ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตนามธรรมทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึม ( หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของโนเธอร์ ) เป็นทฤษฎีบทที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างผลหารโฮโมมอร์ฟิซึมและซับออบเจกต์มีทฤษฎีบทในรูปแบบต่างๆ สำหรับกลุ่มวงแหวนปริภูมิเวกเตอร์โมดูลพีชคณิตลีและโครงสร้างพีชคณิตอื่น ๆ ในพีชคณิตสากลทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมสามารถขยายไปสู่บริบทของพีชคณิตและความสอดคล้องได้

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมได้รับการกำหนดขึ้นในรูปแบบทั่วไปสำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลโดยEmmy Noetherในบทความของเธอเรื่อง Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpernซึ่งตีพิมพ์ในปี 1927 ในMathematische Annalenสามปีต่อมาBL van der Waerdenได้ตีพิมพ์Moderne Algebra ซึ่งเป็นตำรา พีชคณิตนามธรรมยุคแรกที่มีอิทธิพลและช่วยกำหนดมาตรฐานการจัดการโครงสร้างของกลุ่มวงแหวนและฟิลด์ซึ่งทฤษฎีบทเหล่านี้ปรากฏอย่างเด่นชัด^{[ 1 ] [ 2 ]}

ก่อนอื่น เราจะนำเสนอทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มต่างๆ

ให้และเป็นกลุ่ม และให้เป็นฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมแล้ว: ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f:G\rightarrow H}$

1. แกนหลักของเป็น กลุ่ม ย่อยปกติของ${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$
2. ภาพของเป็นกลุ่มย่อยของและ${\displaystyle f}$${\displaystyle H}$
3. ภาพของ นั้นสมมาตรกับกลุ่มผลหาร${\displaystyle f}$${\displaystyle G/\ker f}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นฟังก์ชันทั่วถึงแล้วจะสม isomorphic กับ ${\displaystyle f}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/\ker f}$

ทฤษฎีบทนี้มักเรียกว่า ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิ ซึม แรก

ให้เป็นกลุ่ม ให้เป็นกลุ่มย่อยของและให้เป็นกลุ่มย่อยปกติของแล้วข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง: ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

1. ผลิตภัณฑ์ นี้เป็นซับกรุ๊ปของ​​,${\displaystyle SN}$${\displaystyle G}$
2. กลุ่มย่อยนี้เป็นกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle N}$${\displaystyle SN}$
3. จุดตัด เป็นกลุ่มย่อยปกติของและ${\displaystyle S\cap N}$${\displaystyle S}$
4. กลุ่มผลหารและเป็นกลุ่มสมมาตรกัน${\displaystyle (SN)/N}$${\displaystyle S/(S\cap N)}$

ในทางเทคนิคแล้ว ไม่จำเป็นที่ จะต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติ ตราบใดที่เป็นกลุ่มย่อยของตัวทำให้เป็นปกติของในในกรณีนี้ไม่ใช่กลุ่มย่อยปกติของแต่ยังคงเป็นกลุ่มย่อยปกติของผลคูณ ${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle SN}$

ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สอง^{[ 3 ]}ทฤษฎีบทเพชร^{[ 4 ]}หรือทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมด้านขนาน^{[ 5 ]}

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สองระบุกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ : ตัวอย่างเช่น กลุ่มบนเส้นโปรเจกทีฟเชิงซ้อนเริ่มต้นด้วยการกำหนดกลุ่มของเมทริกซ์เชิงซ้อน 2 × 2 ที่ผกผันได้กลุ่มย่อยของ เมทริกซ์ดีเทอร์ มิแนนต์ 1 และกลุ่มย่อยปกติของเมทริกซ์สเกลาร์เราจะได้โดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์และจากนั้นทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สองกล่าวว่า: ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

ให้เป็นกลุ่ม และเป็นกลุ่มย่อยปกติของแล้ว ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

