}}}$

พื้นที่สปินเนอร์ถูกกำหนดให้เป็นพีชคณิตภายนอก พีชคณิตคลิฟฟอร์ด (เชิงซ้อน) กระทำตามธรรมชาติบนพื้นที่นี้ กลุ่มสปิน (เชิงซ้อน) สอดคล้องกับเอนโดมอร์ฟิซึม ที่รักษาความยาว มีการจัดลำดับตามธรรมชาติบนพีชคณิตภายนอก ผลคูณของสำเนาจำนวนคี่ของสอดคล้องกับแนวคิดทางฟิสิกส์ของเฟอร์มิออน ส่วนพื้นที่ย่อยคู่ สอดคล้องกับโบซอน การแสดงแทนของการกระทำของกลุ่มสปินบนพื้นที่สปินเนอร์สามารถสร้างได้ในลักษณะที่ค่อนข้างตรงไปตรงมา^{[ 3 ]}${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$${\displaystyle W}$

กลุ่ม Spin ^Cถูกกำหนดโดยลำดับที่แน่นอน

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

เป็นกลุ่มย่อยแบบทวีคูณของการสร้างเชิงซ้อน ของพีชคณิตคลิฟฟอร์ด และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดย Spin( V ) และวงกลมหน่วยในCหรืออีกนัยหนึ่งคือ ผลหาร ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

โดย ที่ความเท่าเทียมกันระบุ( a , u )กับ( −a , −u )${\displaystyle \sim }$

สิ่งนี้มีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในทฤษฎี 4-manifold และทฤษฎี Seiberg–Wittenในทางฟิสิกส์ กลุ่ม Spin เหมาะสมสำหรับการอธิบายเฟอร์มิออนที่ไม่มีประจุ ในขณะที่กลุ่ม Spin ^Cใช้สำหรับอธิบายเฟอร์มิออนที่มีประจุไฟฟ้า ในกรณีนี้ สมมาตร U(1) เป็นกลุ่มเกจ (กลุ่มโครงสร้าง) ของแม่เหล็ก ไฟฟ้า โดยเฉพาะ

ในมิติที่ต่ำ มีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่ม Lie แบบคลาสสิกที่เรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษตัวอย่างเช่น มีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มสปินมิติที่ต่ำและกลุ่ม Lie แบบคลาสสิกบางกลุ่ม เนื่องมาจากไอโซมอร์ฟิซึมมิติที่ต่ำระหว่างระบบราก (และไอโซมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกันของไดอะแกรม Dynkin ) ของตระกูลต่างๆ ของพีชคณิต Lie แบบง่ายเมื่อเขียนR แทน จำนวนจริงC แทนจำนวนเชิงซ้อน Hแทนควอเทอร์เนียนและความเข้าใจทั่วไปว่า Cl( n ) เป็นตัวย่อของ Cl( Rn ⁾และ Spin( n ) เป็นตัวย่อของ Spin( Rn ⁾และอื่นๆ แล้วจะได้ว่า^{[ 3 ]}

พีชคณิตคลิฟฟอร์ดและกลุ่มสปิน

${\displaystyle \operatorname {\text{Cl}} ^{even}(n)}$	${\displaystyle \operatorname {\text{Pin}} (n)}$	${\displaystyle \operatorname {\text{Spin}} (n)}$	มิติ
${\displaystyle \mathbb {R} }$(ตัวเลขจริง)	{+i, −i, +1, −1}	O(1) = {+1, −1}	0
${\displaystyle \mathbb {C} }$(จำนวนเชิงซ้อน)		U(1) = SO(2)ซึ่งกระทำโดยการหมุนเฟสคู่สอดคล้องกับอาเบเลียน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle z\mapsto u^{2}z}$${\displaystyle D_{1}}$	1
${\displaystyle \mathbb {H} }$(ควอเทอร์เนียน )		Sp(1) = SU(2)ซึ่งสอดคล้องกับ. ${\displaystyle B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}}$	3
${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$		SU(2) × SU(2) ซึ่งสอดคล้องกับ. ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$	6
${\displaystyle M(2,\mathbb {H} )}$(เมทริกซ์ขนาด 2x2 ที่มีสัมประสิทธิ์ควอเทอร์เนียน)		Sp(2)ซึ่งสอดคล้องกับ. ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$	10
${\displaystyle M(4,\mathbb {C} )}$(เมทริกซ์ขนาดสี่คูณสี่ที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน)		SU(4)ซึ่งสอดคล้องกับ. ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$	15

ร่องรอยบางส่วนของไอโซมอร์ฟิซึมเหล่านี้ยังคงหลงเหลืออยู่สำหรับn = 7, 8 (ดูSpin(8)สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม) สำหรับn ที่สูงกว่า ไอโซมอร์ฟิซึมเหล่านี้จะหายไปโดยสิ้นเชิง

