ในทางคณิตศาสตร์เซมิกรุปคือเซตที่ไม่ว่างเปล่าพร้อมกับการดำเนินการทวิภาคแบบสมาคมเซมิกรุปประเภทพิเศษคือ เซมิกรุป ที่สอดคล้องกับ คุณสมบัติหรือเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น เซมิกรุปแบบ สลับที่ประกอบด้วยเซมิกรุปทั้งหมดที่การดำเนินการทวิภาคสอดคล้องกับคุณสมบัติการสลับที่ กล่าวคือab = baสำหรับทุกสมาชิกaและbในเซมิกรุป เซ มิกรุป แบบจำกัดประกอบด้วยเซมิกรุปที่เซตพื้นฐานมีจำนวน สมาชิกจำกัด สมาชิกของกลุ่มเซมิกรุปแบรนด์ทต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขไม่เพียงแค่ข้อเดียว แต่ต้องมีคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกหลายประการ มีการกำหนดเซมิกรุปประเภทพิเศษจำนวนมาก แม้ว่าจะไม่ได้มีการศึกษาอย่างเข้มข้นเท่าเทียมกันในทุกกลุ่มก็ตาม

ในทฤษฎีพีชคณิต ของเซมิกรุป ในการสร้างคลาสพิเศษนั้น ความสนใจจะมุ่งไปที่สมบัติ ข้อจำกัด และเงื่อนไขที่สามารถแสดงได้ในรูปของการดำเนินการทวิภาคในเซมิกรุป และบางครั้งก็สนใจจำนวนสมาชิกและสมบัติที่คล้ายคลึงกันของเซตย่อยของเซตพื้นฐานเซตพื้นฐานนั้นไม่ได้ถูกสมมติว่ามีโครงสร้าง ทางคณิตศาสตร์อื่นใด เช่นลำดับหรือโทโพโลยี

เช่นเดียวกับทฤษฎีพีชคณิตใดๆ ปัญหาหลักประการหนึ่งของทฤษฎีเซมิกรุปคือการจำแนกประเภทของเซมิกรุปทั้งหมดและการอธิบายโครงสร้างของพวกมันอย่างสมบูรณ์ ในกรณีของเซมิกรุป เนื่องจากการดำเนินการทวิภาคจำเป็นต้องเป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่เท่านั้น ปัญหาการจำแนกประเภทจึงถือว่ายากมาก มีการอธิบายโครงสร้างสำหรับเซมิกรุปบางประเภทพิเศษแล้ว ตัวอย่างเช่น โครงสร้างของเซตของตัวผกผันของเซมิกรุปปกติเป็นที่รู้จักกันอย่างสมบูรณ์ การอธิบายโครงสร้างนำเสนอในแง่ของเซมิกรุปประเภทที่รู้จักกันดีกว่า เซมิกรุปประเภทที่รู้จักกันดีที่สุดคือ กลุ่ม

ด้านล่างนี้คือรายการ (ซึ่งไม่สมบูรณ์อย่างแน่นอน) ของกลุ่มเซมิกรุปพิเศษต่างๆ เท่าที่จะเป็นไปได้ คุณสมบัติที่กำหนดจะถูกกำหนดในรูปของการดำเนินการทวิภาคในเซมิกรุป การอ้างอิงชี้ไปยังตำแหน่งที่มาของคุณสมบัติที่กำหนดเหล่านั้น

ในการอธิบายคุณสมบัติเฉพาะของเซมิกรุปประเภทพิเศษต่างๆ นั้น จะใช้สัญลักษณ์ตามแบบแผนต่อไปนี้

สัญลักษณ์

สัญกรณ์	ความหมาย
เอส	เซมิกรุปแบบสุ่ม
อี	เซตของตัวผกผันในS
จี	กลุ่มหน่วยในS
ฉัน	อุดมคติขั้นต่ำของS
วี	องค์ประกอบปกติ ของ S
X	เซตตามอำเภอใจ
ก , ข , ค	องค์ประกอบตามอำเภอใจของS
x , y , z	องค์ประกอบเฉพาะของS
อีเอฟจี​	องค์ประกอบตามอำเภอใจของE
ชม.	องค์ประกอบเฉพาะของE
ล , ม , น	จำนวนเต็มบวกใดๆ
เจ , เค	จำนวนเต็มบวกเฉพาะ
วี , ดับเบิลยู	องค์ประกอบตามอำเภอใจของV
0	องค์ประกอบศูนย์ของS
1	องค์ประกอบเอกลักษณ์ของS
เอส1	Sถ้า 1 ∈ S ; S ∪ { 1 } ถ้า 1 ∉ S
a ≤ L b a ≤ R b a ≤ H b a ≤ J b	S 1 a ⊆ S 1 b aS 1 ⊆ bS 1 S 1 a ⊆ S 1 b และaS 1 ⊆ bS 1 S 1 aS 1 ⊆ S 1 bS 1
ล , อาร์ , เอช , ดี , เจ	ญาติของกรีน
L a , R a , H a , D a , J a	คลาสสีเขียวที่มี
