ในทางเรขาคณิตรูปทรงหลายเหลี่ยม (เช่น รูปหลายเหลี่ยมหรือทรงหลายเหลี่ยมด้านเท่า ) หรือ การ ปูพื้น ด้วย รูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น เรียกว่า ไอโซทอกซัล (จากภาษากรีก τόξον 'ส่วนโค้ง') หรือ เอดจ์-ทรานซิทีฟ ถ้าสมมาตรของมันกระทำแบบทรานซิทีฟบนขอบของมันโดยทั่วไปแล้ว หมายความว่ามีขอบเพียงประเภทเดียวสำหรับวัตถุนั้น กล่าวคือ เมื่อมีขอบสองขอบ จะมีการเลื่อนการหมุนและ/หรือการสะท้อนที่จะเคลื่อนขอบหนึ่งไปยังอีกขอบหนึ่งโดยที่บริเวณที่วัตถุครอบครองยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

รูปหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัลคือรูปหลายเหลี่ยมที่ มีด้านเป็นเลขคู่ กล่าวคือ รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า แต่ไม่ใช่ว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูป จะเป็นรูปหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัล รูปหลายเหลี่ยม คู่ของรูปหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัลคือรูปหลายเหลี่ยมไอโซโกนัล รูปหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัลมีสมมาตรแบบจุดศูนย์กลางดังนั้นจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมโซโนกอนด้วย ${\displaystyle 4n}$

โดยทั่วไป รูปหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัล (ที่ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมปกติ) จะมีสมมาตรไดเฮดรัลตัวอย่างเช่นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (ที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) เป็นรูปหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัล " × " (รูปสี่เหลี่ยม) ที่มีสมมาตร รูปหลายเหลี่ยม ปกติทั้งหมด(รวมถึงรูป หลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ ) เป็นรูปหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัล โดยมีลำดับสมมาตรขั้นต่ำเป็นสองเท่า: รูปหลายเหลี่ยมปกติจะมีสมมาตรไดเฮดรัล ${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}$${\displaystyle {\color {royalblue}n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$

รูปหลายเหลี่ยม ไอโซทอกซัลที่มีมุมภายในด้านนอกสามารถแสดงได้ด้วยสัญลักษณ์ โดยมุมภายในด้านในอาจน้อยกว่าหรือมากกว่าทำให้เกิดรูปหลายเหลี่ยมนูนหรือเว้าตามลำดับ ${\displaystyle {\mathbf {2}}n}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \{n_{\alpha }\}.}$${\displaystyle (\beta )}$${\displaystyle 180}$${\displaystyle {\color {royalblue}^{\mathsf {o}}},}$

รูปดาวเหลี่ยม${\displaystyle {\color {royalblue}{\mathbf {2}}n}}$ยังสามารถเป็นไอโซทอกซัลได้ โดยแสดงด้วยและด้วยตัวหารร่วมมากที่สุดโดยที่คือจำนวนการหมุนหรือความหนาแน่น [ ^{1 ] จุด}ยอดภายในเว้าสามารถกำหนดได้สำหรับถ้าแล้วจะ "ลด" ลงเป็นส่วนประกอบของสำเนาที่หมุนของ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\},}$${\displaystyle q\leq n-1}$${\displaystyle \gcd(n,q)=1,}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q<n/2.}$${\displaystyle D=\gcd(n,q)\geq 2,}$${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}$${\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }\}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }\}.}$

คำเตือน:

จุดยอดของไม่ได้วางเรียงเหมือนกับจุดยอดของ เสมอไปในขณะที่จุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตปกติวางเรียงเหมือนกับจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตปกติ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}$${\displaystyle \{n_{\alpha }\},}$${\displaystyle \{n/q\}}$${\displaystyle \{n\}.}$

สามารถกำหนด ชุดของการปูพื้นแบบ "สม่ำเสมอ"ซึ่งแท้จริงแล้วคือการปูพื้นแบบไอโซโกนอล โดยใช้รูปหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัลเป็นหน้าที่มีความสมมาตรน้อยกว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติได้

