ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์สัมประสิทธิ์คือเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในชุดสมการเชิงเส้นเมทริกซ์นี้ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

โดยทั่วไป ระบบสมการเชิงเส้นที่มีm สมการและnตัวแปรที่ไม่ทราบค่า สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\;\;\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}}}$

โดยที่ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าและตัวเลขคือสัมประสิทธิ์ของระบบ เมทริกซ์สัมประสิทธิ์คือ เมทริกซ์ขนาด m × nโดยมีสัมประสิทธิ์a _ij เป็นค่า ลำดับที่( i, j )ดังนี้ : ^{[ 1 ]}${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

ดังนั้น ชุดสมการข้างต้นจึงสามารถแสดงได้อย่างกระชับยิ่งขึ้นดังนี้

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

โดยที่Aคือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ และbคือเวกเตอร์คอลัมน์ของพจน์คงที่

ตามทฤษฎีบท Rouché–Capelliระบบสมการจะไม่มีคำตอบหากอันดับของเมทริกซ์เสริม (เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ที่เพิ่มคอลัมน์เพิ่มเติมซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์b ) มากกว่าอันดับของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ ในทางกลับกัน หากอันดับของเมทริกซ์ทั้งสองเท่ากัน ระบบจะต้องมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ คำตอบจะมีเพียงหนึ่งเดียวก็ต่อเมื่ออันดับrเท่ากับจำนวนตัวแปรn เท่านั้น มิฉะนั้น คำตอบทั่วไปจะมีพารามิเตอร์อิสระ n – r ตัว ดังนั้นในกรณีเช่นนี้จะมีคำตอบอนันต์ ซึ่งสามารถหาได้โดยการกำหนดค่าใดๆ ให้กับตัวแปร n – r ตัว แล้วแก้ระบบสมการที่ได้เพื่อหาคำตอบเดียว การเลือกตัวแปรที่จะกำหนดค่าที่แตกต่างกัน และค่าคงที่ที่แตกต่างกันของตัวแปรเหล่านั้น จะให้คำตอบของระบบที่แตกต่างกัน

สมการผลต่างเมทริกซ์อันดับหนึ่งที่มีพจน์คงที่สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {y} _{t+1}=A\mathbf {y} _{t}+\mathbf {c} ,}$

โดยที่Aเป็น เมทริกซ์ ขนาด n × nและyกับcเป็น เมทริกซ์ขนาด n × 1ระบบนี้จะลู่เข้าสู่ระดับค่าคงที่y ก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ ของ ค่าลักษณะเฉพาะทั้งn ค่าของAมีค่าน้อยกว่า 1 เท่านั้น

สมการเชิงอนุพันธ์เมทริกซ์อันดับหนึ่งที่มีพจน์คงที่สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dt}}=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {c} .}$

ระบบนี้จะเสถียรก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งnค่าของ เมทริกซ์ Aมีส่วนจริงเป็น ลบเท่านั้น