${\displaystyle x^{\omega }}$	กำลังเดียวของxที่เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ สมาชิกนี้มีอยู่จริง โดยสมมติว่าเซมิกรุปนั้นเป็นเซมิกรุปจำกัด (ในระดับท้องถิ่น) ดูข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัญลักษณ์นี้ได้ที่หัวข้อ " เซมิกรุปจำกัดหลากหลายประเภท"
${\displaystyle |X|}$	จำนวนสมาชิกของXโดยสมมติว่าXเป็นเซตจำกัด

ตัวอย่างเช่น นิยามxab = xbaควรอ่านดังนี้:

• มี สมาชิก xในเซมิกรุปซึ่งสำหรับแต่ละaและbในเซมิกรุปนั้นxabและxbaจะเท่ากัน

คอลัมน์ที่สามระบุว่าเซตของเซมิกรุปนี้ก่อให้เกิดวาไรตี้ หรือ ไม่ และเซตของเซมิกรุปจำกัดในคลาสพิเศษนี้ก่อให้เกิดวาไรตี้ของเซมิกรุปจำกัด หรือไม่ โปรดทราบว่าหากเซตนี้เป็นวาไรตี้ เซตของสมาชิกจำกัดในเซตนี้จะเป็นวาไรตี้ของเซมิกรุปจำกัดโดยอัตโนมัติ

รายชื่อคลาสพิเศษของเซมิกรุป

ศัพท์เฉพาะ	คุณสมบัติที่กำหนด	ความหลากหลายของเซมิกรุปจำกัด	เอกสารอ้างอิง
เซมิกรุป จำกัด	Sเป็นเซตจำกัด	ไม่ใช่ค่าอนันต์ จำกัด
เซมิกรุปว่างเปล่า	ส =${\displaystyle \emptyset }$	เลขที่
เซมิกรุปที่ไม่สำคัญ	จำนวนสมาชิกของSคือ 1	อนันต์ จำกัด
โมโนอิด	1 ∈ S	เลขที่	กริลหน้า 3
แบนด์ (เซมิกรุปเอกลักษณ์)	a 2 = a	อนันต์ จำกัด	C&P หน้า 4
แถบสี่เหลี่ยมผืนผ้า	แถบที่aba = a	อนันต์ จำกัด	เฟนเนมอร์
แถบปกติ	แถบที่abca = acba	อนันต์ จำกัด	เฟนเนมอร์
เซมิแลตทิซ	แถบสลับที่ได้ กล่าวคือ: a 2 = a ab = ba	อนันต์ จำกัด	C&Pหน้า 24 เฟนเนมอร์
เซมิกรุป สลับที่	ab = ba	อนันต์ จำกัด	C&Pหน้า 3
เซมิกรุปสลับที่ อาร์คิมีเดียน	ab = ba มีค่าxและkอยู่จริง โดยที่a k = xb		C&Pหน้า 131
เซมิกรุปแบบสลับที่ที่ไม่มีอยู่จริง	ab = ba   ⇒   a = b		C&Pหน้า 26
ซ้าย สลับตำแหน่งได้อ่อน	มีค่าxและk อยู่จริง ที่ทำให้ ( ab ) k = bx		นากีหน้า 59
ขวา สลับตำแหน่งได้แบบอ่อน	มีค่าxและk อยู่จริง โดยที่( ab ) k = xa		นากีหน้า 59
สลับตำแหน่งได้แบบอ่อน	ซ้ายและขวาเป็นคู่สลับที่แบบอ่อน นั่นคือ: มีอยู่xและjที่ทำให้ ( ab ) j = bx มีค่าyและk อยู่จริง โดยที่( ab ) k = ya		นากีหน้า 59
เซมิกรุปแบบสลับที่โดยมีเงื่อนไข	ถ้าab = baแล้วaxb = bxaสำหรับทุกx		นากีหน้า 77
เซมิกรุปสลับที่ R	ab R ba		นากีหน้า 69–71
RC -เซมิกรุปสลับที่	R - สลับที่ได้ และสลับที่ได้แบบมีเงื่อนไข		นากีหน้า 93–107
เซมิกรุปสลับที่ L	ab L ba		นากีหน้า 69–71
LC -เซมิกรุปสลับที่	สมบัติการสลับที่แบบ Lและสมบัติการสลับที่แบบมีเงื่อนไข		นากีหน้า 93–107
H -เซมิกรุปสลับที่	ab H ba		นากีหน้า 69–71
เซมิกรุปกึ่งสลับที่	ab = ( ba ) kสำหรับk บาง ค่า		นากีหน้า 109
เซมิกรุปสลับที่ขวา	xab = xba		นากีหน้า 137
เซมิกรุปสลับที่ซ้าย	abx = bax		นากีหน้า 137
เซมิกรุปสลับตำแหน่งภายนอก	axb = bxa		นากีหน้า 175
กลุ่มกึ่งกลาง	xaby = xbay		นากีหน้า 119
เซมิกรุป E- k ( kคงที่)	( ab ) k = a k b k	อนันต์ จำกัด	นากีหน้า 183
เซมิกรุป เอกซ์โพเนนเชียล	( ab ) m = a m b mสำหรับทุกm	อนันต์ จำกัด	นากีหน้า 183
WE- kเซมิกรุป ( kคงที่)	มีจำนวนเต็มบวกj ที่ขึ้นอยู่กับคู่ (a,b )โดยที่ ( ab ) k + j = akbk ( ab ) j = ( ab ) j akbk		นากีหน้า 199
เซมิกรุป เอกซ์โพเนนเชียลอ่อน	เรา - เอ็มสำหรับทุกคนเอ็ม		นากีหน้า 215
