ใน ทฤษฎี ทางคณิตศาสตร์ของปริภูมิบานาคทฤษฎีบทช่วงปิดให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับตัวดำเนินการปิดที่กำหนดอย่างหนาแน่นเพื่อ ให้ มีช่วงปิด

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยStefan BanachในThéorie des opérations linéairesใน ปี 1932

ให้และเป็นปริมาณเวกเตอร์แบบบานาค และเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบปิดที่มีโดเมนหนาแน่นในและเป็นตัวดำเนินการสลับแถว และคอลัมน์ ของทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าเงื่อนไขต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:D(T)\to Y}$${\displaystyle D(T)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle R(T),}$ช่วงของถูกปิดใน${\displaystyle T,}$${\displaystyle Y.}$
• ${\displaystyle R(T'),}$ช่วงของถูกปิดในคู่ของ${\displaystyle T',}$${\displaystyle X',}$${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle R(T)=N(T')^{\perp }=\left\{y\in Y:\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{สำหรับทุก}}\quad x^{*}\in N(T')\right\}.}$
• ${\displaystyle R(T')=N(T)^{\perp }=\left\{x^{*}\in X':\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{สำหรับทุก}}\quad y\in N(T)\right\}.}$

โดยที่และคือปริภูมิว่างของและตามลำดับ ${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N(T')}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T'}$

โปรดสังเกตว่ามีการรวมกันอยู่เสมอเพราะถ้าและแล้ว ในทำนองเดียวกัน ก็มีการรวมกันเช่นกันดังนั้นส่วนที่ไม่สำคัญของทฤษฎีบทข้างต้นคือการรวมกันในทางตรงกันข้ามในสองข้อสุดท้าย ${\displaystyle R(T)\subseteq N(T')^{\perp }}$${\displaystyle y=Tx}$${\displaystyle x^{*}\in N(T')}$${\displaystyle \langle x^{*},y\rangle =\langle T'x^{*},x\rangle =0}$${\displaystyle R(T')\subseteq N(T)^{\perp }}$

มีข้อสรุปย่อยหลายประการที่ได้มาจากทฤษฎีบทนี้โดยตรง ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการปิดที่มีนิยามหนาแน่นดังที่กล่าวมาข้างต้นจะมีค่าก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการทรานสโพสมีตัวผกผันต่อเนื่อง ในทำนองเดียวกันจะมีค่าก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการมีตัวผกผันต่อเนื่อง ${\displaystyle T}$${\displaystyle R(T)=Y}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle R(T')=X'}$${\displaystyle T}$

เนื่องจากกราฟของTเป็นกราฟปิด การพิสูจน์จึงลดลงเหลือเพียงกรณีที่เป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตระหว่างปริภูมิบานาค ตอนนี้แยกตัวประกอบเป็น ในทำนอง เดียวกัน คือ ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X{\overset {p}{\to }}X/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}\operatorname {im} T{\overset {i}{\hookrightarrow }}Y}$${\displaystyle T'}$

${\displaystyle Y'\to (\operatorname {im} T)'{\overset {T_{0}'}{\to }}(X/\operatorname {ker} T)'\to X'.}$

ถ้าเซตปิด เซตนั้นก็จะเป็นเซตบานาค และด้วยทฤษฎีบทการแมปแบบเปิด เซตนั้นก็จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเชิงทอพอโลยี ดังนั้น เซตนั้นจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึม และด้วยเหตุนี้ เซตนั้นก็จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเช่นกัน(ยังต้องมีการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลลัพธ์อื่นๆ)${\displaystyle \operatorname {im} T}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{0}'}$${\displaystyle \operatorname {im} (T')=\operatorname {ker} (T)^{\bot }}$${\displaystyle \square }$

• https://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/functional-analysis-3/node22.html#jtheorem:________________________ในภาษาญี่ปุ่น