ในเรขาคณิตรูปทรงหลายเหลี่ยมทุก รูป จะเกี่ยวข้องกับโครงสร้างคู่ ที่สอง โดยที่ จุดยอดของรูปทรงหนึ่งจะสอดคล้องกับหน้าของอีกรูปทรงหนึ่ง และขอบระหว่างจุดยอดคู่ของรูปทรงหนึ่งจะสอดคล้องกับขอบระหว่างหน้าคู่ของอีกรูปทรงหนึ่ง^{[ 1 ]}รูปทรงคู่ดังกล่าวจะยังคง เป็น รูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงการจัดเรียงหรือนามธรรมแต่ไม่ใช่ทุกรูปทรงที่จะสามารถสร้างเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงเรขาคณิตได้^{[ 2 ]}เมื่อเริ่มต้นจากรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ รูปทรงคู่ของรูปทรงคู่นั้นก็คือรูปทรงหลายเหลี่ยมดั้งเดิม

ความเป็นคู่ช่วยรักษาความสมมาตรของทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้น สำหรับทรงหลายเหลี่ยมหลายประเภทที่กำหนดโดยความสมมาตรของมัน ทรงหลายเหลี่ยมคู่ของมันจึงอยู่ในประเภทความสมมาตรที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ทรงหลายเหลี่ยมปกติ – ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต (นูน) และทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์ (ดาว)  – ก่อให้เกิดคู่กัน โดยที่ทรงสี่เหลี่ยมด้าน เท่าปกติ เป็นคู่ของตัวเอง ทรงหลายเหลี่ยม คู่ของ ทรง หลายเหลี่ยมไอโซโกนัล (ทรงหลายเหลี่ยมที่จุดยอดสองจุดใดๆ เท่ากันภายใต้ความสมมาตรของทรงหลายเหลี่ยม) คือ ทรง หลายเหลี่ยมไอโซเฮดรัล (ทรงหลายเหลี่ยมที่หน้าสองหน้าใดๆ เท่ากัน [...]) และในทางกลับกัน ทรงหลายเหลี่ยมคู่ของ ทรงหลาย เหลี่ยมไอโซทอกซัล (ทรงหลายเหลี่ยมที่ขอบสองขอบใดๆ เท่ากัน [...]) ก็เป็นไอโซทอกซัลเช่นกัน

ความเป็นคู่มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความสัมพันธ์แบบผกผันเชิงขั้วซึ่งเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่เมื่อนำไปใช้กับทรงหลายเหลี่ยมนูน จะได้ทรงหลายเหลี่ยมคู่เป็นทรงหลายเหลี่ยมนูนอีกรูปหนึ่ง

ภาวะทวิลักษณ์มีหลายประเภท ประเภทที่เกี่ยวข้องกับทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานมากที่สุดคือ ภาวะผกผันเชิงขั้ว และภาวะทวิลักษณ์เชิงทอพอโลยีหรือเชิงนามธรรม

ในปริภูมิยุคลิดรูปทรงคู่ของทรงหลายเหลี่ยมมักจะถูกกำหนดในแง่ของการผกผันเชิงขั้วรอบทรงกลม โดยที่จุดยอดแต่ละจุด (ขั้ว) จะสัมพันธ์กับระนาบหน้า (ระนาบเชิงขั้วหรือเรียกสั้นๆ ว่าเชิงขั้ว) โดยที่รังสีจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอดจะตั้งฉากกับระนาบ และผลคูณของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังแต่ละจุดยอดจะเท่ากับกำลังสองของรัศมี^{[ 3 ]}${\displaystyle P}$

เมื่อทรงกลมมีรัศมีและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (ซึ่งกำหนดโดยสมการ) แล้วคู่ขั้วของทรงหลายเหลี่ยมนูนจะถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle r}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}}$สำหรับทุกคนใน${\displaystyle p}$${\displaystyle P\},}$

โดยที่ หมายถึง ผลคูณดอทมาตรฐานของและ. ${\displaystyle q\cdot p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

โดยทั่วไป เมื่อไม่มีการระบุทรงกลมในการสร้างคู่ จะใช้ทรงกลมหน่วย ซึ่งหมายถึงตามคำจำกัดความข้างต้น^{[ 4 ]}${\displaystyle r=1}$

