ในทฤษฎีกลุ่มเซมิกรุปผกผัน (บางครั้งเรียกว่าเซมิกรุปผกผัน^{[ 1 ]} ) Sคือเซมิ กรุป ที่สมาชิกx ทุกตัว ในSมีตัวผกผันy ที่ไม่ซ้ำกัน ในSในแง่ที่ว่าx = xyxและy = yxyกล่าวคือเซมิกรุปปกติที่สมาชิกทุกตัวมีตัวผกผันที่ไม่ซ้ำกัน เซมิกรุปผกผันปรากฏในบริบทต่างๆ มากมาย ตัวอย่างเช่น สามารถนำมาใช้ในการศึกษาสมมาตรบางส่วนได้^{[ 2 ]}

(ในบทความนี้จะใช้ธรรมเนียมการเขียนฟังก์ชันไว้ทางด้านขวาของตัวแปร เช่นx  fแทนที่จะเป็นf ( x ) และประกอบฟังก์ชันจากซ้ายไปขวา ซึ่งเป็นธรรมเนียมที่มักพบเห็นในทฤษฎีเซมิกรุป)

เซมิกรุปผกผันได้รับการแนะนำโดยอิสระโดยViktor Vladimirovich Wagner ^{[ 3 ]}ในสหภาพโซเวียตในปี 1952 ^{[ 4 ]}และโดยGordon Prestonในสหราชอาณาจักรในปี 1954 ^{[ 5 ]}ผู้เขียนทั้งสองได้มาถึงเซมิกรุปผกผันผ่านการศึกษาการจับคู่แบบบางส่วนของเซต : การแปลงแบบบางส่วนαของเซตXคือฟังก์ชันจากAไปยังBโดยที่AและBเป็นเซตย่อยของXให้αและβเป็นการแปลงแบบบางส่วนของเซตX ; αและβสามารถประกอบกันได้ (จากซ้ายไปขวา) บนโดเมน ที่ใหญ่ที่สุด ที่ "สมเหตุสมผล" ในการประกอบกัน:

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,}$

โดยที่α ⁻¹หมายถึงภาพก่อนหน้าภายใต้  αการแปลงบางส่วนได้รับการศึกษาแล้วในบริบทของกลุ่มเทียม^{[ 6 ]}อย่างไรก็ตาม Wagner เป็นคนแรกที่สังเกตว่าการประกอบการแปลงบางส่วนเป็นกรณีพิเศษของการประกอบความสัมพันธ์ทวิภาค [ ^{7 ] เขา}ยังตระหนักด้วยว่าโดเมนของการประกอบการแปลงบางส่วนสองรายการอาจเป็นเซตว่างดังนั้นเขาจึงแนะนำการแปลงว่างเพื่อพิจารณาเรื่องนี้ ด้วยการเพิ่มการแปลงว่างนี้ การประกอบการแปลงบางส่วนของเซตจะกลายเป็นการดำเนินการทวิภาคแบบเชื่อม โยงที่กำหนดไว้ทุกที่ ภายใต้การประกอบนี้ การรวบรวมการแปลงหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วนทั้งหมดของเซตXก่อให้เกิดเซมิกรุปผกผัน เรียกว่าเซมิกรุปผกผันสมมาตร (หรือโมโนอิด) บนXโดยที่ผกผันคือฟังก์ชันผกผันที่กำหนดจากภาพไปยังโดเมน (เทียบเท่ากับความสัมพันธ์ผกผัน ) ^{[ 8 ]}นี่คือเซมิกรุปผกผัน "ต้นแบบ" ในทำนองเดียวกับที่กลุ่มสมมาตร เป็น กลุ่มต้นแบบตัวอย่างเช่น เช่นเดียวกับที่ทุกกลุ่มสามารถฝังตัวอยู่ในกลุ่มสมมาตรได้เซมิกรุปผกผันทุกตัวก็สามารถฝังตัวอยู่ในเซมิกรุปผกผันสมมาตรได้เช่นกัน (ดู§ โฮโมมอร์ฟิซึมและการแสดงแทนของเซมิกรุปผกผันด้านล่าง) ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$