เซมิกรุ๊ปการยกเลิกทางขวา	ba = ca   ⇒   b = c		C&Pหน้า 3
กลุ่มย่อยที่ยกเลิกทางซ้าย	ab = ac   ⇒   b = c		C&Pหน้า 3
เซมิกรุ๊ปแบบยกเลิก	เซมิกรุปแบบตัดทอนซ้ายและขวา นั่นคือ ab = ac   ⇒   b = c ba = ca   ⇒   b = c		C&Pหน้า 3
เซมิกรุปผกผันE ( เซมิกรุปหนาแน่น E )	มีค่าx อยู่จริงที่ทำให้ax ∈ E		C&Pหน้า 98
เซมิกรุ๊ปปกติ	มีค่าx อยู่จริง ที่ทำให้axa = a		C&Pหน้า 26
วงดนตรีปกติ	แถบที่abaca = abca	อนันต์ จำกัด	เฟนเนมอร์
เซมิกรุ๊ปภายในปกติ	มีค่าx และ y อยู่จริงโดยที่xa 2 y = a		C&Pหน้า 121
กลุ่มปกติซ้าย	มีค่าx อยู่ ค่าหนึ่งที่ทำให้xa 2 = a		C&Pหน้า 121
แถบซ้ายปกติ	แถบที่aba = ab	อนันต์ จำกัด	เฟนเนมอร์
เซมิกรุ๊ปปกติขวา	มีค่าx อยู่ ค่าหนึ่งที่ทำให้a 2 x = a .		C&Pหน้า 121
แถบขวาปกติ	แถบที่aba = ba	อนันต์ จำกัด	เฟนเนมอร์
กลุ่มกึ่งปกติโดยสมบูรณ์	H aเป็นกลุ่ม		กริลหน้า 75
เซมิกรุปคลิฟฟอร์ด (ผกผัน)	เซมิกรุปปกติที่สมาชิกเอกลักษณ์ทั้งหมดเป็นศูนย์กลาง ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด:${\displaystyle a^{\omega }b=ba^{\omega }}$	จำกัด	เพทริชหน้า 65
เซมิกรุปปกติ k ( kคงที่)	มีค่าx อยู่จริง ที่ทำให้ a k xa k = a k		ฮารี
ในที่สุด เซมิกรุปปกติ(เซมิกรุปปกติแบบ π, เซมิกรุปกึ่งปกติ)	มีค่าkและx (ขึ้นอยู่กับa ) ที่ทำให้a k xa k = a k		เอ็ดวาชัม ฮิกก์หน้า 49
เซมิกรุปแบบกึ่งคาบ, เอพิกรุป , เซมิกรุปที่ผูกพันกับกรุป, เซมิกรุปแบบ π-ปกติโดยสมบูรณ์ (หรืออย่างแข็งแกร่ง) และอื่นๆ อีกมากมาย (ดูรายชื่อได้ใน Kela )	มีอยู่k (ขึ้นอยู่กับa ) ที่ทำให้k เป็น สมาชิกของกลุ่มย่อยของS		เคล่ากริลหน้า 110 ฮิกก์หน้า 4
เซมิกรุปดั้งเดิม	ถ้า0 ≠ eและf = ef = feแล้วe = f​		C&Pหน้า 26
หน่วยเซมิกรุ๊ปปกติ	มีอยู่จริงuในGที่ทำให้aua = a		ทีวีเอ็ม
หน่วยที่แข็งแกร่ง กลุ่มกึ่งปกติ	มีอยู่จริงuในGที่ทำให้aua = a e D f ⇒ f = v −1 evสำหรับvบาง ตัว ในG		ทีวีเอ็ม
เซมิกรุ๊ปออร์โธดอกซ์	มีค่าx อยู่จริง ที่ทำให้axa = a Eเป็นซับเซมิกรุปของS		กริลหน้า 57 โฮวีหน้า 226
เซมิกรุปผกผัน	มีค่า x เพียงค่าเดียวเท่านั้นที่ ทำให้axa = aและxax = x		C&Pหน้า 28
เซมิกรุปผกผันซ้าย( R -unipotent)	R aประกอบด้วยhที่ ไม่ซ้ำกัน		กริลหน้า 382
เซมิกรุปผกผันขวา( L -unipotent)	L aประกอบด้วยh ที่ไม่ซ้ำ กัน		กริลหน้า 382
เซมิกรุปผกผันเฉพาะที่(เซมิกรุปผกผันเทียม)	มีค่าx อยู่จริง ที่ทำให้axa = a Eเป็นโครงสร้างตาข่ายเทียม		กริลหน้า 352
M -เซมิกรุปผกผัน	มีค่าx และ y ที่ทำให้baxc = bcและbyac = bc		C&Pหน้า 98
เซมิกรุ๊ปที่อุดมสมบูรณ์	คลาสL * a และR * aซึ่งa L * bถ้าac = ad ⇔ bc = bdและ a R * bถ้าca = da ⇔ cb = dbประกอบด้วยตัวดำเนินการเอกลักษณ์ (idempotent)		เฉิน
Rpp-semigroup (Right principal projective semigroup)	คลาสL * aโดยที่a L * bถ้าac = ad ⇔ bc = bdจะมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นไอเดมโพเทนต์		ชัม
Lpp-semigroup (Left principal projective semigroup)	คลาสR * aโดยที่a R * bถ้าca = da ⇔ cb = dbจะมีอย่างน้อยหนึ่งสมาชิกที่เป็น idempotent		ชัม