สำหรับระนาบหน้าแต่ละระนาบของ ทรงหลาย เหลี่ยมคู่ขนานที่อธิบายโดยสมการเชิงเส้น จุดยอดที่สอดคล้องกันของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานจะมีพิกัด ในทำนอง เดียวกัน จุดยอดแต่ละจุดของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานจะสอดคล้องกับระนาบหน้าของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานและเส้นขอบแต่ละเส้นของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานจะสอดคล้องกับเส้นขอบของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานความสัมพันธ์ระหว่างจุดยอด เส้นขอบ และหน้าของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานและ ทรง หลายเหลี่ยมคู่ขนานจะกลับทิศทางการรวมกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเส้นขอบของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานมีจุดยอดอยู่ภายใน เส้นขอบที่สอดคล้องกันของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานจะอยู่ภายในหน้าของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle P}$$${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},}$$${\displaystyle P^{\circ }}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ }}$

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดศูนย์กลางสมมาตรมักจะใช้ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น ดังเช่นในการสร้างแบบดอร์แมน-ลุค (กล่าวถึงด้านล่าง) หากไม่มีจุดศูนย์กลางดังกล่าว สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่มีทรงกลมล้อมรอบ ทรงกลมแนบใน หรือทรงกลมกึ่งกลาง (ทรงกลมที่มีขอบทุกด้านเป็นเส้นสัมผัส) ก็สามารถใช้ได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะสร้างทรงหลายเหลี่ยมผกผันโดยใช้ทรงกลมใดๆ ก็ได้ และรูปทรงของทรงคู่ที่ได้จะขึ้นอยู่กับขนาดและตำแหน่งของทรงกลม เมื่อขนาดของทรงกลมเปลี่ยนไป รูปทรงของทรงคู่ก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเลือกจุดศูนย์กลางของทรงกลมนั้นเพียงพอที่จะกำหนดทรงคู่ได้จนถึงระดับความคล้ายคลึงกัน

ถ้าทรงหลายเหลี่ยมในปริภูมิยูคลิดมีระนาบหน้า เส้นขอบ หรือจุดยอดอยู่บนจุดศูนย์กลางของทรงกลม องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานนั้นจะเข้าสู่ค่าอนันต์ เนื่องจากปริภูมิยูคลิดไม่เคยเข้าสู่ค่าอนันต์ ปริภูมิเชิงฉายที่เทียบเท่ากัน ซึ่งเรียกว่าปริภูมิยูคลิดแบบขยาย อาจถูกสร้างขึ้นโดยการเพิ่ม 'ระนาบที่อนันต์' ที่จำเป็น นักทฤษฎีบางคนชอบที่จะยึดติดกับปริภูมิยูคลิดและกล่าวว่าไม่มีปริภูมิคู่ขนาน ในขณะเดียวกันเวนนิงเกอร์ (1983)ได้ค้นพบวิธีที่จะแสดงทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานอนันต์เหล่านี้ในลักษณะที่เหมาะสมสำหรับการสร้างแบบจำลอง (ของส่วนจำกัดบางส่วน)

แนวคิดเรื่องความเป็นคู่ในที่นี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความเป็นคู่ในเรขาคณิตเชิงฉายภาพซึ่งเส้นและขอบจะสลับกัน ความเป็นขั้วเชิงฉายภาพใช้ได้ดีพอสำหรับทรงหลายเหลี่ยมนูน แต่สำหรับรูปทรงที่ไม่นูน เช่น ทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว เมื่อเราพยายามกำหนดรูปแบบของความเป็นคู่ของทรงหลายเหลี่ยมนี้อย่างเข้มงวดในแง่ของความเป็นขั้วเชิงฉายภาพ ปัญหาต่างๆ ก็ปรากฏขึ้น^{[ 5 ]} เนื่องจากปัญหาด้านคำจำกัดความสำหรับความเป็นคู่ทางเรขาคณิตของทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนGrünbaum (2007)จึงโต้แย้งว่าคำจำกัดความที่เหมาะสมใดๆ ของทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนควรจะรวมถึงแนวคิดของทรงหลายเหลี่ยมคู่ด้วย

รูป ทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ก็สามารถบิดเบี้ยวไปเป็นรูปทรงมาตรฐานได้โดยที่ทรงกลม หน่วย (หรือทรงกลมระหว่างหน่วย) สัมผัสกับขอบทุกด้าน และตำแหน่งเฉลี่ยของจุดสัมผัสเหล่านั้นคือจุดศูนย์กลางของทรงกลม รูปทรงนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ยกเว้นในกรณีที่รูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นสมมาตรกัน

ถ้าเรากลับด้านโพลีเฮดรอนแบบแคนอนิกดังกล่าวรอบจุดกึ่งกลางทรงกลม โพลีเฮดรอนคู่จะใช้จุดสัมผัสขอบเดียวกัน และด้วยเหตุนี้จึงจะเป็นแบบแคนอนิกเช่นกัน มันคือคู่แคนอนิก และทั้งสองรวมกันเป็นสารประกอบคู่แคนอนิก^{[ 6 ]}

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นเอกรูป แต่ละหน้าของทรงหลายเหลี่ยมคู่สามารถได้มาจากรูปจุดยอดที่ สอดคล้องกันของทรงหลายเหลี่ยมดั้งเดิม โดยใช้การสร้าง Dorman Luke ^{[ 7 ]}

แม้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมคู่หนึ่งจะไม่สามารถได้มาจากการผกผันซึ่งกันและกันได้ แต่เราก็ยังสามารถเรียกรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งสองนั้นว่าคู่กัน (duals) ได้ ตราบใดที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมหนึ่งสอดคล้องกับหน้าของอีกรูปทรงหนึ่ง และขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมหนึ่งสอดคล้องกับขอบของอีกรูปทรงหนึ่ง ในลักษณะที่รักษาความสัมพันธ์แบบตกกระทบไว้ รูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ดังกล่าวก็ยังคงเป็นคู่กันในเชิงโทโพโลยีหรือเชิงนามธรรมอยู่ดี

จุดยอดและขอบของทรงหลายเหลี่ยมนูนก่อตัวเป็นกราฟ ( โครงร่าง 1 มิติของทรงหลายเหลี่ยม) ซึ่งฝังอยู่บนพื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยม (ทรงกลมเชิงทอพอโลยี) กราฟนี้สามารถฉายภาพเพื่อสร้างแผนภาพชเลเกลบนระนาบแบนได้ กราฟที่เกิดจากจุดยอดและขอบของทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานคือกราฟคู่ขนานของกราฟดั้งเดิม

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มีหน้าเป็นพื้นผิวปิด จุดยอดและขอบของทรงหลายเหลี่ยมนั้นจะก่อให้เกิดกราฟที่ฝังอยู่บนพื้นผิวปิดนั้น และจุดยอดและขอบของทรงหลายเหลี่ยมคู่ (นามธรรม) จะก่อให้เกิดกราฟคู่ของกราฟดั้งเดิม

ทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรม คือ เซตขององค์ประกอบที่มีลำดับบางส่วน (poset) ชนิดหนึ่งโดยที่ความสัมพันธ์หรือการเชื่อมโยงระหว่างองค์ประกอบในเซตนั้น สอดคล้องกับความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบ (หน้า ขอบ จุดยอด) ของทรงหลายเหลี่ยม เซตที่มีลำดับบางส่วนทุกเซตจะมีเซตคู่ขนาน ซึ่งเกิดจากการกลับลำดับความสัมพันธ์ทั้งหมด หากแสดงภาพเซตที่มีลำดับบางส่วนเป็นแผนภาพ Hasseเซตคู่ขนานก็สามารถมองเห็นได้ง่ายๆ โดยการพลิกแผนภาพ Hasse กลับหัว

ทรงหลายเหลี่ยมเรขาคณิตทุกรูปจะสอดคล้องกับทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมในลักษณะนี้ และมีทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมคู่ขนาน อย่างไรก็ตาม สำหรับทรงหลายเหลี่ยมเรขาคณิตที่ไม่นูนบางประเภท ทรงหลายเหลี่ยมคู่ขนานอาจไม่สามารถสร้างได้จริงในทางเรขาคณิต

ในทางทอพอโลยี รูปทรงหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าเป็นคู่สมในตัวเอง (self-dual)ถ้าคู่สมของมันมีการเชื่อมต่อระหว่างจุดยอด ขอบ และหน้าเหมือนกันทุกประการ ในเชิงนามธรรม รูปทรงทั้งสองจะมีแผนภาพฮัสเซ่ (Hasse diagram ) เหมือนกัน ในทางเรขาคณิต มันไม่เพียงแต่เป็นคู่สมในตัวเองทางทอพอโลยีเท่านั้น แต่รูปผกผันเชิงขั้วของมันรอบจุดใดจุดหนึ่ง โดยทั่วไปคือจุดศูนย์กลางมวล ก็เป็นรูปทรงที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่น คู่สมของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ คือทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติอีกรูปหนึ่งที่สะท้อนผ่านจุดกำเนิด

รูปหลายเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปทรงคู่ตัวเองทางโทโพโลยี เนื่องจากมีจำนวนจุดยอดเท่ากับจำนวนขอบ และค่าเหล่านี้จะสลับกันภายใต้หลักการคู่กัน แต่รูปหลายเหลี่ยมไม่จำเป็นต้องเป็นรูปทรงคู่ตัวเองเสมอไป (เช่น ในกรณีของการเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็ง) รูปหลายเหลี่ยมทุกรูปมีรูปทรงปกติที่เป็นรูปทรงคู่ตัวเองทางเรขาคณิตเกี่ยวกับทรงกลมตรงกลาง กล่าวคือ มุมทุกมุมเท่ากัน เช่นเดียวกับขอบทุกด้าน ดังนั้นภายใต้หลักการคู่กัน ค่าเหล่านี้จะสลับกัน ในทำนองเดียวกัน รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่เป็นรูปทรงคู่ตัวเองทางโทโพโลยีทุกรูป สามารถสร้างขึ้นได้จากรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นรูปทรงคู่ตัวเองทางเรขาคณิตที่เทียบเท่ากัน ซึ่งก็คือรูปทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐาน ที่เป็น ส่วนกลับเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางของทรงกลมตรงกลาง

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสมมาตรตัวเองทางเรขาคณิตอยู่มากมายนับไม่ถ้วน ตระกูลอนันต์ที่ง่ายที่สุดคือพีระมิด[ ^{8 ] ตระกูล}อนันต์อีกตระกูลหนึ่งคือพีระมิดยาวซึ่งประกอบด้วยรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สามารถอธิบายได้คร่าวๆ ว่าเป็นพีระมิดที่วางอยู่บนปริซึม(ที่มีจำนวนด้านเท่ากัน) การเพิ่มทรงตัดยอด (พีระมิดที่ถูกตัดยอดออก) ไว้ด้านล่างปริซึมจะสร้างตระกูลอนันต์อีกตระกูลหนึ่ง และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป นอกจากนี้ยังมีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสมมาตรตัวเองนูนอีกมากมาย ตัวอย่างเช่น มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสมมาตรตัวเองนูน 6 แบบที่มี 7 จุดยอด และ 16 แบบที่มี 8 จุดยอด^{[ 9 ]}

ทรงยี่สิบหน้าแบบไม่นูนคู่ตัวเองที่มีหน้าหกเหลี่ยมได้รับการระบุโดย Brückner ในปี พ.ศ. 2443 ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}ทรงหลายเหลี่ยมแบบไม่นูนคู่ตัวเองอื่นๆ ได้ถูกค้นพบภายใต้คำจำกัดความบางประการของทรงหลายเหลี่ยมแบบไม่นูนและคู่ของมัน

วิธีหนึ่งในการอธิบายความเป็นคู่ในตัวเองของทรงหลายเหลี่ยมคือผ่านการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจุดยอดและหน้าซึ่งแมปจุดยอดทุกจุดไปยังหน้าและหน้าทุกหน้าไปยังจุดยอด โดยรักษาความสัมพันธ์ระหว่างจุดยอดและหน้าไว้ การผกผันของการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นคู่ในตัวเองคือการเรียงสับเปลี่ยนแบบเดียวกันอีกแบบหนึ่ง และเป็นเรื่องปกติที่จะคาดหวังว่าการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นคู่ในตัวเองจะเป็นการผกผัน (การเรียงสับเปลี่ยนผกผันในตัวเอง) แต่มีทรงหลายเหลี่ยมนูนที่เป็นคู่ในตัวเองซึ่งการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นคู่ในตัวเองทั้งหมดไม่ใช่การผกผัน ตัวอย่างที่ตีพิมพ์โดย Stanislav Jendroľ ในปี 1989 มี 14 จุดยอดและ 14 หน้า^{[ 13 ]}

แนวคิดเรื่องความเป็นคู่สามารถขยายไปสู่ ปริภูมิ nมิติและรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ได้ในสองมิติ รูปทรงเหล่านี้เรียกว่ารูป หลายเหลี่ยมคู่

จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมหนึ่งรูปจะสอดคล้องกับองค์ประกอบหรือหน้าตัดมิติ ( n − 1) ของอีกรูปหนึ่ง และจุด jจุดที่กำหนดองค์ประกอบมิติ ( j − 1) จะสอดคล้องกับ ระนาบไฮเปอร์ jระนาบที่ตัดกันเพื่อให้ได้องค์ประกอบมิติ ( n − j ) สามารถกำหนดรูปทรง คู่ขนานของ การปูพื้นแบบ nมิติหรือแบบรังผึ้ง ได้ในทำนองเดียวกัน

โดยทั่วไป ด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ จะเป็นรูปทรงคู่ทางโทโพโลยีของรูปทรงที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและ รูปทรงหลายเหลี่ยม สม่ำเสมอที่เป็นขั้วผกผัน ด้านของรูปทรงคู่จะเป็นรูปทรงที่จุดยอดที่เป็นขั้วผกผันของรูปทรงดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น ในสี่มิติ รูปทรงที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม 600 เซลล์คือ รูปทรงยี่สิบ หน้า ด้านคู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยม 600 เซลล์ คือ รูปทรงหลายเหลี่ยม120 เซลล์ซึ่งมีด้าน เป็นรูปทรง สิบสองหน้า ซึ่งเป็นรูปทรงคู่ของรูปทรงยี่สิบหน้า

กลุ่มหลักของรูปหลายเหลี่ยมคู่ตัวเองคือรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีสัญลักษณ์ Schläfli แบบพาลินโดรม รูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด {a} เป็น รูปหลายเหลี่ยมคู่ตัวเอง รูปทรงหลายเหลี่ยม ในรูปแบบ {a,a} รูปหลายเหลี่ยม 4 มิติในรูปแบบ {a,b,a} รูปหลายเหลี่ยม 5 มิติในรูปแบบ {a,b,b,a} เป็นต้น

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบคู่ตัวเอง ได้แก่:

• รูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด, {a}.
• ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ: {3,3}
• โดยทั่วไปแล้วn- ซิ มเพล็กซ์ ปกติทั้งหมด {3,3,...,3}
• โครงสร้าง 24 เซลล์ปกติใน 4 มิติ {3,4,3}
• เซลล์120 เซลล์ขนาดใหญ่ {5,5/2,5} และเซลล์ 120 เซลล์รูปดาวขนาดใหญ่ {5/2,5,5/2}

โครงสร้างรังผึ้งแบบยุคลิดปกติแบบทวิภาค (อนันต์) มีดังนี้:

• อะพีโรกอน : {∞}
• การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส : {4,4}
• รังผึ้งทรงลูกบาศก์ : {4,3,4}
• โดยทั่วไปแล้วรังผึ้งไฮเปอร์คิวบิกแบบยูคลิดn มิติปกติทั้งหมด คือ {4,3,...,3,4}

โครงสร้างรังผึ้ง ไฮเปอร์โบลิกปกติแบบทวิภาค (อนันต์) มีดังนี้:

• การปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบกะทัดรัด: {5,5} , {6,6} , ... {p,p}
• การปูพื้นไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพ็กต์: {∞,∞}
• รังผึ้งไฮเปอร์โบลิกขนาดกะทัดรัด: {3,5,3} , {5,3,5}และ{5,3,3,5}
• โครงสร้างรังผึ้งไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพค: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4}และ{3,3,4,3,3}

• สัญกรณ์ทรงหลายเหลี่ยมของคอนเวย์
• รูปหลายเหลี่ยมคู่
• กราฟคู่ตัวเอง
• รูปหลายเหลี่ยมคู่ตัวเอง

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ทรงหลายเหลี่ยมคู่" , MathWorld
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "การปูพื้นแบบคู่" , MathWorld
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ทรงหลายเหลี่ยมแบบคู่ตัวเอง" , MathWorld