ตัวผกผันของสมาชิกxของเซมิกรุปผกผันSมักจะเขียนเป็นx ⁻¹ตัวผกผันในเซมิกรุปผกผันมีคุณสมบัติหลายอย่างเหมือนกับตัวผกผันในกลุ่มตัวอย่างเช่น( ab ) ⁻¹ = b ⁻¹ a ⁻¹ในโมโนอิดผกผันxx −1 และ^x −1 x ^ไม่จำเป็นต้องเท่ากับเอกลักษณ์ แต่ทั้งคู่เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ [ ^{9 ] โมโน}อิดผกผันSซึ่งxx ⁻¹ = 1 = x ⁻¹ xสำหรับทุกxในS ( โมโนอิด ผกผันเอกลักษณ์ ) แน่นอนว่าเป็น กลุ่ม

มีลักษณะเฉพาะที่เทียบเท่ากันหลายประการของเซมิกรุปผกผันS : ^{[ 10 ]}

• องค์ประกอบทุกตัวของSมีตัวผกผันที่ไม่ซ้ำกันในความหมายข้างต้น
• สมาชิกทุกตัวของSมีตัวผกผันอย่างน้อยหนึ่งตัว ( Sเป็นเซมิกรุปปกติ ) และตัวผกผันสามารถสลับที่ได้ (กล่าวคือตัวผกผันของSก่อให้เกิดเซมิแลตทิซ )
• ทุกคลาส และทุกคลาส จะมีตัวผกผัน เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น โดยที่และเป็นความสัมพันธ์ของกรีนสอง แบบ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

ตัวประกอบเอกลักษณ์ในคลาส -ของsคือs ⁻¹ sในขณะที่ ตัวประกอบเอกลักษณ์ในคลาส -ของsคือss ⁻¹ดังนั้นจึงมีการกำหนดลักษณะความสัมพันธ์ของ Green อย่างง่าย ในเซมิกรุปผกผัน: ^{[ 11 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$

หากไม่ได้ระบุไว้เป็นอย่างอื่นE(S) จะ หมาย ถึงเซมิแลตทิซของตัวผกผันของเซมิกรุปผกผันS

• การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วนบนเซตXก่อให้เกิดเซมิกรุปผกผันภายใต้การประกอบ
• ทุกกลุ่มเป็นเซมิกรุปผกผัน
• เซมิกรุปไบไซคลิก เป็นเซมิกรุ ปผกผัน โดยมี( a , b ) ⁻¹ = ( b , a )
• เซมิแลตติซทุก อันเป็น แบบผกผัน
• เซมิกรุปแบรนด์ทเป็นเซมิกรุปผกผัน
• เซมิกรุปมุนน์เป็นเซมิกรุปผกผัน

ตัวอย่างตารางการคูณ ตารางการคูณมีคุณสมบัติการสมาคม และทุกตัวประกอบมีตัวผกผันของตัวเอง เช่นaba = a , bab = bแต่ไม่มีเอกลักษณ์ และไม่มีคุณสมบัติการสลับที่

เซมิกรุปผกผันSมี ความสัมพันธ์ ลำดับบางส่วนตามธรรมชาติ ≤ (บางครั้งเรียกว่า ω) ซึ่งกำหนดโดยสิ่งต่อไปนี้: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

สำหรับe ที่เป็น idempotent บางตัว ในSหรือเทียบเท่ากัน

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

สำหรับ f ที่เป็น idempotent บางตัว (โดยทั่วไปแตกต่างกัน) ในSในความเป็นจริง^eอาจถูกพิจารณาว่าเป็น aa ⁻¹และfเป็นa ⁻¹ a ^{[ 13} ]

ลำดับบางส่วนตามธรรมชาติเข้ากันได้กับการคูณและการผกผัน นั่นคือ^{[ 14 ]}

${\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

และ

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

ในกลุ่มลำดับบางส่วนนี้จะลดลงเหลือเพียงความเท่าเทียมกัน เนื่องจากเอกลักษณ์เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ เพียงตัวเดียว ในเซมิกรุปผกผันสมมาตรลำดับบางส่วนจะลดลงเหลือเพียงการจำกัดการแมป กล่าวคือα ≤ βก็ต่อเมื่อโดเมนของαอยู่ในโดเมนของβและxα = xβสำหรับทุกxในโดเมนของα ^{[ 15 ]}

ลำดับบางส่วนตามธรรมชาติบนเซมิกรุปผกผันมีปฏิสัมพันธ์กับ ความ ^{สัมพันธ์}ของกรีนดังนี้: ถ้าs ≤ tและs tแล้วs = tในทำนองเดียวกัน ถ้าs t [ ^{16 ]}${\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,}$${\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,}$

บนE ( S ) ลำดับบางส่วน ตามธรรมชาติ จะเป็นดังนี้:

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

ดังนั้น เนื่องจากตัวประกอบเอกลักษณ์ก่อให้เกิดเซมิแลตทิซภายใต้การดำเนินการคูณ ผลคูณบนE ( S ) จึงให้ขอบเขตบนน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับ ≤

ถ้าE ( S ) เป็นเซตจำกัดและก่อตัวเป็นโซ่ (กล่าวคือE ( S ) เรียงลำดับ โดยสมบูรณ์ ด้วย ≤) แล้วSจะเป็นการรวมกันของกลุ่ม[ ^{17 ] ถ้า} E ( S )เป็นโซ่ อนันต์ ก็สามารถได้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับSและE ( S ) ^{[ 18 ]}

โฮโมมอร์ฟิซึม (หรือมอร์ฟิซึม ) ของเซมิกรุปผกผัน นั้นถูกนิยามในลักษณะเดียวกับเซมิกรุปอื่นๆ กล่าวคือ สำหรับเซมิกรุปผกผันSและTฟังก์ชันθจากSไปยังT จะเป็นมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อ( sθ )( tθ ) = ( st ) θสำหรับทุกs , tในS นิยามของมอร์ฟิซึมของเซมิกรุป ผกผันอาจเพิ่มเติมเงื่อนไข( sθ ) ^⁻¹ = s⁻¹θ ^ได้แต่ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนั้น เนื่องจากคุณสมบัตินี้ได้มาจากนิยามข้างต้นแล้ว โดยผ่านทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทภาพโฮโมมอร์ฟิกของเซมิกรุปผกผันคือเซมิกรุปผกผัน การผกผันขององค์ประกอบจะถูกแมปไปยังการผกผันของภาพขององค์ประกอบนั้น เสมอ ^{[ 19 ]}

หนึ่งในผลลัพธ์แรกๆ ที่พิสูจน์เกี่ยวกับเซมิกรุปผกผันคือทฤษฎีบทแวกเนอร์-เพรสตันซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทของเคย์ลีย์สำหรับกลุ่ม :

ทฤษฎีบทแวกเนอร์-เพรสตันถ้าSเป็นเซมิกรุปผกผันฟังก์ชันφ จากSไปยังที่กำหนดโดย ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}$

dom ( aφ ) = Sa ⁻¹และx ( aφ ) = xa

เป็นการแสดง^ที่ซื่อสัตย์ ของS [ ^{20 ]}

ดังนั้น เซมิกรุปผกผันใดๆ ก็สามารถฝังตัวอยู่ในเซมิกรุปผกผันสมมาตรได้ และภาพของเซมิกรุปนั้นจะต้องปิดภายใต้การดำเนินการผกผันบนการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วน ในทางกลับกัน เซมิกรุปย่อยใดๆ ของเซมิกรุปผกผันสมมาตรที่ปิดภายใต้การดำเนินการผกผันก็จะเป็นเซมิกรุปผกผันด้วยเช่นกัน ดังนั้น เซมิกรุปSจะสม isomorphic กับเซมิกรุปย่อยของเซมิกรุปผกผันสมมาตรที่ปิดภายใต้การดำเนินการผกผันก็ต่อเมื่อSเป็นเซมิกรุปผกผัน

ความสอดคล้อง (Congruence)ถูกนิยามบนเซมิกรุปผกผันในลักษณะเดียวกับเซมิกรุปอื่นๆ ทุกประการ กล่าวคือ ความสอดคล้องρคือความสัมพันธ์สมมูลที่เข้ากันได้กับการคูณเซมิกรุป กล่าวคือ

${\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.}$^{[ 21 ]}

ความสัมพันธ์ที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือความสัมพันธ์ที่นิยามบนเซมิกรุปผกผันSโดย ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow }$มีอยู่ด้วย^{[ 22 ]}${\displaystyle c\in S}$${\displaystyle c\leq a,b.}$

