กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลเป็นกลุ่มทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นจากกลุ่มสมมาตรของ รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสลูกบาศก์และรูปทรงที่มีมิติสูงกว่า ( ไฮเปอร์คิวบ์ ) รวมถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ ที่สอดคล้องกัน ( ทรงแปดเหลี่ยมปกติและรูปทรงหลายเหลี่ยมไขว้ที่ มีมิติสูงกว่า) โดยมีกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรั ล หนึ่งกลุ่มสำหรับแต่ละมิติn

นอกจากบทบาทในเรขาคณิตแล้ว กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลยังปรากฏในทฤษฎีลี ด้วย ในฐานะกลุ่มเวล์ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มซิมเพล็กติกและกลุ่มออร์โธโกนอลและพีชคณิตลีที่เกี่ยวข้องและใน คณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียงซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นกลุ่มสมมาตรแบบ มีเครื่องหมาย โดยมีองค์ประกอบที่กำหนดโดยการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมาย ในทาง พีชคณิต กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลแต่ละกลุ่มสามารถสร้างขึ้นได้ในรูปผลคูณแบบเวิร์ท ของกลุ่มสององค์ประกอบกับกลุ่มสมมาตรและสามารถแสดงได้ในรูปเซตของเมทริกซ์ผกผันที่มีสมาชิกเป็น0 , 1หรือ-1 เท่านั้น และมีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เพียงหนึ่งเดียวในแต่ละแถวหรือคอลัมน์ ตระกูลของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลก่อให้เกิดประเภท Bในการจำแนก กลุ่มค็อกซี เตอร์ จำกัด${\displaystyle C_{2}\wr S_{n}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle S_{n}}$

กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลได้รับการตั้งชื่อโดยอัลเฟรด ยังในปี พ.ศ. 2473 ^{[ 1 ]}

กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลในมิติที่1คือกลุ่มสมมาตรของส่วนของเส้นตรงกลุ่มนี้ประกอบด้วยสมาชิกสองตัว คือสมาชิกเอกลักษณ์และสมาชิกอื่นอีกหนึ่งตัว ในมิติที่สูงกว่า กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลจะมีโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่า

กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลในสองมิติคือกลุ่มไดเฮดรัลอันดับ8ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีองค์ประกอบแปดตัว โดยสี่ตัวเป็นการหมุน (รวมถึงเอกลักษณ์ ซึ่งเป็นการหมุนด้วยมุม0° ) และสี่ตัวเป็นการสะท้อนการดำเนินการของกลุ่มคือการประกอบเชิงฟังก์ชันตัวอย่างเช่น การสะท้อนสี่เหลี่ยมจัตุรัสข้ามแกนแนวนอนก่อน จากนั้นสะท้อนข้ามเส้นทแยงมุมที่มีความชัน1จะให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการหมุนสี่เหลี่ยมจัตุรัส90°ทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นในกลุ่ม ผลคูณของการสะท้อนทั้งสองนี้คือการหมุนนั้น^{[ 2 ]}

ตำแหน่งเริ่มต้นของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ( การแปลงเอกลักษณ์ )

หมุนทวนเข็มนาฬิกา90 องศา

การหมุน180°

การหมุน270°

การสะท้อนแนวทแยง NW–SE

การสะท้อนในแนวนอน

การสะท้อนแนวทแยงตะวันออกเฉียงเหนือ-ตะวันตกเฉียงใต้

การสะท้อนแนวตั้ง

กลุ่มนี้สามารถกำหนดลักษณะเฉพาะได้ด้วยตัวสร้างและความสัมพันธ์ในหลายวิธี การแสดงออกอย่างหนึ่งคือโดยที่1แทนการแปลงเอกลักษณ์rแทนการหมุน90° (ลำดับที่4 ) sแทนการสะท้อนใดๆ (ลำดับที่2 ) และความสัมพันธ์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าการสะท้อนข้ามเส้นตรง จากนั้นหมุน ทวนเข็มนาฬิกา 90° แล้ว สะท้อนข้ามเส้นตรงเดิมอีกครั้งจะมีผลเช่นเดียวกับการหมุนตามเข็มนาฬิกา90° เพียงครั้งเดียว ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle \langle r,s\mid r^{4}=s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle }$

การนำเสนอแยกต่างหากของกลุ่มนี้คือในการนำเสนอนี้sและt แทนการสะท้อนสองครั้ง ครั้งหนึ่งสะท้อนผ่านแนวทแยง และ ^อีกครั้งสะท้อนผ่านเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของด้านตรงข้ามสองด้าน จากนั้นผลคูณstคือการหมุน90°ลำดับที่4 ^{[ 5} ] ^{[ 4 ]}${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2}=t^{2}=(st)^{4}=1\rangle }$

เนื่องจากลูกบาศก์และทรงแปดเหลี่ยมปกติเป็นทรงหลายเหลี่ยมคู่จึงมีกลุ่มสมมาตรเดียวกัน^{[ 6 ]} กลุ่มนี้ประกอบด้วย องค์ประกอบ 48 = 8·3!โดยแต่ละสมมาตรจะถูกกำหนดโดยการเลือกจุดยอดของลูกบาศก์ เลือกตำแหน่งของจุดยอดหนึ่งในแปดจุดที่จะส่งไป และเลือกวิธีการกำหนดเพื่อนบ้านในหนึ่งใน3! = 6วิธี^{[ 7 ]}

จาก สมมาตร ทั้ง 48 แบบมีหลายตระกูลที่น่าสนใจ สมมาตรของลูกบาศก์ 9 แบบเป็นการสะท้อนผ่านระนาบ: การสะท้อน 3 แบบผ่านระนาบที่ขนานกับหน้าตรงข้ามคู่หนึ่ง และการสะท้อนอีก 6 แบบผ่านระนาบที่ผ่านขอบตรงข้ามสองด้านของลูกบาศก์^{[ 8 ] [ 9 ]} สมมาตร 23 แบบเป็นการหมุนที่ไม่ใช่แบบธรรมดา: 9 แบบเป็นการหมุนรอบเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ผ่านจุดศูนย์กลางของหน้าตรงข้ามสองด้าน (หมุน90° , 180°และ270°รอบแกนทั้งสามแกน) 6 แบบเป็นการหมุน180°รอบเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้ามสองด้าน และ 8 แบบเป็นการหมุนรอบเส้นทแยงมุมของพื้นที่ เส้นหนึ่ง (หมุน120°และ240°รอบเส้นทแยงมุมทั้งสี่เส้น) สมมาตรเหล่านี้รวมกับเอกลักษณ์ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยการหมุนของลูกบาศก์ กลุ่มย่อยนี้มีลักษณะสมมาตรกับกลุ่มสมมาตรของการเรียงสับเปลี่ยนของเซตสี่องค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น สามารถแสดงได้ว่าการเรียงสับเปลี่ยนของเส้นทแยงมุมทั้งสี่ของพื้นที่สามารถทำได้โดยสมมาตรการหมุนเพียงครั้งเดียว^{[ 10 ]} สมมาตรที่เหลือประกอบด้วยการสะท้อนจุดผ่านศูนย์กลางของลูกบาศก์ที่ส่งจุดยอดแต่ละจุดไปยังจุดยอดตรงข้าม และการหมุนที่ไม่เหมาะสมต่างๆ( การรวมกันของการหมุนรอบแกนและการสะท้อนในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนนั้น) ของลำดับที่4และ6 ^{[ 9 ] [ 11 ]}${\displaystyle S_{4}}$

หากเลือกใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยให้จุดกำเนิดอยู่ที่ศูนย์กลางของลูกบาศก์และแกนพิกัด ทั้งสาม ขนานกับขอบ การเลือกตำแหน่งที่จะส่งจุดยอดเดี่ยวสามารถทำได้โดยการสะท้อนข้ามระนาบพิกัด ทั้งสาม เนื่องจากภาพสะท้อนที่แตกต่างกันเหล่านี้สลับกันได้ จึง ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยในรูปแบบ ซึ่ง เป็นผล คูณโดยตรงของกลุ่มสององค์ประกอบสามกลุ่ม การจัดเรียงใหม่ของจุดยอดเพื่อนบ้านทั้งสามจะได้รับจากกลุ่มย่อยที่สมมาตรกับกลุ่มสมมาตรของการเรียงสับเปลี่ยนของเซตสามองค์ประกอบ ดังนั้น กลุ่มสมมาตรทั้งหมดของลูกบาศก์สามารถเขียนได้เป็นผลคูณกึ่งโดยตรงกลุ่มเดียวกันนี้ยังสามารถเขียนได้เป็นผลคูณโดยตรงของกลุ่มย่อยการหมุนของลูกบาศก์โดยกลุ่มสององค์ประกอบที่สร้างขึ้นโดยการสะท้อนจุดผ่านจุดกำเนิด^{[ 8 ]}${\displaystyle C_{2}\times C_{2}\times C_{2}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle (C_{2}\times C_{2}\times C_{2})\rtimes S_{3}}$${\displaystyle C_{2}\times S_{4}}$

ถ้าแบ่งลูกบาศก์ออกเป็นห้องโดยใช้ระนาบที่กำหนดโดยสมมาตรการสะท้อนแต่ละอัน ห้องแต่ละห้องจะถูกล้อมรอบด้วยระนาบดังกล่าวสามระนาบ เรียกการสะท้อนข้ามระนาบเหล่านี้ว่าเราสามารถแสดงได้ว่าสิ่งเหล่านี้ก่อให้เกิดเซตกำเนิดสำหรับสมมาตรทั้งหมด (นั่นคือ สมมาตรอื่นๆ ทั้งหมดสามารถเกิดขึ้นได้จากการประกอบสมมาตรทั้งสามนี้ซ้ำๆ) โดยอยู่ภายใต้ความสัมพันธ์ที่ว่า, , , , , และล้วนเป็นการแปลงเอกลักษณ์^{[ 12 ]}${\displaystyle s_{0},s_{1},s_{2}}$${\displaystyle s_{0}^{2}}$${\displaystyle s_{1}^{2}}$${\displaystyle s_{2}^{2}}$${\displaystyle (s_{0}s_{2})^{2}}$${\displaystyle (s_{1}s_{2})^{3}}$${\displaystyle (s_{0}s_{1})^{4}}$

สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ พื้นที่ยุคลิดมิติ n จะมี อนาล็อกมิติ nของลูกบาศก์ที่เรียกว่าไฮเปอร์คิวบ์ ไฮเปอร์คิวบ์ดังกล่าวประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่สำหรับโดยมีจุดยอด[ ^{13 ] [ 14 ] กลุ่ม} ไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลประกอบด้วยการแปลงแบบแข็งw ทั้งหมด ของที่ส่งไปยังตัวมันเอง: เทียบเท่ากัน อาจพิจารณาโพลีโทปคู่ของ; นี่คือโพลีโทปไขว้มิติnประกอบด้วยจุดทั้งหมดในที่สอดคล้องกับสมการและมีจุดยอดเป็นเวกเตอร์โดยที่เป็นเวกเตอร์ฐานมาตรฐานของ ที่มี รายการ ^ที่ iเท่ากับ1และรายการอื่นๆ ทั้งหมดเท่ากับ0 [ ^{15 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle (\pm 1,\ldots ,\pm 1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle w({\mathcal {H}})={\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle |x_{1}|+\ldots +|x_{n}|\leq 1}$${\displaystyle \pm e_{1},\ldots ,\pm e_{n}}$${\displaystyle e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

การแปลงแบบแข็งที่รักษาครอสโพลีโทป(เทียบเท่ากับไฮเปอร์คิวบ์) ล้วนเป็นการแปลงเชิงเส้นในฐานมาตรฐานสำหรับเมทริกซ์ของการแปลงดังกล่าวต้องเป็นเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมาย : ต้องมีรายการที่ไม่เป็นศูนย์เพียงหนึ่งรายการในแต่ละแถวและคอลัมน์ และรายการที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดคือ±1 [ ^{a ] ดังนั้น} กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลมิติnอาจมีลักษณะเฉพาะเป็นกลุ่มของเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายn × n ภายใต้การดำเนินการคูณเมทริกซ์ ^{[ 16 ]} ในเชิงการจัดเรียง องค์ประกอบอาจแสดงเป็นการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายนั่นคือเป็นn - tupleที่มีองค์ประกอบเพียงหนึ่งรายการจากแต่ละเซตn {1, −1} ^, { 2, −2} , ..., { n , −n } [ ^{17 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle [w(1),w(2),\dots ,w(n)]}$

ในทางพีชคณิตจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลคูณแบบพวงมาลัยของกลุ่มสององค์ประกอบโดยกลุ่มสมมาตรนั่นคือ เป็นผลคูณกึ่งตรงของผลคูณตรงของ สำเนา nชุดของกับกลุ่มสมมาตร: กลุ่มย่อยปกติกระทำการโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะที่กลุ่มสมมาตรกระทำการโดยการสลับพิกัด^{[ 18 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle C_{2}\wr S_{n}}$${\displaystyle C_{2}=\{+1,-1\}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle C_{2}^{n}\rtimes S_{n}}$${\displaystyle C_{2}^{n}=C_{2}\times \cdots \times C_{2}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle C_{2}^{n}}$${\displaystyle S_{n}}$

จากลักษณะเฉพาะเหล่านี้ จะเห็นได้ว่าขนาดของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลคือเนื่องจากมี( แฟกทอเรียลของn ) วิธีในการเลือกตำแหน่งของรายการที่ไม่เป็นศูนย์ (การเรียงสับเปลี่ยนของแกนพิกัด) และวิธีในการเลือกว่าแต่ละรายการควรเป็นบวกหรือลบ^{[ 19 ]}${\displaystyle 2^{n}n!}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle 2^{n}}$

