ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์ผกผันได้ ( เมท ริกซ์ไม่เอกฐานเมท ริกซ์ ไม่เสื่อมสภาพหรือ เมทริกซ์ ปกติ ) คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มี เมทริก ซ์ผกผันกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าเมทริกซ์ใดผกผันได้ ก็สามารถคูณเมทริกซ์นั้นกับเมทริกซ์ผกผันของมันเพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์เมทริกซ์ผกผันได้จะมีขนาดเท่ากับเมทริกซ์ผกผันของมัน

เมทริกซ์ผกผันแสดงถึงการดำเนินการผกผัน หมายความว่า หากนำเมทริกซ์ไปใช้กับเวกเตอร์ใดเวกเตอร์หนึ่ง แล้วตามด้วยการใช้เมทริกซ์ผกผัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเวกเตอร์เดิม

เมทริกซ์จัตุรัสขนาดn x n Aเรียกว่าเมทริกซ์ผกผันได้ถ้ามีเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn x n Bอยู่จริง โดยที่I _nแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ ขนาด n x nและการคูณที่ใช้คือการคูณเมทริกซ์ธรรมดา^{[ 1 ]}ถ้าเป็นเช่นนั้น เมทริกซ์BจะถูกกำหนดโดยA ได้อย่างเฉพาะเจาะจง และเรียกว่าเมทริกซ์ผกผันของAซึ่งเขียนแทนด้วยA ⁻¹การผกผันเมทริกซ์ คือกระบวนการค้นหาเมทริกซ์ที่เมื่อคูณกับเมทริกซ์เดิม แล้วจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},}$$

เมทริกซ์สามารถมองได้ว่าเป็นกฎสำหรับการแปลงเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ จริง กำหนดการแปลงเชิงเส้น ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle x\mapsto Ax}$

จากเซตของทูเปิลของจำนวนจริงไปยังตัวมันเอง เมทริกซ์จะผกผันได้เมื่อการแปลงนี้สามารถย้อนกลับได้ด้วยการแปลงเชิงเส้นอื่น ในกรณีนั้น จะมีเมทริกซ์ที่การใช้และจากนั้นหรือการใช้และจากนั้นจะทำให้เวกเตอร์ทุกตัวกลับไปยังจุดเริ่มต้น ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$

ในทางเรขาคณิต เมทริกซ์ผกผันไม่ได้ทำให้ปริภูมิยุบตัวลงเป็นเซตที่มีมิติต่ำกว่า แต่จะส่งเวกเตอร์ที่แตกต่างกันไปยังเวกเตอร์ที่แตกต่างกัน และเข้าถึงทุกเวกเตอร์ในปริภูมิเป้าหมาย สำหรับเมทริกซ์จริง สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นได้จากดีเทอร์มิแนนต์ของมัน: เมทริกซ์ผกผันจะมีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ในขณะที่เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์จะทำให้ปริมาตรยุบตัวลงเป็นศูนย์และไม่สามารถผกผันได้

ในทางพีชคณิต ความสามารถในการผกผันหมายความว่าระบบเชิงเส้น

${\displaystyle Ax=b}$

มีคำตอบเฉพาะสำหรับทุกเวกเตอร์หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง คอลัมน์ของเมทริกซ์นี้เป็นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะเหล่านี้และลักษณะเฉพาะที่เทียบเท่ากันอื่นๆ อีกหลายประการ สรุปได้ด้วยทฤษฎีบท เมทริกซ์ผกผัน${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$

พิจารณาเมทริกซ์ 2x2 ต่อไปนี้:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}}$

เมทริกซ์นี้ สามารถหาเมทริกซ์ ผกผันได้ เนื่องจากมีเมทริกซ์ผกผันซึ่งสามารถยืนยันได้โดยการคำนวณ ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)\times 2+{\tfrac {3}{2}}\times 2&(-1)\times 3+{\tfrac {3}{2}}\times 2\\1\times 2+(-1)\times 2&1\times 3+(-1)\times 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} _{2}}$

เพื่อตรวจสอบว่าเมทริกซ์นั้นสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้โดยไม่ต้องหาเมทริกซ์ผกผันสามารถคำนวณค่า ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ได้ ${\textstyle \det \mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}}$

ในทางกลับกัน เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ที่ไม่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}}$

