ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตตัวผกผันทั่วไป (หรือg-inverse ) ขององค์ประกอบxคือองค์ประกอบyที่มีคุณสมบัติบางอย่างขององค์ประกอบผกผันแต่ไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติทั้งหมด จุดประสงค์ของการสร้างตัวผกผันทั่วไปของเมทริกซ์คือการได้เมทริกซ์ที่สามารถใช้เป็นตัวผกผันในแง่ใดแง่หนึ่งสำหรับเมทริกซ์ประเภทที่กว้างกว่าเมทริกซ์ที่ผกผันได้ตัวผกผันทั่วไปสามารถกำหนดได้ในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับ การคูณ แบบสมาคมนั่นคือในเซมิกรุปบทความนี้จะอธิบายตัวผกผันทั่วไปของ เมท ริก ซ์${\displaystyle A}$

เมทริกซ์เป็นอินเวอร์สทั่วไปของเมทริกซ์ถ้า^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}อินเวอร์สทั่วไปมีอยู่สำหรับเมทริกซ์ใดๆ และเมื่อเมทริกซ์มีอินเวอร์สปกติอินเวอร์สนี้จะเป็นอินเวอร์สทั่วไปที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 1 ]}${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A.}$

พิจารณาระบบเชิงเส้น

${\displaystyle Ax=y}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์ และเป็นปริภูมิคอลัมน์ของถ้าและเป็น เมทริกซ์ ไม่เอกฐานแล้วจะเป็นคำตอบของระบบสมการ โปรดทราบว่า ถ้าเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้ว ${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x=A^{-1}y}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle AA^{-1}A=A.}$

สมมติว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ( ) หรือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเป็นรูปเอกฐาน ดังนั้นเราจึงต้องการตัวเลือกด้านขวาที่มีลำดับเช่นนั้นสำหรับทุก${\displaystyle A}$${\displaystyle m\neq n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$

${\displaystyle AGy=y.}$^{[ 4 ]}

นั่นคือเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการเมทริกซ์ที่มีอันดับเช่นนั้น ${\displaystyle x=Gy}$${\displaystyle Ax=y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n\times m}$

${\displaystyle AGA=A.}$

ดังนั้นเราสามารถกำหนดอินเวอร์สทั่วไปได้ดังนี้: เมื่อกำหนดเมทริกซ์เมทริกซ์จะเรียกว่าเป็นอินเวอร์สทั่วไปของถ้า^{‍ [1 ] [ 2 ] [ 3 ]}เมทริกซ์ได้รับการเรียกขานว่าเป็นอินเวอร์สปกติของโดยผู้เขียนบางท่าน^{[ 5 ]}${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AGA=A.}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$

ปัญหาคือจะเลือกค่า a เป็นผลลัพธ์ของฟังก์ชันสำหรับทุกๆ ค่า a เมื่อฟังก์ชันนั้นไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\mapsto y=Ax}$

• ถ้าฟังก์ชันไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective)แสดงว่าไม่ใช่ทุกค่าของ ในโดเมนร่วม ของฟังก์ชันนั้น จะมีค่า ที่สอดคล้องกันผ่านทางเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ เราจึงกำหนดให้ฟังก์ชัน แมปค่าเหล่านั้นไปยังค่าใดๆ ก็ได้${\displaystyle A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle y}$

ตัวอย่างเช่น แยกโคโดเมนของ ออกเป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิคอลัมน์และปริภูมิย่อยส่วนเติมเต็ม แล้วสร้างดังต่อไปนี้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(A)}$${\displaystyle G}$

• สำหรับค่า's ในซับสเปซก่อนหน้า ให้ แมปกลับไปยังค่า 's ที่สอดคล้องกัน${\displaystyle y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$
• สำหรับค่า 's ในซับสเปซหลัง ให้แมปค่าทั้งหมดไปที่ศูนย์ (เนื่องจากไม่มีค่า's ที่สอดคล้องกัน)${\displaystyle y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$
• สำหรับค่าอื่นๆ ให้แยกส่วนประกอบออกเป็นผลรวมของส่วนประกอบทั้งสองข้างต้น นำไปใช้ตามลำดับ แล้วจึงหาผลรวม${\displaystyle y}$${\displaystyle G}$

• ถ้าฟังก์ชันไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective)แสดงว่าบางค่าของ's สอดคล้องกับค่าของ 's หลายค่าผ่านทาง 's เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ เราจึงกำหนดให้แต่ละค่าของ 's แมปไปยังค่าของ 's ค่าใดค่าหนึ่งตามอัลกอริทึม${\displaystyle A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