การสะท้อนในปริภูมิยุคลิดคือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีระนาบไฮเปอร์H (นั่นคือปริภูมิย่อยที่มีมิติn − 1 ) ที่tตรึงจุดต่อจุด (นั่นคือสำหรับทุกxในH ) และtปฏิเสธเวกเตอร์ในเส้นตรงที่ตั้งฉากกับH กลุ่มจำกัดWของตัวดำเนินการ เชิงเส้น ผกผันบนเรียกว่ากลุ่มสะท้อน ( จำนวนจริงจำกัด ) ถ้าWถูกสร้างขึ้นโดยการสะท้อนที่มันมีอยู่^{[ 20 ]} กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลเป็นกลุ่มสะท้อนในความหมายนี้: กลุ่มย่อยถูกสร้างขึ้นโดย การเปลี่ยนเครื่องหมาย n ครั้งซึ่งแต่ละครั้งจะตรึงระนาบไฮเปอร์พิกัดต่อจุดในขณะที่ปฏิเสธเวกเตอร์ปกติและกลุ่มย่อยถูกสร้างขึ้นโดยเซตย่อยของการสลับตำแหน่งและการสลับตำแหน่งจะตรึงระนาบไฮเปอร์ต่อจุดในขณะที่ปฏิเสธเวกเตอร์ปกติเนื่องจากเป็นผลคูณของกลุ่มย่อยทั้งสองนี้ มันจึงถูกสร้างขึ้นโดยการรวบรวมการสะท้อนทั้งสองประเภท^{[ 21 ] [ 22 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle t:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle t(x)=x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C_{2}^{n}}$${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=0\}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle (i\ j)}$${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=x_{j}\}}$${\displaystyle e_{i}-e_{j}}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$

สำหรับกลุ่มการสะท้อนจริงจำกัดทุกกลุ่มที่กระทำบนปริภูมิที่มีมิติnจะมีขั้นตอนมาตรฐานในการสร้างชุด การสะท้อน n ชุด ที่สร้างกลุ่ม โดยขึ้นอยู่กับชุดความสัมพันธ์ที่เรียบง่าย ระนาบสะท้อนของการสะท้อนจะแบ่งปริภูมิออกเป็นกลุ่มของบริเวณที่เรียกว่าห้อง[ ^{23 ] แต่ละ} ห้องจะมี ระนาบสะท้อน nระนาบในขอบเขต และการสะท้อนข้ามระนาบเหล่านี้จะสร้างชุดสร้างสำหรับกลุ่ม^{[ 24 ]}

ในกรณีของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัล ทางเลือกหนึ่งดังกล่าวทำให้เกิดการสะท้อนซึ่งการกระทำบน นั้น กำหนดไว้ดังนี้: สำหรับจุดใดๆในและ สำหรับ นั่นคือกระทำโดยการกลับค่าพิกัดแรก และกระทำโดยการสลับพิกัด ที่ iและ( i + 1)สำหรับ^{[ 25 ] [ b ]}${\displaystyle s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle s_{0}(x)=(-x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$$${\displaystyle s_{i}(x)=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{i},x_{i+2},x_{i+3},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$

สามารถตรวจสอบได้ว่าการสะท้อนเหล่านี้สร้างขึ้นและเป็นไปตามความสัมพันธ์ หากในความเป็นจริง สามารถแสดงเพิ่มเติมได้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นชุดความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์ นั่นคือ เป็นกลุ่มที่มีการนำเสนอ สิ่งนี้ให้โครงสร้างของกลุ่ม Coxeterพร้อมด้วยชุดการสะท้อนแบบง่ายที่ สอดคล้องกัน ^{[ 25 ]}แผนภาพ Coxeter–Dynkin ที่สอดคล้องกันซึ่งบันทึกความสัมพันธ์เหล่านี้คือ ${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$$${\displaystyle (s_{0}s_{1})^{4}=1,\quad (s_{i}s_{i+1})^{3}=1,\quad {\text{and }}(s_{i}s_{j})^{2}=1}$$${\displaystyle |i-j|>1}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$$${\displaystyle \left\langle s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}\mid (s_{i})^{2}=1,(s_{0}s_{1})^{4}=1,(s_{i}s_{i+1})^{3}=1{\text{ for }}i=1,\ldots ,n-1,{\text{ and }}(s_{i}s_{j})^{2}=1{\text{ if }}|i-j|>1\right\rangle .}$$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle S=\{s_{0},\ldots ,s_{n-1}\}}$

...

โดยมี โหนด nโหนด^{[ 27 ] [ 28 ]}

กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลเกิดขึ้นจากสมมาตรของวัตถุทางเรขาคณิตอื่นๆ นอกเหนือจากโพลีเฮดราระบบราก Φคือเซตจำกัดของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ (เรียกว่าราก ) ในปริภูมิยุคลิดที่มีคุณสมบัติสองประการ: ถ้าαอยู่ในΦแล้วตัวคูณสเกลาร์cαจะอยู่ในΦก็ต่อเมื่อและถ้าαและβอยู่ในΦแล้วการสะท้อนของβผ่านระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกับα ก็จะอยู่ใน Φ ^{ด้วย [ 29 ]} แต่ละระบบรากจะกำหนดกลุ่มการสะท้อนจริงแบบจำกัด ซึ่งสร้างขึ้นจากการสะท้อนผ่านระนาบที่ตั้งฉากกับรากของมัน^{[ 30 ]}${\displaystyle c=\pm 1}$

ระบบรากเป็นผลึกศาสตร์หากรากของมันครอบคลุมแลตทิซ^{[ c ] [ 31 ] [ 32 ]} เนื่องจากมีระบบรากผลึกศาสตร์สองระบบจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมซึ่งกลุ่ม Weyl ที่เกี่ยวข้องคือ: ให้เป็นฐานมาตรฐานสำหรับระบบรากประเภท Bประกอบด้วยเวกเตอร์ ในขณะที่ระบบรากประเภท Cเป็นรูปแบบย่อยดังต่อไปนี้: ราก(หรือ) สอดคล้องกับการสะท้อนที่เมื่อกระทำกับเวกเตอร์ในจะเปลี่ยนเครื่องหมายของพิกัดที่i ราก สอดคล้องกับการสะท้อนที่สลับพิกัดที่iและjในขณะที่รากสอดคล้องกับการสะท้อนที่สลับพิกัดที่iและjและเปลี่ยนเครื่องหมายของทั้งสองพิกัด^{[ 33 ]}${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Phi _{\mathrm {B} }}$$${\displaystyle \Phi _{\mathrm {B} }=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\bigcup \{\pm e_{i}\pm e_{j}:1\leq i<j\leq n\}}$$${\displaystyle \Phi _{\mathrm {C} }}$$${\displaystyle \Phi _{\mathrm {C} }=\{2e_{1},\ldots ,2e_{n}\}\bigcup \{\pm e_{i}\pm e_{j}:1\leq i<j\leq n\}.}$$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle 2e_{i}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle e_{i}-e_{j}}$${\displaystyle e_{i}+e_{j}}$