เซมิกรุปศูนย์ ( เซมิกรุปศูนย์ )	0 ∈ S ab = 0 ในทำนองเดียวกันab = cd	อนันต์ จำกัด	C&Pหน้า 4
เซมิกรุปศูนย์ซ้าย	ab = a	อนันต์ จำกัด	C&Pหน้า 4
แถบศูนย์ซ้าย	เซมิกรุปศูนย์ซ้ายซึ่งเป็นแบนด์ นั่นคือ: ab = a aa = a	อนันต์ จำกัด	เฟนเนมอร์
กลุ่มซ้าย	เซมิกรุปที่ซ้ายเรียบง่ายและขวาตัดทอนได้ ผลคูณโดยตรงของเซมิกรุปศูนย์ซ้ายและกลุ่มอาเบเลียน		C&Pหน้า 37, 38
เซมิกรุปศูนย์ขวา	ab = b	อนันต์ จำกัด	C&Pหน้า 4
แถบศูนย์ขวา	เซมิกรุปศูนย์ขวาซึ่งเป็นแบนด์ นั่นคือ: ab = b aa = a	อนันต์ จำกัด	เฟนเนมอร์
กลุ่มฝ่ายขวา	เซมิกรุปที่มีลักษณะเป็นแบบเรียบง่ายทางขวาและตัดทอนทางซ้าย ผลคูณโดยตรงของเซมิกรุปศูนย์ขวาและกรุปหนึ่ง		C&Pหน้า 37, 38
กลุ่มอาเบเลียนขวา	เซมิกรุปแบบง่ายทางขวาและสลับที่ได้อย่างมีเงื่อนไข ผลคูณโดยตรงของเซมิกรุปศูนย์ขวาและกลุ่มอาเบเลียน		นากีหน้า 87
เซมิกรุปยูนิโพเทนต์	Eเป็นจำนวนเดี่ยว	อนันต์ จำกัด	C&Pหน้า 21
เซมิกรุปลดรูปซ้าย	ถ้าxa = xbสำหรับทุกxแล้วa = b		C&Pหน้า 9
เซมิกรุปลดรูปขวา	ถ้าax = bxสำหรับทุกxแล้วa = b		C&Pหน้า 4
เซมิกรุปรีดิวซ์	ถ้าxa = xbสำหรับทุกxแล้วa = b ถ้าax = bxสำหรับทุกxแล้วa = b		C&Pหน้า 4
เซมิกรุ๊ปแยก	ab = a² = b²   ⇒   a = b​​		C&Pหน้า 130–131
เซมิกรุ๊ปแบบย้อนกลับได้	Sa ∩ Sb ≠ Ø aS ∩ bS ≠ Ø		C&Pหน้า 34
เซมิกรุปแบบย้อนกลับขวา	Sa ∩ Sb ≠ Ø		C&Pหน้า 34
เซมิกรุ๊ปแบบย้อนกลับซ้าย	aS ∩ bS ≠ Ø		C&Pหน้า 34
เซมิกรุปแบบไม่เป็นคาบ	มีค่า k อยู่ (ขึ้นอยู่กับa ) ซึ่งทำให้ a k = a k+1 ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: สำหรับแต่ละa , .${\displaystyle a^{\omega }a=a^{\omega }}$		KKMหน้า 29 พินหน้า 158
ω-เซมิกรุป	E เป็นลำดับที่นับได้ลดลงตามลำดับa ≤ H b		กริลหน้า 233–238
เซมิกรุปคลิฟฟอร์ดซ้าย(LC-semigroup)	aS ⊆ Sa		ชัม
เซมิกรุปคลิฟฟอร์ดขวา(RC-เซมิกรุป)	Sa ⊆ aS		ชัม
ออร์โธกรุ๊ป	H aเป็นกลุ่ม Eเป็นเซมิกรุปย่อยของS		ชัม
เซมิกรุปสลับที่สมบูรณ์	ab = ba kอยู่ในกลุ่มย่อยของSสำหรับkบางค่า ทุกเซตย่อยที่ไม่ว่างของEมีค่าต่ำสุด (infimum)		กริลหน้า 110
เซมิกรุปนิล (เซมิกรุปนิลโพเทนต์)	0 ∈ S a k = 0 สำหรับจำนวนเต็มk บางค่า ซึ่งขึ้นอยู่กับa ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: สำหรับแต่ละองค์ประกอบxและy , .${\displaystyle yx^{\omega }=x^{\omega }=x^{\omega }y}$	จำกัด	กริลหน้า 99 พินหน้า 148
เซมิกรุปพื้นฐาน	ab = ba Sมีรูปแบบเป็นG ∪ Nโดยที่ Gเป็นกลุ่ม และ 1 ∈ G Nเป็นไอเดียล, นิลเซมิกรุป และ 0 ∈ N		กริลหน้า 111
เซมิกรุปเอกภาพ E	มีค่า x เพียงค่าเดียวเท่านั้นที่ทำให้axa = aและxax = x ea = e   ⇒   a ∈ E		กริลหน้า 245
เซมิกรุปที่นำเสนออย่างจำกัด	Sมีการนำเสนอในรูปแบบ ( X ; R ) โดยที่XและRเป็นจำนวนจำกัด		กริลหน้า 134
เซมิกรุปพื้นฐาน	ความ เท่าเทียมกันบนSเป็นความสอดคล้องเพียงอย่างเดียวที่มีอยู่ในH		กริลหน้า 88
เซมิกรุปที่สร้างขึ้นโดยอิเดมโพเทนต์	Sเท่ากับเซมิกรุปที่สร้างขึ้นโดยE		กริลหน้า 328