สามารถแสดงได้ว่าσเป็นคอนกรุเอนซ์ และในความเป็นจริงแล้ว มันคือคอนกรุเอนซ์ของกลุ่มซึ่งหมายความว่าเซมิกรุปปัจจัยS / σเป็นกลุ่ม ในเซตของคอนกรุเอนซ์ของกลุ่มทั้งหมดบนเซมิกรุปSองค์ประกอบขั้นต่ำ (สำหรับลำดับบางส่วนที่กำหนดโดยการรวมเซต) ไม่จำเป็นต้องเป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุด ในกรณีเฉพาะที่Sเป็นเซมิกรุปผกผันσเป็น คอนกรุเอนซ์ ที่เล็กที่สุดบนSเช่นนั้นS / σเป็นกลุ่ม นั่นคือ ถ้าτเป็นคอนกรุเอนซ์อื่นใดบนSโดยที่S / τ เป็น กลุ่ม แล้วσจะบรรจุอยู่ในτคอนกรุเอนซ์ σเรียกว่าคอนกรุเอนซ์ของกลุ่มขั้นต่ำ^{บน S [ 23} ] คอน^กรุเอน^ซ์ของกลุ่มขั้นต่ำสามารถใช้เพื่อให้ลักษณะเฉพาะของ เซมิกรุปผกผัน E -unitary (ดูด้านล่าง)

ความสอดคล้องρบนเซมิกรุปผกผันSเรียกว่าบริสุทธิ์แบบเอกลักษณ์ถ้า

${\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).}$^{[ 24 ]}

กลุ่มหนึ่งของเซมิกรุปผกผันที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางตลอดหลายปีที่ผ่านมาคือกลุ่มของเซมิกรุปผกผันแบบE- ยูนิแทรี: เซมิกรุปผกผัน S (ที่มีเซมิแลตทิ ซ Eของตัวผกผัน ) เป็นแบบE-ยูนิแทรีถ้าสำหรับทุกeในEและทุกsในS

${\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.}$^{[ 25 ]}

ลักษณะเฉพาะเพิ่มเติมของเซมิกรุปผกผันเอกภาพE Sคือดังต่อไปนี้: ถ้าeอยู่ในEและ e ≤ ​​sสำหรับs ^บาง ตัว ในSแล้วsอยู่ในE ^{[ 26} ]

ทฤษฎีบทให้Sเป็นเซมิกรุปผกผันที่มีเซมิแลตทิซ Eของตัวผกผัน และความสอดคล้องของกลุ่มขั้นต่ำσแล้วสิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ^{[ 27 ]}

• Sเป็นE -unitary;
• σเป็นไอเดมโพเทนต์บริสุทธิ์
• ${\displaystyle \sim }$= σ ,

ความสัมพันธ์ความเข้ากันได้บนS กำหนดโดย ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$เป็นไอเดมโพเทนต์

ทฤษฎีบทการครอบคลุมของ McAlisterเซมิกรุปผกผันทุกตัว S มีการครอบคลุมแบบ E-unitary นั่นคือมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแยกตัวประกอบที่ส่งผ่านจากเซมิกรุป E-unitary T ไปยัง S ^{[ 28 ]}

หัวใจสำคัญของการศึกษา เซมิกรุปผกผัน E -unitary คือการสร้างต่อไปนี้^{[ 29 ]}ให้เป็นเซตที่มีลำดับบางส่วนโดยมีลำดับ ≤ และให้เป็นเซตย่อยของที่มีคุณสมบัติว่า ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$เป็นเซมิแลตทิซล่างกล่าวคือ ทุกคู่ขององค์ประกอบA , Bในจะมีขอบเขตล่างที่ใหญ่ที่สุดA Bใน(โดยสัมพันธ์กับ ≤)${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$เป็นไอเดียลลำดับของนั่นคือ สำหรับAและBในถ้าAอยู่ในและB ≤ Aแล้วBก็อยู่ในด้วย${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

ให้Gเป็นกลุ่มที่กระทำต่อ(ทางซ้าย) โดยที่ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• สำหรับทุกgในGและทุกA , Bใน, gA = gBก็ต่อเมื่อA = Bเท่านั้น${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• สำหรับแต่ละgในGและแต่ละBในจะมีAในที่gA = B${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• สำหรับทุกA , Bใน, A ≤ Bก็ต่อเมื่อgA ≤ gB ;${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• สำหรับg , h ทั้งหมด ในG และ Aทั้งหมดใน, g ( hA ) = ( gh ) A .${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

นอกจากนี้ยังสันนิษฐานว่า สามสิ่งนี้ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

• สำหรับทุกXในจะมีgในGและAในที่ทำให้gA = X${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• สำหรับทุกgในG , gและมีส่วนร่วมกันที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

สามสิ่งดังกล่าวเรียกว่าทริปเปิลแมคอัลลิสเตอร์ (McAlister triple ) ทริปเปิลแมคอัลลิสเตอร์ใช้ในการกำหนดสิ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}}$

พร้อมกับการคูณ

${\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)}$.

จากนั้นจะเป็นเซมิกรุปผกผันภายใต้การคูณนี้ โดยที่( A , g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ A , g ⁻¹ )หนึ่งในผลลัพธ์หลักในการศึกษา เซมิกรุปผกผันแบบ E- unitary คือทฤษฎีบท P ของ McAlister : ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

ทฤษฎีบท P ของ McAlisterให้เป็นสามเท่าของ McAlister แล้วเป็น เซมิกรุปผกผัน E -unitary ในทางกลับกัน เซมิ กรุปผกผันE -unitary ทุกตัว จะ สมสัณฐานกับเซมิกรุปประเภทนี้^{[ 30 ]}${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

เซมิกรุปผกผันเรียกว่าเป็น เซมิกรุปผกผัน Fถ้าทุกองค์ประกอบมี องค์ประกอบสูงสุดที่ ไม่ซ้ำกันเหนือกว่ามันในลำดับบางส่วนตามธรรมชาติ กล่าวคือ ทุก คลาส σมีองค์ประกอบสูงสุดเซมิกรุปผกผันF ทุกตัวเป็น โมโนอิดเอกภาพE ทฤษฎีบทการครอบคลุมของ McAlister ได้รับการปรับปรุงโดย MV Lawsonเป็น:

ทฤษฎีบท.เซมิกรุปผกผันทุกตัวมี การปกคลุมแบบ F-ผกผัน^{[ 31 ]}

ทฤษฎีบท Pของ McAlister ถูกนำมาใช้เพื่อจำแนกลักษณะ ของเซมิกรุปผกผัน Fด้วยเช่นกัน สามสิ่งของ McAlister จะเป็น เซมิกรุปผกผัน Fก็ต่อเมื่อเป็นไอเดียลหลักของและเป็นเซมิแลตทิซ ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

การสร้างที่คล้ายกับกลุ่มอิสระนั้นเป็นไปได้สำหรับเซมิกรุปผกผันการนำเสนอเซมิกรุปผกผันอิสระบนเซตXอาจได้มาจากการพิจารณาเซมิกรุปอิสระที่มีการผกผัน โดยที่การผกผันคือการหาตัวผกผัน แล้วจึงหาผลหารโดยใช้ความสอดคล้องของวากเนอร์

${\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.}$

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซมิกรุปผกผันอิสระนั้นซับซ้อนกว่าโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับกลุ่มอิสระมาก ดับเบิลยู.ดี. มันน์แสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบของเซมิกรุปผกผันอิสระสามารถมองได้ว่าเป็นต้นไม้ตามธรรมชาติ ซึ่งรู้จักกันในชื่อต้นไม้ของมันน์ การคูณในเซมิกรุปผกผันอิสระนั้นสอดคล้องกับการคูณบนต้นไม้ของมันน์ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วประกอบด้วยส่วนที่ทับซ้อนกันของส่วนร่วมของต้นไม้ (ดู Lawson 1998 สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม)

เซมิกรุปผกผันอิสระใดๆ ก็คือF-ผกผัน^{[ 31 ]}

การประกอบกันของการแปลงบางส่วนของเซตข้างต้นทำให้เกิดเซมิกรุปผกผันแบบสมมาตร มีอีกวิธีหนึ่งในการประกอบกันของการแปลงบางส่วน ซึ่งมีข้อจำกัดมากกว่าวิธีที่ใช้ข้างต้น กล่าวคือ การแปลงบางส่วนαและβ สองตัว จะประกอบกันได้ก็ต่อเมื่อ ภาพของ α เท่ากับโดเมนของβ เท่านั้น มิฉะนั้น การประกอบกัน αβ จะไม่นิยาม ภายใต้การประกอบกันแบบทางเลือกนี้ ชุดของการแปลงบางส่วนแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดของเซตจะไม่ก่อให้เกิดเซมิกรุปผกผัน แต่จะก่อให้เกิดกรุปอยด์แบบอุปนัยในความหมายของทฤษฎีหมวดหมู่ ความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างเซมิกรุปผกผันและกรุปอยด์แบบอุปนัยนี้ปรากฏอยู่ในทฤษฎีบท Ehresmann–Schein–Nambooripadซึ่งระบุว่า กรุปอยด์แบบอุปนัยสามารถสร้างขึ้นจากเซมิกรุปผกผันได้เสมอ และในทางกลับกัน^{[ 32 ]}กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น เซมิกรุปผกผันก็คือกรุปอยด์ในหมวดหมู่โพเซตซึ่งเป็นกรุปอยด์เอทาลโดยสัมพันธ์กับโทโพโลยีอเล็กซานดรอฟ (คู่) และโพเซตของวัตถุเป็นเซมิแลตทิซมีต