ในกรณีที่n = 2ระบบรากทั้งสองนี้เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน และทั้งสองให้กลุ่มสำหรับn ทั่วไป ระบบรากทั้งสองไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน แต่เป็นคู่กัน^{[ d ] [ 35 ] [ 36 ]}${\displaystyle S_{2}^{\pm }\cong D_{2\times 4}}$

กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลสามารถระบุได้ด้วยเซตของการจับคู่แบบหนึ่งต่อ หนึ่ง wจากเซตไปยังตัวมันเองซึ่งสอดคล้อง กับเงื่อนไข สำหรับทุกiในภายใต้การดำเนินการประกอบฟังก์ชัน การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งwถูกกำหนดโดยการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายซึ่งในบริบทนี้เรียกว่า^สัญกรณ์หน้าต่างของw ^{[ 37} ] ^{[ e ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle \{-n,-n+1,\ldots ,-1,1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle w(-i)=-w(i)}$${\displaystyle \{-n,-n+1,\ldots ,-1,1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle [w(1),w(2),\ldots ,w(n)]}$

การแสดงแทนเป็นกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนของเซตที่มีขนาด2nทำให้เกิดแผนที่การรวมตามธรรมชาติจาก กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัล nมิติไปยังกลุ่มสมมาตรบนองค์ประกอบจำนวนสองเท่า ภาพของιคือเซตของการเรียงสับเปลี่ยนซึ่งเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยนถูกกำหนดโดย การหมุน 180°รอบจุดศูนย์กลาง^{[ 39 ]} หรือเทียบเท่ากัน เขียนแทนการเรียงสับเปลี่ยนซึ่งสัญกรณ์บรรทัดเดียวคือและสัญกรณ์วัฏจักรคือภาพของιคือเซตของการเรียงสับเปลี่ยนที่สอดคล้องกับและยังเป็นเซตของการเรียงสับเปลี่ยนที่สลับกับ^{[ 40 ] [ 41 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle \iota :S_{n}^{\pm }\to S_{2n}}$${\displaystyle S_{2n}}$${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle S_{2n}}$${\displaystyle (2n,2n-1,\ldots ,2,1)}$${\displaystyle (1\ 2n)(2\ 2n-1)\cdots (n\ n+1)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle w_{0}gw_{0}=g}$${\displaystyle w_{0}}$

อาจพิจารณากลุ่มของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากเซตไปยังตัวมันเองที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุกiก็ได้ เนื่องจากเงื่อนไขสมมาตรบังคับให้เป็นเช่นนั้นในกรณีนี้ แผนที่การรวมที่เกี่ยวข้องจะอยู่ในเซตสมมาตร^{[ 39 ]}${\displaystyle [-n,n]\cap \mathbb {Z} =\{-n,-n+1,\ldots ,n-1,n\}}$${\displaystyle w(-i)=-w(i)}$${\displaystyle w(0)=0}$${\displaystyle S_{2n+1}}$

เมื่อมองในแง่ของการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายในสัญกรณ์หน้าต่างวงจรขององค์ประกอบwของคือวงจรในการเรียงสับเปลี่ยนพื้นฐานที่เราได้จากการลบเครื่องหมายลบทั้งหมดความยาวของวงจรคือจำนวนรายการที่บรรจุอยู่ วงจรจะเป็นบวกหากจำนวนตัวเลขลบในรายการในหน้าต่างเป็นเลขคู่ และจะเป็นลบในกรณีอื่น^{[ 42 ] [ f ]} เมื่อมองในแง่ของการเรียงสับเปลี่ยนของแต่ละวงจรบวกจะสอดคล้องกับสองวงจร วงจรหนึ่งประกอบด้วยค่าลบของรายการของอีกวงจรหนึ่ง ในขณะที่แต่ละวงจรลบจะสอดคล้องกับวงจรเดียวที่ประกอบด้วยiก็ต่อเมื่อประกอบด้วย− i [ ^{43 ]} ตัวอย่างเช่น การเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายด้วยสัญกรณ์หน้าต่าง^มีสามวงจร ได้แก่ วงจรลบ(1 3)และ(4 7 6 8)และวงจรบวก(2 5 ) ในฐานะ ที่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของการแยกส่วนวงจรของมันคือ(1 −3 −1 3)(2 5)(−2 −5)(4 −7 6 8 −4 7 −6 −8) ^{[ 44 ] [ 17 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle \{-n,\ldots ,-1,1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle [-3,5,1,-7,2,8,-6,-4]}$${\displaystyle \{-8,\ldots ,-1,1,\ldots ,8\}}$

ประเภทวงจรของการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายwคือคู่ ของ พาร์ติชันจำนวนเต็มสอง พาร์ติชัน โดยที่λประกอบด้วยความยาวของวงจรบวกของwและμประกอบด้วยความยาวของวงจรลบของwการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายuและw อยู่ใน ชั้นสมมูลเดียวกันของ(นั่นคือ มีการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายg อีกตัวหนึ่ง ที่) ก็ต่อเมื่อมีประเภทวงจรเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งชั้นสมมูลในจะถูกจัดทำดัชนีโดยคู่โดยที่λและμ เป็น พาร์ติชันจำนวนเต็มสอง พาร์ติชันที่มี ^ผลรวมของส่วนต่างๆ เท่ากับn [ ^{42 ]}${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle gug^{-1}=w}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$

ในทำนองเดียวกัน การเรียงสับเปลี่ยนที่มีเครื่องหมายสองรายการในจะเป็นคู่กันก็ต่อเมื่อมีจำนวนรอบที่มีความยาวแต่ละแบบเท่ากัน และภาพของพวกมันภายใต้การรวมιเข้าไปในกลุ่มสมมาตรก็มีจำนวนรอบที่มีความยาวแต่ละแบบเท่ากันด้วย^{[ 45 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle S_{2n}}$