1. ถ้าเป็นกลุ่มย่อยของโดยที่ แล้วจะมีกลุ่มย่อยที่สม isomorphic กับ${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$
2. ทุกกลุ่มย่อยของมีรูปแบบสำหรับกลุ่มย่อยบางกลุ่มของที่ทำให้${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
3. ถ้าเป็นกลุ่มย่อยปกติของโดยที่แล้วจะมีกลุ่มย่อยปกติที่สม isomorphic กับ${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$
4. ทุกกลุ่มย่อยปกติของมีรูปแบบสำหรับกลุ่มย่อยปกติบางกลุ่มของเช่นนั้น${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
5. ถ้าเป็นกลุ่มย่อยปกติของโดยที่แล้วกลุ่มผลหาร จะสม isomorphic กับ${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$${\displaystyle G/K}$

ข้อความสุดท้ายบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สาม ส่วนข้อความสี่ข้อแรกมักจะรวมอยู่ในทฤษฎีบท D ด้านล่าง และเรียกว่าทฤษฎีบทแลตติส ทฤษฎีบทความสอดคล้องหรือทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สี่

ให้เป็นกลุ่ม และเป็นกลุ่มย่อยปกติของโฮโมมอร์ฟิซึมการฉายภาพแบบแคนอนิกกำหนดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของกลุ่มย่อยของที่มีและเซตของกลุ่มย่อย (ทั้งหมด) ของภายใต้การจับคู่นี้ กลุ่มย่อยปกติ จะสอดคล้องกับกลุ่มย่อยปกติ ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\rightarrow G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N}$

ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทความสอดคล้องทฤษฎีบทแลตทิซและทฤษฎีบท ไอโซมอร์ฟิซึมที่สี่

ทฤษฎีบทZassenhaus (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทผีเสื้อ) บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สี่^{[ 6 ]}

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรกสามารถแสดงได้ใน ภาษา ทฤษฎีหมวดหมู่โดยกล่าวว่าหมวดหมู่ของกลุ่มสามารถแยกตัวประกอบได้ (แบบปกติ เอพิมอร์ฟิซึม และโมโนมอร์ฟิซึม) กล่าวอีกนัยหนึ่งเอพิมอร์ฟิซึมปกติและโมโนมอร์ฟิซึมก่อให้เกิดระบบการแยกตัวประกอบสำหรับหมวดหมู่สิ่งนี้แสดงให้เห็นในแผนภาพการสลับตำแหน่งในส่วนขอบ ซึ่งแสดงวัตถุและมอร์ฟิซึมที่มีการดำรงอยู่ซึ่งสามารถอนุมานได้จากมอร์ฟิซึมแผนภาพแสดงให้เห็นว่ามอร์ฟิซึมทุกตัวในหมวดหมู่ของกลุ่มมีเคอร์เนลในความหมายทางทฤษฎีหมวดหมู่ มอร์ฟิ ซึม f ใดๆ สามารถแยกตัวประกอบได้ เป็นโดยที่ιเป็นโมโนมอร์ฟิซึมและπเป็นเอพิมอร์ฟิซึม (ในหมวดหมู่โคนอร์มัลเอพิมอร์ฟิซึมทั้งหมดเป็นแบบปกติ) สิ่งนี้แสดงในแผนภาพด้วยวัตถุและโมโนมอร์ฟิซึม(เคอร์เนลเป็นโมโนมอร์ฟิซึมเสมอ) ซึ่งทำให้ลำดับที่แน่นอนสั้นๆที่วิ่งจากด้านล่างซ้ายไปยังด้านบนขวาของแผนภาพสมบูรณ์ การใช้ ข้อกำหนด ลำดับที่แน่นอนช่วยให้เราไม่ต้องวาดมอร์ฟิซึมศูนย์จากไปยัง และ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$${\displaystyle \iota \circ \pi }$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/\ker f}$