เซมิกรุปจำกัดเฉพาะที่	เซมิกรุปย่อยทุกตัวที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดในSล้วนเป็นเซมิกรุปจำกัด	ไม่ใช่ค่าอนันต์ จำกัด	กริลหน้า 161
เซมิกรุป N	ab = ba มีค่าx และจำนวนเต็มบวกnอยู่จริง โดยที่a = xb n ax = ay   ⇒   x = y xa = ya   ⇒   x = y E = Ø		กริลหน้า 100
เซมิกรุป L -unipotent (เซมิกรุปผกผันขวา)	L aประกอบด้วยe ที่ไม่ซ้ำ กัน		กริลหน้า 362
R - เซมิกรุปยูนิโพเทนต์(เซมิกรุปผกผันซ้าย)	R aประกอบด้วยeที่ ไม่ซ้ำกัน		กริลหน้า 362
เซมิกรุปแบบง่ายด้านซ้าย	L a = S		กริลหน้า 57
เซมิกรุปแบบง่ายทางขวา	R a = S		กริลหน้า 57
เซมิกรุปย่อยระดับพื้นฐาน	ab = ba S = C ∪ Nโดยที่Cคือเซมิกรุปแบบตัดทอนได้ และNคือเซมิกรุปนิล หรือเซมิกรุปที่มีสมาชิกเดียว NคืออุดมคติของS ศูนย์ของNคือ 0 ของS สำหรับx , yในSและcในCถ้าcx = cyแสดงว่าx = y		กริลหน้า 134
เซมิกรุปสมมาตร( เซมิกรุปการแปลงสมบูรณ์ )	เซตของการแมปทั้งหมดที่Xไปยังตัวมันเอง โดยการประกอบการแมปเป็นการดำเนินการแบบไบนารี		C&Pหน้า 2
เซมิกรุปรีดิวซ์อ่อน	ถ้าxz = yzและzx = zyสำหรับทุกzในSแล้วx = y		C&Pหน้า 11
เซมิกรุปขวาที่ไม่กำกวม	ถ้าx , y ≥ R zแล้วx ≥ R yหรือy ≥ R x​		กริลหน้า 170
เซมิกรุปด้านซ้ายที่ไม่กำกวม	ถ้าx , y ≥ L zแล้วx ≥ L yหรือy ≥ L x​		กริลหน้า 170
เซมิกรุปที่ไม่กำกวม	ถ้าx , y ≥ R zแล้วx ≥ R yหรือy ≥ R x​ ถ้าx , y ≥ L zแล้วx ≥ L yหรือy ≥ L x​		กริลหน้า 170
ซ้าย 0-ไม่กำกวม	0∈ S 0 ≠ x ≤ L y , z   ⇒   y ≤ L zหรือz ≤ L y		กริลหน้า 178
ขวา 0-ไม่คลุมเครือ	0∈ S 0 ≠ x ≤ R y , z   ⇒   y ≤ L zหรือz ≤ R y		กริลหน้า 178
เซมิกรุป 0 ที่ไม่กำกวม	0∈ S 0 ≠ x ≤ L y , z   ⇒   y ≤ L zหรือz ≤ L y 0 ≠ x ≤ R y , z   ⇒   y ≤ L zหรือz ≤ R y		กริลหน้า 178
เซมิกรุปพุตชาซ้าย	a ∈ bS 1   ⇒   a n ∈ b 2 S 1สำหรับn บาง ค่า		นากีหน้า 35
เซมิกรุปปุตชาขวา	a ∈ S 1 b   ⇒   a n ∈ S 1 b 2สำหรับn บาง ค่า		นากี หน้า 35
เซมิกรุปพุตชา	a ∈ S 1 b S 1   ⇒   a n ∈ S 1 b 2 S 1สำหรับจำนวนเต็มบวกn บางตัว		นากี หน้า 35
เซมิกรุปแบบบิซิมเพิล( เซมิกรุปแบบ ดีซิมเพิล)	D a = S		C&Pหน้า 49
เซมิกรุป 0-บิซิมเพิล	0 ∈ S S - {0} เป็น คลาส DของS		C&Pหน้า 76
เซมิกรุปที่เรียบง่ายอย่างสมบูรณ์	ไม่มีA ⊆ SและA ≠ S ใด ๆที่ทำให้ SA ⊆ Aและ AS ⊆ A มีค่าh อยู่ ในEซึ่งเมื่อใดก็ตามที่hf = f และ fh = f เราจะได้ว่าh = f		C&Pหน้า 76
เซมิกรุป 0-เรียบง่ายโดยสมบูรณ์	0 ∈ S S 2 ≠ 0 ถ้าA ⊆ Sเป็นเช่นนั้นAS ⊆ A และ SA ⊆ A แล้ว A = 0 หรือA = S มีค่า h ที่ไม่เป็นศูนย์ในEอยู่จริงโดยที่เมื่อใดก็ตามที่hf = f , fh = fและf ≠ 0 เราจะได้h = f		C&Pหน้า 76
D -เซมิกรุปแบบง่าย(เซมิกรุปแบบง่ายสองตัว)	D a = S		C&Pหน้า 49
เซมิซิมเพิลเซมิกรุป	ให้J ( a ) = S1aS1 , I ( a ) = J ( a ) − Jaแต่ละเซมิกรุปแฟกเตอร์รีสJ( a ) / I ( a ) เป็น 0-simple หรือ simple		C&Pหน้า 71–75
${\displaystyle \mathbf {CS} }$: เซมิกรุปแบบง่าย	J a = S . (ไม่มีA ⊆ S , A ≠ Sใดๆ ที่ทำให้ SA ⊆ Aและ AS ⊆ A .) ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: และ.${\displaystyle a^{\omega }a=a}$${\displaystyle (aba)^{\omega }=a^{\omega }}$	จำกัด	C&Pหน้า 5 ฮิกก์หน้า 16 หน้า 151, 158