โดยรวมแล้ว กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลมิติnมีการสะท้อนทั้งหมด n ครั้ง ในจำนวนนี้nครั้งเป็นการสะท้อนแบบเปลี่ยนเครื่องหมายข้ามระนาบพิกัดโดยจะเขียนในรูปแบบวงจรด้วย และในรูปแบบหน้าต่างด้วย ซึ่ง จะสร้างคลาสการสมมูลเดี่ยว โดยมีดัชนีเป็นคู่ของพาร์ติชันจำนวนเต็ม การสะท้อน อื่นๆเป็นการสะท้อนแบบคล้ายการสลับตำแหน่ง ข้ามระนาบหรือสำหรับโดยจะเขียนในรูปแบบวงจรด้วย ในรูปแบบหน้าต่าง การสะท้อนข้ามระนาบที่มีสมการ จะเขียนด้วย(นั่นคือ เป็นการสลับตำแหน่ง) ในขณะที่การสะท้อนข้ามระนาบที่มีสมการจะเขียนด้วย(นั่นคือ เป็นผลจากการสลับตำแหน่งของรายการiและjและเปลี่ยนเครื่องหมายของทั้งสองรายการด้วย) รวมกันแล้วจะสร้างคลาสการสมมูลที่มีดัชนีเป็น^{[ 46 ] [ 47 ]}${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=0\}}$${\displaystyle {\big \{}(i\ -i):1\leq i\leq n{\big \}}}$${\displaystyle \{[1,\ldots ,i-1,-i,i+1,\ldots ,n]:i=1,\ldots ,n\};}$${\displaystyle (\langle 1^{n-1}\rangle ,\langle 1\rangle )}$${\displaystyle n^{2}-n}$${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=x_{j}\}}$${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}=-x_{j}\}}$${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$$${\displaystyle {\big \{}(i\ j)(-i\ -j):1\leq i<|j|\leq n{\big \}}.}$$${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle [1,2,\ldots ,i-1,j,i+1,\ldots ,j-1,i,j+1,j+2,\ldots ,n]}$${\displaystyle x_{i}+x_{j}=0}$${\displaystyle [1,2,\ldots ,i-1,-j,i+1,\ldots ,j-1,-i,j+1,j+2,\ldots ,n]}$${\displaystyle (\langle 2,1^{n-2}\rangle ,\varnothing )}$

ความยาว ขององค์ประกอบgของกลุ่ม Coxeter Gที่เกี่ยวข้องกับเซตSของการสะท้อนแบบง่ายคือจำนวนk ที่เล็กที่สุด ที่gสามารถเขียนเป็นผลคูณขององค์ประกอบk ของ Sได้^{[ 48 ]}องค์ประกอบที่ยาวที่สุด ในกลุ่มการสะท้อนจริงแบบจำกัดคือองค์ประกอบ (ที่ไม่ซ้ำกันเสมอ) ที่มีความยาว Coxeter มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในองค์ประกอบนี้คือ−1นั่นคือ เป็นการสะท้อนจุดผ่านจุดกำเนิด ซึ่งเมทริกซ์ของมันคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่เป็นลบ^{[ 49 ]} ในเชิงการจัดเรียง สัญลักษณ์หน้าต่างของมันคือ[−1, −2, ..., − n ] [ ^{50 ]} ความยาว Coxeter ของมันคือ (กรณีพิเศษของข้อเท็จจริงที่ว่าความยาวขององค์ประกอบที่ยาวที่สุดจะเท่ากับจำนวน ^การสะท้อนในกลุ่มการสะท้อนจริงแบบจำกัดเสมอ) ^{[ 51 ]}${\displaystyle \ell _{S}(g)}$${\displaystyle g=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle n^{2}}$

ในกลุ่มการสะท้อนจริงจำกัดWองค์ประกอบCoxeterคือผลคูณของการสะท้อนแบบง่ายในระบบแบบง่ายใดๆ( W , S )องค์ประกอบ Coxeter ทั้งหมดอยู่ในชั้นสมมูลเดียวกัน^{[ 52 ] [ 53 ]} ในนี่คือชั้นสมมูลที่จัดทำดัชนีโดยนั่นคือ องค์ประกอบที่มีวัฏจักรnลบ เพียงวัฏจักรเดียว ^{[ 54 ]} ถ้าcเป็นองค์ประกอบ Coxeter ในแล้วคือองค์ประกอบที่ยาวที่สุด^{[ g ] [ 55 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle (\lambda ,\mu )=(\varnothing ,\langle n\rangle )}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle c^{n}=-1}$

กล่าวกันว่าองค์ประกอบcของกลุ่มการสะท้อนW เป็น องค์ประกอบกึ่งค็อกซีเตอร์หากมีการแยกตัวประกอบของcเป็นผลคูณของจำนวนการสะท้อนขั้นต่ำ โดยที่เซตของตัวประกอบเป็นเซตก่อกำเนิดสำหรับWในที่นี้องค์ประกอบกึ่งค็อกซีเตอร์คือองค์ประกอบค็อกซีเตอร์และคู่ควบของพวกมัน^{[ 56 ]}${\displaystyle c=t_{1}\cdot t_{2}\cdots t_{k}}$${\displaystyle k=\ell _{R}(c)}$${\displaystyle \{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{k}\}}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$

การเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายwจะเป็นคู่สมกับลำดับการเรียงสับเปลี่ยนก็ต่อเมื่อวัฏจักรทุกรอบของwเป็นคู่^{[ 57 ]} จำนวนองค์ประกอบดังกล่าวในคือ แฟกทอเรี ยลสองเท่า^{[ 17 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)\cdot (2n-3)\cdots 3\cdot 1}$

กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลมีตระกูลย่อยที่น่าสนใจหลาย ตระกูล

ศูนย์กลางประกอบด้วยองค์ประกอบที่ยาวที่สุด−1 และเอกลักษณ์ เท่านั้น ^{[ 58 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$

สำหรับกลุ่มนั้นมีกลุ่มย่อยสามกลุ่มที่มีดัชนี2 (นั่นคือกลุ่มย่อยที่รวมองค์ประกอบครึ่งหนึ่งใน พอดี): ^{[ 59 ]}สมมาตรที่รักษาทิศทางของไฮเปอร์คิวบ์ กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนที่มีเครื่องหมายคู่ (กลุ่ม Coxeter ประเภท D) และกลุ่มสลับทั่วไป ${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$

กลุ่มย่อยสลับหรือกลุ่มย่อยคู่ของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลคือกลุ่มย่อยที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่มีดีเทอร์มิแนนต์1ในการแสดงเมทริกซ์ นั่นคือ องค์ประกอบที่สามารถเขียนเป็นผลคูณของการสะท้อนจำนวนคู่ นอกจากนี้ยังเป็นสมมาตรที่รักษาทิศทางของไฮเปอร์คิวบ์อีกด้วย^{[ 60 ]}

กลุ่มย่อย ดัชนี2 ตัวที่สอง ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่มีการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายซึ่งมีเครื่องหมายลบเป็นจำนวนคู่ กลุ่มนี้เป็นกลุ่ม Coxeter อีกครั้งหนึ่ง ซึ่งเป็นประเภท D ชุดตัวสร้างที่เป็นไปได้ชุดหนึ่งสำหรับกลุ่มย่อยนี้คือโดยที่เป็นชุดตัวสร้าง Coxeter สำหรับ[ ^{61 ] นอกจาก} นี้ยังเป็นกลุ่มสมมาตรของเดมิไฮเปอร์คิวบ์ซึ่งเป็นโพลีโทปที่ได้จากการนำส่วนนูนของจุดยอดสลับกันทุกจุดของไฮเปอร์คิวบ์^{[ 62 ]}${\displaystyle s_{0}s_{1}s_{0}=(1\ -2)(-1\ 2),s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n-1}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

