ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์เสริม คือเมทริกซ์ที่ได้จากการเพิ่มเวกเตอร์คอลัมน์มิติ n ทางด้านขวา เป็นคอลัมน์เพิ่มเติมให้กับเมทริกซ์มิติn โดยปกติแล้วจะทำเช่นนี้เพื่อจุดประสงค์ในการดำเนินการแถวพื้นฐานแบบ เดียวกัน กับเมทริกซ์เสริมเช่นเดียวกับที่ทำกับเมทริกซ์เดิม เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีกำจัดแบบเกาส์เซียน ${\displaystyle (A\vert B)}$${\displaystyle k\times (n+1)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A\vert B)}$${\displaystyle A}$

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเมทริกซ์และเวกเตอร์คอลัมน์โดยที่ เมทริกซ์เสริมคือ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle (A\vert B)}$$${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].}$$

สำหรับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่กำหนด จำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นจะขึ้นอยู่กับอันดับของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ที่แสดงถึงระบบและอันดับของเมทริกซ์เสริมที่สอดคล้องกันเท่านั้นโดยที่ส่วนประกอบของ เมทริกซ์เสริม ประกอบด้วยด้านขวาของสมการเชิงเส้นที่ต่อเนื่องกัน ตามทฤษฎีบทของ Rouché–Capelliระบบสมการเชิงเส้นใดๆ ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A\vert B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle AX=B}$

(โดยที่เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ส่วนประกอบที่มีค่าเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่าของระบบ) จะไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีคำตอบ) หากอันดับของเมทริกซ์เสริมมีค่ามากกว่าอันดับของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ในทางกลับกัน หากอันดับของเมทริกซ์ทั้งสองเท่ากัน ระบบจะต้องมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ คำตอบจะมีเพียงหนึ่งเดียวก็ต่อเมื่ออันดับเท่ากับจำนวนตัวแปรมิฉะนั้น คำตอบทั่วไปจะมีพารามิเตอร์อิสระ โดยที่คือผลต่างระหว่างจำนวนตัวแปรและอันดับ ในกรณีเช่นนี้ จะมีปริภูมิเชิงเส้นของคำตอบที่มีมิติเท่ากับผลต่างนี้ ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (A\vert B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$

เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จัตุรัสไม่เอกฐานมิติ n สามารถหาได้โดยการต่อเมทริกซ์เอกลักษณ์ ไว้ ทางด้านขวาของ เมทริกซ์ n เพื่อสร้างเมทริกซ์เสริมมิติ n โดยใช้การดำเนินการแถวพื้นฐานเพื่อแปลง บล็อกด้านซ้าย ให้เป็น เมทริกซ์เอกลักษณ์ บล็อก ด้านขวาจะเป็นเมทริกซ์ผกผัน${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times 2n}$${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A^{-1}}$

ให้เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด 2×2 ${\displaystyle A}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.}$$

ในการหาเมทริกซ์ผกผันของเราสร้างเมทริกซ์เสริมโดยที่ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์จากนั้นเราลดส่วนของ ที่สอดคล้องกับ ให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยใช้การดำเนินการแถวพื้นฐานบนซึ่ง ส่วนด้านขวาของ คือเมทริกซ์ผกผัน ${\displaystyle A}$${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$${\displaystyle \mathbf {I} _{2}}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})}$$${\displaystyle (A\vert \mathbf {I} _{2})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]}$$$${\displaystyle (I|A^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right],}$$${\displaystyle A^{-1}}$

พิจารณาระบบสมการต่อไปนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{aligned}}}$$

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์คือ และเมทริกซ์เสริมคือ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right].}$$

เนื่องจากทั้งสองค่านี้มีอันดับเท่ากัน คือ 2 ดังนั้นจึงมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ และเนื่องจากอันดับของทั้งสองค่าน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ซึ่งคือ 3 ดังนั้นจึงมีคำตอบเป็นอนันต์

ในทางตรงกันข้าม ลองพิจารณาระบบนี้ดู $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}}$$

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์คือ และเมทริกซ์เสริมคือ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].}$$

ในตัวอย่างนี้ เมทริกซ์สัมประสิทธิ์มีอันดับ 2 ในขณะที่เมทริกซ์เสริมมีอันดับ 3 ดังนั้นระบบสมการนี้จึงไม่มีคำตอบ อันที่จริง การเพิ่มจำนวนแถวที่เป็นอิสระเชิงเส้นทำให้ระบบสมการไม่สอดคล้องกัน

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์เสริมใช้เพื่อแสดงสัมประสิทธิ์และเวกเตอร์คำตอบของแต่ละชุดสมการ สำหรับชุดสมการ สัมประสิทธิ์และพจน์คงที่ให้เมทริกซ์ และด้วยเหตุนี้จึงให้เมทริกซ์เสริม $${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}}$$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right].}$$

โปรดสังเกตว่าอันดับของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ ซึ่งคือ 3 เท่ากับอันดับของเมทริกซ์เสริม ดังนั้นจึงมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ และเนื่องจากอันดับนี้เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่า จึงมีคำตอบเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

เพื่อให้ได้คำตอบ สามารถดำเนินการแถวบนเมทริกซ์เสริมเพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ทางด้านซ้าย ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น ดังนั้นคำตอบของระบบคือ( x , y , z ) = (4, 1, −2 ) $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|r}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],}$$