เมทริกซ์นี้ไม่สามารถผกผันได้ เนื่องจากเวกเตอร์ที่แตกต่างกันเช่นและมีค่าเท่ากันและทั้งคู่ให้ค่าดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะย้อนกลับการแปลงเนื่องจากอินพุตที่แตกต่างกันให้ผลลัพธ์เดียวกัน ดีเทอร์มิแนนต์ของคือ 0 ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่สามารถผกผันได้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \mathbf {C} x}$${\displaystyle x={\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle x'={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {C} x={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle x\mapsto \mathbf {C} x}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

เมทริกซ์(บนฟิลด์ เช่น จำนวนจริง) จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อคำตอบเดียวของสมการคือเวกเตอร์ศูนย์ นั่นคือค่าศูนย์ของเมทริกซ์คือปริภูมิ ว่างของ เมทริกซ์ประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์เพียงอย่างเดียว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งเมทริกซ์จะผกผันได้ก็ต่อเมื่ออันดับ ของเมทริกซ์ คือโดยทฤษฎีบทอันดับ-ค่าศูนย์เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่าเมทริกซ์ที่มีอันดับเต็ม ในทางเรขาคณิต หมายความว่า ปริภูมิ คอลัมน์ของ เมทริกซ์ คือทั้งหมดของความสัมพันธ์ระหว่างอันดับและค่าศูนย์มีดังนี้ การมีอันดับเต็มหมายความว่าเมทริกซ์แมปไปยังทั้งหมดของ(แบบทั่วถึง) และค่าศูนย์เป็นศูนย์หมายความว่าเมทริกซ์เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งนั่นคือ เป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และดังนั้นจึงผกผันไม่ได้ ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} x=0}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

เกณฑ์การคำนวณที่ซับซ้อนกว่าสำหรับการหาเมทริกซ์ผกผันได้นั้น มาจากวิธีการมาตรฐานในการกำหนดอันดับและความเป็นศูนย์ของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส เมทริกซ์จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อ เมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์ ลดรูปแถว (row-reduced echelon matrix) เหตุผลก็คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นเมทริกซ์ลดรูปแถวเพียงเมทริกซ์เดียวที่มีอันดับเต็ม กล่าวคือ มีค่าเป็น 1 ตลอดแนวทแยงมุมและมีค่าเป็น 0 ในทุกตำแหน่งอื่น

อีกเกณฑ์หนึ่งคือ เมทริกซ์จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นไม่เป็นศูนย์

มีหลายวิธีในการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน เมื่อเมทริกซ์ผกผันมีอยู่ วิธีพื้นฐานอย่างหนึ่งคือการใช้การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian elimination ) วิธีนี้ดำเนินการโดยพิจารณาเมทริกซ์ผกผันเป็นผลคูณของเมทริกซ์พื้นฐานโดยที่คือเมทริกซ์พื้นฐานที่สอดคล้องกับการดำเนินการแถวพื้นฐานที่จำเป็นในการจัด เมทริกซ์ผกผัน ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดลดรูปวิธีนี้มีข้อดีคือจะสร้างรูปแบบขั้นบันไดลดรูปได้โดยไม่คำนึงถึงความสามารถในการผกผัน ดังนั้นจึงให้เกณฑ์ในการตัดสินว่าเมทริกซ์สามารถผกผันได้หรือไม่ ซึ่งมักจะมีประสิทธิภาพมากกว่าการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์: เมทริกซ์สามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อในตอนท้ายของกระบวนการ รูปแบบขั้นบันไดคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ไม่ใช่เมทริกซ์ที่มีอันดับต่ำกว่า ${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A^{-1}=E_{k}E_{k-1}\dots E_{1}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle A}$

ในการแปลงวิธีการนี้ให้เป็นวิธีปฏิบัติในการหาค่าผกผันโดยใช้วิธีนี้ เราจะใช้เมทริกซ์เสริมที่มีด้านซ้ายเป็นเมทริกซ์ที่ต้องการผกผัน และด้านขวาเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์จากนั้นใช้วิธีการกำจัดแบบเกาส์เพื่อแปลงด้านซ้ายให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งจะทำให้ด้านขวาเป็นค่าผกผันของเมทริกซ์อินพุต

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ต่อไปนี้:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}}$$

