ในทางคณิตศาสตร์ การแสดงผลแบบ แกน-มุมจะกำหนดพารามิเตอร์การหมุนในปริภูมิยูคลิดสามมิติ ด้วยปริมาณสองอย่าง ได้แก่เวกเตอร์หน่วยeที่ระบุทิศทางของแกนการหมุนและมุมการหมุนθที่อธิบายขนาดและทิศทาง (เช่นตามเข็มนาฬิกา ) ของการหมุนรอบแกนจำเป็นต้องใช้เพียงสองตัวเลข ไม่ใช่สามตัว เพื่อกำหนดทิศทางของเวกเตอร์หน่วยeที่มีจุดกำเนิด เพราะขนาดของeมีข้อจำกัด ตัวอย่างเช่นมุมเงยและมุมราบของeก็เพียงพอที่จะระบุตำแหน่งของมันในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนใดๆ ได้

ตามสูตรการหมุนของโรดริเกส มุมและแกนจะกำหนดการแปลงที่หมุน เวก เตอร์สามมิติ การหมุนเกิดขึ้นในทิศทางที่กำหนดโดยกฎมือขวา

แกนการหมุนบางครั้งเรียกว่าแกนออยเลอร์การแสดงผลแบบแกน-มุมนั้นอิงตามทฤษฎีการหมุนของออยเลอร์ซึ่งระบุว่าการหมุนใดๆ หรือลำดับการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งในพื้นที่สามมิติเทียบเท่ากับการหมุนบริสุทธิ์รอบแกนคงที่เพียงแกนเดียว

นี่เป็นหนึ่งในรูปแบบการหมุนหลายรูปแบบในสามมิติ

การแสดงแบบแกน-มุมนั้นเทียบเท่ากับการแสดงแบบกระชับกว่าอย่างเวกเตอร์การหมุนหรือที่เรียกว่าเวกเตอร์ออยเลอร์ (อย่าสับสนกับเวกเตอร์ของมุมออยเลอร์ ) ในกรณีนี้ ทั้งแกนการหมุนและมุมจะถูกแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับแกนการหมุน โดยมีความยาวเท่ากับมุมการหมุนθ เวก เตอร์ นี้ใช้สำหรับ แผนที่ เลขชี้กำลังและลอการิทึมที่เกี่ยวข้องกับการแสดงแบบนี้ $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.}$$

เวกเตอร์การหมุนจำนวนมากสอดคล้องกับการหมุนเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์การหมุนที่มีความยาวθ + 2πM สำหรับจำนวนเต็มM ใดๆ จะเข้ารหัสการหมุนเดียวกันกับเวกเตอร์การหมุนที่มีความยาวθดังนั้น จึงมีเวกเตอร์การหมุนอย่างน้อยจำนวนอนันต์ที่นับได้ซึ่งสอดคล้องกับการหมุนใดๆ ยิ่งไปกว่านั้น การหมุนทั้งหมดด้วย2πM นั้นเหมือนกับการไม่หมุนเลย ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็มM ที่กำหนด เวกเตอร์การหมุนทั้งหมดที่มีความยาว2πM ในทุกทิศทาง จะประกอบกันเป็นจำนวน อนันต์ที่นับไม่ได้แบบสองพารามิเตอร์ของเวกเตอร์การหมุนที่เข้ารหัสการหมุนเดียวกันกับเวกเตอร์ศูนย์ ข้อเท็จจริงเหล่านี้ต้องนำมาพิจารณาเมื่อทำการผกผันแผนที่เอกซ์โพเนนเชียล นั่นคือ เมื่อค้นหาเวกเตอร์การหมุนที่สอดคล้องกับเมทริกซ์การหมุนที่กำหนด แผนที่เอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันทั่วถึงแต่ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

สมมติว่าคุณยืนอยู่บนพื้นและเลือกทิศทางแรงโน้มถ่วงเป็นทิศทางลบของแกนzจากนั้นหากคุณหันไปทางซ้าย คุณจะหมุน⁠-π/2⁠เรเดียน (หรือ -90° ) รอบ แกน -zหากมองการแสดงมุมแกนเป็นคู่ลำดับจะได้ดังนี้ $${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแสดงได้ในรูปเวกเตอร์การหมุนที่มีขนาดเท่ากับ⁠π/2ชี้ไปในทิศทางแกน z$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

การแสดงผลแบบแกน-มุมนั้นสะดวกเมื่อต้องจัดการกับพลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็งมันมีประโยชน์ทั้งในการอธิบายการหมุนและสำหรับการแปลงระหว่างการแสดงผลการเคลื่อนที่ ของวัตถุแข็งเกร็งแบบต่างๆ เช่น การแปลงแบบเอกพันธุ์และการบิด

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนคงที่ข้อมูลแกน-มุมของวัตถุจะเป็น แกนหมุน คงที่และมุมการหมุนจะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ตามเวลา