เมื่อnเป็นจำนวนคี่ กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลจะเป็นผลคูณโดยตรงของกลุ่มย่อยคู่และศูนย์กลางของกลุ่มนั้น และยังเป็นผลคูณของกลุ่มย่อยประเภท D กับศูนย์กลางของกลุ่มนั้นด้วย ยิ่งไปกว่านั้น ในกรณีนี้ กลุ่มย่อยคู่และกลุ่มย่อยประเภท D จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน และยังเป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลหารของกลุ่มย่อยคู่โดยศูนย์กลางของกลุ่มนั้น อีกด้วย ^{[ 63 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$

กลุ่มย่อย ดัชนีที่สาม2คือผลคูณแบบพวงหรีดของกลุ่มสององค์ประกอบกับกลุ่มสลับของการเรียงสับเปลี่ยนคู่ ( กลุ่มสลับทั่วไป ) ^{[ 64 ]}${\displaystyle C_{2}\wr A_{n}}$

สำหรับกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของมีดัชนี4ซึ่งเท่ากับกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ของกลุ่มย่อยที่มีเครื่องหมายคู่ของประเภท D ^{[ 65 ]}${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$

กลุ่มย่อยพาราโบลิกมาตรฐานสูงสุดของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลคือตัวรักษาเสถียรภาพแบบเซตของเซตสำหรับ[ ^{66 ] กล่าว} คือกลุ่มย่อยพาราโบลิกมาตรฐานสูงสุดแต่ละกลุ่มจะสมมาตรกับผลคูณโดยตรงของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลที่เล็กกว่าและกลุ่มสมมาตร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มสมมาตรเป็นกลุ่มย่อยพาราโบลิกสูงสุดของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลเป็นกลุ่มย่อยพาราโบลิกของสำหรับทุก^{[ 67 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle \{k,\ldots ,n\}}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$${\displaystyle S_{k-1}^{\pm }\times S_{n+1-k}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle S_{k}^{\pm }}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle k\leq n}$

ในทฤษฎีกลุ่ม Lie (หรือทฤษฎีกลุ่มพีชคณิต ที่เกี่ยวข้อง ) ทุก กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อและกระชับจะมีกลุ่มจำกัดที่เกี่ยวข้อง เรียกว่ากลุ่ม Weylซึ่งมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการแทน^{[ 68 ]} กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลเป็นกลุ่ม Weyl ของวัตถุ "ประเภท B" และ "ประเภท C" ในการจำแนกประเภท: กลุ่มออร์ ^โธโกนอลพิเศษSO(2 n + 1)และกลุ่มซิมเพล็กติกSp( n ) ^{[ 69} ] ในทำนองเดียวกัน ในทฤษฎีพีชคณิต Lieทุกพีชคณิต Lie เชิงซ้อนแบบง่ายจะมีกลุ่ม Weyl ที่เกี่ยวข้อง^คือกลุ่ม Weyl ของพีชคณิต Lie และ[ ^{70 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1)}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(n)}$

ในกลุ่มสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเซตก่อกำเนิดของ การ ^สลับตำแหน่งที่อยู่ติดกันความยาวของการเรียงสับเปลี่ยนwจะกำหนดโดย โดย ที่คือจำนวนคู่ที่และ^{[ 71} ] สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายwในความยาวของมันโดยสัมพันธ์กับเซตก่อกำเนิด Coxeter ของ§ ในฐานะที่เป็นการสะท้อน Coxeter และกลุ่ม Weylสามารถคำนวณได้เป็น โดย ที่invมีความหมายเดียวกัน^{[ 72 ]} สิ่งนี้อาจเขียนได้อีกอย่างว่า โดยที่คือจำนวนค่าลบในและ โดย ที่คือจำนวนคู่ที่("คู่ผลรวมเป็นลบ") ^{[ 73 ]} ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับโดยความยาว คือ สำหรับใดๆ^{[ 74 ]}${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S=\{(1\ 2),(2\ 3),\ldots ,(n-1\ n)\}}$$${\displaystyle \ell _{S}(w)=\operatorname {inv} (w(1)\cdots w(n))}$$${\displaystyle \operatorname {inv} (w(1)\cdots w(n))}$${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle w(i)>w(j)}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle S=\{(1\ -1),(1\ 2)(-1\ -2),\ldots ,(n-1\ n)(1-n\ -n)\}}$$${\displaystyle \ell _{S}(w)=\operatorname {inv} (w(1)\cdots w(n))-\sum _{\{j:1\leq j\leq n,w(j)<0\}}w(j),}$$$${\displaystyle \ell _{S}(w)={\frac {\operatorname {inv} (w(-n)\cdots w(-1)w(1)\cdots w(n))+\operatorname {neg} (w(1)\cdots w(n))}{2}},}$$${\displaystyle \operatorname {neg} (w(1)\cdots w(n))}$${\displaystyle \{w(1),\ldots ,w(n)\}}$$${\displaystyle \ell _{S}(w)=\operatorname {inv} (w(1)\cdots w(n))+\operatorname {neg} (w(1)\cdots w(n))+\operatorname {nsp} (w(1)\cdots w(n)),}$$${\displaystyle \operatorname {nsp} (w(1)\cdots w(n))}$${\displaystyle \{i,j\}\subset \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle w(i)+w(j)<0}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$$${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}^{\pm }}q^{\ell _{S}(w)}=(1+q)(1+q+q^{2}+q^{3})\cdots (1+q+\ldots +q^{2n-1})}$$${\displaystyle n\geq 1}$

