ในพีชคณิตฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลคือฟังก์ชันระหว่างโมดูลที่รักษาโครงสร้างของโมดูลไว้ กล่าวคือ ถ้าMและNเป็นโมดูลซ้ายเหนือริงRแล้ว ฟังก์ชันจะเรียกว่า ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิ ซึมของโมดูลRหรือแผนที่เชิงเส้น R ถ้าสำหรับx , y ใด ๆ ในMและrในR${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งfคือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม (สำหรับกลุ่มบวกพื้นฐาน) ที่สลับกับการคูณสเกลาร์ได้ถ้าMและNเป็น โมดูล R ทางขวา เงื่อนไขที่สองจะถูกแทนที่ด้วย

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

ภาพผกผันของสมาชิกศูนย์ภายใต้fเรียกว่าเคอร์เนลของfเซตของโฮโมมอร์ฟิซึมโมดูลทั้งหมดจากMไปยังN จะถูกแทนด้วยมันเป็นกลุ่มอาเบเลียน (ภายใต้การบวกแบบจุดต่อจุด) แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นโมดูล เว้นแต่Rจะเป็น กลุ่ม สลับที่ได้ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

การประกอบกันของโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลก็คือโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลอีกเช่นกัน และแผนที่เอกลักษณ์บนโมดูลก็คือโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล ดังนั้น โมดูลทั้งหมด (เช่น โมดูลด้านซ้าย) รวมทั้งโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลทั้งหมดระหว่างโมดูลเหล่านั้น จึงก่อให้เกิดหมวดหมู่ของโมดูล

โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลเรียกว่า ไอโซม อร์ฟิซึมของโมดูลก็ต่อเมื่อมันยอมรับโฮโมมอร์ฟิซึมผกผัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ในทางกลับกัน เราสามารถแสดงได้ว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึม กล่าวคือ ตัวผกผันเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลเป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อมันเป็นไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐาน

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมใช้ได้กับโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล

โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลจากโมดูลMไปยังตัวมันเองเรียกว่าเอนโดมอร์ฟิซึมและไอโซมอร์ฟิซึมจากMไปยังตัวมันเอง เรียกว่า ออโตมอร์ฟิซึมเราเขียนแทนเซตของเอนโดมอร์ฟิซึมทั้งหมดของโมดูลMมันไม่เพียงแต่เป็นกลุ่มอาเบเลียนเท่านั้น แต่ยังเป็นวงแหวนที่มีการคูณที่กำหนดโดยการประกอบฟังก์ชัน เรียกว่าวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของMกลุ่มของหน่วยของวงแหวนนี้เรียกว่ากลุ่ม ออโตมอร์ฟิซึมของM${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$

ทฤษฎีบทของ Schurกล่าวว่า โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างโมดูลเชิงเดี่ยว (โมดูลที่ไม่มี โมดูลย่อยที่ไม่ใช่โมดูลย่อยที่ไม่สำคัญ) จะต้องเป็นศูนย์หรือไอโซมอร์ฟิซึมเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของโมดูลเชิงเดี่ยวเป็นวงแหวน หาร

ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่โฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีดเรียกว่าโมโนมอร์ฟิซึมและโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง เรียกว่า เอพิมอร์ฟิซึม

• แผนที่ศูนย์ M → N ที่แปลงทุกองค์ประกอบให้เป็นศูนย์
• การแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$.
• สำหรับริงสลับที่Rและไอเดีย ล IและJจะมีการระบุแบบแคนอนิกดังนี้

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

กำหนดโดย. โดยเฉพาะอย่างยิ่งคือตัวทำลายล้างของI .${\displaystyle f\mapsto f(1)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$

• กำหนด ให้ ริงRและสมาชิกrให้แทนการคูณทางซ้ายด้วยrแล้วสำหรับs , t ใดๆ ในR${\displaystyle l_{r}:R\to R}$

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$.