เซมิกรุปแบบง่าย 0	0 ∈ S S 2 ≠ 0 ถ้าA ⊆ Sเป็นเช่นนั้นAS ⊆ AและSA ⊆ Aแล้วA = 0		C&Pหน้า 67
เซมิกรุปแบบง่าย 0 ด้านซ้าย	0 ∈ S S 2 ≠ 0 ถ้าA ⊆ Sเป็นเช่นนั้น SA ⊆ Aแล้วA = 0		C&Pหน้า 67
เซมิกรุป 0-ง่ายทางขวา	0 ∈ S S 2 ≠ 0 ถ้าA ⊆ Sเป็นเช่นนั้นAS ⊆ A แล้วA = 0		C&Pหน้า 67
เซมิกรุ๊ปแบบวัฏจักร ( เซมิกรุ๊ปแบบโมโนจีนิก )	S = { w , w 2 , w 3 , ... } สำหรับw บางตัว ในS	ไม่ใช่ค่าอนันต์ ไม่จำกัด	C&Pหน้า 19
เซมิกรุ๊ปตามคาบ	{ a , a 2 , a 3 , ... } เป็นเซตจำกัด	ไม่ใช่ค่าอนันต์ จำกัด	C&Pหน้า 20
เซมิกรุ๊ปไบไซคลิก	1 ∈ S Sยอมรับการนำเสนอ${\displaystyle \langle x,y\mid xy=1\rangle }$		C&Pหน้า 43–46
เซมิกรุปการแปลงสมบูรณ์T X (เซมิกรุปสมมาตร)	เซต ของ การแมปทั้งหมดที่X ไปยังตัวมันเอง โดยการประกอบการแมปเป็นการดำเนินการแบบไบนารี		C&Pหน้า 2
แถบสี่เหลี่ยมผืนผ้า	แถบที่aba = a ในทำนองเดียวกันabc = ac	อนันต์ จำกัด	เฟนเนมอร์
เซมิกรุปสี่เหลี่ยมผืนผ้า	เมื่อใดก็ตามที่ ax , ay , bxและbyสามตัวเท่ากัน ตัวแปรทั้งสี่ตัวก็จะเท่ากันด้วย		C&Pหน้า 97
เซมิกรุปผกผันสมมาตรI X	เซมิกรุปของ การ แปลงย่อยแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ของX		C&Pหน้า 29
กลุ่มย่อยแบรนด์ท	0 ∈ S ( ac = bc ≠ 0 หรือca = cb ≠ 0 ) ⇒   a = b ( ab ≠ 0 และbc ≠ 0 ) ⇒   abc ≠ 0 ถ้าa ≠ 0 จะมีx , y , zที่ ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียวเท่านั้น โดยที่xa = a , ay = a , za = y ( e ≠ 0 และ f ≠ 0 ) ⇒   eSf ≠ 0		C&Pหน้า 101
เซมิกรุ๊ปอิสระF X	เซตของลำดับจำกัดขององค์ประกอบของXที่มีการดำเนินการ( x 1 , ..., x m ) ( y 1 , ..., y n ) = ( x 1 , ..., x m , y 1 , ..., y n )		กริลหน้า 18
เซมิกรุป เมทริกซ์ รีส์	G 0คือกลุ่มGที่มี 0 ต่อท้าย P  : Λ × I → G 0แผนที่ กำหนดการดำเนินการในI × G 0 × Λ โดย ( i , g , lah ) ( j , h , μ ) = ( i , g P( lad, j ) h , μ ) ( I , G 0 , Λ )/( I × { 0 } × Λ ) คือเซมิกรุปเมทริกซ์รีสM 0 ( G 0 ; I , Λ ; P )		ซีแอนด์พีหน้า 88
เซมิกรุปของการแปลงเชิงเส้น	เซมิกรุปของ การ แปลงเชิงเส้นของ ปริภูมิ เวกเตอร์Vเหนือฟิลด์Fภายใต้การประกอบฟังก์ชัน		ซีแอนด์พีหน้า 57
เซมิกรุปของความสัมพันธ์ทวิภาคB X	เซตของความสัมพันธ์ทวิภาค ทั้งหมด บนXภายใต้การประกอบ		ซีแอนด์พีหน้า 13
เซมิกรุปเชิงตัวเลข	0 ∈ S ⊆ N = { 0,1,2, ... } ภายใต้ + . N - Sมีค่าจำกัด		เดลก
เซมิกรุปที่มีการผกผัน (*-เซมิกรุป)	มีการดำเนินการเอกภาคa → a * ในSที่ทำให้a ** = aและ ( ab )* = b * a *		โฮวี่
เซมิกรุปแบร์-เลวี	เซมิกรุปของการแปลงแบบหนึ่งต่อหนึ่งfของ Xโดยที่X − f ( X ) เป็นอนันต์		C&P IIบทที่ 8
ยูเซมิกรุป	มีการดำเนินการเอกภาคa → a ' ในSที่ทำให้ ( a ')' = a		โฮวี่หน้า 102
ไอ -เซมิกรุป	มีการดำเนินการเอกภาคa → a 'ในSที่ทำให้ ( a ')' = aและaa ' a = a		โฮวี่หน้า 102
เซมิแบนด์	เซมิกรุปปกติที่สร้างขึ้นจากไอเดมโพเทนต์ของมัน		โฮวีหน้า 230
กลุ่ม	มีค่าh อยู่ ค่าหนึ่งซึ่งสำหรับทุกค่า a จะได้ว่าah = ha = a มีค่าx (ขึ้นอยู่กับa ) อยู่จริง โดยที่ax = xa = h	ไม่ใช่ค่าอนันต์ จำกัด
เซมิกรุปเชิงทอพอโลยี	เซมิกรุปซึ่งเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีด้วย โดยที่ผลคูณของเซมิกรุปนั้นต่อเนื่อง	ไม่เกี่ยวข้อง	พินหน้า 130
เซมิกรุปเชิงไวยากรณ์	โมโนอิดจำกัดที่เล็กที่สุดที่สามารถระบุเซตย่อยของเซมิกรุปอื่นได้		พินหน้า 14
${\displaystyle \mathbf {R} }$: โมโนอิด R -trivial	R -trivial นั่นคือ คลาสสมมูล R แต่ละ คลาสเป็นคลาสที่ไม่สำคัญ ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: .${\displaystyle (ab)^{\omega }a=(ab)^{\omega }}$	จำกัด	พินหน้า 158
${\displaystyle \mathbf {L} }$: โมโนอิด L -trivial	L -trivial นั่นคือชั้นสมมูลL แต่ละชั้นเป็นชั้นที่ไม่สำคัญ ในทำนองเดียวกัน สำหรับโมโนอิดจำกัด.${\displaystyle b(ab)^{\omega }=(ab)^{\omega }}$	จำกัด	พินหน้า 158
${\displaystyle \mathbf {J} }$: โมโนอิด J -trivial	โมโนอิดที่เป็นJ -trivial กล่าวคือ แต่ละ คลาสสมมูล Jเป็นคลาสที่ไม่สำคัญ ในทำนองเดียวกัน โมโนอิดที่เป็นL -trivial และR -trivial	จำกัด	พินหน้า 158
${\displaystyle \mathbf {R_{1}} }$: โมโนอิดที่เป็นตัวยืนยันตัวเองและR -trivial	R -trivial นั่นคือ คลาสสมมูล R แต่ละ คลาสเป็นคลาสที่ไม่สำคัญ ในทำนองเดียวกัน สำหรับ โมโนอิดจำกัด: aba = ab	จำกัด	พินหน้า 158
${\displaystyle \mathbf {L_{1}} }$: โมโนอิดแบบไอเดมโพเทนต์และL-ทริวิอัล	L -trivial นั่นคือชั้นสมมูลL แต่ละชั้นเป็นชั้นที่ไม่สำคัญ ในทำนองเดียวกัน สำหรับ โมโนอิดจำกัด: aba = ba	จำกัด	พินหน้า 158
${\displaystyle \mathbb {D} \mathbf {S} }$: เซมิกรุปที่มีD ปกติ เป็นเซมิกรุป	ในทำนองเดียวกัน สำหรับโมโนอิดจำกัด: .${\displaystyle (a^{\omega }a^{\omega }a^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }}$ ในทำนองเดียวกัน คลาส H ทั่วไปก็คือกลุ่ม ในทำนองเดียวกันv ≤ J aหมายความว่าv R vaและv L av ในทำนองเดียวกัน สำหรับตัวประกอบเอกลักษณ์e แต่ละตัว เซตของaที่e ≤ J aจะปิดภายใต้ผลคูณ (กล่าวคือ เซตนี้เป็นเซมิกรุปย่อย) ในทำนองเดียวกัน ไม่มีตัวประกอบเอกลักษณ์eและf ใดๆ ที่ทำให้ e ∈ fแต่ef ∈ e ไม่เป็น เช่นนั้น ในทำนองเดียวกัน โมโนอิดไม่สามารถหารได้${\displaystyle B_{2}^{1}}$${\displaystyle S\times S}$	จำกัด	หน้า 154, 155, 158
${\displaystyle \mathbb {D} \mathbf {A} }$: เซมิกรุปที่มี Dปกติเป็นเซมิกรุปแบบไม่มีคาบ	แต่ละคลาส D ปกติเป็นเซมิกรุปที่ไม่เป็นคาบ ในทำนองเดียวกัน แถบ D-class ทั่วไปทุกแถบก็มีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในทำนองเดียวกัน คลาส D ปกติเป็นเซมิกรุป และยิ่งไปกว่านั้นSยังเป็นแบบไม่เป็นคาบ ในทำนองเดียวกัน สำหรับโมโนอิดจำกัด: คลาส D ปกติเป็นเซมิกรุป และนอกจากนี้${\displaystyle aa^{\omega }=a^{\omega }}$ ในทำนองเดียวกันe ≤ J aหมายความว่าeae = e ในทำนองเดียวกันe ≤ J fหมายความว่าefe = e	จำกัด	พินหน้า 156, 158