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เซมิกรุปผกผันSสามารถกำหนดได้โดยเงื่อนไข (1) Sเป็นเซมิกรุปปกติและ (2) ตัวประกอบเอกลักษณ์ในSสลับที่ได้ ซึ่งนำไปสู่การวางนัยทั่วไปของเซมิกรุปผกผันสองประเภทที่แตกต่างกัน ได้แก่ เซมิกรุปที่ (1) เป็นจริง แต่ (2) ไม่เป็นจริง และในทางกลับกัน

ตัวอย่างของการวางนัยทั่วไปปกติของเซมิกรุปผกผัน ได้แก่: ^{[ 33 ]}

• เซมิกรุปปกติ :เซมิกรุปSเป็น เซมิกรุ ปปกติก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวมีตัวผกผันอย่างน้อยหนึ่งตัว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สำหรับแต่ละaใน Sจะมี xใน Sที่ทำให้ axa = a
• เซมิกรุปผกผันเฉพาะที่ : เซมิกรุปปกติSเป็น เซมิกรุ ปผกผันเฉพาะที่ถ้าeSeเป็นเซมิกรุปผกผัน สำหรับแต่ละไอเดมโพเทน ต์e
• เซมิกรุปแบบดั้งเดิม : เซมิกรุปปกติSเรียกว่า เซมิกรุ ปแบบดั้งเดิมถ้าเซตย่อยของตัวประกอบเอกลักษณ์ของเซมิ กรุปนั้น ประกอบกันเป็นเซมิกรุปย่อย
• เซมิกรุปผกผันทั่วไป : เซมิกรุปปกติSเรียกว่าเซมิกรุปผกผันทั่วไปถ้าตัวประกอบเอกลักษณ์ ของมัน ก่อให้เกิดแถบปกติ กล่าวคือxyzx = xzyx สำหรับตัวประกอบเอกลักษณ์x , y , z ทั้งหมด

คลาสของเซมิกรุปผกผันทั่วไปคือการตัดกันของคลาสของเซมิกรุปผกผันเฉพาะที่และคลาสของเซมิกรุปออร์โธดอกซ์^{[ 34 ]}

ในบรรดาการวางนัยทั่วไปที่ไม่ปกติของเซมิกรุปผกผัน ได้แก่: ^{[ 35 ]}

• เซมิกรุปที่เพียงพอ (ซ้าย ขวา สองด้าน)
• เซมิกรุปที่กว้างขวาง (ซ้าย ขวา สองด้าน)
• เซมิกรุปที่เพียงพอ (ซ้าย ขวา สองด้าน)
• เซมิกรุปที่ขยายตัวอย่างอ่อน (ซ้าย ขวา สองด้าน)

แนวคิดเรื่องตัวผกผันนี้ยังสามารถขยายไปสู่หมวดหมู่ ได้อย่างง่ายดาย หมวดหมู่ผกผันเป็นเพียงหมวดหมู่ที่มอร์ฟิซึม ทุกตัว f  : X → Yมีตัวผกผันทั่วไปที่ไม่ซ้ำกันg  : Y → Xโดยที่fgf = fและgfg = gหมวดหมู่ผกผันเป็นแบบคู่ ตัวเอง หมวดหมู่ของเซตและไบเจกชันบางส่วนเป็นตัวอย่างสำคัญ^{[ 36 ]}

หมวดหมู่ผกผันพบการประยุกต์ใช้งานต่างๆ ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี^{[ 37 ]}

• สำหรับข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับเซมิกรุปผกผัน โปรดดูที่Clifford & Preston 1967บทที่ 7 หรือHowie 1995บทที่ 5
• สามารถหาข้อมูลเบื้องต้นที่ครอบคลุมมากขึ้นได้ในPetrich 1984และLawson 1998
• Linckelmann, M. (2012). "เกี่ยวกับหมวดหมู่ผกผันและการถ่ายโอนในโคฮอโมโลยี" (PDF) . Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society . 56 : 187. doi : 10.1017/S0013091512000211 .เอกสารฉบับร่างที่เข้าถึงได้ฟรี