ถ้าลำดับนั้นแยกออกทางขวาได้ (กล่าวคือ มีมอร์ฟิซึมσที่แมปไปยัง ภาพผกผัน πของตัวมันเอง) แล้วGจะเป็นผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มย่อยปกติและกลุ่มย่อยถ้าแยกออกทางซ้ายได้ (กล่าวคือ มีอยู่บางตัวที่ทำให้) แล้วมันก็จะต้องแยกออกทางขวาได้เช่นกัน และเป็นการ แยกส่วน ผลคูณตรงของGโดยทั่วไป การมีอยู่ของการแยกออกทางขวาไม่ได้หมายความถึงการมีอยู่ของการแยกออกทางซ้าย แต่ในหมวดหมู่แบบอาเบล (เช่นหมวดหมู่ของกลุ่มแบบอาเบล ) การแยกออกทางซ้ายและการแยกออกทางขวาจะเทียบเท่ากันโดยเลมมาการแยกออกและการแยกออกทางขวาเพียงพอที่จะสร้างการแยกส่วนผลรวมตรงในหมวดหมู่แบบอาเบล โมโนมอร์ฟิซึมทั้งหมดก็เป็นปกติเช่นกัน และไดอะแกรมอาจขยายได้ด้วยลำดับที่แน่นอนสั้น ๆ ตัวที่สอง ${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {im} \kappa }$${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$${\displaystyle \ตัวดำเนินการ {im} \kappa \oplus \ตัวดำเนินการ {im} \sigma }$${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$

ในทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อที่สอง ผลคูณSNคือการเชื่อมต่อของSและNในแลตทิซของกลุ่มย่อยของGในขณะที่จุดตัดS  ∩  Nคือจุด ร่วม

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมที่สามได้รับการขยายความโดยบทพิสูจน์ย่อยทั้งเก้าข้อไปสู่หมวดหมู่แบบอาเบเลียนและแผนที่ทั่วไประหว่างวัตถุต่างๆ

ด้านล่างนี้เราได้นำเสนอทฤษฎีบทสี่ข้อ ซึ่งมีชื่อกำกับว่า A, B, C และ D โดยทั่วไปมักมีการกำหนดหมายเลขทฤษฎีบทเหล่านี้ว่า "ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรก", "ข้อที่สอง..." เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีข้อตกลงที่เป็นสากลเกี่ยวกับการกำหนดหมายเลข ในที่นี้เราได้ยกตัวอย่างทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่ปรากฏในเอกสารทางวิชาการ โปรดสังเกตว่าทฤษฎีบทเหล่านี้มีทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกันสำหรับวงแหวนและโมดูล

โดยทั่วไปแล้ว การรวมทฤษฎีบท D ซึ่งมักรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทแลตติสหรือทฤษฎีบทการจับคู่ เข้าไว้ในกลุ่มทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมนั้นค่อนข้างไม่บ่อยนัก แต่หากรวมไว้ด้วยแล้ว มักจะเป็นทฤษฎีบทสุดท้าย

ข้อความของทฤษฎีบทสำหรับริงนั้นคล้ายคลึงกัน โดยที่แนวคิดของกลุ่มย่อยปกติถูกแทนที่ด้วยแนวคิดของอุดมคติสองด้านข้อความทั้งหมดเป็นจริงไม่ว่าริงที่เกี่ยวข้องจะถือว่ามีเอกลักษณ์การคูณ โดยที่โฮโมมอร์ฟิซึมรักษาเอกลักษณ์นั้นไว้ หรือแม้ว่าริงจะไม่ถือว่ามีเอกลักษณ์ก็ตาม

ให้และเป็นริง และให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงแล้ว: ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$

1. แก่นของ คือ ไอเดียลสองด้านของ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle R}$
2. ภาพของเป็นวงแหวนย่อยของและ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle S}$
3. ภาพของ นั้นสมมาตรกับวงแหวนผลหาร${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle R/\ker \varphi }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นการส่งทั่วถึงแล้ว จะเป็น ไอโซมอร์ฟิกกับ^{[ 17 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle S}$${\displaystyle R/\ker \varphi }$

ให้เป็นริง ให้เป็นซับริงของและให้เป็นไอเดียลสองด้านของแล้ว: ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

