พีระมิดสี่เหลี่ยม
พิมพ์	พีระมิด , จอห์นสันJ 92 – J 1 – J 2
ใบหน้า	สามเหลี่ยม 4 รูป สี่เหลี่ยม 1 รูป
ขอบ	8
จุดยอด	5
การกำหนดค่าจุดยอด	${\displaystyle 4\times (3^{2}\times 4)+1\times (3^{4})}$[ 1 ]
กลุ่มสมมาตร	${\displaystyle C_{4\คณิตศาสตร์ {v} }}$
ปริมาณ	${\displaystyle {\frac {1}{3}}l^{2}h}$
มุมไดเฮดรัล ( องศา )	พีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านเท่า: [ 1 ] ระยะห่างระหว่างสามเหลี่ยม: 109.47° มุมฉากต่อมุมสามเหลี่ยม: 54.74°
โพลีเฮดรอนคู่	ตนเองคู่
คุณสมบัติ	นูน , ขั้นพื้นฐาน (พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมด้านเท่า)
สุทธิ

ในทางเรขาคณิตพีระมิด ฐาน สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีรูปสามเหลี่ยมสี่รูปอยู่บนฐาน รวมทั้งหมดห้าหน้า ถ้า จุดยอดของพีระมิดอยู่ตรงเหนือจุดศูนย์กลางของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสพอดี มันจะกลายเป็นพีระมิดมุมฉากที่มีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สี่รูป เมื่อขอบทุกด้านของพีระมิดมีความยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งเป็นตัวอย่างของทรงตันจอห์นสัน

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมปรากฏให้เห็นตลอดประวัติศาสตร์ของสถาปัตยกรรม โดยมีตัวอย่างเช่นพีระมิดอียิปต์และสิ่งก่อสร้างอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน นอกจากนี้ยังพบได้ในทางเคมีในโครงสร้างโมเลกุลรูปทรงพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมมักถูกใช้ในการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยม อื่นๆ และเป็นเซลล์ ของ รูปทรงหลายเหลี่ยมสี่มิติที่เรียกว่าพีระมิดลูกบาศก์จำนวนพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมเป็นจำนวนธรรมชาติที่นับจำนวนทรงกลมที่เรียงซ้อนกันเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม นักคณิตศาสตร์หลายคนในสมัยโบราณค้นพบสูตรสำหรับปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมด้วยวิธีการที่แตกต่างกัน

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมมีจุดยอดห้าจุด ขอบแปดด้าน และหน้าห้าด้าน หน้าหนึ่งเรียกว่าฐานของพีระมิด เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสส่วนอีกสี่ด้านเป็นรูปสามเหลี่ยม^{[ 2 ]}ขอบสี่ด้านประกอบกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยเชื่อมต่อจุดยอดทั้งสี่ ขอบอีกสี่ด้านเรียกว่าขอบด้านข้างของพีระมิด ซึ่งมาบรรจบกันที่จุดยอดที่ห้า เรียกว่ายอด^{[ 3 ]}ถ้ายอดของพีระมิดอยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจะกลายเป็นพีระมิดมุมฉาก และหน้าสามเหลี่ยมทั้งสี่ด้านจะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มิฉะนั้น พีระมิด จะมีหน้าสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองหน้าขึ้นไป^{[ 4 ]}

ความสูงเอียงของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกกำหนดให้เป็นความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้านใดด้านหนึ่ง สามารถหาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส : โดยที่คือความยาวของฐานของสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นขอบด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย และคือความยาวของด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นขอบด้านข้างของพีระมิด^{[ 5 ]}ความสูง ของ พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถหาได้ในทำนองเดียวกัน โดยการแทนที่สูตรความสูงเอียงจะได้: ^{[ 6 ]}พื้นที่ผิวของทรงหลายเหลี่ยมคือผลรวมของพื้นที่ของหน้าต่างๆ พื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถแสดงได้เป็น โดยที่และคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านใดด้านหนึ่งและฐานตามลำดับ พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและด้าน โดยพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือความยาวของด้านยกกำลังสอง ซึ่งจะได้นิพจน์: ^{[ 7 ]} โดยทั่วไป ปริมาตรของพีระมิดจะเท่ากับหนึ่งในสามของพื้นที่ฐานคูณด้วยความสูง^{[ 8 ]}เมื่อแสดงเป็นสูตรสำหรับพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม จะได้ดังนี้: ^{[ 9 ]}${\displaystyle s}$$${\displaystyle s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},}$$${\displaystyle l}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=4T+S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.}$$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h.}$$

นักคณิตศาสตร์หลายคนค้นพบสูตรสำหรับการคำนวณปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมในสมัยโบราณ ในคัมภีร์คณิตศาสตร์มอสโกนักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์แสดงให้เห็นถึงความรู้เกี่ยวกับสูตรสำหรับการคำนวณปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมที่ถูกตัดยอดซึ่งแสดงให้เห็นว่าพวกเขารู้จักปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมเช่นกัน แต่ไม่ทราบว่าสูตรนั้นได้มาอย่างไร นอกเหนือจากการค้นพบปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมแล้ว ปัญหาการหาความชันและความสูงของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมยังพบได้ในคัมภีร์คณิตศาสตร์ไรนด์ [ ^{10 ] นัก}คณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนยังพิจารณาปริมาตรของทรงตัดยอด แต่ให้สูตรที่ไม่ถูกต้อง^{[ 11 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวจีนคนหนึ่งชื่อหลิวฮุยยังค้นพบปริมาตรโดยวิธีการแบ่งทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นชิ้นๆ^{[ 12 ]}

เช่นเดียวกับพีระมิดมุมฉากอื่นๆ ที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ พีระมิดมุมฉากมีสมมาตรแบบพีระมิดซึ่งเป็นสมมาตรของกลุ่มวัฏจักร กล่าว คือ พีระมิดยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหมุนหนึ่ง สอง และสามในสี่ของการหมุนเต็มรอบแกนสมมาตร ซึ่งเป็นเส้นที่เชื่อมจุดยอดกับจุดศูนย์กลางของฐาน และยังมีสมมาตรแบบกระจกเงาเมื่อเทียบกับระนาบตั้งฉากใดๆ ที่ผ่านเส้นแบ่งครึ่งฐาน^{[ 1 ]}สามารถแสดงได้ในรูปกราฟวงล้อซึ่งหมายความว่าโครงร่าง ของมันสามารถตีความได้ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จุดยอดทั้งสี่เชื่อมต่อ ^กับจุดยอดตรงกลางที่เรียกว่าจุดยอดสากล^[ 13 ^]มันเป็นแบบคู่ตัวเอง ซึ่งหมายความว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ของมันคือพีระมิดมุมฉากนั่นเอง^{[ 14 ]}${\displaystyle C_{4\คณิตศาสตร์ {v} }}$${\displaystyle W_{4}}$

ถ้าขอบสามเหลี่ยมทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยมทั้งสี่จะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าและหน้าของพีระมิดจะเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด[ 15 ^{]มุมได}เฮดรัลระหว่างหน้าสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกันคือและมุมระหว่างฐานกับหน้าสามเหลี่ยมแต่ละหน้าจะเป็นครึ่งหนึ่งของมุมไดเฮดรัลนั้น[ ^{1 ] รูป}ทรงหลายเหลี่ยม นูน ที่หน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเรียกว่าทรงตันจอห์นสัน พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมดังกล่าวก็อยู่ในกลุ่มนี้ด้วย โดยจัดเป็นทรงตันจอห์น สันแรก^{[ 16 ]}${\textstyle \arccos(-{\frac {1}{3}})\approx 109.47^{\circ }}$${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$${\displaystyle J_{1}}$

เนื่องจากขอบทั้งหมดมีความยาวเท่ากัน (นั่นคือ) ความเอียง ความสูง พื้นที่ผิว และปริมาตรสามารถหาได้โดยการแทนที่สูตรของพีระมิดตรง: ^{[ 17 ]}${\displaystyle b=l}$$${\displaystyle {\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}}$$

พีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านเท่าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานซึ่งหมายความว่าไม่สามารถแยกออกจากกันด้วยระนาบเพื่อสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนขนาดเล็กสองรูปที่มีหน้าปกติได้^{[ 18 ]}

พีระมิดของอียิปต์เป็นตัวอย่างของสิ่งก่อสร้างรูปทรงพีระมิดสี่เหลี่ยมในทางสถาปัตยกรรม

หนึ่งในพีระมิดของอารยธรรมเมโสอเมริกาซึ่งเป็นสิ่งก่อสร้างที่คล้ายคลึงกับพีระมิดของอียิปต์ มีส่วนยอดแบนราบและมีบันไดอยู่ตามด้านต่างๆ

ในด้านสถาปัตยกรรมพีระมิดที่สร้างขึ้นในอียิปต์โบราณเป็นตัวอย่างของอาคารที่มีรูปร่างเหมือนพีระมิดสี่เหลี่ยม^{[ 19 ]}นักพีระมิดวิทยาได้เสนอคำแนะนำต่างๆ เกี่ยวกับการออกแบบมหาพีระมิดแห่งกิซารวมถึงทฤษฎีที่อิงจากสามเหลี่ยมเคปเลอร์และอัตราส่วนทองคำอย่างไรก็ตาม นักวิชาการสมัยใหม่นิยมคำอธิบายโดยใช้อัตราส่วนจำนวนเต็ม เนื่องจากสอดคล้องกับความรู้ทางคณิตศาสตร์และสัดส่วนของอียิปต์มากกว่า^{[ 20 ]}พีระมิดเมโสอเมริกาก็เป็นอาคารพีระมิดโบราณที่คล้ายกับของอียิปต์เช่นกัน โดยแตกต่างกันตรงที่มีส่วนยอดแบนราบและมีบันไดขึ้นไปตามหน้าพีระมิด^{[ 21 ]}อาคารสมัยใหม่ที่มีการออกแบบเลียนแบบพีระมิดของอียิปต์ ได้แก่พีระมิดลูฟร์และโรงแรมคาสิโนลักซอร์ ลาสเวกัส^{[ 22 ]}

ในสเตอริโอเคมีกลุ่มอะตอมสามารถมีรูปทรงเรขาคณิตแบบพีระมิดสี่เหลี่ยมได้ โมเลกุลแบบพีระมิดสี่เหลี่ยมมีธาตุหมู่หลัก ที่มีอิเล็กตรอน คู่โดดเดี่ยวที่ใช้งานได้หนึ่ง คู่ ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองที่ทำนายรูปทรงเรขาคณิตของโมเลกุลที่เรียกว่าทฤษฎีVSEPR [ ^{23 ] ตัวอย่าง}ของโมเลกุลที่มีโครงสร้างนี้ ได้แก่คลอรีนเพนตาฟลูออไรด์ โบรมีนเพนตาฟลูออไรด์และไอโอดีนเพนตาฟลูออไรด์^{[ 24 ]}

ทรงหกเหลี่ยมเททราคิส (Tetrakis hexahedra ) คือการสร้างทรงหลายเหลี่ยมโดยการขยายรูปทรงโดยใช้พีระมิดสี่เหลี่ยมเป็นส่วนประกอบ

พีระมิดลูกบาศก์คือรูปทรงหลายเหลี่ยมสี่มิติที่มีพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสหกอันและลูกบาศก์หนึ่งอันเป็นส่วนประกอบภายใน