ขั้นตอนแรกในการคำนวณเมทริกซ์ผกผันคือการสร้างเมทริกซ์เสริม$${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\!\!\right)}$$

เรียกแถวแรกของเมทริกซ์นี้ว่าและแถวที่สองว่า จากนั้น นำแถวที่ 1 มาบวกกับแถวที่ 2 จะได้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle (R_{1}+R_{2}\to R_{2}).}$$${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}$$

ถัดไป นำค่าแถวที่ 2 คูณด้วย 3 มาลบออกจากค่าแถวที่ 1 ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle (R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),}$$${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}$$

สุดท้าย คูณแถวที่ 1 ด้วย −1 และแถวที่ 2 ด้วย 2 จะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ทางด้านซ้ายและเมทริกซ์ผกผันทางด้านขวา:${\displaystyle (-R_{1}\to R_{1})}$${\displaystyle (2\,R_{2}\to R_{2}).}$$${\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\!\!\right)}$$

ดังนั้น วิธี การนี้จึงได้ผล เพราะกระบวนการกำจัดแบบเกาส์เซียนสามารถมองได้ว่าเป็นลำดับของการประยุกต์ใช้การคูณเมทริกซ์ด้านซ้ายโดยใช้การดำเนินการแถวพื้นฐานโดยใช้เมทริกซ์พื้นฐาน ( ) เช่น$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \mathbf {E} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$

เมื่อใช้การคูณทางขวาเราจะได้และด้านขวาซึ่งเป็นตัวผกผันที่เราต้องการ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1},}$${\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.}$${\displaystyle \mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},}$

เมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่สามารถผกผันได้เรียกว่าเมทริกซ์เอกฐานหรือเมทริกซ์เสื่อมสภาพบนฟิลด์ หนึ่ง เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์หนึ่งจะเป็นเมทริกซ์เอกฐานก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ ของเมทริกซ์ นั้นเป็นศูนย์

ให้Aเป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn x nบนฟิลด์K (เช่น ฟิลด์ของจำนวน${\displaystyle \mathbb {R} }$จริง) ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน กล่าวคือ เป็นจริงทั้งหมดหรือเป็นเท็จทั้งหมดสำหรับเมทริกซ์ที่กำหนดใดๆ: ^{[ 3 ]}

• เมทริกซ์ Aสามารถผกผันได้ กล่าวคือ มีเมทริกซ์ Bที่ทำให้ AB = I _n = BA (ในข้อความนี้ คำว่า "ผกผันได้" สามารถแทนด้วย "ผกผันซ้าย" หรือ "ผกผันขวา" ซึ่งพิจารณาเฉพาะเมทริกซ์ผกผันด้านเดียว)
• การแปลงเชิงเส้นที่แมปxไปยังAxนั้นสามารถผกผันได้ กล่าวคือ มีตัวผกผันภายใต้การประกอบฟังก์ชัน (ในที่นี้ คำว่า "ผกผันได้" สามารถแทนด้วย "ผกผันซ้าย" หรือ "ผกผันขวา" ได้เช่นกัน)
• เมทริกซ์ทรานสโพส^AT เป็นเมทริกซ์ที่หาเมทริกซ์ผกผันได้
• เมท ริกซ์ Aเทียบเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์I _nขนาด n x n ในแง่ของแถว
• Aเป็นเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ n x n I _n ในแง่ ของ
• Aมีตำแหน่งแกนหมุนn ตำแหน่ง
• A มี อันดับเต็ม:อันดับA = n .
• Aมีเคอร์เนล ที่ไม่สำคัญ : ker( A ) = { 0 }
• การแปลงเชิงเส้นที่แมปxไปยังAxเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) กล่าวคือ สมการAx = bมีคำตอบเพียงหนึ่งเดียวสำหรับแต่ละbในK ⁿ (ในที่นี้ "bijective" สามารถแทนด้วย " injective " หรือ " surjective " ได้)
• คอลัมน์ของAเป็นฐานของK ⁿ (ในข้อความนี้ "ฐาน" สามารถแทนที่ด้วย "เซตอิสระเชิงเส้น" หรือ "เซตแผ่ขยาย" ได้เช่นกัน)
• แถวของ เมทริกซ์ Aเป็นฐานของเมทริก ซ์ K ⁿ (ในทำนองเดียวกัน ในที่นี้ "ฐาน" สามารถแทนที่ด้วย "เซตอิสระเชิงเส้น" หรือ "เซตแผ่ขยาย")
• ดีเทอร์มิแนนต์ของ เมทริกซ์ Aมีค่าไม่เป็นศูนย์: det A ≠ 0โดยทั่วไป เมทริกซ์จัตุรัสเหนือริงสลับที่ได้จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นเป็นหน่วย (กล่าวคือ เป็นองค์ประกอบที่ผกผันได้โดยการคูณ) ของริงนั้น
• เลข 0 ไม่ใช่ค่าลักษณะเฉพาะของ เมทริก ซ์ A (โดยทั่วไปแล้ว เลขใดๆจะเป็นค่าลักษณะเฉพาะของ เมทริกซ์ Aก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์เอกฐาน โดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์)${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} }$
• เมทริกซ์Aสามารถแสดงได้ในรูปผลคูณจำกัดของ เมทริก ซ์พื้นฐาน