การนำค่าไอเกนทั้งสามค่าคือ 1 และe ^{± iθ}และแกนตั้งฉากทั้งสามที่เกี่ยวข้องในรูปแบบคาร์ทีเซียนไปแทนในทฤษฎีบทของเมอร์เซอร์ถือเป็นวิธีสร้างรูปแบบคาร์ทีเซียนของเมทริกซ์การหมุนในสามมิติที่สะดวก

สูตรการหมุนของ Rodriguesซึ่งตั้งชื่อตามOlinde Rodriguesเป็นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการหมุนเวกเตอร์ยุคลิด โดยกำหนดแกนการหมุนและมุมการหมุน กล่าวอีกนัยหนึ่ง สูตรของ Rodrigues ให้อัลกอริทึมในการคำนวณแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลจากไปยังSO(3)โดยไม่ต้องคำนวณเอกซ์โพเนนเชียลเมทริกซ์แบบเต็ม ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

ถ้าvเป็นเวกเตอร์ในR³และeเป็นเวกเตอร์หน่วย ที่มีรากอยู่ที่จุดกำเนิด ^ซึ่งอธิบายแกนการหมุนที่vถูกหมุนรอบด้วยมุมθสูตรการหมุนของ Rodrigues เพื่อหาเวกเตอร์ที่หมุนแล้วคือ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \times (\mathbf {e} \times \mathbf {v} ))\,.}$$

สำหรับการหมุนเวกเตอร์เดี่ยว อาจมีประสิทธิภาพมากกว่าการแปลงeและθให้เป็นเมทริกซ์การหมุนเพื่อหมุนเวกเตอร์

มีหลายวิธีในการแสดงการหมุน การเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างการแสดงแบบต่างๆ และวิธีการแปลงระหว่างกันนั้นเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ ในที่นี้ เวกเตอร์หน่วยจะใช้สัญลักษณ์ ωแทนe

แผนที่เลขชี้กำลังจะแปลงรูปแบบการหมุนจากแกน-มุมไปเป็น เมทริก ซ์ การหมุน$${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

โดยพื้นฐานแล้ว การใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์จะทำให้ได้ความสัมพันธ์ในรูปแบบปิดระหว่างการแสดงทั้งสองนี้ เมื่อกำหนดเวกเตอร์หน่วยที่แทนแกนการหมุนหน่วย และมุมθ ∈ Rเมทริกซ์การหมุนที่เทียบเท่าRจะกำหนดได้ดังนี้ โดยที่Kคือเมทริกซ์ผลคูณไขว้ของωนั่นคือKv = ω × vสำหรับเวกเตอร์v ∈ R ³ทั้งหมด ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

เนื่องจากKเป็นเมทริกซ์สมมาตรเฉียง และผลรวมของกำลังสองของสมาชิกเหนือแนวทแยงมุมคือ 1 พหุนามลักษณะเฉพาะP ( t )ของKคือP ( t ) = det( K − tI ) = −( t3 + t) เนื่องจาก^ตามทฤษฎีบทของเคย์ลีย์ ^{- แฮ}มิลตันP ( K ) = 0ดังนั้น จึงหมายความว่า K4 = ^–K2 , K5 = K , ^K6 = K2 ^, K7 = ^–K$${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$

รูปแบบวัฏจักรนี้ดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นกำลังที่สูงกว่าทั้งหมดของKสามารถแสดงได้ในรูปของKและK²ดังนั้นจากสมการข้างต้น จึงสรุปได้ว่า ^นั่น คือ $${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$$${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

โดยใช้สูตรอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

นี่คือการพิสูจน์เชิงพีชคณิตของ Lie ซึ่งตรงข้ามกับการพิสูจน์เชิงเรขาคณิตในบทความสูตรการหมุนของ Rodrigues ^{[ 1 ]}

เนื่องจากการมีอยู่ของแผนที่เลขชี้กำลังที่กล่าวถึงข้างต้น เวกเตอร์หน่วยωที่แทนแกนการหมุน และมุมθบางครั้งจึงถูกเรียกว่าพิกัด เลขชี้กำลังของเมทริกซ์การหมุนR

ให้Kยังคงแทนเมทริกซ์ 3 × 3 ที่มีผลต่อผลคูณเชิงเวกเตอร์กับแกนการหมุนω : K ( v ) = ω × vสำหรับเวกเตอร์v ทั้งหมด ที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้

ในการดึงข้อมูลการแสดงมุมแกนของเมทริกซ์การหมุนให้คำนวณมุมการหมุนจากร่องรอยของเมทริกซ์การหมุนจาก นั้นใช้มุมนั้นเพื่อหาแกนปกติ $${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

โดยที่คือส่วนประกอบของเมทริกซ์การหมุนในแถวที่ และคอลัมน์ที่ ${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

