ทรงตันคาตาลันเป็นทรงหลายเหลี่ยมคู่ของทรงตันอาร์คิมีเดียนทรงตันอาร์คิมีเดียนเป็นทรงหลายเหลี่ยมสมมาตรสูง 13 ทรงที่มีหน้าปกติและจุดยอดสมมาตร^{[ 1 ]}หน้าของทรงตันคาตาลันสอดคล้องกับจุดยอดของทรงตันอาร์คิมีเดียนโดยความเป็นคู่ และในทางกลับกัน^{[ 2 ]}

ทรงตันคาตาลันเป็นทรงตันหน้าสมมาตรหรือทรงตันไอโซเฮดรัลหมายความว่าหน้าของทรงตันสมมาตรกัน แต่ไม่ใช่ทรงตันจุดยอดสมมาตรเพราะจุดยอดของทรงตันไม่สมมาตร ทรงตันอาร์คิมีเดียนซึ่งเป็นทรงตันคู่ขนานของทรงตันคาตาลัน เป็นทรงตันจุดยอดสมมาตร แต่ไม่ใช่ทรงตันหน้าสมมาตร ทรงตันคาตาลันแต่ละทรงมีมุมไดเฮ ดรัลคง ที่ หมายความว่ามุมระหว่างหน้าสองหน้าที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน^{[ 1 ]}นอกจากนี้ ทรงตันคาตาลันสองทรง ได้แก่ทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและทรงสิบเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นทรงตันขอบสมมาตรหมายความว่าขอบของทรงตันสมมาตรกัน ทรงตันคาตาลันบางทรงถูกค้นพบโดยโยฮันเนส เคปเลอร์ระหว่างการศึกษาโซโนเฮดราและยูจีน คาตาลันได้รวบรวมรายชื่อทรงตันทั้งสิบสามทรงให้เสร็จสมบูรณ์ในปี พ.ศ. 2408 ^{[ 3 ]}

โดยทั่วไปแล้ว แต่ละหน้าของทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปคู่ (รวมถึงทรงตันคาตาลัน) สามารถสร้างได้โดยใช้การสร้างแบบดอร์แมน-ลุค [ ^{4 ] ทรง}ตันคาตาลันบางทรงสามารถสร้างได้โดยการเพิ่มพีระมิดลงบนหน้าของทรงตันเพลโตนิก ตัวอย่างเหล่านี้คือKleetopesของทรงตันเพลโตนิก ได้แก่ทรงสี่หน้าไตรอาคิส ทรงหกหน้าเต ตระคิส ทรงแปดหน้าไตรอาคิ สทรงยี่สิบหน้าไตรอาคิสและทรงสิบสองหน้าเพนทาคิส^{[ 5 ]}

ทรงเรขาคณิตแบบคาตาลันสองทรง ได้แก่ทรงยี่สิบหน้าห้าเหลี่ยมและทรงสิบหน้าห้าเหลี่ยมเป็น ทรงเรขาคณิต แบบไครัลซึ่งหมายความว่าทรงเรขาคณิตทั้งสองนี้ไม่ใช่ภาพสะท้อนในกระจกของตัวเอง และเป็นทรงเรขาคณิตคู่ขนานกับทรงลูกบาศก์แบบเฉียงและทรงสิบสองหน้าแบบเฉียงตามลำดับ ซึ่งทรงเรขาคณิตแบบไครัลทั้งสองนี้ก็เป็นทรงเรขาคณิตแบบไครัลเช่นกัน

ของแข็งคาตาลันสิบเอ็ดในสิบสามชนิดเป็นที่ทราบกันว่ามีคุณสมบัติของรูเพิร์ตซึ่งหมายความว่าสามารถส่งสำเนาของของแข็งชนิดเดียวกันผ่านรูในของแข็งได้^{[ 6 ]}

ของแข็งคาตาลันสิบสามชนิด

ชื่อ	ภาพ	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด	มุมไดเฮดรัล[ 7 ]	กลุ่มจุด
ทรงสี่หน้าไตรอาคิส		สามเหลี่ยมหน้าจั่ว 12 รูป	18	8	129.521°	ทีดี
ทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน		12 รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน	24	14	120°	โอ้​
ไตรอาคิส ออกตาเฮดรอน		สามเหลี่ยมหน้าจั่ว 24 รูป	36	14	147.350°	โอ้​
เตตระกิส เฮกซาเฮดรอน		สามเหลี่ยมหน้าจั่ว 24 รูป	36	14	143.130°	โอ้​
เดลทอยดัล ไอโคซิเตตราเฮดรอน		ว่าว 24 ตัว	48	26	138.118°	โอ้​
ดิสดียาคิส โดเดคาเฮดรอน		สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า 48 รูป	72	26	155.082°	โอ้​
ทรงยี่สิบหน้าห้าเหลี่ยม		รูปห้าเหลี่ยม 24 รูป	60	38	136.309°	โอ
ทรงสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน		30 รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน	60	32	144°	ฉันh
ไอโคซาเฮดรอนไตรอาคิส		สามเหลี่ยมหน้าจั่ว 60 รูป	90	32	160.613°	ฉันh
เพนทาคิส โดเดคาเฮดรอน		สามเหลี่ยมหน้าจั่ว 60 รูป	90	32	156.719°	ฉันh
เดลทอยดัล เฮกเซคอนทาเฮดรอน		ว่าว 60 ตัว	120	62	154.121°	ฉันh
ดิสดียาคิส ไตรอะคอนทาเฮดรอน		สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า 120 รูป	180	62	164.888°	ฉันh
ทรงหกเหลี่ยมห้าเหลี่ยม		รูปห้าเหลี่ยม 60 รูป	150	92	153.179°	ฉัน

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตแบบคาตาลัน

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทรงตันคาตาลัน" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ไอโซเฮดรอน" . แมธเวิลด์ .
• ทรงเรขาคณิตแบบคาตาลัน – ที่ Visual Polyhedra
• คู่ตรงข้ามแบบอาร์คิมีเดียน – ที่ Virtual Reality Polyhedra
• ภาษาคาตาลันแบบโต้ตอบในภาษา Java
• ลิงก์ดาวน์โหลดสำหรับหนังสือต้นฉบับปี 1865 ของคาตาลัน – พร้อมภาพประกอบสวยงาม รูปแบบไฟล์ PDF