1. ผลรวม เป็นซับริงของ${\displaystyle S+I=\{s+i\mid s\in S,i\in I\}}$${\displaystyle R}$
2. จุดตัดเป็นอุดมคติสองด้านของและ${\displaystyle S\cap I}$${\displaystyle S}$
3. วงแหวนผลหารและเป็นไอโซมอร์ฟิก${\displaystyle (S+I)/I}$${\displaystyle S/(S\cap I)}$

ให้เป็นวงแหวน และเป็นไอเดียลสองด้านของแล้ว ${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

1. ถ้าเป็นวงแหวนย่อยของโดยที่แล้ว ก็เป็นวงแหวนย่อยของ เช่น กัน${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$${\displaystyle A/I}$${\displaystyle R/I}$
2. ซับริงทุกอันของมีรูปแบบสำหรับซับริงบางอันของที่ทำให้${\displaystyle R/I}$${\displaystyle A/I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$
3. ถ้าเป็นไอเดียลสองด้านของโดยที่แล้ว ก็เป็นไอเดียลสองด้านของ เช่น กัน${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$${\displaystyle J/I}$${\displaystyle R/I}$
4. อุดมคติซ้าย อุดมคติขวา หรืออุดมคติสองด้านทุกอันของมีรูปแบบสำหรับอุดมคติซ้าย อุดมคติขวา หรืออุดมคติสองด้านบางอันของเช่นนั้น${\displaystyle R/I}$${\displaystyle J/I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$
5. ถ้าเป็นไอเดียลสองด้านของโดยที่แล้ววงแหวนผลหาร จะสม isomorphic กับ${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$${\displaystyle R/J}$

ให้เป็นอุดมคติสองด้านของการจับคู่คือการจับคู่^{แบบหนึ่ง} ต่อหนึ่ง ที่รักษาการรวมระหว่างเซตของวงแหวนย่อยของที่มีและเซตของวงแหวนย่อยของ^[ 18 ]${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$

ข้อความของทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับโมดูลนั้นเรียบง่ายเป็นพิเศษ เนื่องจากสามารถสร้างโมดูลผลหารจากโมดูลย่อย ใดๆ ก็ได้ ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ (โมดูลเหนือฟิลด์ ) และกลุ่มอาเบเลียน (โมดูลเหนือ) เป็นกรณีพิเศษของสิ่งเหล่านี้ สำหรับ ปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัดทฤษฎีบทเหล่านี้ทั้งหมดเป็นผลมาจากทฤษฎีบทอันดับ-มิติศูนย์ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ต่อไปนี้ คำว่า "โมดูล" จะหมายถึง " โมดูล R ซ้าย " หรือ " โมดูล R ขวา " สำหรับวงแหวนR ที่กำหนด ไว้

ให้และเป็นโมดูล และให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลแล้ว: ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi :M\rightarrow N}$

1. แกนหลักของเป็นโมดูลย่อยของ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$
2. ภาพของเป็นโมดูลย่อยของและ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle N}$
3. ภาพของ นั้นมีลักษณะสมมาตรกับโมดูลผลหาร${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M/\ker \varphi }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นฟังก์ชันทั่วถึงแล้วจะสม isomorphic กับ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle N}$${\displaystyle M/\ker \varphi }$

ให้เป็นโมดูล และให้และเป็นโมดูลย่อยของแล้ว: ${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle M}$

1. ผลรวมเป็นสับโมดูลของ${\displaystyle S+T=\{s+t\mid s\in S,t\in T\}}$${\displaystyle M}$
2. จุดตัดเป็นโมดูลย่อยของและ${\displaystyle S\cap T}$${\displaystyle M}$
3. โมดูลผลหารและเป็นไอโซมอร์ฟิก${\displaystyle (S+T)/T}$${\displaystyle S/(S\cap T)}$