${\displaystyle \ell \mathbf {1} }$/ : เซมิกรุปที่ไม่สำคัญแบบซ้าย ${\displaystyle \mathbf {K} }$	e : eS = e , ในทำนองเดียวกันI เป็นเซมิกรุ ปศูนย์ซ้ายที่เท่ากับE ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: Iเป็นเซมิกรุปศูนย์ซ้ายเท่ากับ,${\displaystyle S^{|S|}}$ ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: ,${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}y=a_{1}\dots a_{n}}$ ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: .${\displaystyle a^{\omega }b=a^{\omega }}$	จำกัด	หน้า 149, 158
${\displaystyle \mathbf {r1} }$/ : เซมิกรุปที่ไม่สำคัญทางขวา ${\displaystyle \mathbf {D} }$	e : Se = e , ในทำนองเดียวกันI เป็นเซมิกรุ ปศูนย์ขวาที่เท่ากับE ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: Iเป็นเซมิกรุปศูนย์ขวาเท่ากับ,${\displaystyle S^{|S|}}$ ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: ,${\displaystyle ba_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$ ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: .${\displaystyle ba^{\omega }=a^{\omega }}$	จำกัด	หน้า 149, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {1} }$เซมิกรุปที่ไม่สำคัญในระดับท้องถิ่น	eSe = e , ในทำนองเดียวกันIเท่ากับE ในทำนองเดียวกันeaf = ef , ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: ,${\displaystyle ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$ ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: ,${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$ ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: .${\displaystyle a^{\omega }ba^{\omega }=a^{\omega }}$	จำกัด	หน้า 150, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {G} }$กลุ่มท้องถิ่น	eSeเป็นกลุ่มหนึ่ง ในทำนองเดียวกันE ⊆ I , ในทำนองเดียวกัน สำหรับเซมิกรุปจำกัด: .${\displaystyle (a^{\omega }ba^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }}$	จำกัด	หน้า 151, 158

รายชื่อคลาสพิเศษของเซมิกรุปเรียงลำดับ

ศัพท์เฉพาะ	คุณสมบัติที่กำหนด	ความหลากหลาย	เอกสารอ้างอิง
เซมิกรุ๊ปเรียงลำดับ	เซมิกรุปที่มีความสัมพันธ์ลำดับบางส่วน ≤ โดยที่a ≤ bหมายความว่า c•a ≤ c•b และ a•c ≤ b•c	จำกัด	พินหน้า 14
${\displaystyle \mathbf {N} ^{+}}$	เซมิกรุปจำกัดนิลโพเทนต์ พร้อมด้วย${\displaystyle a\leq b^{\omega }}$	จำกัด	หน้า 157, 158
${\displaystyle \mathbf {N} ^{-}}$	เซมิกรุปจำกัดนิลโพเทนต์ พร้อมด้วย${\displaystyle b^{\omega }\leq a}$	จำกัด	หน้า 157, 158
${\displaystyle \mathbf {J} _{1}^{+}}$	เซมิแลตติสที่มี${\displaystyle 1\leq a}$	จำกัด	หน้า 157, 158
${\displaystyle \mathbf {J} _{1}^{-}}$	เซมิแลตติสที่มี${\displaystyle a\leq 1}$	จำกัด	หน้า 157, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {J} _{1}^{+}}$เซมิกรุป J-trivial ที่เป็นบวกในระดับท้องถิ่น	เซมิกรุปจำกัดที่สอดคล้องกับ${\displaystyle a^{\omega }\leq a^{\omega }ba^{\omega }}$	จำกัด	หน้า 157, 158