ในทางคณิตศาสตร์รากที่สองของเมทริกซ์ขยายแนวคิดของรากที่สองจากจำนวนไปสู่เมทริกซ์เมทริกซ์^Bกล่าวได้ว่าเป็นรากที่สองของAถ้าผลคูณเมทริกซ์BBเท่ากับA ^{[ 1} ]

ผู้เขียนบางท่านใช้ชื่อรากที่สองหรือสัญลักษณ์A ^1/2เฉพาะในกรณีที่Aเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semidefinite ) เพื่อแสดงถึงเมทริกซ์B ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดและเป็นไปตามเงื่อนไขBB = B ^T B = A (สำหรับเมทริกซ์ค่าจริง โดยที่B ^Tคือเมทริกซ์สลับตำแหน่งของB )

ในบางกรณีที่ไม่ค่อยพบเห็นบ่อยนัก ชื่อ " รากที่สอง"อาจใช้สำหรับการแยกตัวประกอบใดๆ ของเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอนAในรูปB ^T B = Aดังเช่นในการแยกตัวประกอบแบบ Choleskyแม้ว่าBB ≠ A ก็ตาม ความหมายที่แตกต่างนี้จะกล่าวถึงในหัวข้อ เมทริกซ์บวกแน่นอน § การแยกตัวประกอบ

โดยทั่วไป เมทริกซ์สามารถมีรากที่สองได้หลายค่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นเช่นนั้นด้วย ${\displaystyle A=B^{2}}$${\displaystyle A=(-B)^{2}}$

ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ขนาด 2×2 มีรากที่สองเป็นจำนวนอนันต์ โดยกำหนดโดย ${\displaystyle \textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\pm 1&~~0\\~~0&\pm 1\end{bmatrix}}}$และ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&~~b\\c&-a\end{bmatrix}}}$

โดยที่จำนวนใดๆ (จริงหรือเชิงซ้อน) เป็นเช่นนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ใดๆ ^{[ a ]} ​​แล้ว จะเป็นรากที่สองของเมทริกซ์หนึ่งซึ่งบังเอิญเป็นเมทริกซ์สมมาตรและมีสมาชิกเป็นจำนวนตรรกยะ^{[ 2 ]} ดังนั้น ${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle a^{2}+bc=1~.}$${\displaystyle \ (r,s,t)\ }$${\displaystyle \ {\frac {1}{t}}{\begin{bmatrix}r&~~s\\s&-r\end{bmatrix}}\ }$${\displaystyle \ I_{2}\ }$

${\displaystyle \ {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {4}{5}}&~~{\frac {3}{5}}\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\end{bmatrix}}^{2}~.}$

ลบI²ก็มีรากที่สองเช่นกัน ตัวอย่างเช่น _:

${\displaystyle \ -{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&~~0\end{bmatrix}}^{2}\ ,}$

ซึ่งสามารถใช้แทนหน่วยจินตนาการ และจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมดได้ โดยใช้เมทริกซ์จริงขนาด 2×2 ดูการแสดงจำนวนเชิงซ้อนด้วยเมทริกซ์ ${\displaystyle \ i\ }$

เช่นเดียวกับจำนวนจริงเมทริกซ์จริงอาจไม่มีรากที่สองที่เป็นจำนวนจริง แต่มีรากที่สองที่ เป็น จำนวนเชิงซ้อนได้ เมทริก ซ์บางเมทริกซ์ไม่มีรากที่สองเลย ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์${\displaystyle \ {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}~.}$

โปรดสังเกตว่าแนวคิดบางอย่างจากทฤษฎีจำนวนไม่สามารถนำมาใช้กับเมทริกซ์ได้: รากที่สองของจำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบ จะต้องเป็นจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่งหรือจำนวนอตรรกยะเท่านั้น โดยไม่รวม จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มซึ่งแตกต่างจากเมทริกซ์ของจำนวนเต็ม ที่สามารถมีรากที่สองซึ่งสมาชิกทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มได้ ดังที่แสดงในตัวอย่างบางส่วนข้างต้น