นอกจากนี้ เมทริกซ์ผกผัน Aยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$สำหรับค่าสเกลาร์k ที่ไม่เป็นศูนย์
• ${\displaystyle (\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}}$ถ้าAมีคอลัมน์ตั้งฉากกัน โดยที่⁺แทนอินเวอร์สของมัวร์-เพนโรสและxเป็นเวกเตอร์
• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }}$
• สำหรับเมทริก ซ์ AและBขนาดn x n ที่หาเมทริกซ์ผกผันได้ โดยทั่วไปแล้ว ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์ผกผัน ขนาด n x nแล้ว${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.}$${\displaystyle \mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{k}}$${\displaystyle (\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\cdots \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}.}$
• ${\displaystyle \det \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}.}$
• ตัวผกผันซ้ายและตัว ผกผันขวาเท่ากัน นั่นคือ ถ้าและแล้ว${\displaystyle \mathbf {LA} =\mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {AR} =\mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} (\mathbf {AR} )=(\mathbf {LA} )\mathbf {R} =\mathbf {R} }$

แถวของเมทริกซ์ผกผันVของเมทริกซ์Uจะตั้งฉากกับคอลัมน์ของU (และในทางกลับกัน โดยสลับแถวกับคอลัมน์) เพื่อให้เห็นภาพนี้ สมมติว่าUV = VU = Iโดยที่แถวของVแทนด้วยและคอลัมน์ของUแทนด้วยแล้วเห็นได้ชัดว่าผลคูณภายในแบบยุคลิดของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ใดๆคุณสมบัตินี้ยังมีประโยชน์ในการสร้างเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จัตุรัสในบางกรณี ที่ทราบชุด เวกเตอร์ ตั้งฉาก (แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากปกติ) กับคอลัมน์ของUในกรณีนั้น เราสามารถใช้กระบวนการวนซ้ำของแกรม-ชมิดต์กับชุดเริ่มต้นนี้เพื่อกำหนดแถวของเมทริกซ์ผกผันVได้ ${\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle u_{j}}$${\displaystyle 1\leq i,j\leq n.}$${\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j}.}$

เมทริกซ์ที่เป็นเมทริกซ์ผกผันของตัวเอง (กล่าวคือ เมทริกซ์Aที่A = A ⁻¹และด้วยเหตุนี้A ² = I ) เรียกว่า เมทริก ซ์ ผกผัน

เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์Aคือเมทริกซ์ที่มีอยู่โดยไม่ขึ้นอยู่กับว่าA สามารถผกผันได้หรือ ไม่ โดยจะสอดคล้องกับเอกลักษณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าAสามารถผกผันได้แล้ว ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$$${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )I.}$$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$

จากคุณสมบัติการสลับที่ของการคูณเมทริกซ์ จะได้ว่า ถ้า

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {I} \ }$

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสจำกัดAและBแล้ว ก็เช่นกัน

${\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} \ }$^{[ 4 ]}

เอกลักษณ์นี้ใช้ไม่ได้กับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส และอาจไม่เป็นจริงสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นในมิติอนันต์

ในฟิลด์ของจำนวนจริง เซตของเมทริกซ์เอกฐานขนาดn x nซึ่งถือว่าเป็นเซตย่อยของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n},}$คือเซตว่างนั่นคือมีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นความจริงเพราะเมทริกซ์เอกฐานเป็นรากของ ฟังก์ชัน ดีเทอร์มิแนนต์ ฟังก์ชัน นี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเพราะเป็นพหุนามในสมาชิกของเมทริกซ์ ดังนั้นในภาษาของทฤษฎีการวัด เมทริกซ์ขนาด n x n เกือบทั้งหมดจึง สามารถหาเมทริกซ์ผกผัน ได้

นอกจากนี้ เซตของเมทริกซ์ผกผัน ขนาด n x n เป็น เซตเปิดและหนาแน่นในปริภูมิเชิงโทโพโลยี ของเมทริกซ์ขนาด n x nทั้งหมด ในทำนองเดียวกัน เซตของเมทริกซ์เอกฐานเป็นเซตปิดและไม่หนาแน่นที่ใดในปริภูมิของเมทริกซ์ ขนาดn x n

ในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม อาจพบเมทริกซ์ที่ไม่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ ในการคำนวณเชิงตัวเลข เมทริกซ์ที่หาเมทริกซ์ผกผันได้แต่ใกล้เคียงกับเมทริกซ์ที่ไม่สามารถ หาเมทริกซ์ผกผันได้ อาจยังคงเป็นปัญหาและเรียกว่าเมทริกซ์ ที่มีสภาพไม่ดี (ill-conditioned )

สมมติว่าเมทริกซ์ผกผันAขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์tจากนั้นอนุพันธ์ของเมทริกซ์ผกผันของAเทียบกับtจะได้รับจาก^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}}$

ในการหาอนุพันธ์ของเมทริกซ์ผกผันของA ข้างต้นนั้น เราสามารถหาอนุพันธ์ของนิยามของเมทริกซ์ผกผันโดยใช้กฎผลคูณแล้วจึงหาอนุพันธ์ของเมทริกซ์ผกผันของA ได้ ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {0} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1})}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}$

การลบออกจากทั้งสองข้างของสูตรนี้ และการคูณทางด้านขวาด้วย จะเป็นการเสร็จสิ้นการหาที่มาของสูตร ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$

ถ้าเป็นจำนวนน้อย สูตรอนุพันธ์จะให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,}$

กำหนดให้เป็นจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-n}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}\end{aligned}}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right)\end{aligned}}}$

เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เมท ริกซ์จัตุรัส กล่าวคือ เมทริกซ์ขนาด m x nที่m ≠ nจะไม่มีเมทริกซ์ผกผัน อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี เมทริกซ์ดังกล่าวอาจมีเมทริกซ์ผกผันซ้ายหรือเมทริกซ์ผกผันขวาได้ ถ้าAเป็น เมทริกซ์ ขนาดm x nและอันดับของAเท่ากับn ( n ≤ m ) แล้วAจะมีเมทริกซ์ผกผันซ้าย คือเมทริกซ์ ขนาด n x m ชื่อ Bโดยที่BA = I _nถ้าAมีอันดับเท่ากับm ( m ≤ n ) แล้ว A จะมีเมทริกซ์ผกผันขวา คือเมทริกซ์ขนาดn x mชื่อ Bโดยที่AB = I _m

คุณสมบัติบางประการของเมทริกซ์ผกผันนั้นมีร่วมกันกับเมทริกซ์ผกผันทั่วไป (เช่นเมทริกซ์ผกผัน Moore–Penrose ) ซึ่งสามารถกำหนดได้สำหรับเมทริกซ์m x n ใดๆ ^{[ 6 ]}

แม้ว่ากรณีที่พบบ่อยที่สุดคือเมทริกซ์บน จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนแต่คำจำกัดความทั้งหมดเหล่านั้นสามารถนำไปใช้กับเมทริกซ์บนโครงสร้างพีชคณิต ใดๆ ที่มีการบวกและการคูณ (เช่นริง ) ได้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ริงเป็นแบบสลับที่ได้เงื่อนไขสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสที่จะผกผันได้คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นต้องผกผันได้ในริง ซึ่งโดยทั่วไปแล้วเป็นข้อกำหนดที่เข้มงวดกว่าการที่ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ สำหรับริงที่ไม่สลับที่ได้ดีเทอร์มิแนนต์ตามปกติจะไม่ถูกกำหนด เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของตัวผกผันซ้ายหรือตัวผกผันขวาจะซับซ้อนกว่า เนื่องจากไม่มีแนวคิดเรื่องอันดับในริง