ตัวอย่างเช่น แยกโดเมนของ ออกเป็นผลรวมโดยตรงของและปริภูมิย่อยส่วนเติมเต็ม สำหรับทุกค่าที่เป็นไปได้ของ ภาพผกผันของมันจะต้องขนานกับและตัดกับปริภูมิย่อยส่วนเติมเต็มที่เลือกไว้ที่จุดเดียว ให้แมปไปยังจุดนี้${\displaystyle A}$${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle y}$

• ถ้า ฟังก์ชัน นั้นไม่ใช่ทั้งฟังก์ชันทั่วถึงและฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราจะรวมสองวิธีข้างต้นเข้าด้วยกัน${\displaystyle A}$

ภาพทางด้านขวาเป็นตัวอย่าง

ประเภทสำคัญของอินเวอร์สทั่วไป ได้แก่:

• ตัวผกผันด้านเดียว (ตัวผกผันด้านขวาหรือตัวผกผันด้านซ้าย)
  • เมทริกซ์ผกผันขวา: ถ้าเมทริกซ์มีมิติและแล้วจะมีเมทริกซ์ที่เรียกว่าเมทริกซ์ผกผันขวาของอยู่ ซึ่งโดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle A_{\คณิตศาสตร์ {R} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AA_{\คณิตศาสตร์ {R} }^{-1}=I_{m}}$${\displaystyle I_{m}}$${\displaystyle m\times m}$
  • ผกผันซ้าย: ถ้าเมทริกซ์มีมิติและแล้วจะมีเมทริกซ์ที่เรียกว่าผกผันซ้ายของซึ่งโดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์^{[ 6 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle A_{\คณิตศาสตร์ {L} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$
• บอตต์-ดัฟฟิน ผกผัน
• ดราซินผกผัน
• ผกผันมัวร์-เพนโรส

อินเวอร์สทั่วไปบางประเภทได้รับการกำหนดและจำแนกตามเงื่อนไขของเพนโรส:

1. ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2. ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}$
3. ${\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }}$
4. ${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,}$

โดยที่หมายถึงการสลับตำแหน่งแบบสังยุคถ้าตรงตามเงื่อนไขแรก แสดงว่าเป็นตัวผกผันทั่วไปของถ้า ตรงตามเงื่อนไขสองข้อแรก แสดงว่าเป็นตัวผกผันทั่วไปแบบสะท้อนกลับของถ้า ตรงตามเงื่อนไขทั้งสี่ข้อ แสดงว่าเป็นตัวผกผันเทียมของซึ่งใช้สัญลักษณ์และเรียกอีกอย่างว่าตัวผกผันมัวร์-เพนโรสตามผลงานบุกเบิกของEH MooreและRoger Penrose [ ^{2 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] เป็นการ}สะดวกที่จะกำหนดตัวผกผันของเป็นตัวผกผันที่ตรงตามเงื่อนไขย่อยของเงื่อนไขเพนโรสที่ระบุไว้ข้างต้น ความสัมพันธ์ เช่นสามารถสร้างขึ้นระหว่างตัวผกผัน คลาสต่างๆ เหล่านี้ได้ ^{[ 1 ]}${\displaystyle {}^{*}}$${\displaystyle A^{\คณิตศาสตร์ {g} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I\subset \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}}$${\displaystyle I}$

เมื่อเมทริกซ์ไม่เอกฐาน อินเวอร์สทั่วไปใดๆจะเท่ากับและดังนั้นจึงมีเพียงหนึ่งเดียว สำหรับเมทริกซ์เอกฐาน อินเวอร์สทั่วไปบางตัว เช่น อินเวอร์สของดราซินและอินเวอร์สของมัวร์-เพนโรส จะมีเพียงหนึ่งเดียว ในขณะที่อินเวอร์สทั่วไปอื่นๆ อาจไม่จำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียวเสมอไป ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\คณิตศาสตร์ {g} }}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$

อนุญาต

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&3\\2&0&6\\0&0&0\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

เห็นได้ชัดว่าเป็นเอกพจน์และตรงตามเงื่อนไขของ Penrose (1) แต่ไม่ใช่เงื่อนไขอื่น ดังนั้น จึงเป็นตัวผกผันทั่วไปที่ไม่สะท้อนกลับของ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

คอลัมน์แรกของช่วงและแมปไปยังซึ่งไม่อยู่ในนอกจากนี้ยังแมปไปยังซึ่งอยู่ในความสัมพันธ์นี้สรุปได้ในภาพด้านขวา ${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {im} A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (1,0,0)}$${\displaystyle \ker A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle (0,1,0)}$${\displaystyle \ker A}$

อนุญาต

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.}$

เนื่องจากเป็นเอกฐานและไม่มีอินเวอร์สปกติ อย่างไรก็ตามและเป็นไปตามเงื่อนไขของ Penrose (1) และ (2) แต่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข (3) หรือ (4) ดังนั้น จึงเป็นอินเวอร์สทั่วไปแบบสะท้อนกลับของ ${\displaystyle \det(A)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

อนุญาต

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}$

เนื่องจากไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัสจึงไม่มีเมทริกซ์ผกผันปกติ อย่างไรก็ตามเป็นเมทริกซ์ผกผันทางขวาของเมทริกซ์ไม่มีเมทริกซ์ผกผันทางซ้าย ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\คณิตศาสตร์ {R} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

• 
  ${\displaystyle X}$เป็นการผกผันทางซ้ายของ( )${\displaystyle A}$${\displaystyle XA=I_{U}}$
• 
  ${\displaystyle X}$เป็นการผกผันทางขวาของ( )${\displaystyle A}$${\displaystyle AX=I_{V}}$

สมาชิกbเป็นตัวผกผันทั่วไปของสมาชิกa ก็ต่อเมื่อ ในเซมิกรุปใดๆ (หรือริง ใด ๆ เนื่องจาก ฟังก์ชัน การคูณในริงใดๆ ก็เป็นเซมิกรุป) ${\displaystyle a\cdot b\cdot a=a}$

ตัวผกผันทั่วไปของสมาชิก 3 ในริงคือ 3, 7 และ 11 เนื่องจากในริง: ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 7\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 11\cdot 3=3}$

ตัวผกผันทั่วไปของสมาชิก 4 ในริงคือ 1, 4, 7 และ 10 เนื่องจากในริง: ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 4\cdot 1\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 7\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 10\cdot 4=4}$

ถ้าสมาชิกaในเซมิกรุป (หรือริง) มีตัวผกผัน ตัวผกผันนั้นจะต้องเป็นตัวผกผันทั่วไปเพียงตัวเดียวของสมาชิกนี้ เช่น สมาชิก 1, 5, 7 และ 11 ในริง ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

ในริงนี้สมาชิกใดๆ ก็เป็นตัวผกผันทั่วไปของ 0 ได้ แต่ 2 ไม่มีตัวผกผันทั่วไป เนื่องจากไม่มีbในริงนี้ที่ทำให้0 เป็นจริง${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\cdot b\cdot 2=2}$

ลักษณะต่างๆ ต่อไปนี้สามารถตรวจสอบได้ง่าย:

• เมทริกซ์ผกผันขวาของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส จะกำหนดโดย โดยมีเงื่อนไขว่าเมทริกซ์นั้นมีอันดับแถวเต็ม^{[ 6 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}$${\displaystyle A}$
• เมทริกซ์ผกผันซ้ายของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัสจะกำหนดโดย โดยมีเงื่อนไขว่าเมทริกซ์นั้นมีอันดับคอลัมน์เต็ม^{[ 6 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}$${\displaystyle A}$
• ถ้าเป็นการแยกตัวประกอบอันดับแล้วเป็น g-อินเวอร์สของโดยที่เป็นอินเวอร์สขวาของและเป็นอินเวอร์สซ้ายของ${\displaystyle A=BC}$${\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B_{\mathrm {L} }^{-1}}$${\displaystyle B}$
• ถ้าสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่เอกฐานใดๆและแล้วจะเป็นอินเวอร์สทั่วไปของสำหรับและ ใด ๆ${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle W}$
• ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีอันดับโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปให้ โดยที่เป็นเมทริกซ์ย่อยที่ไม่เอกฐานของแล้วเป็นเมทริกซ์ผกผันทั่วไปของ ก็ ต่อเมื่อ${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle B_{r\times r}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle E=DB^{-1}C}$

อินเวอร์สทั่วไปใดๆ ก็สามารถใช้เพื่อตรวจสอบว่าระบบสมการเชิงเส้นมีคำตอบหรือไม่ และถ้ามี ก็สามารถให้คำตอบทั้งหมดได้ หากมีคำตอบใดๆ สำหรับระบบสมการเชิงเส้นขนาด n × m

${\displaystyle Ax=b,}$

โดยมีเวกเตอร์ของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าและเวกเตอร์ของค่าคงที่ คำตอบทั้งหมดจะได้รับจาก ${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w,}$

พาราเมตริกบนเวกเตอร์ใดๆโดยที่เป็นอินเวอร์สทั่วไปใดๆ ของคำตอบมีอยู่ก็ต่อเมื่อเป็นคำตอบ นั่นคือ ก็ต่อเมื่อถ้าAมีอันดับคอลัมน์เต็ม นิพจน์ในวงเล็บในสมการนี้จะเป็นเมทริกซ์ศูนย์ดังนั้นคำตอบจึงมีเพียงหนึ่งเดียว^{[ 12 ]}${\displaystyle w}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$