ตัวอย่างของรูปหลายเหลี่ยมและสารประกอบไอโซทอกซัลที่ไม่ปกติ

จำนวนด้าน:${\displaystyle 2n}$	2×2 (สมมาตรกลาง)	2×3	2×4 (สัญลักษณ์กลาง)	2×5	2×6 (สมมาตรกลาง)	2×7	2×8 (สมมาตรกลาง)
${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$นูน: เว้า:${\displaystyle \beta <180^{\circ }.}$${\displaystyle \beta >180^{\circ }.}$	${\displaystyle \{2_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{3_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{4_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{5_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{6_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{7_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{8_{\อัลฟา }\}}$
2 รอบ${\displaystyle \{(n/2)_{\alpha }\}}$	--	${\displaystyle \{(3/2)_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle 2\{2_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{(5/2)_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle 2\{3_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{(7/2)_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle 2\{4_{\อัลฟา }\}}$
3 รอบ${\displaystyle \{(n/3)_{\alpha }\}}$	--	--	${\displaystyle \{(4/3)_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{(5/3)_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle 3\{2_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{(7/3)_{\อัลฟา }\}}$	${\displaystyle \{(8/3)_{\อัลฟา }\}}$
4 รอบ${\displaystyle \{(n/4)_{\alpha }\}}$	--	--	--	${\displaystyle \{(5/4)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{(3/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/4)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 4\{2_{\alpha }\}}$
5 รอบ${\displaystyle \{(n/5)_{\alpha }\}}$	--	--	--	--	${\displaystyle \{(6/5)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/5)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(8/5)_{\alpha }\}}$
6 รอบ${\displaystyle \{(n/6)_{\alpha }\}}$	--	--	--	--	--	${\displaystyle \{(7/6)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{(4/3)_{\alpha }\}}$
7 รอบ${\displaystyle \{(n/7)_{\alpha }\}}$	--	--	--	--	--	--	${\displaystyle \{(8/7)_{\alpha }\}}$

ทรงหลายเหลี่ยมปกติได้แก่ ทรงหลายเหลี่ยมไอโซเฮดรัล (สมมาตรด้านหน้า), ทรงหลายเหลี่ยมไอโซโกนัล (สมมาตรด้านจุดยอด) และทรงหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัล (สมมาตรด้านขอบ)

ทรงหลายเหลี่ยม กึ่งปกติเช่นทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมและทรงสิบสองเหลี่ยมเก้าเหลี่ยม เป็นทรงเหลี่ยมมุมฉากและทรงเหลี่ยมด้านเท่า แต่ไม่ใช่ทรงเหลี่ยมด้านเท่า ส่วนทรงหลายเหลี่ยมคู่ของมัน ได้แก่ ทรงสิบสองเหลี่ยมขนมเปียกปูนและทรงสิบสองเหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นทรงเหลี่ยมด้านเท่าและทรงเหลี่ยมด้านเท่า แต่ไม่ใช่ทรงเหลี่ยมมุมฉาก

ตัวอย่าง

ทรงหลายเหลี่ยมกึ่ง ปกติ	ทรงหลายเหลี่ยม คู่กึ่งปกติ	ทรงหลายเหลี่ยมดาว กึ่งปกติ	ทรงหลายเหลี่ยมดาว คู่กึ่งปกติ	การปูกระเบื้อง แบบกึ่งปกติ	การปูกระเบื้อง คู่แบบกึ่งปกติ
ทรงลูกบาศก์เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบ isogonal และ isotoxal	ทรง สิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่มีสมมาตรแบบไอโซเฮดรัลและไอโซทอกซัล	ไอโคซิโดเดคาเฮดรอนขนาดใหญ่เป็นทรงหลายเหลี่ยมดาวที่มีสมมาตรแบบไอโซโกนัลและไอโซทอกซัล	ทรงสามหัวรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนาดใหญ่เป็นทรงหลายเหลี่ยมดาวที่มีสมมาตรแบบไอโซเฮดรัลและไอโซทอกซัล	การปูพื้นแบบสามเหลี่ยมหกเหลี่ยมเป็นการปูพื้นแบบไอโซโกนัลและไอโซทอกซัล	การปูพื้นแบบรอมบิลเป็นการปูพื้นแบบไอโซเฮดรัลและไอโซทอกซัลที่มีสมมาตร p6m (*632)