ให้Mเป็นโมดูล และTเป็นซับโมดูลของ M

1. ถ้าเป็นสับโมดูลของโดยที่แล้ว ก็เป็นสับโมดูลของ เช่น กัน${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$${\displaystyle S/T}$${\displaystyle M/T}$
2. ทุกโมดูลย่อยของมีรูปแบบสำหรับโมดูลย่อยบางส่วนของที่ทำให้${\displaystyle M/T}$${\displaystyle S/T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$
3. ถ้าเป็นสับโมดูลของโดยที่แล้วโมดูลผลหารจะสมสัณฐานกับ${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$${\displaystyle M/S}$

ให้เป็นโมดูล และเป็นซับโมดูลของมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างซับโมดูลของที่มีและซับโมดูลของการจับคู่นี้กำหนดโดยสำหรับทุกการจับคู่นี้สลับที่ได้กับกระบวนการของการหาผลรวมและการตัดกัน (กล่าวคือ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของแลตทิซระหว่างแลตทิซของซับโมดูลของ และแลตทิซของซับโมดูลของที่มี) ^{[ 19 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M/N}$${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$${\displaystyle A\supseteq N}$${\displaystyle M/N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

เพื่อให้สามารถนำสิ่งนี้ไปประยุกต์ใช้กับพีชคณิตสากลได้ จำเป็นต้องแทนที่กลุ่มย่อยปกติด้วยความสัมพันธ์สมภาค

ความสอดคล้องบนพีชคณิต คือความสัมพันธ์สมมูลที่สร้างพีชคณิตย่อยของพีชคณิตที่มีการดำเนินการแบบส่วนประกอบต่อส่วนประกอบ เราสามารถสร้างเซตของชั้นสมมูลให้เป็นพีชคณิตประเภทเดียวกันได้โดยการกำหนดการดำเนินการผ่านตัวแทน ซึ่งจะได้รับการกำหนดอย่างดีเนื่องจากเป็นพีชคณิตย่อยของโครงสร้างที่ได้คือพีชคณิตผลหาร ${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}$${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle A/\Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle A\times A}$

ให้ เป็น โฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตแล้วภาพของเป็นซับพีชคณิตของความสัมพันธ์ที่กำหนดโดย(นั่นคือเคอร์เนลของ) เป็นความสอดคล้องบนและพีชคณิตและเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน (โปรดทราบว่าในกรณีของกลุ่มก็ต่อเมื่อดังนั้นเราจึงได้แนวคิดของเคอร์เนลที่ใช้ในทฤษฎีกลุ่มในกรณีนี้) ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A/\Phi }$${\displaystyle \operatorname {im} f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$

กำหนดให้พีชคณิต, พีชคณิตย่อยของ, และความสอดคล้องบน, ให้เป็นร่องรอยของในและเป็นเซตของชั้นสมมูลที่ตัดกับ แล้ว ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle B}$${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$เป็นการสอดคล้องกันบน,${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$เป็นพีชคณิตย่อยของและ${\displaystyle A/\Phi }$
3. พีชคณิตนั้น เป็นไอโซมอ ร์ฟิกกับพีชคณิต${\displaystyle [B]^{\Phi }}$${\displaystyle B/\Phi _{B}}$

ให้เป็นพีชคณิต และความสัมพันธ์สมภาคสองความสัมพันธ์บน โดยที่. แล้วเป็นความสัมพันธ์สมภาคบนและเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi ,\Psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$${\displaystyle A/\Psi }$${\displaystyle A/\Phi }$${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

ให้เป็นพีชคณิต และ แทนเซตของความสอดคล้องทั้งหมดบนเซต เป็นแลตทิซที่สมบูรณ์เรียงลำดับตามการรวม^{[ 20 ]} ถ้าเป็นความสอดคล้อง และเราแทนด้วยเซตของความสอดคล้องทั้งหมดที่มี(กล่าวคือ เป็น ตัวกรองหลักในยิ่งไปกว่านั้นยังเป็นแลตทิซย่อย) แล้ว แผนที่ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของแลตทิซ^{[ 21 ] [ 22 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Con} A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$${\displaystyle \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }$