ในทางคณิตศาสตร์เซมิกรุปปกติคือเซมิกรุปSซึ่งสมาชิกทุกตัวเป็นเซมิกรุปปกติกล่าวคือ สำหรับสมาชิกa แต่ละตัว ในSจะมีสมาชิกxในS อยู่จริง โดยที่axa = a ^{[ 1 ]} เซ มิ กรุปปกติเป็นหนึ่งในกลุ่มเซมิกรุปที่มีการศึกษามากที่สุด และโครงสร้างของเซมิกรุปปกตินั้นสามารถศึกษาได้ง่ายเป็นพิเศษโดยใช้ความสัมพันธ์ของกรีน^{[ 2 ]}

เซมิกรุปปกติได้รับการแนะนำโดยJA Greenในบทความที่มีอิทธิพลในปี 1951 เรื่อง "เกี่ยวกับโครงสร้างของเซมิกรุป" ซึ่งเป็นบทความ ที่แนะนำ ความสัมพันธ์ของ Greenแนวคิดเรื่องความสม่ำเสมอในเซมิกรุปได้รับการดัดแปลงมาจากเงื่อนไขที่คล้ายคลึงกันสำหรับริง ซึ่ง John von Neumannได้พิจารณาไว้แล้ว^{[ 3 ]} การศึกษาเซมิกรุปปกติของ Green นำไปสู่การกำหนดความสัมพันธ์ อันโด่งดังของเขา ตามเชิงอรรถใน Green ปี 1951 ข้อเสนอแนะที่ว่าควรนำแนวคิดเรื่องความสม่ำเสมอไปใช้กับเซมิกรุปนั้นเสนอโดยDavid Reesเป็น ครั้งแรก

คำว่าเซมิกรุปผกผัน (ภาษาฝรั่งเศส: demi-groupe inversif) ถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายในเอกสารของGabriel Thierrin (นักศึกษาของPaul Dubreil ) ในช่วงทศวรรษ 1950 ^{[ 4 ] [ 5 ]}และยังคงใช้กันอยู่บ้างเป็นครั้งคราว^{[ 6 ]}

มีสองวิธีที่เทียบเท่ากันในการกำหนดเซมิกรุปปกติS :

(1) สำหรับแต่ละaในSจะมีxในSซึ่งเรียกว่า^{ผกผัน}เทียม [ ^{7 ]}โดยที่axa = a

( 2) องค์ประกอบa ทุกตัวมี ตัวผกผันbอย่างน้อยหนึ่งตัวในความหมายที่ว่าaba = aและbab = b

เพื่อดูความเท่าเทียมกันของคำจำกัดความเหล่านี้ ก่อนอื่นให้สมมติว่าSถูกกำหนดโดย (2) จากนั้นbจะทำหน้าที่เป็นx ที่ต้องการ ใน (1) ในทางกลับกัน ถ้าSถูกกำหนดโดย (1) แล้วxaxเป็นตัวผกผันสำหรับaเนื่องจากa ( xax ) a = axa ( xa ) = axa = aและ ( xax ) a ( xax ) = x ( axa )( ^xax ) = xa ( xax ) = x ( axa ) x = xax [ ^{8 ]}

เซตของตัวผกผัน (ในความหมายข้างต้น) ขององค์ประกอบaในเซมิกรุปS ใดๆ จะถูกแทนด้วยV ( a ) ^{[ 9 ]} ดังนั้น อีกวิธีหนึ่งในการแสดงนิยาม (2) ข้างต้นคือกล่าวว่าในเซมิกรุปปกติV ( a ) จะไม่ว่างเปล่าสำหรับทุกaในSผลคูณขององค์ประกอบa ใดๆ กับb ใด ^ๆในV ( a ) จะเป็นตัวผกผัน เสมอ : abab = abเนื่องจากaba = a ^{[ 10} ]

• ทุกกลุ่มเป็นเซมิกรุ๊ปปกติ
• ทุกกลุ่มย่อย (เซมิกรุปเอกลักษณ์) เป็นกลุ่มปกติในความหมายของบทความนี้ แม้ว่านี่จะไม่ใช่ความหมายที่แท้จริงของกลุ่มปกติก็ตาม
• เซมิกรุปแบบไบไซคลิกเป็นแบบปกติ
• เซมิกรุ๊ปการแปลงสมบูรณ์ใดๆ ก็ตามถือเป็นเซมิกรุ๊ปปกติ
• เซมิกรุปเมทริกซ์รีส์เป็นเซมิกรุปปกติ
• ภาพโฮโมมอร์ฟิกของเซมิกรุปปกติจะเป็นปกติ^{[ 11 ]}

เซมิกรุปปกติที่ตัวประกอบเอกลักษณ์สลับที่ได้ (กับตัวประกอบเอกลักษณ์) เรียกว่าเซมิกรุปผกผันหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกสมาชิกมี ตัวผกผัน ที่ไม่ซ้ำกันเพื่อให้เห็นภาพนี้ ให้Sเป็นเซมิกรุปปกติที่ตัวประกอบเอกลักษณ์สลับที่ได้ ดังนั้นทุกสมาชิกของSจะมีตัวผกผันอย่างน้อยหนึ่งตัว สมมติว่าaในSมีตัวผกผันสองตัวคือbและcนั่นคือ

aba = a , bab = b , aca = aและcac = cนอกจากนี้ab , ba , acและcaเป็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์ (idempotent) ดังที่กล่าวมาข้างต้น

แล้ว

b = bab = b ( aca ) b = แบค ( a ) b = แบค ( aca ) b = บัค ( ac )( ab ) = แบค ( ab )( ac ) = บ ริบา ( แคลิฟอร์เนีย ) แบค = แคลิฟอร์เนีย ( บริบา ) แบค = ค ( aba ) แบค = คาแบค = cac = c .

ดังนั้น โดยการสลับคู่ของตัวประกอบเอกลักษณ์ab & acและba & ca จะแสดงให้เห็นว่า ตัวผกผันของaมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ในทางกลับกัน สามารถแสดงได้ว่าเซมิกรุปผกผัน ใดๆ ก็ เป็นเซมิกรุปปกติที่ตัวประกอบเอกลักษณ์สลับกันได้^{[ 12 ]}

การมีอยู่ของตัวผกผันเทียมที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งเดียว หมายความว่ามีตัวผกผันที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งเดียวเช่นกัน แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ในเซมิกรุปผกผันสมมาตรการแปลงว่าง Ø ไม่มีตัวผกผันเทียมที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งเดียว เพราะ Ø = Ø f Ø สำหรับการแปลงf ใดๆ อย่างไรก็ตาม ตัวผกผันของ Ø นั้นไม่ซ้ำกัน เพราะมีเพียงf ตัวเดียวเท่านั้น ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเพิ่มเติมที่ว่าf = f Ø fนั่นคือf = Ø ข้อสังเกตนี้ใช้ได้ทั่วไปในเซมิกรุปใดๆ ที่มีศูนย์ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าทุกองค์ประกอบมีตัวผกผันเทียมที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งเดียว เซมิกรุปนั้นจะเป็นกลุ่มและตัวผกผันเทียมที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งเดียวขององค์ประกอบจะตรงกับตัวผกผันของกลุ่ม

โปรดจำไว้ว่าอุดมคติหลักของเซมิกรุปSถูกกำหนดขึ้นโดยใช้S ¹ซึ่งเป็นเซมิกรุปที่มีเอกลักษณ์ต่อท้ายเพื่อให้แน่ใจว่าสมาชิกa เป็นส่วนหนึ่งของ อุดมคติหลักด้านขวา ด้านซ้าย และสองด้านที่มันสร้างขึ้น อย่างไรก็ตาม ในเซมิกรุปปกติSสมาชิกa = axaจะเป็นส่วนหนึ่งของอุดมคติเหล่านี้โดยอัตโนมัติ โดยไม่ต้องอาศัยการต่อท้ายด้วยเอกลักษณ์ ดังนั้น ความสัมพันธ์ของกรีนจึงสามารถกำหนดใหม่สำหรับเซมิกรุปปกติได้ดังนี้:

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$ก็ต่อเมื่อ Sa = Sbเท่านั้น

${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}$ก็ต่อเมื่อaS = bSเท่านั้น

${\displaystyle a\,{\mathcal {J}}\,b}$ถ้าและเฉพาะ^{เมื่อ} SaS = SbS [ ^{13 ]}

ในเซมิกรุปปกติSทุกคลาส- และ- จะมีอย่างน้อยหนึ่งตัวเอกลักษณ์ถ้าaเป็นสมาชิกใดๆ ของSและa ′เป็นตัวผกผันใดๆ สำหรับaแล้วaจะมีความสัมพันธ์กับa ′ aและ มี ความสัมพันธ์กับaa ′ ^{[ 14 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

ทฤษฎีบท.ให้Sเป็นเซมิกรุปปกติ ให้aและbเป็นสมาชิกของSและให้V(x)แทนเซตของอินเวอร์สของxในSแล้ว

• ${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$ก็ต่อเมื่อมี a ′ในV ( a ) และb ′ในV ( b ) อยู่จริงโดยที่a ′ a = b ′ b ;
• ${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}$ก็ต่อเมื่อ มีa ′ในV ( a ) และb ′ในV ( b ) ที่ทำให้aa ′ = bb ′อยู่
• ${\displaystyle a\,{\mathcal {H}}\,b}$^{ก็ ต่อ} เมื่อมี a ′ในV ( a ) และb ′ในV ( b ) อยู่จริงโดยที่a ′ a = b ′ bและaa ′ = bb ′ ^{[ 15} ]

ถ้าSเป็นเซมิกรุปผกผันแล้ว เอกลักษณ์ในแต่ละคลาส- และ- จะมีเพียงหนึ่งเดียว^{[ 12 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

กลุ่มพิเศษบางกลุ่มของเซมิกรุปปกติ ได้แก่: ^{[ 16 ]}

• เซมิกรุปผกผันเฉพาะที่ : เซมิกรุปปกติSเป็น เซมิกรุ ปผกผันเฉพาะที่ถ้าeSeเป็นเซมิกรุปผกผัน สำหรับแต่ละไอเดมโพเทน ต์e
• เซมิกรุปแบบดั้งเดิม : เซมิกรุปปกติ Sเรียกว่า เซมิกรุ ปแบบดั้งเดิมถ้าเซตย่อยของตัวประกอบเอกลักษณ์ของเซมิ กรุปนั้น ประกอบกันเป็นเซมิกรุปย่อย
• เซมิกรุปผกผันทั่วไป : เซมิกรุปปกติSเรียกว่าเซมิกรุปผกผันทั่วไปถ้าตัวประกอบเอกลักษณ์ ของมัน ก่อให้เกิดแถบปกติ กล่าวคือxyzx = xzyx สำหรับตัวประกอบเอกลักษณ์x , y , z ทั้งหมด

คลาสของเซมิกรุปผกผันทั่วไปคือการตัดกันของคลาสของเซมิกรุปผกผันเฉพาะที่และคลาสของเซมิกรุปออร์โธดอกซ์^{[ 17 ]}

เซมิกรุปผกผันทั้งหมดเป็นแบบออร์โธดอกซ์และผกผันเฉพาะที่ ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง

• ในที่สุดเซมิกรุ๊ปปกติ
• E -dense (aka E -inversive) เซมิกรุ๊ป

• ชุดเรียงลำดับสองแบบ
• กลุ่มพิเศษของเซมิกรุป
• คำสั่งซื้อนัมบูริปาด
• ผกผันทั่วไป

• Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. ทฤษฎีพีชคณิตของเซมิกรุปเล่ม 2 สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันISBN 978-0-8218-0272-4.
• Howie, John Mackintosh (1995). พื้นฐานทฤษฎีเซมิกรุป (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). สำนักพิมพ์ Clarendon . ISBN 978-0-19-851194-6.
• M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, Acts and Category with Applications to Wreath Products and Graphs , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, วอลเตอร์ เดอ กรอยเตอร์, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
• JA Green (1951). "เกี่ยวกับโครงสร้างของเซมิกรุป". Annals of Mathematics . ชุดที่สอง. 54 (1): 163– 172. doi : 10.2307/1969317 . hdl : 10338.dmlcz/100067 . JSTOR  1969317 .
• JM Howie, เซมิกรุปส์ อดีต ปัจจุบัน และอนาคต, รายงานการประชุมวิชาการนานาชาติว่าด้วยพีชคณิตและการประยุกต์ใช้ , 2002, 6–20.
• J. von Neumann (1936). "เกี่ยวกับวงแหวนปกติ" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA . 22 (12): 707– 713. Bibcode : 1936PNAS...22..707V . doi : 10.1073/pnas.22.12.707 . PMC  1076849 . PMID  16577757 .