สูตรนี้ใช้ไม่ได้ผลในกรณีที่Rเป็นเมทริกซ์สมมาตร เพราะจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีค่าเป็นจำนวนเต็มบางค่าเท่านั้น ดังนั้น sin( ) = 0 ซึ่งทำให้เกิดการหารด้วย 0 ในสูตร อย่างไรก็ตามลิมิตของสูตรสำหรับเมื่อ มีค่าเข้าใกล้ จะให้ค่าที่ถูกต้องสำหรับสำหรับกรณีทั่วไปอาจหาค่าได้โดยใช้ปริภูมิว่างของRIดูที่ เมทริกซ์การหมุน#การ กำหนด แกน${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta =k\pi }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta \to k\pi }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

การแสดงผลแบบแกน-มุมนั้นไม่เป็นเอกลักษณ์ เนื่องจากมุมการหมุนรอบแกน 0 จะเหมือนกับมุมการหมุนรอบแกนφ แน่นอนว่า การเพิ่มจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นผลคูณของ 2π ให้กับมุม0 ก็จะทำให้เกิดการหมุนแบบเดียวกัน วิธีที่ดีกว่าคือการจำกัดมุมให้อยู่ในช่วง [0, 2π) หรือ (-π, π] ${\displaystyle -\theta }$${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$

หากต้องการค้นหาคู่ที่ทราบแล้ว จะต้องสอดคล้องกับการวางแนวของแกน (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จะต้องอยู่ในควอดแรนต์ที่เหมาะสมของวงกลมหน่วยที่กำหนดโดยและ) เมื่อพิจารณาว่าเมทริกซ์ผลคูณไขว้ก็มีให้สำหรับ ที่กำหนดความสอดคล้องนี้สามารถรับประกันได้โดยการขยายสูตรร่องรอยข้างต้นดังนี้: ^{[ 2 ]} โดยที่atan2คือฟังก์ชัน arctangent สองอาร์กิวเมนต์ ซึ่งให้เครื่องหมายที่ถูกต้องสำหรับในช่วง วิธีนี้ช่วยแก้ความกำกวมของเครื่องหมายที่มีอยู่ในเงื่อนไขนอกแกนของ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle (R,\omega )}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \theta ={\rm {atan2}}(-{\rm {Tr}}(\mathbf {K} R),{\rm {Tr}}(R)-1),}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle R}$

ลอการิทึมเมทริกซ์ของเมทริกซ์การหมุนRคือ $${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

ข้อยกเว้นเกิดขึ้นเมื่อRมีค่าไอเกนเท่ากับ−1ในกรณีนี้ ล็อกจะไม่เป็นเอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม แม้ในกรณีที่θ = πค่ามาตรฐานฟรอเบนิอุสของล็อก ก็ยังคงเป็นค่าคงที่ เมื่อกำหนดเมทริกซ์การหมุนAและBแล้ว จะเป็นระยะทางจีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์ 3 มิติของเมทริกซ์การหมุน $${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$$${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$

สำหรับการหมุนเล็กน้อย การคำนวณθ ข้างต้น อาจไม่แม่นยำในเชิงตัวเลข เนื่องจากอนุพันธ์ของ arccos มีค่าเข้าสู่อนันต์เมื่อθ → 0ในกรณีนั้น พจน์นอกแกนจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับθ ที่ดีกว่า เนื่องจากสำหรับมุมเล็กๆR ≈ I + θ K (เนื่องจากพจน์เหล่านี้เป็นสองพจน์แรกของอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับexp( θ K ) )

สูตรนี้ยังมีปัญหาเชิงตัวเลขที่θ = πด้วย โดยที่พจน์นอกแกนไม่ให้ข้อมูลเกี่ยวกับแกนการหมุน (ซึ่งยังคงกำหนดได้จนถึงความกำกวมของเครื่องหมาย) ในกรณีนั้น เราต้องพิจารณาสูตรข้างต้นใหม่

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$ ที่θ = πเราจะได้ และดังนั้นให้ พจน์แนวทแยงของBเป็นกำลังสองขององค์ประกอบของωและเครื่องหมาย (โดยไม่นับความกำกวมของเครื่องหมาย) สามารถกำหนดได้จากเครื่องหมายของพจน์นอกแกน  ของ B$${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$$${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$

นิพจน์ต่อไปนี้แปลงพิกัดแกน-มุมเป็นเวอร์เซอร์ ( ควอเทอร์เนียน หน่วย ): $${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

เมื่อกำหนดเวกเตอร์q = r + vซึ่งแทนด้วยค่าสเกลาร์rและเวกเตอร์vแล้ว พิกัดแกน-มุมสามารถดึงออกมาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชัน atan2เป็นการแสดงมุมการหมุนที่มีเสถียรภาพเชิงตัวเลขมากกว่า โดยที่| v |คือนอร์มแบบยุคลิดของเวกเตอร์ 3 มิติ v$${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,}$$

• พิกัดเอกพันธุ์
• เวกเตอร์เทียม
• การหมุนโดยไม่ใช้เมทริกซ์
• ทฤษฎีสกรูคือการแสดงการเคลื่อนที่และความเร็วของวัตถุแข็งเกร็งโดยใช้แนวคิดของการบิด สกรู และประแจ