ในทางคณิตศาสตร์โพลีโทปนามธรรมคือเซตลำดับบางส่วนเชิง พีชคณิต ซึ่งรวบรวม คุณสมบัติ เชิงการจัดเรียง บางอย่าง ของโพลีโทป แบบดั้งเดิม โดยไม่ต้องระบุคุณสมบัติทางเรขาคณิตล้วนๆ เช่น ตำแหน่งของจุดยอด^{[ 1 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงเรขาคณิต กล่าวได้ว่าเป็นการปรากฏจริงของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมในปริภูมิn มิติที่แท้จริง ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะ เป็นปริภูมิ ยุคลิดคำจำกัดความเชิงนามธรรมนี้ช่วยให้เกิดโครงสร้างเชิงการจัดเรียงที่ทั่วไปมากกว่าคำจำกัดความดั้งเดิมของรูปทรงหลายเหลี่ยม จึงทำให้เกิดวัตถุใหม่ที่ไม่มีอยู่ในทฤษฎีแบบดั้งเดิม

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปทรงสองรูปที่ไม่เหมือนกันอาจมีโครงสร้างร่วมกันได้ ตัวอย่างเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมคางหมูต่างก็ประกอบด้วยจุดยอดสี่จุดและด้านสี่ด้านสลับกัน ทำให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมพวกมันจึงเรียกว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่สมมาตรกันหรือ "รักษาโครงสร้างไว้"

โครงสร้างทั่วไปนี้อาจแสดงได้ในรูปหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรม ซึ่งเป็นเซตเชิงพีชคณิตที่มีลำดับบางส่วน และแสดงถึงรูปแบบของการเชื่อมต่อ (หรือเหตุการณ์)ระหว่างองค์ประกอบโครงสร้างต่างๆ คุณสมบัติที่วัดได้ของรูปหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิม เช่น มุม ความยาวด้าน ความเอียง ความตรง และความนูน จะไม่มีความหมายสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรม

สิ่งที่เป็นจริงสำหรับโพลีโทปแบบดั้งเดิม (เรียกอีกอย่างว่าโพลีโทปแบบคลาสสิกหรือเรขาคณิต) อาจไม่เป็นจริงสำหรับโพลีโทปแบบนามธรรม และในทางกลับกัน ตัวอย่างเช่น โพลีโทปแบบดั้งเดิมจะปกติ หาก ด้านและ จุดยอด ทั้งหมดเป็นรูปทรงปกติแต่สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นสำหรับโพลีโทปแบบนามธรรม^{[ 2 ]}

กล่าวกันว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิมคือการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนามธรรมขึ้นมา การสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิมขึ้นมานั้น คือการแมปหรือการสอดแทรกวัตถุแบบนามธรรมลงในพื้นที่จริง ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว จะเป็น พื้นที่แบบยุคลิดเพื่อสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิมให้เป็นรูปทรงเรขาคณิตจริง

รูปสี่เหลี่ยมทั้งหกรูปที่แสดงอยู่นี้ ล้วนเป็นรูปแบบที่แตกต่างกันของรูปสี่เหลี่ยมเชิงนามธรรม โดยแต่ละรูปมีคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่แตกต่างกัน บางรูปไม่ตรงกับคำจำกัดความดั้งเดิมของรูปสี่เหลี่ยม และเรียกว่าเป็น รูปแบบ ที่ไม่ตรงตาม คำจำกัดความดั้งเดิม ส่วนรูปหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิมนั้น ถือเป็นรูปแบบที่ตรงตามคำจำกัดความดั้งเดิม

ในรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนามธรรม องค์ประกอบโครงสร้างแต่ละอย่าง (จุดยอด ขอบ เซลล์ ฯลฯ) จะเชื่อมโยงกับสมาชิกที่สอดคล้องกันในเซต คำว่า " หน้า"ใช้เพื่ออ้างถึงองค์ประกอบดังกล่าว เช่น จุดยอด (หน้า 0) ขอบ (หน้า 1) หรือ หน้า k ทั่วไป และไม่ใช่แค่หน้า 2 มิติของรูปหลายเหลี่ยมเท่านั้น

หน้าต่างๆ จะถูกจัดลำดับตามมิติที่แท้จริงที่เกี่ยวข้อง โดยจุดยอดมีลำดับที่ 0 ขอบมีลำดับที่ 1 และอื่นๆ

หน้าเหตุการณ์ที่มีลำดับต่างกัน เช่น จุดยอด F ของขอบ G จะถูกเรียงลำดับตามความสัมพันธ์ F < G โดยที่ F เรียกว่าเป็นหน้าย่อยของ G

กล่าวได้ว่า F และ G อยู่ติดกันก็ต่อเมื่อ F = G หรือ F < G หรือ G < F การใช้คำว่า "อยู่ติดกัน" ในลักษณะนี้ยังพบได้ในเรขาคณิตจำกัดแม้ว่าจะแตกต่างจากเรขาคณิตแบบดั้งเดิมและสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ก็ตาม โดยจะเข้าใจในแง่ของจุดและจุดยอดในกราฟของแผนภาพ Hasseของรูปทรงหลายเหลี่ยม ไม่ใช่ภาพวาดทางเรขาคณิตของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น ตัวอย่างเช่น ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสABCDขอบABและBCไม่ได้อยู่ติดกันในเชิงนามธรรมดังที่เห็นได้ในแผนภาพ Hasse ข้างต้น (ถึงแม้ว่าทั้งสองขอบจะอยู่ติดกันในเชิงเรขาคณิตกับจุดยอด B ในภาพวาดทางเรขาคณิตก็ตาม)

รูปหลายเหลี่ยม (polytope) ถูกนิยามว่าเป็นเซตของหน้าPที่มีความสัมพันธ์ลำดับ<โดยในทางทฤษฎีแล้วP (ที่มี< ) จะเป็นเซตที่มีลำดับบางส่วน ( partially ordered set) หรือposet ( เซตที่มีลำดับบางส่วน อย่างเคร่งครัด)

เช่นเดียวกับที่เลขศูนย์มีความจำเป็นในทางคณิตศาสตร์ ทุกเซตก็มีเซตว่าง ∅ เป็นเซตย่อย ในโพลีโทปนามธรรม ∅ จะถูกระบุตามธรรมเนียมว่าเป็น หน้า เล็กที่สุดหรือ หน้า ศูนย์และเป็นหน้าย่อยของหน้าอื่นๆ ทั้งหมด เนื่องจากหน้าเล็กที่สุดอยู่ต่ำกว่าจุดยอดหรือหน้าศูนย์หนึ่งระดับ ดังนั้นอันดับของมันจึงเป็น −1 และอาจเขียนแทนด้วยF ₋₁ได้ ดังนั้น F ₋₁ ≡ ∅ และโพลีโทปนามธรรมก็มีเซตว่างเป็นองค์ประกอบด้วย^{[ 3 ]}โดยปกติแล้วจะไม่ปรากฏให้เห็น แม้ว่าการขาดการปรากฏให้เห็นอาจตีความได้ว่าปรากฏให้เห็นเป็นเซตที่ไม่มีจุด ซึ่งก็คือเซตว่าง

นอกจากนี้ยังมีหน้าเดียวที่หน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นหน้าย่อย หน้าดังกล่าวเรียกว่า หน้า ใหญ่ที่สุดใน รูปทรงหลายเหลี่ยม nมิติ หน้าใหญ่ที่สุดมีอันดับ = nและอาจเขียนแทนด้วยF _nบางครั้งอาจมองเห็นเป็นส่วนภายในของรูปทรงเรขาคณิตนั้น

ใบหน้าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดเหล่านี้บางครั้งเรียกว่า ใบหน้า ที่ไม่เหมาะสมโดยใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดถือเป็นใบหน้าที่เหมาะสม^{[ 4 ]}

ด้านต่างๆ ของรูปสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบนามธรรมแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง:

ความสัมพันธ์ < ประกอบด้วยเซตของคู่ ซึ่งในที่นี้ได้แก่

F ₋₁ < a , ... , F ₋₁ <X, ... , F ₋₁ <G, ... , b <Y, ... , c <G, ... , Z<G.

ความสัมพันธ์เชิงลำดับเป็นแบบถ่ายทอด กล่าวคือ F < G และ G < H หมายความว่า F < H ดังนั้น ในการระบุลำดับชั้นของหน้าต่างๆ จึงไม่จำเป็นต้องระบุทุกกรณีที่ F < H เพียงแต่ระบุเฉพาะคู่ที่ฝ่ายหนึ่งเป็นผู้สืบทอดของอีกฝ่ายหนึ่ง กล่าวคือ ในกรณีที่ F < H และไม่มี G ใดที่ตรงตามเงื่อนไข F < G < H

บางครั้งอาจเขียนขอบ W, X, Y และ Z เป็นab , ad , bcและcdตามลำดับ แต่การเขียนแบบนั้นไม่เหมาะสมเสมอไป

ขอบทั้งสี่ด้านมีโครงสร้างคล้ายคลึงกัน และจุดยอดก็เช่นกัน ดังนั้นรูปทรงนี้จึงมีสมมาตรเหมือนสี่เหลี่ยมจัตุรัส และโดยทั่วไปจึงเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส

โพเซตขนาดเล็ก และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง โพลีโทป มักจะแสดงให้เห็นภาพได้ดีที่สุดในแผนภาพ Hasseดังที่แสดงไว้ ตามธรรมเนียมแล้ว หน้าที่มีลำดับเท่ากันจะอยู่บนระดับแนวตั้งเดียวกัน แต่ละ "เส้น" ระหว่างหน้า เช่น F, G แสดงถึงความสัมพันธ์เชิงลำดับ < โดยที่ F < G โดยที่ F อยู่ต่ำกว่า G ในแผนภาพ

แผนภาพ Hasse กำหนดเซตลำดับเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน และด้วยเหตุนี้จึงสามารถแสดงโครงสร้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้อย่างสมบูรณ์ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่สมมาตรกันจะทำให้เกิดแผนภาพ Hasse ที่สมมาตรกัน และในทางกลับกัน แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับกราฟแสดงรูปทรงหลายเหลี่ยม

อันดับของหน้า F ถูกกำหนดเป็น ( m  − 2) โดยที่mคือจำนวนหน้าสูงสุดในสายโซ่ ใด ๆ (F', F", ... , F) ที่สอดคล้องกับ F' < F" < ... < F โดยที่ F' คือหน้าที่มีค่าน้อยที่สุดเสมอ คือF ₋₁

อันดับของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมP คืออันดับสูงสุดnของหน้าใดๆ โดยจะเป็นอันดับของหน้าที่ใหญ่ที่สุด F _nเสมอ

ตามทฤษฎีดั้งเดิมแล้ว ลำดับของหน้าหรือรูปทรงหลายเหลี่ยมมักจะสอดคล้องกับมิติ ของรูปทรงที่เทียบเคียงกัน

สำหรับบางยศ ประเภทใบหน้าของพวกเขาจะถูกระบุไว้ในตารางต่อไปนี้

† ตามธรรมเนียมแล้ว "face" หมายถึง face ระดับ 2 หรือ 2-face ในทฤษฎีเชิงนามธรรม คำว่า "face" หมายถึง face ทุกระดับ

ในทางเรขาคณิตธง (flag ) คือ ลำดับสูงสุดของหน้าตัด กล่าวคือ เซต Ψ ของหน้าตัดที่มีลำดับ (โดยสมบูรณ์) แต่ละหน้าตัดเป็นหน้าตัดย่อยของหน้าตัดถัดไป (ถ้ามี) และ Ψ ไม่ใช่เซตย่อยของลำดับที่ใหญ่กว่าใดๆ เมื่อกำหนดหน้าตัดที่แตกต่างกันสองหน้าตัด F และ G ในธงแล้ว F < G หรือ F > G ก็ได้

ตัวอย่างเช่น { ø , a , ab , abc } คือธงในรูปสามเหลี่ยมabc

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดไว้ ธงทั้งหมดจะมีจำนวนหน้าเท่ากัน ส่วนโพเซตอื่นๆ โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้

เซตย่อยใดๆ P' ของเซตลำดับบางส่วน P ก็เป็นเซตลำดับบางส่วนเช่นกัน (โดยมีความสัมพันธ์เดียวกัน <, จำกัดเฉพาะ P' เท่านั้น)

ในโพลีโทปนามธรรม เมื่อกำหนดหน้าสองหน้าใดๆFและHของ P โดยที่F ≤ Hเซต { G | F ≤ G ≤ H } เรียกว่าส่วนตัดของPและเขียนแทนด้วยH / F (ในทฤษฎีลำดับ ส่วนตัดเรียกว่าช่วงปิดของโพเซตและเขียนแทนด้วย [ F , H ])

ตัวอย่างเช่น ในปริซึม abcxyz (ดูแผนภาพ) ส่วนตัดxyz / ø (ไฮไลต์สีเขียว) คือรูปสามเหลี่ยม

{ ø , x , y , z , xy , xz , yz , xyz }.

ส่วนkคือส่วนที่มีอันดับ k

ดังนั้น P จึงเป็นส่วนหนึ่งของตัวมันเอง

แนวคิดเรื่องส่วนตัดในที่นี้ไม่ได้มีความหมายเหมือนกับในเรขาคณิตแบบดั้งเดิม

ด้านสำหรับหน้าj ที่กำหนด F คือ ส่วน ( j − 1 ) F / _∅โดยที่Fjคือด้านที่ใหญ่ที่สุด

ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยมabcด้านที่abคือab / ∅ = { ∅, a, b, ab } ซึ่งเป็นส่วนของเส้นตรง

โดยทั่วไปแล้ว ความแตกต่างระหว่างFและF /∅ นั้นไม่สำคัญมากนัก และมักถือว่าทั้งสองเหมือนกัน

รูปยอด ที่จุดยอด Vที่กำหนดคือส่วนตัด ( n − 1) F _n / Vโดยที่F _nคือหน้าตัดที่ใหญ่ที่สุด

ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยมabcรูปทรงที่จุดยอดbคือabc / b = { b, ab, bc, abc } ซึ่งเป็นส่วนของเส้นตรง รูปทรงที่จุดยอดของลูกบาศก์คือรูปสามเหลี่ยม

เซตลำดับบางส่วน P จะเรียกว่าเชื่อมต่อได้ถ้า P มีอันดับ ≤ 1 หรือ ถ้ากำหนดหน้าแท้สองหน้า F และ G ใดๆ แล้ว จะมีลำดับของหน้าแท้

H ₁ , H ₂ , ... ,H _k

โดยที่ F = H ₁ , G = H _kและ H _i แต่ละตัว , i < k, จะอยู่ติดกับตัวถัดไป

เงื่อนไขข้างต้นรับประกันว่าสามเหลี่ยมสองรูปที่ไม่ทับซ้อนกันabcและxyzไม่ใช่ รูปหลายเหลี่ยม ( รูปเดียว)

เซตลำดับบางส่วน P จะเรียกว่าเชื่อมต่ออย่างแน่นหนาถ้าทุกส่วนของ P (รวมถึง P เอง) เชื่อมต่อกัน

ด้วยข้อกำหนดเพิ่มเติมนี้ พีระมิดสองอันที่ใช้จุดยอดร่วมกันเพียงจุดเดียวก็จะถูกตัดออกไปด้วย อย่างไรก็ตาม พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมสองอัน ตัวอย่างเช่นสามารถ "เชื่อม" เข้าด้วยกันที่หน้าสี่เหลี่ยมของมัน ทำให้เกิดทรงแปดเหลี่ยมได้ โดย "หน้าร่วม" นั้นไม่ใช่หน้าของทรงแปดเหลี่ยม

โพลีโทปนามธรรมคือเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งองค์ประกอบต่างๆ เรียกว่าหน้าโดยต้องเป็นไปตามสัจพจน์ 4 ข้อ: ^{[ 1 ]}

1. มันมีด้านที่เล็กที่สุด เพียงด้านเดียว และด้านที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเพียง ด้านเดียว
2. ธงทุกแบบมีจำนวนหน้าเท่ากัน
3. มัน มีความเชื่อมโยงกัน อย่างแน่นหนา
4. ถ้าลำดับของหน้าสองหน้าa > bต่างกัน 2 แสดงว่ามีหน้าอยู่ตรงกลางระหว่างaและb เพียง 2 หน้าเท่านั้น

n- โพลีโทปคือโพลีโทปที่มีอันดับnโพลีโทปนามธรรมที่เกี่ยวข้องกับโพลีโทปนูน จริง ยังเรียกว่า แลตทิ ซหน้า ของมันด้วย ^{[ 5 ]}

สำหรับแต่ละอันดับ −1 และ 0 จะมีเซตลำดับเพียงเซตเดียว ซึ่งก็คือหน้าว่างและจุด ตามลำดับ เซตเหล่านี้ไม่ได้ถูกพิจารณาว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมที่ถูกต้องเสมอไป

มีโพลีโทปที่มีอันดับ 1 เพียงรูปเดียว ซึ่งก็คือส่วนของเส้นตรง โพลีโทปนี้มีหน้าเล็กที่สุดหนึ่งหน้า หน้าศูนย์สองหน้า และหน้าใหญ่ที่สุดหนึ่งหน้า ตัวอย่างเช่น {ø, a, b, ab } ดังนั้น จุดยอดaและbจึงมีอันดับ 0 และหน้าใหญ่ที่สุดabและด้วยเหตุนี้ โพเซตจึงมีอันดับ 1 ทั้งคู่

สำหรับแต่ละpโดยที่ 3 ≤ p < เราจะได้ (รูปเชิงนามธรรมที่เทียบเท่ากับ) รูปหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิมที่มีpจุดยอดและpขอบ หรือ รูป pเหลี่ยม สำหรับ p = 3, 4, 5, ... เราจะได้รูปสามเหลี่ยม, รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส, รูปห้าเหลี่ยม, ... ${\displaystyle \infty }$

สำหรับp = 2 เราจะได้รูปสองเหลี่ยมและสำหรับ p = เราจะได้รูป สามเหลี่ยมด้านเท่า${\displaystyle \infty }$

รูป สองเหลี่ยม (digon)คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีเพียง 2 ขอบ ซึ่งแตกต่างจากรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ตรงที่ขอบทั้งสองมีจุดยอดเดียวกัน ด้วยเหตุนี้ รูปสองเหลี่ยมจึงจัดอยู่ ในรูปหลายเหลี่ยมเสื่อม สภาพ (degenerate ) ในระนาบยุคลิด

บางครั้งมีการอธิบายหน้าโดยใช้ "สัญกรณ์จุดยอด" เช่น { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } สำหรับสามเหลี่ยมabcวิธีนี้มีข้อดีคือแสดงถึงความสัมพันธ์ < (< )

สำหรับรูปสองเหลี่ยมไม่สามารถใช้ สัญลักษณ์จุดยอดแบบนี้ ได้ จำเป็นต้องกำหนดสัญลักษณ์เฉพาะให้กับแต่ละหน้า และระบุคู่หน้าย่อย F < G ด้วย

ดังนั้น รูปสองเหลี่ยมจึงถูกนิยามว่าเป็นเซต { ø , a , b , E', E", G} โดยมีความสัมพันธ์<ที่กำหนดโดย

{ ø < ​​a , ø < b , a <E', a <E", b <E', b <E", E'<G, E"<G}

โดยที่ E' และ E" คือขอบทั้งสองด้าน และ G คือหน้าตัดที่ใหญ่ที่สุด

ความจำเป็นในการระบุแต่ละองค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยสัญลักษณ์เฉพาะนี้ ใช้ได้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมอื่นๆ อีกมากมาย และจึงเป็นแนวปฏิบัติทั่วไป

รูปทรงหลายเหลี่ยมจะสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยใช้สัญลักษณ์จุดยอดได้ก็ต่อเมื่อทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นเชื่อมต่อกับชุดจุดยอดที่ไม่ซ้ำกันเท่านั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่ารูป ทรงหลายเหลี่ยม อะ ตอมิ ก

เซตของ หน้า jหน้า (−1 ≤ j ≤ n ) ของโพ ลีโทป n มิติแบบดั้งเดิม ก่อให้เกิดโพลีโทป n มิติแบบนามธรรม

แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมนั้นกว้างกว่าและยังรวมถึง:

• อะเพโรโทปหรือโพลีโทปอนันต์ ซึ่งรวมถึงการปูพื้น (การเรียงตัวของรูปทรงต่างๆ)
• การแยกส่วนที่เหมาะสมของแมนิโฟลด์ไร้ขอบเขต เช่นโทรัสหรือ ระนาบเชิงโปรเจกที ฟจริง
• วัตถุอื่นๆ อีกมากมาย เช่น11-เซลล์และ57-เซลล์ที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้อย่างถูกต้องในปริภูมิยูคลิด

รูปทรงไดกอนเป็นรูปทรงทั่วไปของโฮโซเฮดรอนและโฮโซโทปมิติสูงกว่า ซึ่งทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้ในรูปของทรงหลายเหลี่ยมทรงกลม – โดยสามารถปูพื้นผิวทรงกลมได้

ตัวอย่างของทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมที่ไม่เป็นไปตามแบบแผนดั้งเดิม 4 แบบ ได้แก่เฮมิคิวบ์ (ดังภาพ), เฮมิออกตาเฮดรอน , เฮมิโดเดคาเฮดรอนและเฮมิไอโคซาเฮดรอน ทรงหลายเหลี่ยม เหล่านี้เป็นทรงหลายเหลี่ยมเชิงฉายที่เทียบเท่ากับทรงหลายเหลี่ยมเพลโตและสามารถสร้างขึ้นได้ในรูปของทรงหลายเหลี่ยมเชิงฉาย (ในระดับสากล) กล่าวคือ สามารถปูพื้นผิวระนาบเชิงฉายจริงได้

ครึ่งลูกบาศก์เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่การใช้สัญลักษณ์จุดยอดไม่สามารถนำมาใช้กำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมได้ เนื่องจากหน้า 2 ด้านและหน้า 3 ด้านทั้งหมดมีชุดจุดยอดเดียวกัน

รูปทรงเรขาคณิตหลายเหลี่ยมทุกรูปมีรูปคู่แฝด ในเชิงนามธรรม รูปคู่แฝดคือรูปทรงเรขาคณิตหลายเหลี่ยมเดียวกัน แต่มีการเรียงลำดับกลับกัน แผนภาพ Hasse จะแตกต่างกันเฉพาะในคำอธิบายประกอบเท่านั้น ในรูปทรง เรขาคณิตหลายเหลี่ยม nมิติ แต่ละ หน้า kมิติเดิมจะถูกแมปไปยังหน้า ( n  −  k  − 1) มิติในรูปคู่แฝด ดังนั้น ตัวอย่างเช่น หน้า nมิติจะถูกแมปไปยังหน้า (−1) มิติ รูปคู่แฝดของรูปคู่แฝดนั้น ( สมมาตรกับ) รูปเดิม

รูปทรงหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าเป็นรูปทรงคู่ของตัวเองได้ (self-dual) ถ้ามันเหมือนกับรูปทรงคู่ของมัน กล่าวคือ เป็นไอโซมอร์ฟิก (isomorphic) กับรูปทรงคู่ของมัน ดังนั้น แผนภาพฮัสเซ่ (Hasse diagram) ของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นรูปทรงคู่ของตัวเองได้ จะต้องสมมาตรกับแกนแนวนอนที่อยู่กึ่งกลางระหว่างจุดสูงสุดและจุดต่ำสุด พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมในตัวอย่างข้างต้นเป็นรูปทรงคู่ของตัวเองได้

รูปทรงจุดยอดที่จุดยอดVคือรูปทรงคู่ขนานของด้านที่Vแมปไปในโพลีโทปคู่ขนาน

ตามหลักการแล้ว รูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมจะถูกนิยามว่า "ปกติ" ถ้ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ของมัน กระทำการถ่ายทอดบนเซตของแฟล็กของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หน้า k สอง หน้า ใดๆ FและGของ รูปทรงหลายเหลี่ยม nมิติจะ "เหมือนกัน" กล่าวคือ มีออโตมอร์ฟิซึมที่แมปFไปยังG เมื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมปกติ กลุ่มออโตมอ ร์ ฟิซึมของมันจะสม isomorphic กับผลหารของกลุ่ม Coxeter

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีอันดับ ≤ 2 ทั้งหมดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่มีชื่อเสียงที่สุดคือทรงหลายเหลี่ยมเพลโตทั้งห้า รูปทรงครึ่งลูกบาศก์ (ดังภาพ) ก็เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเช่นกัน

โดยคร่าวๆ แล้ว สำหรับแต่ละลำดับkหมายความว่าไม่มีวิธีใดที่จะแยกแยะ หน้า k ใดๆ ออกจากหน้าอื่นๆ ได้ หน้าเหล่านั้นต้องเหมือนกันทุกประการ และต้องมีหน้าข้างเคียงที่เหมือนกันทุกประการ เป็นต้น ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์เป็นลูกบาศก์ปกติเพราะหน้าทุกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จุดยอดของแต่ละสี่เหลี่ยมจัตุรัสเชื่อมต่อกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามรูป และแต่ละสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านี้เชื่อมต่อกับหน้า ขอบ และจุดยอดอื่นๆ ที่จัดเรียงเหมือนกันทุกประการ เป็นต้น

เงื่อนไขนี้เพียงอย่างเดียวก็เพียงพอที่จะรับประกันได้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมปกติใดๆ จะมีหน้าปกติ ( n -1) ที่สมมาตรกัน และรูปทรงจุดยอดปกติที่สมมาตรกัน

เงื่อนไขนี้อ่อนกว่าเงื่อนไขความสม่ำเสมอสำหรับรูปหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิม เนื่องจากอ้างอิงถึงกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม (เชิงการจัดเรียง) ไม่ใช่กลุ่มสมมาตร (เชิงเรขาคณิต) ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมแบบนามธรรมใดๆ ก็เป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบปกติได้ เพราะมุม ความยาวขอบ ความโค้งของขอบ ความเอียง ฯลฯ ไม่มีอยู่จริงสำหรับรูปหลายเหลี่ยมแบบนามธรรม

นอกจากนี้ยังมีแนวคิดที่อ่อนกว่าอีกหลายอย่าง ซึ่งบางอย่างยังไม่ได้รับการกำหนดมาตรฐานอย่างสมบูรณ์ เช่นกึ่งปกติกึ่งปกติ สม่ำเสมอไครัลและอาร์คิมีเดียนซึ่งใช้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าบางส่วน แต่ไม่ใช่ทุกหน้าที่เท่ากันในแต่ละลำดับ

เซตของจุดVในปริภูมิยุคลิดที่มีการส่งแบบทั่วถึงจากเซตจุดยอดของโพลีโทปนามธรรมPซึ่งออโตมอร์ฟิซึมของPเหนี่ยวนำให้เกิด การเรียงสับเปลี่ยน แบบไอโซเมตริกของVเรียกว่าการตระหนักรู้ของโพลีโทปนามธรรม^{[ 6 ] [ 7 ]}การตระหนักรู้สองแบบเรียกว่าสอดคล้องกันหากการส่งแบบ ทั่วถึงตามธรรมชาติ ระหว่างเซตจุดยอดของพวกมันถูกเหนี่ยวนำโดยไอโซเมตริกของปริภูมิยุคลิดโดยรอบของพวกมัน^{[ 8 ] [ 9 ]}

หากรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมnมิติ ถูกสร้างขึ้นใน ปริภูมิ nมิติ โดยที่การจัดเรียงทางเรขาคณิตไม่ขัดกับกฎใดๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิม (เช่น หน้าโค้ง หรือสันที่มีขนาดเป็นศูนย์) การสร้างนั้นจะเรียกว่า"ซื่อสัตย์ " โดยทั่วไปแล้ว มีเพียงรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมที่มีอันดับn จำนวนจำกัดเท่านั้น ที่สามารถสร้างได้อย่างซื่อสัตย์ในปริภูมิ n มิติใดๆการกำหนดลักษณะของผลกระทบนี้ยังคงเป็นปัญหาที่สำคัญอยู่

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมปกติ หากการแปลงเชิงคอมบินาทอริกของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมนั้นเกิดขึ้นจากสมมาตรทางเรขาคณิต รูปทรงเรขาคณิตนั้นจะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

กลุ่ม สมมาตร Gของการรับรู้VของโพลีโทปนามธรรมPถูกสร้างขึ้นโดยการสะท้อนสองครั้ง ซึ่งผลคูณของการสะท้อนทั้งสองจะเลื่อนจุดยอดแต่ละจุดของPไปยังจุดยอดถัดไป^{[ 10 ] [ 11 ]}ผลคูณของการสะท้อนทั้งสองสามารถแยกออกเป็นผลคูณของการเลื่อนที่ไม่เป็นศูนย์ การหมุนจำนวนจำกัด และการสะท้อนที่อาจไม่สำคัญ^{[ 12 ] [ 11 ]}

โดยทั่วไปพื้นที่โมดูลัสของการรับรู้ของโพลีโทปนามธรรมคือกรวยนูนที่มีมิติอนันต์^{[ 13 ] [ 14 ]}กรวยการรับรู้ของโพลีโทปนามธรรมมีมิติพีชคณิต อนันต์นับไม่ได้ และไม่สามารถปิด ได้ ใน โทโพโล ยีแบบยุคลิด^{[ 12 ] [ 15 ]}

ปัญหาสำคัญในทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมคือปัญหาการรวมกลุ่มซึ่งเป็นชุดของคำถามต่างๆ เช่น

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมKและL ที่กำหนดให้ มีรูปทรงหลายเหลี่ยมP ใดบ้าง ที่มีด้านเป็นKและมีรูปทรงที่จุดยอดเป็นL  ?

ถ้าเช่นนั้น พวกมันทั้งหมดมีจำนวนจำกัดหรือไม่?

มีจำนวนจำกัดอะไรบ้าง?

ตัวอย่างเช่น ถ้าKคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และLคือรูปสามเหลี่ยม คำตอบของคำถามเหล่านี้คือ

ใช่ มีรูปทรงหลายเหลี่ยมPที่มีหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยแต่ละจุดยอดเชื่อมต่อกัน 3 จุด (กล่าวคือ มีรูปทรงหลายเหลี่ยมประเภท {4,3})

ใช่แล้ว ทุกสิ่งล้วนมีขีดจำกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง...

มีลูกบาศก์ที่มีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 หน้า ขอบ 12 เส้น และจุดยอด 8 จุด และครึ่งลูกบาศก์ที่มีหน้า 3 หน้า ขอบ 6 เส้น และจุดยอด 4 จุด

เป็นที่ทราบกันว่า หากคำตอบของคำถามแรกคือ 'ใช่' สำหรับค่าKและL ปกติบางค่า แล้ว จะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่ซ้ำกันเพียงรูปเดียวที่มีด้านเป็นKและรูปทรงจุดยอดเป็นLเรียกว่า รูปทรง หลายเหลี่ยมสากลที่มีด้านและรูปทรงจุดยอดเหล่านี้ ซึ่งครอบคลุมรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นๆ ที่คล้ายกันทั้งหมด กล่าวคือ สมมติว่าPคือรูปทรงหลายเหลี่ยมสากลที่มีด้านKและรูปทรงจุดยอดLแล้วรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นๆQที่มีด้านและรูปทรงจุดยอดเหล่านี้ สามารถเขียนได้เป็นQ = P / Nโดยที่

• Nเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของPและ
• P / Nคือกลุ่มของวงโคจรขององค์ประกอบของPภายใต้การกระทำของNโดยมีลำดับบางส่วนที่เหนี่ยวนำโดยลำดับของP

Q = P / Nเรียกว่าผลหารของPและเรากล่าวว่า P ครอบคลุมQ

จากข้อเท็จจริงนี้ การค้นหารูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีด้านและรูปทรงจุดยอดเฉพาะเจาะจง มักดำเนินการดังนี้:

1. พยายามค้นหาโพลีโทปสากลที่เหมาะสม
2. พยายามจำแนกประเภทของผลหาร

โดยทั่วไปแล้ว ปัญหาทั้งสองข้อนี้ยากมาก

กลับมาที่ตัวอย่างข้างต้น ถ้าKคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และLคือรูปสามเหลี่ยม โพลีโทปสากล { K , L } ก็คือลูกบาศก์ (หรือเขียนว่า {4,3}) ครึ่งลูกบาศก์คือผลหาร {4,3}/ Nโดยที่Nคือกลุ่มสมมาตร (ออโตมอร์ฟิซึม) ของลูกบาศก์ที่มีเพียงสององค์ประกอบ คือเอกลักษณ์ และสมมาตรที่แมปแต่ละมุม (หรือขอบหรือหน้า) ไปยังด้านตรงข้าม

ถ้าLเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเช่นกัน โพลีโทปสากล { K , L } (นั่นคือ {4,4}) คือการปูพื้นระนาบยุคลิดด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส การปูพื้นนี้มีสัดส่วนอนันต์ของหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่หน้าต่อจุดยอด บางรูปเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติและบางรูปไม่ใช่ ยกเว้นโพลีโทปสากลเอง สัดส่วนอื่นๆ ทั้งหมดจะสอดคล้องกับวิธีการต่างๆ ในการปูพื้นทอรัส หรือ ทรงกระบอกยาวอนันต์ด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

11- เซลล์ซึ่งค้นพบโดยอิสระโดยHSM CoxeterและBranko Grünbaum เป็นโพลีโทป 4 มิติแบบนามธรรม ด้านของมันเป็นรูปทรงครึ่งไอโคซาเฮดรอน เนื่องจากด้านของมันเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟในทางโทโพโลยีแทนที่จะเป็นทรง กลม 11-เซลล์จึงไม่ใช่การปูพื้นผิวของแมนิโฟลด์ใดๆ ในความหมายปกติ แต่ 11-เซลล์เป็นโพลีโทปเชิงโปรเจกทีฟเฉพาะที่ มันมีคุณสมบัติเป็นคู่ในตัวเองและเป็นสากล: มันเป็น โพลีโทป เดียวที่มีด้านเป็นรูปทรงครึ่งไอโคซาเฮดรอนและรูปทรงจุดยอดเป็นรูปทรงครึ่งโดเดคาเฮดรอน