เมทริกซ์สมมาตรขนาดn × nเรียกว่าเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semidefinite)ถ้าสำหรับทุก(ในที่นี้หมายถึงการสลับแถวและคอลัมน์ ซึ่งเปลี่ยนเวกเตอร์คอลัมน์xเป็นเวกเตอร์แถว) เมทริกซ์จัตุรัสขนาดจริงเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดก็ต่อเมื่อสำหรับเมทริกซ์B บางตัว อาจมีเมทริกซ์B ที่แตกต่างกันได้หลายตัว เมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดAอาจมีเมทริกซ์B หลาย ตัวที่อย่างไรก็ตามAจะมีรากที่สองของ B เพียงตัวเดียวเท่านั้น ที่เป็นทั้งเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดและเมทริกซ์สมมาตร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากBต้องเป็นเมทริกซ์สมมาตรดังนั้น ดังนั้นเงื่อนไขหรือจึงเทียบเท่ากัน ${\displaystyle A}$${\displaystyle x^{\textsf {T}}Ax\geq 0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=B^{\textsf {T}}B}$${\displaystyle A=BB}$${\displaystyle B=B^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A=BB}$${\displaystyle A=B^{\textsf {T}}B}$

สำหรับเมทริกซ์ค่าเชิงซ้อนจะใช้การสลับเปลี่ยนเชิงคอนจูเกต แทน และเมทริกซ์กึ่งบวกกำหนดจะเป็น เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนซึ่งหมายความว่า ${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B^{*}=B}$

เมทริกซ์ที่มีเอกลักษณ์นี้เรียกว่า ราก ที่สองหลัก รากที่สอง ที่ไม่เป็นลบหรือรากที่สองบวก (อย่างหลังในกรณีของเมทริกซ์บวกกำหนด )

รากที่สองหลักของเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดจริงคือจำนวนจริง^{[ 3 ] รากที่สองหลักของเมทริกซ์บวกกำหนดคือเมทริก ซ์} บวกกำหนด โดยทั่วไปแล้ว อันดับของรากที่สองหลักของAจะเท่ากับอันดับของA ^{[ 3} ]

การดำเนินการหาค่ารากที่สองหลักนั้นต่อเนื่องบนเซตของเมทริกซ์นี้^{[ 4 ]}คุณสมบัติเหล่านี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ใช้กับเมทริกซ์^{[ 5 ] [ 6 ]} การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของรากที่สองหลักสามารถอนุมานได้โดยตรงจากรูปแบบปกติของจอร์แดน (ดูด้านล่าง)

เมท ริกซ์ n × nที่มี ค่าไอเกนที่ไม่เป็นศูนย์ n ค่าที่แตกต่างกันจะมีรากที่ สอง ²ⁿ ค่า เมทริกซ์ดังกล่าว Aมีการแยกส่วนไอเกนเป็นVDV ⁻¹โดยที่Vคือเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็นเวกเตอร์ไอเกนของAและDคือเมทริกซ์แนวทแยงที่มีองค์ประกอบแนวทแยงเป็นค่าไอเกนn ค่าที่สอดคล้องกัน λ _iดังนั้น รากที่สองของAจึงกำหนดโดยVD ^1/2 V ⁻¹โดยที่D ^1/2คือเมทริกซ์รากที่สองใดๆ ของDซึ่งสำหรับค่าไอเกนที่แตกต่างกัน ต้องเป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่มีองค์ประกอบแนวทแยงเท่ากับรากที่สองขององค์ประกอบแนวทแยงของDเนื่องจากมีทางเลือกที่เป็นไปได้สองทางสำหรับรากที่สองของแต่ละองค์ประกอบแนวทแยงของDจึงมีทางเลือก 2n ^ทางสำหรับ เมทริกซ์D ^1/2

สิ่งนี้ยังนำไปสู่การพิสูจน์ข้อสังเกตข้างต้นที่ว่า เมทริกซ์บวกกำหนดจะมีรากที่สองบวกกำหนดเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น: เมทริกซ์บวกกำหนดจะมีค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นบวกเท่านั้น และแต่ละค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้จะมีรากที่สองบวกเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น และเนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์รากที่สองคือองค์ประกอบแนวทแยงของD ^1/2ดังนั้นเพื่อให้เมทริกซ์รากที่สองเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด จึงจำเป็นต้องใช้เฉพาะรากที่สองบวกที่ไม่ซ้ำกันของค่าลักษณะเฉพาะดั้งเดิมเท่านั้น

ถ้าเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ (idempotent matrix) นั่นหมายความว่า ตามนิยามแล้ว รากที่สองตัวใดตัวหนึ่งของเมทริกซ์นั้นก็คือตัวเมทริกซ์เอง ${\displaystyle A^{2}=A}$

ถ้าDเป็นเมทริกซ์แนวทแยงขนาดn × nแล้ว รากที่สองบางส่วนของ D จะเป็นเมทริกซ์แนวทแยงโดยที่ถ้าสมาชิกแนวทแยงของDเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบ เมทริกซ์นั้นจะเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semidefinite) และถ้าหาค่ารากที่สองโดยใช้เครื่องหมาย (+) (กล่าวคือ สมาชิกทั้งหมดไม่เป็นลบ) เมทริกซ์ที่ได้จะเป็นรากหลักของDเมทริกซ์แนวทแยงอาจมีรากที่ไม่ใช่แนวทแยงเพิ่มเติมได้ ถ้าบางสมาชิกบนแนวทแยงเท่ากัน ดังตัวอย่างในเมทริกซ์เอกลักษณ์ข้างต้น ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mu _{1},\dots ,\mu _{n})}$${\displaystyle \mu _{i}=\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}}$

ถ้าUเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (หมายความว่าสมาชิกของเมทริกซ์เป็น) และมีค่าศูนย์บนแนวทแยงมุมไม่เกินหนึ่งค่าจะสามารถหาคำตอบเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนของสมการได้ดังนี้ เนื่องจากสมการต้องเป็นจริง ให้เป็นรากที่สองหลักของจำนวนเชิงซ้อนโดยสมมติฐานนี้รับประกันว่าสำหรับทุกi,j (เนื่องจากรากที่สองหลักของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดอยู่บนระนาบเชิงซ้อนด้านใดด้านหนึ่ง) จากสมการ ${\displaystyle u_{i,j}=0}$${\displaystyle i>j}$${\displaystyle B^{2}=U}$${\displaystyle u_{i,i}=b_{i,i}^{2}}$${\displaystyle b_{i,i}}$${\displaystyle u_{i,i}}$${\displaystyle u_{i,i}\neq 0}$${\displaystyle b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0}$

${\displaystyle u_{i,j}=b_{i,i}b_{i,j}+b_{i,i+1}b_{i+1,j}+b_{i,i+2}b_{i+2,j}+\dots +b_{i,j}b_{j,j}}$

เราสรุปได้ว่าสามารถคำนวณแบบเวียนซ้ำได้สำหรับค่าที่เพิ่มขึ้นจาก 1 ถึงn -1 ดังนี้: ${\displaystyle b_{i,j}}$${\displaystyle j-i}$

${\displaystyle b_{i,j}={\frac {1}{b_{i,i}+b_{j,j}}}\left(u_{i,j}-b_{i,i+1}b_{i+1,j}-b_{i,i+2}b_{i+2,j}-\dots -b_{i,j-1}b_{j-1,j}\right).}$

ถ้า เมทริกซ์ Uเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน แต่มีค่าศูนย์หลายค่าบนแนวทแยงมุม รากที่สองอาจไม่มี ดังตัวอย่างเช่น โปรดสังเกตว่าค่าบนแนวทแยงมุมของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือค่าลักษณะ เฉพาะของเมทริกซ์นั้น (ดูเมทริกซ์สามเหลี่ยม#คุณสมบัติ ) ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$

เมทริกซ์n × n Aสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ก็ต่อเมื่อมีเมทริกซ์Vและเมทริกซ์ทแยงมุมDที่ทำให้A = VDV ⁻¹ซึ่งจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อAมีเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ n ตัว ที่ประกอบกันเป็นฐานสำหรับC ⁿในกรณีนี้Vสามารถเลือกให้เป็นเมทริกซ์ที่มี เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ nตัวเป็นคอลัมน์ได้ ดังนั้นรากที่สองของAก็คือ

${\displaystyle R=VSV^{-1}~,}$

โดยที่Sคือรากที่สองใดๆ ของDอันที่จริง

${\displaystyle \left(VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}\right)^{2}=VD^{\frac {1}{2}}\left(V^{-1}V\right)D^{\frac {1}{2}}V^{-1}=VDV^{-1}=A~.}$

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เป็นVDV ⁻¹โดยที่ ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)}$

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}}$และ.${\displaystyle D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}}$

Dมีรากที่สองหลัก

${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}}$,

การให้รากที่สอง

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}={\begin{pmatrix}5&2\\4&7\end{pmatrix}}}$.

เมื่อAเป็นเมทริกซ์สมมาตร เมทริกซ์ทแยงมุมVสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ตั้งฉากได้โดยการเลือกเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอย่างเหมาะสม (ดูทฤษฎีบทสเปกตรัม ) จากนั้นเมทริกซ์ผกผันของVก็คือเมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ ดังนั้น

${\displaystyle R=VSV^{\textsf {T}}~.}$

เมทริกซ์จัตุรัสที่มีค่าเชิงซ้อนทุกเมทริกซ์ไม่ว่าจะสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้หรือไม่ก็ตาม จะมี การแยกส่วนของ Schurที่กำหนดโดย โดยที่เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน และเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ (หมายความว่า) ค่าลักษณะ เฉพาะ ของคือค่าในแนวทแยงมุมของพอดี หากมีค่าศูนย์ไม่เกินหนึ่งค่า ค่าต่อไปนี้จะเป็นรากที่สอง^{[ 7 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A=QUQ^{*}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{*}=Q^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}.}$

โดย สามารถหา ค่ารากที่สองของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนได้ ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น${\displaystyle U^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle U}$

ถ้าเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (positive definite) ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A ทั้งหมดจะเป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A ที่เลือกไว้ก็จะประกอบด้วยจำนวนจริงบวกเช่นกัน ด้วยเหตุนี้ ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A จึงเป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ A ที่ได้จะเป็นรากหลักของสมการA ${\displaystyle A}$${\displaystyle U^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}}$${\displaystyle A}$

เช่นเดียวกับการแยกส่วนแบบ Schur เมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์สามารถแยกส่วนได้ดังนี้ โดยที่Pเป็นเมทริกซ์ผกผันได้และJอยู่ในรูปแบบปกติของ Jordan ${\displaystyle A}$${\displaystyle A=P^{-1}JP}$

เพื่อให้เห็นว่าเมทริกซ์จริงใดๆ ที่มีค่าไอเกนเป็นบวกจะมีรากที่สองในรูปแบบเดียวกัน ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบสิ่งนี้สำหรับบล็อกจอร์แดน บล็อกดังกล่าวจะมีรูปแบบλ( I + N )โดยที่λเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก และNเป็นเมทริก ซ์นิลโพเทนต์ นั่นคือ⁠ ⁠ สำหรับจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle N^{k}=0}$kบางตัวพิจารณาอนุกรมแมคลาอริน⁠ ⁠${\displaystyle (1+z)^{1/2}=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$เมื่อแทนNด้วยzจะได้ผลรวมจำกัด เนื่องจากมีเพียงkพจน์แรกเท่านั้นที่อาจไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า $${\displaystyle {\sqrt {\lambda (I+N)}}={\sqrt {\lambda }}(I+a_{1}N+a_{2}N^{2}+\cdots +a_{k-1}N^{k-1}).}$$

ความถูกต้องของผลลัพธ์สามารถพิสูจน์ได้โดยการกระจายกำลังสองของผลลัพธ์ วิธีที่ง่ายกว่าคือการแทนที่⁠ ⁠${\displaystyle N}$ด้วย⁠ ⁠${\displaystyle tN}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle t}$เป็นตัวแปรจริงเสริม เลียนแบบการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์สำหรับกรณีนี้ และในตอนท้ายให้ ⁠ ⁠${\displaystyle t=1}$

นึกถึงอนุกรมกำลังแบบเป็นทางการซึ่งลู่เข้าก็ต่อเมื่อ(เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลังสามารถหาผลรวมได้) เมื่อแทนค่าลงในนิพจน์นี้จะได้ ${\textstyle (1-z)^{\frac {1}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}z^{n}}$${\displaystyle \|z\|\leq 1}$${\displaystyle z=I-A}$

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}:=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{{\frac {1}{2}} \choose n}(I-A)^{n}}$

โดย มีเงื่อนไขว่า. ด้วยสูตรของ Gelfandเงื่อนไขนั้นเทียบเท่ากับข้อกำหนดที่ว่าสเปกตรัมของอยู่ภายในดิสก์วิธีการกำหนดหรือคำนวณนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในกรณีที่เป็นเมทริกซ์กึ่งบวก ในกรณีนั้น เรามีและดังนั้นดังนั้นนิพจน์จึงกำหนดรากที่สองของซึ่งยิ่งไปกว่านั้นยังกลายเป็นรากกึ่งบวกที่ไม่ซ้ำกัน วิธีนี้ยังคงใช้ได้กับการกำหนดรากที่สองของตัวดำเนินการบนปริภูมิ Banach หรือ Hilbert มิติอนันต์ หรือองค์ประกอบบางอย่างของพีชคณิต Banach (C*) ${\textstyle \limsup _{n}\|(I-A)^{n}\|^{\frac {1}{n}}<1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(1,1)\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle A}$${\textstyle \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|\leq 1}$${\textstyle \left\|\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right\|\leq \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|^{n}\leq 1}$${\textstyle \|A\|^{\frac {1}{2}}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right)}$${\displaystyle A}$

อีกวิธีหนึ่งในการหาค่ารากที่สองของเมทริกซ์n × n Aคือวิธีการวนซ้ำรากที่สองของ Denman–Beavers ^{[ 8 ]}

ให้Y ₀ = AและZ ₀ = Iโดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดn × n การวนซ้ำถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Y_{k}+Z_{k}^{-1}\right),\\Z_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Y_{k}^{-1}\right).\end{aligned}}}$

เนื่องจากวิธีนี้ใช้ลำดับของเมทริกซ์ผกผันสองชุด ซึ่งองค์ประกอบในส่วนหลังๆ เปลี่ยนแปลงค่อนข้างน้อย ดังนั้นเฉพาะองค์ประกอบแรกๆ เท่านั้นที่มีต้นทุนการคำนวณสูง เนื่องจากส่วนที่เหลือสามารถคำนวณได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยใช้เพียงไม่กี่รอบของวิธีการของนิวตัน แบบดัดแปลง สำหรับการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

${\displaystyle X_{n+1}=2X_{n}-X_{n}BX_{n}.}$

ด้วยเหตุนี้ สำหรับค่าk ในภายหลัง เราจะตั้งค่าและจากนั้นใช้สำหรับค่าเล็กๆ บางค่า(อาจจะเป็นเพียง 1) และทำเช่นเดียวกันสำหรับ${\displaystyle X_{0}=Z_{k-1}^{-1}}$${\displaystyle B=Z_{k},}$${\displaystyle Z_{k}^{-1}=X_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y_{k}^{-1}.}$

การลู่เข้าไม่ได้รับการรับประกัน แม้แต่สำหรับเมทริกซ์ที่มีรากที่สองก็ตาม แต่ถ้ากระบวนการลู่เข้า เมทริกซ์จะลู่เข้าแบบกำลังสองไปยังรากที่สองA ^1/2ในขณะที่ลู่เข้าสู่เมทริกซ์ผกผัน A ^−1/2${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle Z_{k}}$

อีกวิธีหนึ่งในการวนซ้ำได้มาจากการนำสูตรที่รู้จักกันดีของวิธีบาบิโลนสำหรับการคำนวณรากที่สองของจำนวนจริงมาประยุกต์ใช้กับเมทริกซ์ ให้X ₀ = Iโดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์การวนซ้ำถูกกำหนดโดย

${\displaystyle X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+AX_{k}^{-1}\right)\,.}$

อีกครั้ง การลู่เข้าไม่ได้รับการรับประกัน แต่ถ้ากระบวนการลู่เข้า เมทริกซ์จะลู่เข้าแบบกำลังสองไปยังรากที่สองA ^1/2เมื่อเปรียบเทียบกับการวนซ้ำของ Denman–Beavers ข้อดีของวิธีการ Babylonian คือ ต้องคำนวณ เมทริกซ์ผกผัน เพียงเมทริกซ์เดียว ต่อขั้นตอนการวนซ้ำ ในทางกลับกัน เนื่องจากการวนซ้ำของ Denman–Beavers ใช้ลำดับของเมทริกซ์ผกผันสองลำดับซึ่งองค์ประกอบในภายหลังเปลี่ยนแปลงค่อนข้างน้อย มีเพียงองค์ประกอบแรกๆ เท่านั้นที่มีต้นทุนการคำนวณสูง เนื่องจากส่วนที่เหลือสามารถคำนวณได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยการวนซ้ำเพียงไม่กี่ครั้งของวิธีการของนิวตัน แบบต่างๆ สำหรับการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน (ดูการวนซ้ำของ Denman–Beaversด้านบน) แน่นอนว่าสามารถใช้วิธีเดียวกันนี้เพื่อให้ได้ลำดับของเมทริกซ์ผกผันเพียงลำดับเดียวที่จำเป็นสำหรับวิธีการ Babylonian อย่างไรก็ตาม ต่างจากการวนซ้ำของ Denman–Beavers วิธีการ Babylonian ไม่เสถียรทางตัวเลขและมีแนวโน้มที่จะไม่ลู่เข้ามากกว่า^{[ 1 ]}${\displaystyle X_{k}}$

วิธีการของบาบิโลนเป็นไปตามวิธีการของนิวตันสำหรับสมการและใช้สำหรับทุก^{[ 9 ]}${\displaystyle X^{2}-A=0}$${\displaystyle AX_{k}=X_{k}A}$${\displaystyle k.}$

ในพีชคณิตเชิงเส้นและทฤษฎีตัวดำเนินการกำหนดให้T เป็นตัวดำเนินการบวกกึ่งกำหนดที่มีขอบเขต (ตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบ) บนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนBจะเป็นรากที่สองของTถ้าT = B*Bโดยที่B*หมายถึงตัวผกผันเฮอร์มิเชียนของBตามทฤษฎีบทสเปกตรัมแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้ตัวดำเนินการT¹ ^/²ซึ่งT¹ ^/²เป็นบวกและ ( T¹ ^/² ) ^² = TตัวดำเนินการT¹ ^/²เป็น ราก ที่ สองที่ไม่เป็นลบเพียงตัวเดียวของT

ตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบที่มีขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนจะเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองตามนิยาม ดังนั้นT = ( T ^1/2 )* T ^1/2ในทางกลับกัน เป็นที่ประจักษ์ชัดว่าตัวดำเนินการทุกตัวในรูปแบบB* Bนั้นไม่เป็นลบ ดังนั้น ตัวดำเนินการTจะไม่เป็นลบก็ต่อเมื่อT = B* BสำหรับB บางตัว (หรือเทียบเท่ากับT = CC*สำหรับC บางตัว )

การแยกตัวประกอบโคลสกี้เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของรากที่สอง ซึ่งไม่ควรสับสนกับรากที่สองที่ไม่เป็นลบเพียงค่าเดียว

ถ้าTเป็นตัวดำเนินการที่ไม่เป็นลบในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด รากที่สองทั้งหมดของTจะมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงแบบเอกภาพ กล่าวคือ ถ้าT = A*A = B*Bแล้วจะมีตัวแปลงแบบเอกภาพ U อยู่ตัว หนึ่งที่ทำให้A = UB

^{จริง ๆ}แล้ว ให้กำหนดB = T^{1/2เพื่อ}เป็นรากที่สองที่ไม่เป็นลบเพียงหนึ่งเดียวของ Tถ้า Tเป็นบวกอย่างแท้จริง Bจะผกผันได้ ดังนั้น U = AB ⁻¹จึงเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์:

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{*}U&=\left(\left(B^{*}\right)^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{-1}\right)=\left(B^{*}\right)^{-1}T\left(B^{-1}\right)\\&=\left(B^{*}\right)^{-1}B^{*}B\left(B^{-1}\right)=I.\end{aligned}}}$

ถ้าTเป็นจำนวนบวกที่ไม่เป็นลบโดยที่ไม่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด ตัวผกผันของBจะไม่สามารถนิยามได้ แต่ตัวผกผันเทียมของมัวร์-เพนโรสB ⁺สามารถนิยามได้ ในกรณีนั้น ตัวดำเนินการB ⁺ Aเป็นไอโซเมตรีบางส่วนนั่นคือ ตัวดำเนินการเอกภาพจากช่วงของTไปยังตัวมันเอง จากนั้นสามารถขยายไปเป็นตัวดำเนินการเอกภาพUบนปริภูมิทั้งหมดได้โดยกำหนดให้เท่ากับเอกลักษณ์บนเคอร์เนลของTโดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้เป็นจริงบนปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติอนันต์ ถ้าTมีช่วงปิด ด้วย โดยทั่วไป ถ้าAและBเป็นตัวดำเนินการปิดและนิยามอย่างหนาแน่นบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHและA* A = B* Bแล้วA = UBโดยที่Uเป็นไอโซเมตรีบางส่วน

