ในทางเรขาคณิตทรงกลมกลางหรือทรงกลมระหว่างกลางของทรงหลายเหลี่ยมนูนคือทรงกลมที่สัมผัส กับ ขอบทุก ด้าน ของทรงหลายเหลี่ยมนั้น ไม่ใช่ทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปจะมีทรงกลมกลาง แต่ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอซึ่งรวมถึง ทรงหลายเหลี่ยม ปกติทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติและ ทรง หลายเหลี่ยมกึ่งปกติและ ทรงหลายเหลี่ยม คู่ ของพวกมัน ( ทรงหลายเหลี่ยมคาตาลัน ) ล้วนมีทรงกลมกลาง รัศมีของทรงกลมกลางเรียกว่ารัศมีกลาง ทรงหลายเหลี่ยมที่มีทรงกลมกลางเรียกว่า ทรงหลายเหลี่ยมที่ ล้อมรอบทรงกลมกลางนี้^{[ 1 ]}

เมื่อทรงหลายเหลี่ยมมีทรงกลมตรงกลาง เราสามารถสร้างการจัดเรียงวงกลม สองแบบที่ตั้ง ฉากกันบนทรงกลมตรงกลางได้ โดยแบบหนึ่งสอดคล้องกับจุดยอดที่อยู่ติดกันของทรงหลายเหลี่ยม และอีกแบบหนึ่งสอดคล้องกับทรงหลายเหลี่ยมขั้ว ของมันในลักษณะเดียวกัน ซึ่งมีทรงกลมตรงกลางเดียวกัน ความยาวของขอบแต่ละด้านของทรงหลายเหลี่ยมคือผลรวมของระยะทางจากจุดปลายทั้งสองไปยังวงกลมที่สอดคล้องกันในการจัดเรียงวงกลมนี้

ทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปจะมีทรงหลายเหลี่ยมที่สมมูลกันในเชิงการจัดเรียง ซึ่งเรียก ว่าทรงหลายเหลี่ยม มาตรฐาน ที่มีทรงกลมตรงกลาง โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลของจุดสัมผัสของขอบต่างๆอัลกอริทึมการประมาณค่า เชิงตัวเลข สามารถสร้างทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานได้ แต่พิกัดของมันไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำในรูปสมการปิด ทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานใดๆ และทรงหลายเหลี่ยมคู่ขั้วของมันสามารถใช้สร้างหน้าตรงข้ามสองด้านของ ปริซึมแอนติปริซึมสี่ มิติได้

ทรงกลมกลางของ ทรงหลายเหลี่ยมนูนสามมิติถูกกำหนดให้เป็นทรงกลมที่สัมผัสกับขอบทุกด้านของทรงหลายเหลี่ยม กล่าวคือ ขอบแต่ละด้านจะต้องสัมผัสกับทรงกลมกลาง ณ จุดภายในของขอบ โดยไม่ตัดผ่านทรงกลมกลาง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นทรงกลมที่บรรจุวงกลมที่อยู่ภายในของทุกหน้าของทรงหลายเหลี่ยม^{[ 2 ]}เมื่อมีทรงกลมกลางอยู่ ทรงกลมกลางนั้นจะมีเพียงอันเดียว ไม่ใช่ทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปจะมีทรงกลมกลาง หากต้องการมีทรงกลมกลาง ทุกหน้าจะต้องมีวงกลมที่อยู่ภายใน (นั่นคือ ต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมสัมผัส ) และวงกลมที่อยู่ภายในทั้งหมดเหล่านี้จะต้องอยู่ในทรงกลมเดียวกัน ตัวอย่างเช่นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากจะมีทรงกลมกลางก็ต่อเมื่อเป็นทรงลูกบาศก์เท่านั้น เพราะมิฉะนั้นจะมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นหน้า และรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้จะไม่มีวงกลมที่อยู่ภายใน^{[ 3 ]}

สำหรับลูกบาศก์หน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดทั้งแปดจุดกึ่งกลางของขอบจะอยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะทาง ดังนั้น สำหรับลูกบาศก์นี้ ทรงกลมกึ่งกลางจะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด โดยมีรัศมีซึ่งใหญ่กว่ารัศมีของทรงกลมที่แนบในและเล็กกว่ารัศมีของ ทรงกลม ที่ล้อมรอบโดยทั่วไปแล้ว สำหรับทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ใดๆ ที่มีความยาวขอบรัศมีกึ่งกลางคือ^{[ 4 ]}${\textstyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}}$${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$${\displaystyle \ell }$

• ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}\ell }$สำหรับทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ปกติ
• ${\textstyle {\frac {1}{2}}\ell }$สำหรับทรงแปดเหลี่ยม ปกติ
• ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\ell }$สำหรับลูกบาศก์ปกติ
• ${\textstyle {\frac {\varphi }{2}}\ell }$สำหรับทรงยี่สิบ หน้าปกติ โดยที่แทนอัตราส่วนทองคำและ${\displaystyle \varphi }$
• ${\textstyle {\frac {\varphi ^{2}}{2}}\ell }$สำหรับทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ

ทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นเอกรูปซึ่งรวมถึง ทรงหลายเหลี่ยม ปกติทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติและทรง หลายเหลี่ยมกึ่งปกติ และทรงหลายเหลี่ยม คู่ของพวกมันล้วนมีทรงกลมตรงกลาง ในทรงหลายเหลี่ยมปกติ ทรงกลมที่แนบใน ทรงกลมตรงกลาง และทรงกลมที่ล้อมรอบ ล้วนมีอยู่และมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน^{[ 5 ]}และทรงกลมตรงกลางจะสัมผัสขอบแต่ละด้านที่จุดกึ่งกลาง^{[ 6 ]}

ไม่ใช่ว่า รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าทุกรูปจะมีทรงกลมตรงกลาง รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าที่มีทรงกลมตรงกลางเรียกว่า "รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าของเครลล์" ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยสี่มิติของปริภูมิหกมิติของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าทั้งหมด (ตามพารามิเตอร์โดยความยาวขอบทั้งหก) กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าของเครลล์คือรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าที่เกิดจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมสี่ลูกที่สัมผัสกันภายนอก ในกรณีนี้ ความยาวขอบทั้งหกของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าคือผลรวมของรัศมีทั้งสี่ของทรงกลมเหล่านั้น^{[ 7 ]}ทรงกลมตรงกลางของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าดังกล่าวจะสัมผัสขอบที่จุดที่ทรงกลมสองในสี่ลูกสัมผัสกัน และตั้งฉากกับทรงกลมทั้งสี่ลูก^{[ 8 ]}

ถ้าOเป็นทรงกลมกลางของทรงหลายเหลี่ยมนูนPแล้ว จุดตัดของOกับหน้าใดๆ ของPจะเป็นวงกลมที่อยู่ภายในหน้านั้น และสัมผัสกับขอบของหน้านั้น ณ จุดเดียวกับที่ทรงกลมกลางสัมผัส ดังนั้น แต่ละหน้าของPจะมีวงกลมที่อยู่ภายใน และวงกลมเหล่านี้จะสัมผัสกันก็ต่อเมื่อหน้าที่วงกลมเหล่านั้นอยู่มีขอบร่วมกัน (อย่างไรก็ตาม ระบบของวงกลมที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้มาจากทรงกลมกลางเสมอไป) ^{[ 1 ]}

ในทำนองเดียวกัน ถ้าvเป็นจุดยอดของPแล้วจะมีกรวยที่มีจุดยอดอยู่ที่vและสัมผัสกับOในวงกลม วงกลมนี้สร้างขอบเขตของหมวกทรงกลมซึ่งพื้นผิวของทรงกลมสามารถมองเห็นได้จากจุดยอด นั่นคือ วงกลมเป็นเส้นขอบฟ้าของทรงกลมกลางเมื่อมองจากจุดยอด วงกลมที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้จะสัมผัสกันก็ต่อเมื่อจุดยอดที่สอดคล้องกันเชื่อมต่อกันด้วยขอบ^{[ 9 ]}

ถ้าทรงหลายเหลี่ยมPมีทรงกลมกลางOแล้วทรงหลายเหลี่ยมเชิงขั้วที่สัมพันธ์กับOก็จะมีOเป็นทรงกลมกลางเช่นกัน ระนาบหน้าของทรงหลายเหลี่ยมเชิงขั้วจะผ่านวงกลมบนOที่สัมผัสกับกรวยที่มีจุดยอดของPเป็นจุดยอด^{[ 2 ]}ขอบของทรงหลายเหลี่ยมเชิงขั้วมีจุดสัมผัสเดียวกันกับทรงกลมกลาง ซึ่งตั้งฉากกับขอบ^ของ P [ ^{10 ]}

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่มีทรงกลมตรงกลาง สามารถกำหนดจำนวนจริงให้กับจุดยอดแต่ละจุด ( กำลังของจุดยอดเทียบกับทรงกลมตรงกลาง) ซึ่งเท่ากับระยะทางจากจุดยอดนั้นไปยังจุดสัมผัสของขอบแต่ละด้านที่สัมผัสกับจุดยอดนั้น สำหรับแต่ละขอบ ผลรวมของตัวเลขสองตัวที่กำหนดให้กับจุดปลายของขอบนั้นก็คือความยาวของขอบนั้น ตัวอย่างเช่น ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าของ Crelle สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยตัวเลขสี่ตัวที่กำหนดให้กับจุดยอดทั้งสี่ในลักษณะนี้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าเหล่านี้ก่อตัวเป็นตระกูลสี่มิติ^{[ 11 ]}

ยกตัวอย่างเช่น จุดสี่จุด (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) และ (0,0,1) ประกอบกันเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าของ Crelle โดยมีสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วสามรูปและสามเหลี่ยมด้านเท่าหนึ่งรูปเป็นหน้าตัด จุดทั้งสี่นี้เป็นศูนย์กลางของทรงกลมสัมผัสกันสี่คู่ โดยมีรัศมีเท่ากับจุดที่ไม่เป็นศูนย์สามจุดบนสามเหลี่ยมด้านเท่าและจุดกำเนิด ตัวเลขทั้งสี่นี้ (สามตัวเท่ากันและหนึ่งตัวน้อยกว่า) เป็นตัวเลขสี่ตัวที่ใช้กำหนดพารามิเตอร์ของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่านี้ ขอบสามด้านของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่านี้เชื่อมต่อจุดสองจุดที่มีรัศมีมากกว่าทั้งคู่ ความยาวของขอบเหล่านี้คือผลรวมของรัศมีที่เท่ากันเหล่านั้นส่วนขอบอีกสามด้านเชื่อมต่อจุดสองจุดที่มีรัศมีต่างกันแต่รวมกันได้หนึ่ง ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.707}$${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.293}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

เมื่อทรงหลายเหลี่ยมที่มีทรงกลมตรงกลางมีวงจรแฮมิลโทเนียน ผลรวมของความยาวของขอบในวงจรสามารถแบ่งย่อยได้ในลักษณะเดียวกันเป็นสองเท่าของผลรวมของกำลังของจุดยอด เนื่องจากผลรวมของกำลังของจุดยอดนี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกขอบในวงจร วงจรแฮมิลโทเนียนทั้งหมดจึงมีความยาวเท่ากัน^{[ 12 ]}

รูปแบบที่แข็งแกร่งกว่าของทฤษฎีบทการบรรจุวงกลมในการแสดงกราฟระนาบด้วยระบบวงกลมสัมผัส ระบุว่ากราฟทรงหลายเหลี่ยม ทุก กราฟสามารถแสดงได้ด้วยจุดยอดและขอบของทรงหลายเหลี่ยมที่มีทรงกลมตรงกลาง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นรูปแบบที่เทียบเท่าเชิงการจัดเรียงได้ โดยมีจุดยอด ขอบ และหน้าที่สอดคล้องกัน ซึ่งมีทรงกลมตรงกลาง วงกลมขอบฟ้าของทรงหลายเหลี่ยมที่ได้สามารถแปลงได้โดยการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกเป็นการบรรจุวงกลมในระนาบยุคลิดซึ่งกราฟจุดตัดคือกราฟที่กำหนด วงกลมของมันไม่ตัดกันและสัมผัสกันก็ต่อเมื่อจุดยอดที่สอดคล้องกันอยู่ติดกัน^{[ 13 ]}แม้ว่าทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปจะมีรูปแบบที่เทียบเท่าเชิงการจัดเรียงกับทรงกลมตรงกลาง แต่ทรงหลายเหลี่ยมบางรูปก็ไม่มีรูปแบบที่เทียบเท่ากับทรงกลมที่อยู่ภายในหรือทรงกลมที่ล้อมรอบ^{[ 14 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสองรูปใดๆ ที่มี โครงตาข่ายหน้าเดียวกันและทรงกลมกลางเดียวกัน สามารถแปลงเป็นกันและกันได้โดยการแปลงเชิงฉายของพื้นที่สามมิติที่ทำให้ทรงกลมกลางอยู่ในตำแหน่งเดิม การแปลงนี้ทำให้ทรงกลมอยู่ในตำแหน่งเดิม แต่จะย้ายจุดภายในทรงกลมตามการแปลงโมเบียส [ ^{15 ] รูป}ทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มีทรงกลมกลาง ซึ่งปรับขนาดเพื่อให้ทรงกลมกลางเป็นทรงกลมหน่วย สามารถแปลงในลักษณะนี้ไปเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่จุดศูนย์กลางของจุดสัมผัสอยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลม ผลลัพธ์ของการแปลงนี้คือรูปแบบที่เทียบเท่าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด เรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานโดยมีคุณสมบัติว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมที่เทียบเท่ากันในเชิงการจัดเรียงทั้งหมดจะสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานเดียวกัน จนถึงความสอดคล้องกัน [ ^{16 ] การ}เลือกการแปลงที่แตกต่างกันจะเปลี่ยนรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มีทรงกลมกลางไปเป็นรูปทรงที่เพิ่มระยะห่างขั้นต่ำของจุดยอดจากทรงกลมกลางให้สูงสุด สามารถพบได้ในเวลาเชิงเส้นและทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานที่กำหนดในวิธีทางเลือกนี้มีความสมมาตรสูงสุด ในบรรดารูปแบบที่เทียบเท่ากันเชิงการจัดเรียงทั้งหมดของทรงหลายเหลี่ยมเดียวกัน^{[ 17 ]}สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่มีกลุ่มสมมาตรที่รักษาทิศทางแบบไม่เป็นวัฏจักร ตัวเลือกการแปลงทั้งสองจะตรงกัน^{[ 18 ]}ตัวอย่างเช่น ทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งกำหนดในสองวิธีนี้ จะเป็นลูกบาศก์ โดยมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดกึ่งกลางขอบเท่ากับหนึ่ง และความ ^ยาวขอบเท่ากับ^[ 19 ^]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

การประมาณเชิงตัวเลขของทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานสำหรับกราฟทรงหลายเหลี่ยม ที่กำหนด สามารถสร้างได้โดยการแสดงกราฟและกราฟคู่ ของมัน เป็นการบรรจุวงกลม ตั้งฉาก ในระนาบยุคลิด^{[ 20 ]}ใช้การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกเพื่อแปลงเป็นคู่ของการบรรจุวงกลมบนทรงกลม ค้นหาการแปลงโมเบียสเชิงตัวเลขที่นำจุดศูนย์กลางของจุดตัดไปยังศูนย์กลางของทรงกลม และวางจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมที่จุดในอวกาศที่มีวงกลมคู่ของการบรรจุที่แปลงแล้วเป็นขอบฟ้า อย่างไรก็ตาม พิกัดและรัศมีของวงกลมในขั้นตอนการบรรจุวงกลมอาจเป็นตัวเลขที่ไม่สามารถสร้างได้ซึ่งไม่มีการแสดงออกในรูปแบบปิดที่ แน่นอน โดยใช้การดำเนินการทางเลขคณิตและรากที่n ^{[ 21 ]}