ในลายเซ็นที่ไม่แน่นอนกลุ่มสปินถูกสร้างขึ้นผ่านพีชคณิตคลิฟฟอร์ดในลักษณะเดียวกับกลุ่มสปินมาตรฐาน มันเป็นการปกคลุมสองชั้นของ ซึ่งเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของเอกลักษณ์ของกลุ่มออร์โธโกนอลที่ไม่แน่นอนสำหรับ นั้นเชื่อมต่อกัน สำหรับ นั้นจะมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองส่วน^{[ 4 ] : 193} ${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$${\displaystyle {\text{SO}}_{0}(p,q)}$${\displaystyle {\text{SO}}(p,q)}$${\displaystyle p+q>2}$${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$${\displaystyle (p,q)=(1,1)}$

เช่นเดียวกับในลายเซ็นที่แน่นอน มีไอโซมอร์ฟิซึมโดยบังเอิญบางอย่างในมิติที่ต่ำกว่า:

ไอโซมอร์ฟิซึมโดยบังเอิญ

${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$	1	2	3
1	${\displaystyle {\text{GL}}(1,\mathbb {R} )}$
2	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$
3	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\text{Sp}}(4,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\text{SL}}(4,\mathbb {R} )}$
4	${\displaystyle {\text{Sp}}(1,1)}$	${\displaystyle {\text{SU}}(2,2)}$
5	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {H} )}$
6		${\displaystyle {\text{SU}}(2,2,\mathbb {H} )}$

โปรดทราบว่า. ${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)={\text{Spin}}(q,p)}$

กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันและ กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายนั้นถูกจำแนกประเภทโดยพีชคณิต Lie ของมัน ดังนั้น ถ้าGเป็นกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีพีชคณิต Lie อย่างง่าย โดยที่G ′ เป็นการปกคลุมสากลของGก็จะมีการรวมอยู่ด้วย

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

โดยที่ Z( G ′) เป็นศูนย์กลางของG ′ การรวมนี้และพีชคณิตลีของGกำหนดGได้อย่างสมบูรณ์ (โปรดทราบว่าไม่ใช่กรณีที่และ π ₁ ( G ) กำหนดGได้อย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น SL(2, R ) และ PSL(2, R ) มีพีชคณิตลีเดียวกันและกลุ่มพื้นฐานZ เดียวกัน แต่ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ลายเซ็นที่แน่นอน Spin( n ) ทั้งหมดเชื่อมต่อกันอย่างง่ายสำหรับn  > 2 ดังนั้นจึงเป็นการครอบคลุมสากลของ SO( n )

ในลายเซ็นที่ไม่แน่นอน Spin( p , q ) ไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อกัน และโดยทั่วไปแล้วส่วนประกอบเอกลักษณ์ Spin ₀ ( p , q ) ไม่ใช่กลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ดังนั้นจึงไม่ใช่กลุ่มคลุมสากล กลุ่มพื้นฐานนั้นเข้าใจได้ง่ายที่สุดโดยการพิจารณากลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของ SO( p , q ) ซึ่งก็คือ SO( p ) × SO( q ) และสังเกตว่าแทนที่จะเป็นผลคูณของกลุ่มคลุม 2 เท่า (ดังนั้นจึงเป็นกลุ่มคลุม 4 เท่า) Spin( p , q ) คือกลุ่มคลุม 2 เท่าแบบ "แนวทแยง" – มันเป็นผลหาร 2 เท่าของกลุ่มคลุม 4 เท่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มย่อยที่เชื่อมต่อกันและกระชับสูงสุดของ Spin( p , q ) คือ

Spin( p ) × Spin( q )/{(1, 1), (−1, −1)}.

วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถคำนวณกลุ่มพื้นฐานของ SO( p , q ) โดยกำหนดให้p ≥ q ได้ :

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{2}&p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

ดังนั้น เมื่อp , q > 2กลุ่มพื้นฐานคือ Z ₂เนื่องจากเป็นผลหารสองเท่าของผลคูณของตัวคลุมสากลสองตัว

แผนที่บนกลุ่มพื้นฐานมีดังต่อไปนี้ สำหรับp , q > 2หมายความว่าแผนที่π ₁ (Spin( p , q )) → π ₁ (SO( p , q ))กำหนดโดย1 ∈ Z ₂ไปยัง(1, 1) ∈ Z ₂ × Z ₂สำหรับp = 2, q > 2แผนที่นี้กำหนดโดย1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z ₂และสุดท้าย สำหรับp = q = 2 (1 , 0) ∈ Z × Zจะถูกส่งไปยัง(1,1) ∈ Z × Zและ(0, 1)จะถูกส่งไปยัง(1, −1 )