การสะท้อนแบบง่ายsคือการลดลง (ทางขวา)ขององค์ประกอบwในกลุ่ม Coxeter ถ้า[ ^{75 ] สำหรับ} การเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายwที่มีความยาวnเซตของการลดลงของwคือ โดยที่เราใช้ตามธรรมเนียม[ ^{66 ] เมื่อ} กำหนดให้ เป็นจำนวนการลดลงของการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายwฟังก์ชันก่อกำเนิด สำหรับโดยจำนวนการลดลง ( พหุนามออยเลอร์ ) เป็นไปตามเอกลักษณ์ต่อไปนี้: และ โดยที่ คือพหุนามออยเลอร์สำหรับกลุ่มสมมาตร^{[ 76 ]} ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังสำหรับคือ ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามตัวแปรสำหรับจำนวนการลดลงและความยาวของการเรียงสับเปลี่ยนแบบมีเครื่องหมายเหนือสำหรับทุก ได้รับจากReiner (1995 ⁾ [ ^{77 ]}${\displaystyle \ell (ws)=\ell (w)-1}$$${\displaystyle \{s_{i}:w(i)>w(i+1)\},}$$${\displaystyle w(0)=0}$${\displaystyle \operatorname {des} (w)}$$${\displaystyle B_{n}(t)=\sum _{w\in S_{n}^{\pm }}t^{\operatorname {des} (w)}}$$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$$${\displaystyle B_{n}(t)=(1+(2n-1)t)B_{n-1}(t)+2t(1-t)B'_{n-1}(t),}$$$${\displaystyle {\frac {B_{n}(t)}{(1-t)^{n+1}}}=\sum _{k\geq 0}(2k+1)^{n}t^{k},}$$$${\displaystyle B_{n}(t)=(1+t)B_{n-1}(t)+2t\sum _{i=1}^{n-1}2^{i}{\binom {n-1}{i}}B_{n-1-i}(t)\cdot A_{i}(t),}$$$${\displaystyle 2B_{n}(t^{2})=(1+t)^{n+1}A_{n}(t)+(1-t)^{n+1}A_{n}(-t),}$$$${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{w\in S_{n}}t^{\operatorname {des} (w)}}$$${\displaystyle B_{n}(t)}$$${\displaystyle \sum _{n\geq 0}B_{n}(t){\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {(t-1)e^{z(t-1)}}{t-e^{2z(t-1)}}}.}$$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle n\geq 0}$

กลุ่มโฮโมโลยีของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลนั้นคล้ายคลึงกับกลุ่มสมมาตร และแสดงให้เห็นถึงเสถียรภาพในแง่ของ ทฤษฎีโฮโม โท ปีเสถียร

กลุ่มโฮโมโลจีกลุ่มแรก ซึ่งสอดคล้องกับการทำให้เป็นอาเบเลียนจะมีเสถียรภาพที่กลุ่มไคลน์สี่มิติและกำหนดโดย:

${\displaystyle H_{1}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0\\\mathbf {Z} /2&n=1\\\mathbf {Z} /2\times \mathbf {Z} /2&n\geq 2\end{cases}}.}$

สิ่งนี้เห็นได้ง่ายโดยตรง: สมาชิกมีลำดับ 2 (ซึ่งไม่ว่างเปล่าสำหรับ) และทั้งหมดเป็นคู่สมกัน เช่นเดียวกับการสลับตำแหน่งใน(ซึ่งไม่ว่างเปล่าสำหรับ) และสิ่งเหล่านี้เป็นสองกลุ่มที่แยกจากกัน สมาชิกเหล่านี้สร้างกลุ่ม ดังนั้นการแปลงเป็นกลุ่มอาเบเลียนที่ไม่ใช่กลุ่มธรรมดาจึงมีเฉพาะกลุ่ม 2 เท่านั้น และแต่ละกลุ่มเหล่านี้สามารถส่งไปยัง ได้อย่างอิสระเนื่องจากเป็นสองกลุ่มที่แยกจากกัน แผนที่ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนว่าเป็น "ผลคูณของเครื่องหมายของสมาชิกทั้งหมด" (ใน สำเนา nชุดของ) และเครื่องหมายของการเรียงสับเปลี่ยน การคูณสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกันจะให้แผนที่ที่ไม่ใช่กลุ่มธรรมดาที่สาม ( ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งส่งทั้งสองกลุ่มนี้ไปยัง) และเมื่อรวมกับแผนที่ธรรมดาแล้ว สิ่งเหล่านี้จะก่อให้เกิดกลุ่ม 4 ${\displaystyle -1}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle -1\in \{\pm 1\},}$${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle -1}$

กลุ่มโฮโมโลยีที่สอง ซึ่งในเชิงคลาสสิกเรียกว่าตัวคูณของ Schurได้รับการคำนวณใน ( Ihara & Yokonuma 1965 )

ได้แก่:

${\displaystyle H_{2}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4\end{cases}}.}$

สำหรับทุกกลุ่มย่อยGของกลุ่มตั้งฉากบนการกระทำของกลุ่มย่อยนั้นจะขยายไปสู่การกระทำบนวงแหวนพหุนามโดยการกระทำกับเวกเตอร์ของตัวแปรเชิงเส้นแล้วแทนที่วงแหวนของตัวแปรคงที่ของกลุ่มดังกล่าวคือวงแหวนย่อยวงแหวนของตัวแปรคงที่ของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลมีคำอธิบายที่เรียบง่าย กล่าวคือ ประกอบด้วยพหุนามสมมาตรในกำลังสองของตัวแปร^{[ 78 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle R=\mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle R^{G}=\{f\in R:w(f)=f{\text{ for all }}w\in G\}}$${\displaystyle R^{S_{n}^{\pm }}}$${\displaystyle x_{1}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$

เนื่องจากเป็นกลุ่มสะท้อน วงแหวนของตัวแปรคงที่จึงเป็นวงแหวนพหุนามเอง กล่าวคือสำหรับเซตของพหุนามเอกพันธุ์ที่เป็นอิสระทางพีชคณิต บาง เซต ตัวแปรคงที่พื้นฐานเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดโดยกลุ่มอย่างไม่ซ้ำกัน แต่ระดับของพวกมันถูกกำหนด สำหรับกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลระดับเหล่านี้คือ2 , 4 , ..., 2 nตัวเลือกหนึ่งของตัวแปรคงที่พื้นฐานคือ พหุ ^นามสมมาตรพื้นฐานในกำลังสองของตัวแปร: สำหรับ[ ^{79 ]ตัว} เลือกอื่นกำหนดโดยพหุนามสมมาตรผลรวมกำลัง คู่ สำหรับ^{[ 80} ]${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle R^{S_{n}^{\pm }}=\mathbb {R} [p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}]}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$$${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}^{2}\cdots x_{i_{k}}^{2}}$$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$$${\displaystyle x_{1}^{2k}+x_{2}^{2k}+\ldots +x_{n}^{2k}}$$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$

ทฤษฎีการแทนของกลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลได้รับการพัฒนาโดยอัลเฟรด ยังในบทความ ( Young 1930 ) โดยเป็นการประยุกต์ใช้จากการศึกษาทฤษฎีการแทนของกลุ่มสมมาตร^{[ 81 ]} ต่อมาได้รับการขยายความโดยวิลเฮล์ม สเปคท์ไปสู่ทฤษฎีการแทนของผลคูณแบบเวิร์ททั่วไปมากขึ้น^{[ 82 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คลาสไอโซมอร์ฟิซึมของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของจะถูกจัดทำดัชนีโดยคู่ของพาร์ติชันจำนวนเต็มซึ่งผลรวมของขนาดเท่ากับnอักขระแบบลดทอนไม่ได้ ที่จัดทำดัชนี โดยคือการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำของอักขระกลุ่มสมมาตรที่จัดทำดัชนีโดยจากกลุ่มย่อย ไปยัง; อักขระที่จัดทำดัชนีโดยคือ ผล คูณเทนเซอร์โดยที่คืออักขระเชิงเส้นที่รับค่า+1ในการสลับตำแหน่งในและรับค่า−1ในการสะท้อนแบบเปลี่ยนเครื่องหมาย และถ้าเป็นพาร์ติชันของkและเป็นพาร์ติชันของn − kแล้วคือผลคูณเหนี่ยวนำของจากไปยังลักษณะเฉพาะเหล่านี้สามารถรวมเข้ากับกฎ Murnaghan–Nakayamaเพื่อให้ได้สูตรเชิงการจัดเรียงสำหรับค่าอักขระ และมีแผนที่ลักษณะเฉพาะจากวงแหวนอักขระไปยังวงแหวนของฟังก์ชันสมมาตรในสองชุดของตัวแปร^{[ 83 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$${\displaystyle |\lambda |+|\mu |}$${\displaystyle \chi ^{\lambda ,\varnothing }}$${\displaystyle (\lambda ,\varnothing )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle (\varnothing ,\mu )}$${\displaystyle \delta \otimes \chi ^{\mu ,\varnothing }}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \chi ^{\lambda ,\mu }}$${\displaystyle \chi ^{\lambda ,\varnothing }\otimes \chi ^{\varnothing ,\mu }}$${\displaystyle S_{k}^{\pm }\times S_{n-k}^{\pm }}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$

การแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟของเช่นเดียวกันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแสดงแทนเชิงโปรเจคทีฟและเชิงเส้นของกลุ่มสมมาตร^{[ 84 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$

กลุ่มไฮเปอร์ออกตาเฮดรัลได้รับการวางนัยทั่วไปโดยกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนสี r ซึ่งกำหนดเป็นผลคูณแบบเวิร์ทของกลุ่มวัฏจักรโดยกลุ่มสมมาตรกลุ่มนี้สามารถแสดงได้อย่างเป็นรูปธรรมว่าเป็นกลุ่มของเมทริกซ์เอกนามที่มีรายการที่ไม่เป็นศูนย์เป็น ราก ที่r ของเอกภาพเชิงซ้อนสำหรับกลุ่มเหล่านี้จะไม่ใช่กลุ่มสะท้อนจริงอีกต่อไป แต่เป็นส่วนหนึ่งของตระกูลอนันต์ของกลุ่มสะท้อนเชิงซ้อน ที่ไม่ดั้งเดิม ^{[ 85 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มนี้สร้างขึ้นโดย การสะท้อนเชิงซ้อน nครั้ง: เมทริกซ์ n − 1ของการสลับตำแหน่งที่อยู่ติดกัน พร้อมกับเมทริกซ์ ที่ เป็นรากที่ rของเอกภาพดั้งเดิม^{[ 86 ]}${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle G(r,n)}$${\displaystyle G(r,n)=C_{r}\wr S_{n}}$${\displaystyle C_{r}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle G(r,n)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle r>2}$${\displaystyle G(r,n)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\zeta &0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i/r}}$

แต่ละกลุ่ม Weyl จำกัดWจะเชื่อมโยงกับกลุ่ม Coxeter เชิงเส้นตรงซึ่งสร้างขึ้นโดยกลุ่มWร่วมกับการสะท้อนข้ามสำเนาที่แปลแล้วของระนาบสะท้อนหนึ่งในระนาบสะท้อนของWในกรณีของกลุ่มไดเฮดรัลอันดับ8จะมีกลุ่ม Coxeter เชิงเส้นตรงที่เกี่ยวข้องเพียงกลุ่มเดียว (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) เส้นของการสะท้อนในกลุ่มจะแบ่งระนาบออกเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หน้าจั่วที่เท่ากันทุกประการจำนวนอนันต์ ( การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสเททราคิส ) ^{[ 87 ] [ 88 ]} เมื่อมีส่วนขยายเชิงเส้นตรงที่แตกต่างกันสองแบบของซึ่งสอดคล้องกับระบบรากผลึกวิทยาที่แตกต่างกันสองระบบที่เชื่อมโยงกับกลุ่ม เมื่อมองว่าเป็นกลุ่ม Weyl ที่กระทำโดยการแปลงเชิงเส้นบนในทั้งสองกรณี กลุ่มเชิงเส้นตรงจะถูกสร้างขึ้นโดยกลุ่มจำกัดร่วมกับการสะท้อนเพียงครั้งเดียว ข้ามระนาบที่มีสมการโดยที่คือรากสูงสุดของระบบราก และ⋅คือผลคูณจุดมาตรฐาน ในประเภท B รากสูงสุดคือซึ่งสอดคล้องกับการสะท้อนข้ามระนาบไฮเปอร์ในขณะที่ในประเภท C รากสูงสุดคือซึ่งสอดคล้องกับการสะท้อนข้ามระนาบไฮเปอร์ด้วยสมการ^{[ 89 ] [ 90 ]}${\displaystyle S_{2}^{\pm }}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$${\displaystyle x\cdot \alpha =1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle e_{n-1}+e_{n}}$${\displaystyle x_{n-1}+x_{n}=1}$${\displaystyle 2e_{n}}$${\displaystyle 2x_{n}=1}$

กลุ่ม Coxeter ประเภท B และ C ที่เกี่ยวข้องกับแผนภาพ Coxeter–Dynkin ${\displaystyle S_{n}^{\pm }}$

...และ...,

ตามลำดับ^{[ 91 ] [ 92 ]}

กลุ่มแอฟฟินทั้งสองกลุ่มยังมีการรับรู้เชิงคอมบินาทอริกด้วย กลุ่มแอฟฟินประเภท C สามารถรับรู้ได้ในรูปเซตของการจับคู่แบบหนึ่ง ต่อหนึ่ง โดยที่และสำหรับทุกกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบนที่สลับกับการสะท้อนข้าม0และการสะท้อนข้ามn + 1 (และด้วยเหตุนี้จึงสลับกับกลุ่มสมมาตรไดเฮดรัลอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยการสะท้อนทั้งสองนี้) โดยการสร้าง การเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดในแบบจำลองเชิงคอมบินาทอริกนี้จะกำหนดค่าทวีคูณของn + 1อีกทางหนึ่ง อาจพิจารณาแบบจำลองเชิงคอมบินาทอริกที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ซึ่งประกอบด้วยการเรียงสับเปลี่ยนโดยที่และสำหรับทุกในแบบจำลองทั้งสอง การเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าวจะถูกกำหนดโดยค่าn อย่าง สมบูรณ์ ^{[ 93 ] [ 94 ]}${\displaystyle w:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle w(-i)=-w(i)}$${\displaystyle w(2n+2-i)=2n+2-w(i)}$${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle w:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle w(-i)=-w(i)}$${\displaystyle w(i+2n+1)=w(i)+2n+1}$${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle w(1),\ldots ,w(n)}$