โพลีโทป 57 เซลล์ก็เป็นโพลีโทปแบบคู่ตัวเองเช่นกัน โดยมีด้านเป็นรูปทรงครึ่งโดเดคาเฮดรัล โพลีโทปนี้ถูกค้นพบโดย HSM Coxeter ไม่นานหลังจากที่ค้นพบโพลีโทป 11 เซลล์ เช่นเดียวกับโพลีโทป 11 เซลล์ โพลีโทป 57 เซลล์ก็เป็นโพลีโทปสากลเช่นกัน โดยเป็นโพลีโทปเพียงชนิดเดียวที่มีด้านเป็นรูปทรงครึ่งโดเดคาเฮดรัลและรูปทรงจุดยอดเป็นรูปทรงครึ่งไอโคซาเฮดรัล ในทางกลับกัน มีโพลีโทปอื่นๆ อีกมากมายที่มีด้านเป็นรูปทรงครึ่งโดเดคาเฮดรัลและเป็นแบบ Schläfli {5,3,5} โพลีโทปสากลที่มีด้านเป็นรูปทรงครึ่งโดเดคาเฮดรัลและรูปทรงจุดยอดเป็นรูปทรงไอโคซาเฮดรัล (ไม่ใช่รูปทรงครึ่งไอโคซาเฮดรัล) นั้นมีจำนวนจำกัด แต่มีขนาดใหญ่มาก โดยมีด้าน 10006920 ด้านและจุดยอดครึ่งหนึ่งของจำนวนด้านทั้งหมด

ปัญหาการรวมรูปทรงนั้น ในอดีตถูกศึกษาโดยอาศัยโทโพโลยี เฉพาะ ที่ กล่าวคือ แทนที่จะจำกัดให้KและLเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมเฉพาะเจาะจง พวกมันสามารถเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ที่มีโทโพโลยี ที่กำหนดให้ นั่นคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆที่ปู พื้นผิวของ แมนิโฟลด์ที่กำหนดหากKและLเป็นทรงกลม (นั่นคือ การปูพื้นผิวของทรงกลมทางโทโพโลยี ) แล้วP จะ เรียก ว่า ทรงกลมเฉพาะ ที่ และสอดคล้องกับการปูพื้นผิวของแมนิโฟลด์บางอย่าง ตัวอย่างเช่น หากKและLเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งคู่ (และดังนั้นจึงมีโทโพโลยีเหมือนกับวงกลม) Pจะเป็นการปูพื้นผิวของระนาบทอรัสหรือขวดไคลน์ด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส การปูพื้นผิวของ แมนิโฟลด์ nมิติ แท้จริงแล้วคือรูปทรงหลายเหลี่ยมอันดับn  + 1 ซึ่งสอดคล้องกับสัญชาตญาณทั่วไปที่ว่าทรงหลายเหลี่ยมเพลโตเป็นทรงสามมิติ แม้ว่าจะสามารถมองได้ว่าเป็นการปูพื้นผิวของพื้นผิวสองมิติของลูกบอลก็ตาม

โดยทั่วไปแล้ว โพลีโทปนามธรรมเรียกว่าX เฉพาะที่หากด้านและรูปทรงจุดยอดของมันในทางโทโพโลยีเป็นทรงกลมหรือXแต่ไม่ใช่ทรงกลมทั้งสองอย่างเซลล์ 11 เซลล์และเซลล์ 57 เซลล์ เป็นตัวอย่างของโพลีโทป เชิงโปรเจกทีฟเฉพาะที่อันดับ 4 (นั่นคือ สี่มิติ) เนื่องจากด้านและรูปทรงจุดยอดของมันเป็นการแบ่งพื้นผิวของระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงอย่างไรก็ตาม คำศัพท์นี้มีจุดอ่อนอยู่ มันไม่ได้ช่วยให้สามารถอธิบายโพลีโทปที่มีด้านเป็นทอรัสและรูปทรงจุดยอดเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟได้ง่าย ตัวอย่างเช่น ยิ่งแย่ไปกว่านั้นหากด้านต่างๆ มีโทโพโลยีที่แตกต่างกัน หรือไม่มีโทโพโลยีที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนเลย อย่างไรก็ตาม มีความก้าวหน้าอย่างมากในการจำแนกประเภทโพลีโทปปกติแบบทอรัสเฉพาะที่อย่างสมบูรณ์^{[ 16 ]}

ให้Ψเป็นแฟล็กของโพลีโทปนามธรรมn มิติ และให้ −1 <  i  <  nจากนิยามของโพลีโทปนามธรรม สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีแฟล็กที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวที่แตกต่างจากΨโดยองค์ประกอบอันดับiและเหมือนกันในส่วนอื่นๆ ถ้าเราเรียกแฟล็กนี้ว่าΨ ^{( i )}แล้วมันจะกำหนดชุดของแผนที่บนแฟล็กของโพลีโทป สมมติว่าเป็น_φiแผนที่เหล่านี้เรียกว่าแผนที่แลกเปลี่ยนเนื่องจากพวกมันสลับคู่ของแฟล็ก : ( Ψφi ) _φi  =  Ψเสมอ คุณสมบัติอื่นๆ ของแผนที่แลกเปลี่ยนมี ดังนี้_:

• φ _i ²คือแผนที่เอกลักษณ์
• φ _iสร้างกลุ่ม ขึ้น มา (การกระทำของกลุ่มนี้ต่อแฟล็กของโพลีโทปเป็นตัวอย่างของสิ่งที่เรียกว่าการกระทำแฟล็กของกลุ่มต่อโพลีโทป)
• ถ้า | ฉัน  -  เจ | > 1, φ _ฉัน φ _j = φ _j φ _i
• ถ้าαเป็นออโตมอร์ฟิซึมของโพลีโทป ดังนั้นαφ _i = φ _i α
• ถ้าโพลีโทปเป็นแบบปกติ กลุ่มที่สร้างโดยφ _iจะสมมาตรกับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม มิฉะนั้น จะมีขนาดใหญ่กว่าอย่างชัดเจน

แผนที่การแลกเปลี่ยนและการกระทำของธงโดยเฉพาะ สามารถนำมาใช้พิสูจน์ได้ว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรม ใดๆเป็นผลหารของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติบางรูป

รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถแสดงได้โดยการจัดทำตารางแสดงจำนวน ครั้งที่ปรากฏ ของรูปทรงนั้น

เมทริกซ์เหตุการณ์ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์เหตุการณ์ของรูปสามเหลี่ยม:

ตารางนี้แสดงค่า 1 ทุกครั้งที่หน้าหนึ่งเป็นหน้าย่อยของอีกหน้าหนึ่งหรือในทางกลับกัน (ดังนั้นตารางจึงสมมาตรตามแนวทแยงมุม) ซึ่งในความเป็นจริงแล้ว ตารางนี้มีข้อมูลที่ซ้ำซ้อนการแสดงค่า 1 เพียงค่าเดียวเมื่อหน้าแถวมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับหน้าคอลัมน์ก็เพียงพอแล้ว

เนื่องจากทั้งตัวเซตและเซตว่างต่างก็อยู่ติดกับสมาชิกอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นแถวและคอลัมน์แรก รวมถึงแถวและคอลัมน์สุดท้ายจึงเป็นสิ่งที่ไม่สำคัญและสามารถละเว้นได้อย่างสะดวก

ข้อมูลเพิ่มเติมได้มาจากการนับจำนวนครั้งที่เกิดขึ้น การใช้ตัวเลขนี้ช่วยให้สามารถ จัดกลุ่ม สมมาตร ได้ ดังเช่นในแผนภาพ Hasseของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม : หากถือว่าจุดยอด B, C, D และ E มีความสมมาตรเท่ากันภายในรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมแล้ว ขอบ f, g, h และ j จะถูกจัดกลุ่มเข้าด้วยกัน เช่นเดียวกับขอบ k, l, m และ n และสุดท้ายก็คือสามเหลี่ยมP , Q , RและSดังนั้นเมทริกซ์เหตุการณ์ที่สอดคล้องกันของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมนี้จึงสามารถแสดงได้ดังนี้:

ในการแสดงเมทริกซ์เหตุการณ์สะสมนี้ ค่าในแนวทแยงแสดงถึงจำนวนรวมขององค์ประกอบแต่ละประเภท

องค์ประกอบประเภทต่างกันที่มีลำดับเดียวกันนั้นจะไม่เกิดความสัมพันธ์กันอย่างแน่นอน ดังนั้นค่าจึงจะเป็น 0 เสมอ อย่างไรก็ตาม เพื่อช่วยแยกแยะความสัมพันธ์ดังกล่าว จึงใช้เครื่องหมายดอกจัน (*) แทนเลข 0

ค่าในแนวทแยงมุมย่อยของแต่ละแถวแสดงถึงจำนวนการปรากฏขององค์ประกอบย่อยที่เกี่ยวข้อง ในขณะที่ค่าในแนวทแยงมุมบนแสดงถึงจำนวนองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของจุดยอด ขอบ หรือรูปทรงอื่นๆ

พีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างง่ายนี้แสดงให้เห็นแล้วว่าเมทริกซ์เหตุการณ์สะสมสมมาตรนั้นไม่สมมาตรอีกต่อไป แต่ก็ยังคงมีความสัมพันธ์ระหว่างเอนทิตีอย่างง่าย (นอกเหนือจากสูตรออยเลอร์ทั่วไปสำหรับเอนทิตีแนวทแยงมุม เอนทิตีใต้แนวทแยงมุมของแต่ละแถว และเอนทิตีเหนือแนวทแยงมุมของแต่ละแถว อย่างน้อยที่สุดเมื่อไม่พิจารณารูหรือดาว ฯลฯ) เช่นเดียวกับเมทริกซ์เหตุการณ์ใดๆ ก็ตาม: ${\displaystyle I=(I_{ij})}$

${\displaystyle I_{ii}\cdot I_{ij}=I_{ji}\cdot I_{jj}\ \ (i<j).}$

ในทศวรรษ 1960 บรังโก กรุนบอมได้เรียกร้องให้วงการเรขาคณิตพิจารณาการขยายแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่เขาเรียกว่า โพลีสโต รมาตา (polystromata ) เขาได้พัฒนาทฤษฎีของโพลีสโตรมาตา โดยแสดงตัวอย่างของวัตถุใหม่ๆ รวมถึง11-เซลล์ (11-cell )

11- เซลล์เป็นโพลีโทป 4 มิติแบบคู่ในตัวเอง ซึ่งด้านของ มัน ไม่ใช่ไอโคซา เฮดรอน แต่เป็น " เฮมิไอโคซาเฮดรอน " กล่าวคือ เป็นรูปทรงที่ได้หากพิจารณาว่าด้านตรงข้ามของไอโคซาเฮดรอนเป็น ด้าน เดียวกัน (Grünbaum, 1977) ไม่กี่ปีหลังจากที่ Grünbaum ค้นพบ11-เซลล์HSM Coxeterก็ค้นพบโพลีโทปที่คล้ายกันคือ57-เซลล์ (Coxeter 1982, 1984) จากนั้นก็ค้นพบ 11-เซลล์อีกครั้งโดยอิสระ

จากผลงานก่อนหน้านี้ของBranko Grünbaum , HSM CoxeterและJacques Titsทฤษฎีพื้นฐานของโครงสร้างเชิงการจัดเรียงที่รู้จักกันในปัจจุบันว่า โพลีโทปนามธรรม ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยEgon Schulteในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาในปี 1980 ในนั้นเขาได้นิยาม "คอมเพล็กซ์เหตุการณ์ปกติ" และ "โพลีโทปเหตุการณ์ปกติ" ต่อมา เขาและPeter McMullenได้พัฒนาพื้นฐานของทฤษฎีในชุดบทความวิจัยที่รวบรวมไว้ในหนังสือในภายหลัง นักวิจัยคนอื่นๆ อีกมากมายได้มีส่วนร่วมในเรื่องนี้ และผู้บุกเบิกยุคแรก (รวมถึง Grünbaum) ก็ยอมรับคำนิยามของ Schulte ว่าเป็นคำนิยามที่ "ถูกต้อง"

นับตั้งแต่นั้นมา การวิจัยในทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมส่วนใหญ่มุ่งเน้นไปที่ รูปทรงหลายเหลี่ยม ปกติ กล่าวคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมกระทำแบบทรานซิทีฟบนเซตของแฟล็กของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น

• โพเซตแบบออยเลอร์
• โพเซ็ตระดับ
• โพลีโทปปกติ