กลุ่มพื้นฐานสามารถหาได้โดยตรงมากขึ้นโดยใช้ผลลัพธ์ในทฤษฎีโฮโมโทปีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถหาค่าสำหรับ กลุ่ม ที่เล็กที่สุดสามกลุ่มซึ่งมีแมนิโฟลด์พื้นฐานที่คุ้นเคย ได้แก่คือแมนิโฟลด์จุดและ(แสดงโดยใช้การแสดงแกน-มุม ) ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {\text{SO}} (n))}$${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {\text{SO}} (n))}$${\displaystyle n>3}$${\displaystyle \operatorname {\text{SO}} (1)}$${\displaystyle \operatorname {\text{SO}} (2)\cong S^{1}}$${\displaystyle \operatorname {\text{SO}} (3)\cong \mathbb {RP} ^{3}}$

การพิสูจน์ใช้ผลลัพธ์ที่ทราบในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต^{[ 5 ]}

สามารถใช้เหตุผลเดียวกันนี้เพื่อแสดงให้เห็นได้โดยพิจารณาไฟเบอร์เรชัน ที่ เป็นแผ่นบนของ ไฮเปอร์โบโลอิดสองแผ่นซึ่งสามารถหดตัวได้และเป็นส่วนประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มลอเรนซ์ ที่เหมาะสม (กลุ่มลอเรนซ์ออร์โธโครนัสที่เหมาะสม) ${\displaystyle \pi ({\text{SO}}(1,n)^{\uparrow })\cong \pi ({\text{SO}}(n))}$$${\displaystyle {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }\rightarrow H^{n},}$$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }}$

ศูนย์กลางของกลุ่มสปิน สำหรับn ≥ 3 (เชิงซ้อนและจริง) จะแสดงดังต่อไปนี้: ^{[ 4 ] : 208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

กลุ่มผลหารสามารถได้มาจากการหารกลุ่มสปินโดยใช้กลุ่มย่อยของศูนย์กลาง โดยที่กลุ่มสปินจะเป็นกลุ่มปกคลุมของกลุ่มผลหารที่ได้ และทั้งสองกลุ่มจะมีพีชคณิตลีเดียวกัน

การหารด้วยศูนย์กลางทั้งหมดจะให้กลุ่มที่เล็กที่สุดดังกล่าว ซึ่งก็คือกลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษแบบโปรเจคทีฟซึ่งไม่มีศูนย์กลางในขณะที่การหารด้วย {±1} จะให้กลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษ – ถ้าศูนย์กลางเท่ากับ {±1} (กล่าวคือในมิติคี่) กลุ่มผลหารทั้งสองนี้จะตรงกัน ถ้ากลุ่มสปินเชื่อมต่อกันอย่างง่าย (เช่นเดียวกับ Spin( n ) สำหรับn > 2 ) แล้ว Spin จะเป็น กลุ่ม สูงสุดในลำดับ และจะมีลำดับของกลุ่มสามกลุ่ม

Spin( n ) → SO( n ) → PSO( n ),

การแยกโดยใช้หลักความเท่าเทียมกันจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

Spin(2 n ) → SO(2 n ) → PSO(2 n ),

Spin(2 n +1) → SO(2 n +1) = PSO(2 n +1),

ซึ่งเป็น รูปแบบจริงกระชับสาม รูปแบบ (หรือสองรูปแบบ ถ้าSO = PSO ) ของพีชคณิตลีกระชับ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

กลุ่มโฮโมโทปีของส่วนปกคลุมและส่วนหารมีความสัมพันธ์กันโดยลำดับที่แน่นอนยาวของไฟเบอร์เรชันโดยมีไฟเบอร์แบบไม่ต่อเนื่อง (โดยไฟเบอร์คือเคอร์เนล) – ดังนั้นกลุ่มโฮโมโทปีทั้งหมดสำหรับk > 1จึงเท่ากัน แต่ π ₀และ π ₁อาจแตกต่างกันได้

สำหรับn > 2นั้น Spin( n ) เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ( π ₀ = π ₁ = Z ₁เป็นแบบไม่สำคัญ) ดังนั้น SO( n ) จึงเชื่อมต่อกันและมีกลุ่มพื้นฐาน Z ₂ในขณะที่ PSO( n ) เชื่อมต่อกันและมีกลุ่มพื้นฐานเท่ากับศูนย์กลางของ Spin( n )

ในลายเซ็นที่ไม่แน่นอน กลุ่มปกคลุมและกลุ่มโฮโมโทปีมีความซับซ้อนมากขึ้น – Spin( p , q ) ไม่ใช่กลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และการหารยังส่งผลต่อส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันด้วย การวิเคราะห์จะง่ายขึ้นหากพิจารณาSO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q ) ขนาดกะทัดรัดสูงสุด (ที่เชื่อมต่อกัน) และกลุ่มส่วนประกอบของSpin ( p , q )