เซตของ เมทริกซ์ผกผันขนาด n × nพร้อมด้วยการดำเนินการคูณเมทริกซ์ และ สมาชิก จากริงRก่อให้เกิดกลุ่มซึ่งก็ คือ กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปดีกรีnโดยใช้สัญลักษณ์GL _n ( R )

สำหรับการใช้งานในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ ไม่จำเป็นต้องหาเมทริกซ์ผกผันเพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นอย่างไรก็ตาม เพื่อให้ได้คำตอบที่ไม่ซ้ำกัน เมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องจะต้องสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้

เทคนิคการแยกส่วนประกอบ เช่นการแยกส่วนประกอบแบบ LUนั้นเร็วกว่าการหาค่าผกผันมาก และยังมีการพัฒนาอัลกอริธึมที่รวดเร็วต่างๆ สำหรับระบบสมการเชิงเส้นประเภทพิเศษอีกด้วย

แม้ว่าไม่จำเป็นต้องใช้เมทริกซ์ผกผันที่ชัดเจนเพื่อประมาณเวกเตอร์ของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า แต่ก็เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการประมาณความแม่นยำ และพบได้ในแนวทแยงของเมทริกซ์ผกผัน (เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมภายหลังของเวกเตอร์ของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า) อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณีมีอัลกอริทึมที่เร็วกว่าในการคำนวณเฉพาะค่าในแนวทแยงของเมทริกซ์ผกผัน^{[ 7 ]}

การผกผันเมทริกซ์มีบทบาทสำคัญในกราฟิกคอมพิวเตอร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน การเรนเดอร์ กราฟิก 3 มิติและการจำลอง 3 มิติตัวอย่างเช่นการฉายรังสี จากหน้าจอไปยัง โลก การแปลงวัตถุจากโลกไปยังปริภูมิย่อยและกลับมายังโลก และการจำลองทางฟิสิกส์

การผกผันเมทริกซ์ยังมีบทบาทสำคัญใน เทคโนโลยี MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output) ในการสื่อสารไร้สายระบบ MIMO ประกอบด้วย เสาอากาศส่งสัญญาณ N ตัวและ เสาอากาศรับสัญญาณ M ตัว สัญญาณที่ไม่ซ้ำกันซึ่งครอบครอง ย่านความถี่เดียวกันจะถูกส่งผ่าน เสาอากาศส่งสัญญาณ N ตัวและรับผ่าน เสาอากาศรับสัญญาณ Mตัว สัญญาณที่มาถึงเสาอากาศรับสัญญาณแต่ละตัวจะเป็นการรวมเชิงเส้นของสัญญาณที่ส่งN ตัว ซึ่งก่อให้เกิด เมทริกซ์การส่งสัญญาณH ขนาด N  ×  Mสิ่งสำคัญคือเมทริกซ์Hต้องสามารถผกผันได้เพื่อให้ผู้รับสามารถระบุข้อมูลที่ส่งได้^{[ 8 ]}

• "การผกผันของเมทริกซ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Cormen, Thomas H. ; Leiserson, Charles E. ; Rivest, Ronald L. ; Stein, Clifford (2001) [1990]. "28.4: การหาเมทริกซ์ผกผัน". บทนำสู่อัลกอริธึม (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์ MIT และ McGraw-Hill. หน้า  755–760 . ISBN 0-262-03293-7.
• เบิร์นสไตน์, เดนนิส เอส. (2009). คณิตศาสตร์เมทริกซ์: ทฤษฎี ข้อเท็จจริง และสูตร (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 978-0691140391– ผ่านทางGoogle Books
• ปีเตอร์เซ่น, แคร์ บรันต์; เพเดอร์เซน, ไมเคิล ซิสไคนด์ (15 พฤศจิกายน 2555) "ตำราเดอะเมทริกซ์" (PDF ) หน้า  17–23 .

• แซนเดอร์สัน, แกรนต์ (15 สิงหาคม 2016). "เมทริกซ์ผกผัน ปริภูมิคอลัมน์ และปริภูมิศูนย์"สาระสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้นเก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 3 พฤศจิกายน 2021 – ผ่านทางYouTube
• Strang, Gilbert . "การบรรยายพีชคณิตเชิงเส้นเรื่องเมทริกซ์ผกผัน" . MIT OpenCourseWare .