ฐานของพีระมิดสี่เหลี่ยมสามารถติดเข้ากับหน้าสี่เหลี่ยมของทรงหลายเหลี่ยมอื่นเพื่อสร้างทรงหลายเหลี่ยมใหม่ ซึ่งเป็นตัวอย่างของการขยาย ตัวอย่าง เช่นทรงหกเหลี่ยมเทตระกิสสามารถสร้างได้โดยการติดฐานของพีระมิดสี่เหลี่ยมด้านเท่าเข้ากับแต่ละหน้าของลูกบาศก์^{[ 25 ]}การติดปริซึมหรือแอนติปริซึมเข้ากับพีระมิดเรียกว่าการยืดหรือการยืดไจโรตามลำดับ^{[ 26 ]}รูปทรงเรขาคณิตจอห์นสันอื่นๆ บางส่วนสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเสริมพีระมิดสี่เหลี่ยมหรือเสริมรูปทรงอื่นๆ ด้วยพีระมิดสี่เหลี่ยม ได้แก่พีระมิดสี่เหลี่ยมยาว พีระมิดสี่เหลี่ยมยาวแบบไจโรพีระมิด คู่สี่เหลี่ยมยาว พีระมิดคู่สี่เหลี่ยมยาวแบบไจโร ปริซึมสามเหลี่ยมเสริม ปริซึมสามเหลี่ยมเสริมสองด้านปริซึมสามเหลี่ยมเสริมสามด้าน ปริซึมห้า เหลี่ยม เสริม ปริซึมห้าเหลี่ยมเสริมสอง ด้าน ปริซึมหกเหลี่ยมเสริมปริซึมหกเหลี่ยมเสริมสองด้านแบบพาราปริซึมหกเหลี่ยมเสริมสองด้านแบบเมตาปริซึม หกเหลี่ยม เสริมสามด้านและสเฟโนโคโรนาเสริม^{[ 27 ]}${\displaystyle J_{8}}$${\displaystyle J_{10}}$${\displaystyle J_{15}}$${\displaystyle J_{17}}$${\displaystyle J_{49}}$${\displaystyle J_{50}}$${\displaystyle J_{51}}$${\displaystyle J_{52}}$${\displaystyle J_{53}}$${\displaystyle J_{54}}$${\displaystyle J_{55}}$${\displaystyle J_{56}}$${\displaystyle J_{57}}$${\displaystyle J_{87}}$

พีระมิดสี่เหลี่ยมเป็นเซลล์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมสี่มิติ คือ พีระมิดลูกบาศก์ รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีขอบเก้าด้าน จุดยอด 20 จุด และหน้า 18 หน้า (ซึ่งรวมถึงสามเหลี่ยม 12 รูปและสี่เหลี่ยม 6 รูป) มีเซลล์เจ็ดเซลล์ ประกอบด้วยพีระมิดสี่เหลี่ยม 6 รูปและลูกบาศก์ 1 ลูก^{[ 28 ]}

จำนวนพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนธรรมชาติที่นับจำนวนทรงกลมที่ซ้อนกันในพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถ้าพีระมิดมีชั้น ก็จะมีทรงกลม^{[ 29 ]}พจน์แรกๆ ของลำดับนี้คือ: ^{[ 30 ]}${\displaystyle n}$${\textstyle 1^{2}+2^{2}+\dots +n^{2}=n(n+1)(2n+1)/6}$

• ทรงแปดเหลี่ยมปกติหรือ ทรงพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมคู่ คือ ทรงหลายเหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยการนำฐานของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมสองอันมาต่อกัน

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับพีระมิดสี่เหลี่ยม

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , " พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม " (" ทรงตันจอห์นสัน ") ที่MathWorld .
• พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม – แบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมแบบโต้ตอบ
• โพลีเฮดราในโลกเสมือนจริง georgehart.com: สารานุกรมโพลีเฮดรา ( โมเดลVRML เก็บถาวรเมื่อวันที่ 7 ตุลาคม 2023 ที่Wayback Machine )