กลุ่มสปินปรากฏในหอคอยไวท์เฮดซึ่งยึดไว้ด้วยกลุ่มตั้งฉาก :

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

หอคอยนี้ได้มาจากการกำจัด (ฆ่า) กลุ่มโฮโมโทปีที่มีลำดับเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ โดยการสร้างลำดับที่แน่นอนสั้นๆโดยเริ่มต้นจากปริภูมิ Eilenberg–MacLaneสำหรับกลุ่มโฮโมโทปีที่จะถูกกำจัด เมื่อฆ่า กลุ่มโฮโมโทปี π ₃ใน Spin( n ) จะได้ กลุ่มสตริงมิติอนันต์String( n )

กลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มสปินสามารถทำความเข้าใจได้โดยการเชื่อมโยงกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษ ( กลุ่มจุด หมุน )

จากทฤษฎีบทแลตทิซ พบว่า มีการปกคลุมสองชั้นSpin( n ) → SO( n ) ซึ่งเชื่อมโยงกันแบบกาโลอิสระหว่างกลุ่มย่อยของ Spin( n ) และกลุ่มย่อยของ SO( n ) (กลุ่มจุดหมุน): ภาพของกลุ่มย่อยของ Spin( n ) เป็นกลุ่มจุดหมุน และภาพผกผันของกลุ่มจุดเป็นกลุ่มย่อยของ Spin( n ) และตัวดำเนินการปิดบนกลุ่มย่อยของ Spin( n ) คือการคูณด้วย {±1} สิ่งเหล่านี้อาจเรียกว่า "กลุ่มจุดไบนารี" ซึ่งที่คุ้นเคยมากที่สุดคือกรณี 3 มิติ เรียกว่ากลุ่มทรงหลายเหลี่ยมไบนารี

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มจุดไบนารีทุกกลุ่มจะเป็นภาพผกผันของกลุ่มจุด (จึงใช้สัญลักษณ์ 2 Gสำหรับกลุ่มจุดG ) หรือเป็นกลุ่มย่อยดัชนี 2 ของกลุ่มจุดผกผันซึ่งแมป (แบบไอโซมอร์ฟิก) ไปยังกลุ่มจุดนั้น ในกรณีหลัง กลุ่มไบนารีทั้งหมดจะเป็นแบบนามธรรม(เนื่องจาก {±1} เป็นศูนย์กลาง) ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับคี่ใน SO( n ) ภาพผกผันของมันคือกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับเป็นสองเท่าและกลุ่มย่อยZ _{2 k +1} < Spin( n ) จะแม ป แบบไอโซมอร์ฟิกไปยังZ _{2 k +1} < SO( n )${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$

ซีรีส์สองเรื่องที่น่าสนใจเป็นพิเศษ ได้แก่:

• กลุ่มเตตระเฮดรัลไบนารีระดับสูงซึ่งสอดคล้องกับการปกคลุมสองเท่าของสมมาตรของn-ซิมเพล็กซ์ กลุ่มนี้ยังสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการปกคลุมสองเท่าของกลุ่มสมมาตร 2⋅A _n → A _nโดยที่กลุ่มสลับกันคือกลุ่มสมมาตร (การหมุน) ของn-ซิมเพล็กซ์
• กลุ่มอ็อกตาเฮดรัลไบนารีระดับสูงซึ่งสอดคล้องกับการปกคลุม 2 เท่าของกลุ่มไฮเปอร์อ็อกตาเฮดรัล (สมมาตรของไฮเปอร์คิวบ์หรือเทียบเท่ากับคู่ของมัน คือครอสโพลีโทป )

สำหรับกลุ่มจุดที่มีการกลับทิศทาง สถานการณ์จะซับซ้อนกว่า เนื่องจากมีกลุ่มหมุด สองกลุ่ม ดังนั้นจึงมีกลุ่มไบนารีที่เป็นไปได้สองกลุ่มที่สอดคล้องกับกลุ่มจุดที่กำหนด

• กลุ่มพิน Pin( n ) – การปกคลุมสองเท่าของกลุ่มออร์โธโกนอล O( n )
• กลุ่ม Metaplectic Mp(2 n ) – การปกคลุมสองเท่าของกลุ่ม Symplectic Sp(2 n )
• กลุ่มสตริง String(n) – กลุ่มถัดไปในหอคอยไวท์เฮด

• มิติที่สำคัญของกลุ่มสปินคือOEIS: A280191
• ดัชนีแรงบิดของ Grothendieck คือOEIS: A096336

• Karoubi, Max (2008). ทฤษฎี K. Springer. หน้า  210–214 . ISBN 978-3-540-79889-7.