เมทริกซ์ผกผันทั่วไปสามารถอธิบายได้ดังนี้ ให้และ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$

$${\displaystyle A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }}$$

เป็นการ แยกส่วนค่าเอกลักษณ์ของมันจากนั้นสำหรับอินเวอร์สทั่วไปใดๆ จะมี เมทริกซ์, , และอยู่^{[ 1 ]}เช่นนั้น ${\displaystyle A^{g}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

ในทางกลับกัน การเลือก, , และสำหรับเมทริกซ์ในรูปแบบนี้จะเป็นอินเวอร์สทั่วไปของ[ ^{1 ] อิน}เวอร์ส - คืออินเวอร์สที่, อินเวอร์ส - คืออินเวอร์สที่, และอินเวอร์ส - คืออินเวอร์สที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อินเวอร์สเทียมจะกำหนดโดย: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{1,2\}}$${\displaystyle Z=Y\Sigma _{1}X}$${\displaystyle \{1,3\}}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle \{1,4\}}$${\displaystyle Y=0}$${\displaystyle X=Y=Z=0}$

$${\displaystyle A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

ในการใช้งานจริง จำเป็นต้องระบุประเภทของการแปลงเมทริกซ์ที่ต้องคงไว้โดยอินเวอร์สทั่วไป ตัวอย่างเช่น อินเวอร์สของมัวร์-เพนโรสสอดคล้องกับนิยามความสอดคล้องต่อไปนี้เกี่ยวกับการแปลงที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์เอกลักษณ์UและV : ${\displaystyle A^{+},}$

${\displaystyle (UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}}$.

อินเวอร์สของดราซินสอดคล้องกับนิยามความสอดคล้องกันต่อไปนี้เกี่ยวกับการแปลงความคล้ายคลึงกันที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์S ที่ไม่เอกฐาน : ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle \left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}}$.

อินเวอร์สที่สอดคล้องกับหน่วย (UC) ^{[ 13 ]} สอดคล้องกับคำจำกัดความของความสอดคล้องดังต่อไปนี้เกี่ยวกับการแปลงที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์แนวทแยงที่ไม่เอกฐานDและE : ${\displaystyle A^{\mathrm {U} },}$

${\displaystyle (DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}}$.

ข้อเท็จจริงที่ว่าตัวผกผันของมัวร์-เพนโรสให้ความสอดคล้องกับการหมุน (ซึ่งเป็นการแปลงเชิงตั้งฉาก) อธิบายถึงการใช้งานอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์และการประยุกต์ใช้งานอื่นๆ ที่ต้องรักษาระยะทางแบบยุคลิดไว้ ในทางตรงกันข้าม ตัวผกผันของยูซีใช้ได้เมื่อคาดว่าพฤติกรรมของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงไปตามการเลือกหน่วยของตัวแปรสถานะที่แตกต่างกัน เช่น ไมล์เทียบกับกิโลเมตร

• เมทริกซ์บล็อกผกผันเทียม
• เซมิกรุ๊ปปกติ

• เบน-อิสราเอล, อาดี ; เกรวิลล์, โทมัส นอลล์ อีเดน (2003). อินเวอร์สทั่วไป: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สปริงเกอร์. doi : 10.1007/b97366 . ISBN 978-0-387-00293-4.
• Campbell, Stephen L.; Meyer, Carl D. (1991). ตัวผกผันทั่วไปของการแปลงเชิงเส้น . Dover. ISBN 978-0-486-66693-8.
• ฮอร์น, โรเจอร์ อลัน ; จอห์นสัน, ชาร์ลส์ รอยัล (1985). การวิเคราะห์เมทริกซ์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-38632-6.
• นากามูระ, โยชิฮิโกะ (1991). หุ่นยนต์ขั้นสูง: ความซ้ำซ้อนและการเพิ่มประสิทธิภาพ . แอดดิสัน-เวสลีย์. ISBN 978-0201151985.
• Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). เมทริกซ์ผกผันทั่วไปและการประยุกต์ใช้ . นิวยอร์ก: John Wiley & Sons. หน้า  240. ISBN 978-0-471-70821-6.

• James, M. (มิถุนายน 1978). "ตัวผกผันทั่วไป". The Mathematical Gazette . 62 (420): 109– 114. doi : 10.2307/3617665 . JSTOR  3617665 .
• Uhlmann, Jeffrey K. (2018). "เมทริกซ์ผกผันทั่วไปที่สอดคล้องกับการแปลงแนวทแยง" . SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 239 (2): 781– 800. doi : 10.1137/17M113890X .
• Zheng, Bing; Bapat, Ravindra (2004). "ตัวผกผันทั่วไป A(2)T,S และสมการอันดับ" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 155 ( 2): 407– 415. doi : 10.1016/S0096-3003(03)00786-0 .