อีกทางเลือกหนึ่ง วิธีการเชิงตัวเลขที่ง่ายกว่าสำหรับการสร้างทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานที่เสนอโดยGeorge W. Hartทำงานโดยตรงกับพิกัดของจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยม โดยปรับตำแหน่งของจุดยอดเหล่านั้นเพื่อพยายามทำให้ขอบมีระยะห่างเท่ากันจากจุดกำเนิด เพื่อให้จุดที่มีระยะห่างน้อยที่สุดจากจุดกำเนิดมีจุดกำเนิดเป็นจุดศูนย์กลางมวล และเพื่อให้หน้าของทรงหลายเหลี่ยมยังคงเป็นระนาบ วิธีนี้แตกต่างจากวิธีการบรรจุวงกลมตรงที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าลู่เข้าสู่ทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐาน และยังไม่รับประกันว่าจะสร้างทรงหลายเหลี่ยมที่เทียบเท่ากับทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดในเชิงการจัดเรียง แต่ดูเหมือนว่าจะทำงานได้ดีกับตัวอย่างขนาดเล็ก^{[ 19 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานและคู่ขั้วของมันสามารถใช้สร้างอะนาล็อกสี่มิติของแอนติปริซึมได้ โดยที่หน้าตรงข้ามสองหน้าของแอนติปริซึมนั้นเทียบเท่ากับทรงหลายเหลี่ยมสามมิติใดๆ ที่กำหนดไว้ ไม่ทราบว่าทรงหลายเหลี่ยมสามมิติทุกรูปสามารถใช้เป็นหน้าของแอนติปริซึมสี่มิติโดยตรงได้หรือไม่ โดยไม่ต้องแทนที่ด้วยทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐาน แต่ก็ไม่สามารถทำได้เสมอไปโดยใช้ทั้งทรงหลายเหลี่ยมสามมิติใดๆ และคู่ขั้วของมัน^{[ 1 ]}

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปที่มีทรงกลมตรงกลาง จุดยอดแต่ละจุดจะมีระนาบรองรับซึ่งเป็นระนาบที่สัมผัสกับจุดยอดแต่แยกออกจากส่วนที่เหลือของรูปทรงหลายเหลี่ยม และตั้งฉากกับเวกเตอร์จากจุดศูนย์กลางของทรงกลมไปยังจุดยอด ข้อเท็จจริงนี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับขั้น ตอนการ กำหนดเส้นทางตามตำแหน่งสำหรับเครือข่ายใดๆ ที่มีกราฟย่อยรูปทรงหลายเหลี่ยมแผ่ขยาย: ขั้นแรก สร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีทรงกลมตรงกลางสำหรับกราฟย่อยนี้ จากนั้น เพื่อจัดการข้อความที่ควรกำหนดเส้นทางจากจุดยอดที่มีปลายทางส่งต่อข้อความไปยังจุดยอดข้างเคียงใดๆที่ ซึ่งเพิ่มผลคูณภายในของพิกัดจุดยอดสามมิติ สามารถแสดงได้ผ่านความนูนและการมีอยู่ของระนาบรองรับเหล่านี้ว่าจะมีเพื่อนบ้าน ที่มีผลคูณดอทมากกว่าอยู่เสมอ ดังนั้น อัลกอริทึมแบบโลภนี้จึงไม่สามารถติดขัดได้จนกว่าข้อความจะถึงปลายทาง^{[ 22 ]}${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w\cdot v>u\cdot v}$${\displaystyle w}$

ทรงกลมตรงกลางในการสร้างทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐานสามารถแทนที่ด้วยทรงนูนเรียบ ใดๆ ก็ได้ เมื่อกำหนดทรงนูนเรียบดังกล่าวแล้ว ทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปจะมีรูปแบบที่เทียบเท่ากันในเชิงการจัดเรียง ซึ่งขอบของทรงหลายเหลี่ยมจะสัมผัสกับทรงนูนเรียบนี้ สิ่งนี้ได้รับการอธิบายว่าเป็นการ "ขังไข่ไว้ในกรง" กล่าวคือ ทรงนูนเรียบคือไข่ และรูปแบบทรงหลายเหลี่ยมคือกรงของมัน^{[ 23 ]}ยิ่งไปกว่านั้น การกำหนดขอบสามด้านของกรงให้มีจุดสัมผัสสามจุดที่ระบุไว้บนไข่ จะทำให้รูปแบบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว^{[ 24 ]}

• ทรงหลายเหลี่ยมในอุดมคติคือ ทรงหลายเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกที่จุดยอดแต่ละจุดอยู่บนทรงกลมที่ระยะอนันต์