ไม่ใช่ว่าทุกรูปทรงหลายเหลี่ยม หรือ รูปทรงเรขาคณิตสองมิติที่สร้างจากรูปหลายเหลี่ยมปกติจะเป็นรูปทรงไอโซทอกซัลเสมอไป ตัวอย่างเช่นรูปทรงไอโคซาเฮดรอนที่ถูกตัดยอด (ลูกฟุตบอลที่เราคุ้นเคย) ไม่ใช่รูปทรงไอโซทอกซัล เนื่องจากมีขอบสองประเภท คือ ขอบหกเหลี่ยม-หกเหลี่ยม และขอบหกเหลี่ยม-ห้าเหลี่ยม และเป็นไปไม่ได้ที่สมมาตรของรูปทรงจะย้ายขอบหกเหลี่ยม-หกเหลี่ยมไปอยู่บนขอบหกเหลี่ยม-ห้าเหลี่ยม

ทรงหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัลจะมี มุมไดเฮดรัลเท่ากันสำหรับทุกขอบ

รูปทรงคู่ของทรงหลายเหลี่ยมนูนก็เป็นทรงหลายเหลี่ยมนูนเช่นกัน^{[ 2 ]}

รูปทรงคู่ของทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนก็เป็นทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนเช่นกัน^{[ 2 ]} (โดยการผกผัน)

รูปทรงคู่ของทรงหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัลก็เป็นทรงหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัลเช่นกัน (ดู บทความเรื่อง ทรงหลายเหลี่ยมคู่ )

มี ทรงหลาย เหลี่ยม นูนไอโซทอกซัลอยู่เก้าแบบ ได้แก่ ทรง หลายเหลี่ยมเพลโต แบบปกติห้า แบบ แกนร่วม สองแบบ ( กึ่งปกติ ) ของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตแบบคู่ และทรงหลายเหลี่ยมคู่ของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตแบบคู่อีกสองแบบ

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมไอโซทอกซัลที่ไม่นูนอยู่ 38 รูป:

• โพ ลีเฮดราเคปเลอร์-ปวงโซต์ปกติทั้งสี่
• การแก้ไขทั้งสองอย่างและคู่ตรงข้ามของพวกเขา
• เครื่องแบบสามเหลี่ยมคู่สามแบบและคู่ของพวกมัน
• เก้าในสิบของเฮมิโพลีเฮดรอนที่สม่ำเสมอ (ทั้งหมด ยกเว้นไดรอมบิโคซิโดเดคาเฮดรอนขนาดใหญ่ )
• โพลีเฮดราไอโซทอกซัลสี่อันที่สร้างขึ้นเป็นคู่ตรงข้ามของการตีความแบบไดอะดิกของสารประกอบโพลีเฮดราที่เสื่อมสภาพ
• โพลีเฮดราไอโซทอกซัล 11 อันซึ่งไม่ใช่ทั้งไอโซเฮดรัลหรือไอโซโกนัล^{[ 3 ]}

มีสารประกอบไอโซทอกซอลโพลีเฮดรัลอย่างน้อยห้าชนิด ได้แก่สารประกอบโพลีเฮดรัลปกติ ห้าชนิด และสารประกอบคู่ของพวกมันทั้งห้าชนิดก็คือสารประกอบโพลีเฮดรัลปกติห้าชนิดเช่นกัน (หรือสารประกอบแฝดไครัลหนึ่งชนิด)

มีการปูพื้นระนาบยุคลิดด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบบไอโซทอกซัลอย่างน้อยห้าแบบ และมีการปูพื้นระนาบไฮเปอร์โบลิกด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบบไอโซทอกซัลเป็นอนันต์ ซึ่งรวมถึงการสร้างแบบไวทอฟจากรูปปูพื้นไฮเปอร์โบลิกปกติ { p , q } และกลุ่มที่ไม่ใช่แบบขวา ( pqr )

• ตารางแสดงมุมไดเฮดรัลของทรงหลายเหลี่ยม
• การถ่ายทอดจุดยอด
• การเปลี่ยนรูปใบหน้า
• เซลล์-ทรานซิทีฟ