รากที่สอง และคุณสมบัติเอกภาพของรากที่สอง มีการประยุกต์ใช้ในสาขาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและพีชคณิตเชิงเส้น อย่างกว้างขวาง

ถ้าAเป็นตัวดำเนินการผกผันได้บนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด แล้วจะมีตัวดำเนินการเอกภาพUและตัวดำเนินการบวกP ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งทำให้

${\displaystyle A=UP;}$

นี่คือการแยกส่วนเชิงขั้วของAตัวดำเนินการบวกPคือรากที่สองบวกที่ไม่ซ้ำกันของตัวดำเนินการบวกA ^∗ AและUถูกกำหนดโดย U = AP ⁻¹

ถ้าAไม่สามารถผกผันได้ มันก็ยังคงมีองค์ประกอบเชิงขั้วซึ่งPถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน (และมีเพียงหนึ่งเดียว) ตัวดำเนินการเอกภาพUไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว แต่เราสามารถกำหนดตัวดำเนินการเอกภาพ "ตามธรรมชาติ" ได้ดังนี้: AP ⁺เป็นตัวดำเนินการเอกภาพจากช่วงของAไปยังตัวมันเอง ซึ่งสามารถขยายได้โดยเอกลักษณ์บนเคอร์เนลของA ^∗ตัวดำเนินการเอกภาพU ที่ได้ จะให้การแยกส่วนเชิงขั้วของ A

จากผลลัพธ์ของชอยแผนที่เชิงเส้น

${\displaystyle \Phi :C^{n\times n}\to C^{m\times m}}$

จะเป็นบวกอย่างสมบูรณ์ก็ต่อเมื่ออยู่ในรูปแบบนี้เท่านั้น

${\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i}^{k}V_{i}AV_{i}^{*}}$

โดยที่k ≤ nmให้ { E _pq } ⊂ C ^{n × n}เป็น หน่วย เมทริกซ์พื้นฐานn ² หน่วย เมทริกซ์บวก

${\displaystyle M_{\Phi }=\left(\Phi \left(E_{pq}\right)\right)_{pq}\in C^{nm\times nm}}$

เรียกว่าเมทริกซ์ Choiของ Φ ตัวดำเนินการ Kraus สอดคล้องกับรากที่สองของM _Φ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นรากที่สองเสมอไป : สำหรับรากที่สองB ใดๆ ของM _Φเราสามารถสร้างตระกูลของตัวดำเนินการ Kraus V _{i ได้}โดยการย้อนกลับการดำเนินการ Vec กับแต่ละคอลัมน์b _iของBดังนั้นเซตของตัวดำเนินการ Kraus ทั้งหมดจึงมีความสัมพันธ์กันโดยไอโซเมตรีบางส่วน

ในฟิสิกส์ควอนตัมเมทริกซ์ความหนาแน่นสำหรับ ระบบควอนตัม nระดับ คือเมทริกซ์เชิงซ้อนρ ขนาด n × nที่เป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด (positive semidefinite) และมีร่องรอย (trace) เท่ากับ 1 ถ้าρสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{*}}$

โดยที่และ Σ p _i = 1 เซต ${\displaystyle p_{i}>0}$

${\displaystyle \left\{p_{i},v_{i}\right\}}$

กล่าวกันว่าเป็นกลุ่มที่อธิบายสถานะผสมρโปรดสังเกตว่า { v _i } ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน กลุ่มต่างๆ ที่อธิบายสถานะρมีความสัมพันธ์กันโดยตัวดำเนินการเอกภาพ ผ่านทางรากที่สองของρตัวอย่างเช่น สมมติว่า

${\displaystyle \rho =\sum _{j}a_{j}a_{j}^{*}.}$

เงื่อนไขการติดตาม 1 หมายความว่า

${\displaystyle \sum _{j}a_{j}^{*}a_{j}=1.}$

อนุญาต

${\displaystyle p_{i}=a_{i}^{*}a_{i},}$

และให้v _iเป็นค่าปกติของ a _iเราจะเห็นว่า

${\displaystyle \left\{p_{i},v_{i}\right\}}$

ให้ สถานะผสมρ

• ฟังก์ชันเมทริกซ์
• แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
• ลอการิทึมของเมทริกซ์
• สูตรของซิลเวสเตอร์
• รากที่สองของเมทริกซ์ 2x2