นั่นคือเป็น แบบ R -linear ที่ถูกต้อง${\displaystyle l_{r}}$

• สำหรับวงแหวนR ใด ๆ
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$ในฐานะวงแหวนเมื่อ มองว่า Rเป็นโมดูลขวาเหนือตัวมันเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไอโซมอร์ฟิซึมนี้กำหนดโดยการแสดงแทนปกติทาง ซ้าย${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$
  • ในทำนองเดียวกัน เมื่อมอง Rเป็นโมดูลซ้ายเหนือตัวมันเอง ตำราเรียนหรือเอกสารอ้างอิงอื่นๆ มักจะระบุว่าใช้แบบแผนใด${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$ผ่านโมดูลซ้ายใดๆ^{M [ 1} ] ( ^{โครงสร้างโมดูล}บน Hom ที่นี่มาจาก การกระทำ R ทางขวา บนRดู#โครงสร้างโมดูลบน Homด้านล่าง)${\displaystyle f\mapsto f(1)}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$เรียกว่าโมดูลคู่ของM ; มันคือโมดูลซ้าย (หรือขวา) ถ้าMเป็นโมดูลขวา (หรือซ้าย) เหนือRโดยมีโครงสร้างโมดูลมาจาก การกระทำ ของ RบนRโดยใช้สัญลักษณ์แทน${\displaystyle M^{*}}$
• กำหนดให้มีโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนR → Sของวงแหวนสลับที่ และโมดูลS M แผนที่เชิงเส้นR θ: ​​S → Mเรียกว่าอนุพันธ์ถ้าสำหรับf , g ใดๆ ในS , θ( fg ) = f θ( g ) + θ ( f ) g
• ถ้าSและTเป็นพีชคณิตแบบ เชื่อมโยงที่มี เอกลักษณ์เหนือริงRแล้วโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตจากSไปยังTจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลR ด้วย

โดยสรุป Hom สืบทอดการกระทำของวงแหวนที่ไม่ได้ถูกใช้ในการสร้าง Hom กล่าวให้ละเอียดกว่านั้น ให้MและNเป็นโมดูลR ทางซ้าย สมมติว่า MมีการกระทำทางขวาของวงแหวนSที่สลับที่ได้กับ การกระทำ Rกล่าวคือMเป็นโมดูล ( R , S ) แล้ว

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

มีโครงสร้างเป็นโมดูล S ด้านซ้ายที่ กำหนดโดย: สำหรับsในSและxในM

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

มันถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน (กล่าวคือเป็นR -linear) เนื่องจาก ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

และเป็นการกระทำแบบวงแหวนตั้งแต่ ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$.

หมายเหตุ: การตรวจสอบข้างต้นจะ "ล้มเหลว" หากใช้ การกระทำ R ทางซ้าย แทน การกระทำ S ทางขวา ในแง่นี้ มักกล่าวกันว่า Hom "ใช้การกระทำ R จนหมด"

ในทำนองเดียวกัน ถ้าMเป็น โมดูล R ซ้าย และNเป็นโมดูล ( R , S ) แล้ว จะ เป็น โมดูล Sขวาโดย${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$

ความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์และการแปลงเชิงเส้นในพีชคณิตเชิงเส้นสามารถขยายไปสู่โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลระหว่างโมดูลอิสระได้อย่างเป็นธรรมชาติ กล่าวคือ เมื่อกำหนดโมดูล ขวา U ให้เป็น R แล้ว จะมีไอโซมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกของกลุ่มอาเบเลียน

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

ได้มาจากการพิจารณาซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ แล้วเขียนfเป็น เมทริกซ์ขนาด m × nโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อมองRเป็น โมดูล R ทางขวา และใช้จะได้ ${\displaystyle U^{\oplus n}}$${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$,

ซึ่งปรากฏว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวน (เนื่องจากการจัดเรียงองค์ประกอบสอดคล้องกับการคูณเมทริกซ์ )

โปรดสังเกตว่าไอโซมอร์ฟิซึมข้างต้นเป็นแบบมาตรฐาน ไม่มีการเลือกใดๆ เกี่ยวข้อง ในทางกลับกัน หากกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลระหว่างโมดูลอิสระ ที่มีอันดับจำกัด การเลือกฐานเรียงลำดับจะสอดคล้องกับการเลือกไอโซมอร์ฟิซึมขั้นตอนข้างต้นจะให้การแสดงเมทริกซ์โดยสัมพันธ์กับการเลือกฐานดังกล่าว สำหรับโมดูลทั่วไปมากขึ้น การแสดงเมทริกซ์อาจขาดความเป็นเอกลักษณ์หรือไม่มีอยู่เลยก็ได้ ${\displaystyle F\simeq R^{n}}$

ในทางปฏิบัติ มักจะกำหนดฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลโดยการระบุค่าของมันบนเซตตัวสร้าง กล่าว คือ ให้MและNเป็นโมดูลR ทางซ้าย สมมติว่า เซตย่อยSสร้างM ขึ้นมา กล่าวคือ มีการส่งแบบทั่วถึงกับโมดูลอิสระFที่มีฐานดัชนีโดยSและเคอร์เนลK (กล่าวคือ มีการนำเสนอแบบอิสระ ) ดังนั้น การให้ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลก็คือการให้ฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลที่ฆ่าK (กล่าวคือ แมปKไปที่ศูนย์) ${\displaystyle F\to M}$${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle F\to N}$

ถ้าและเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล ผลรวมโดยตรงของทั้งสองคือ ${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle g:M'\to N'}$

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

และผลคูณเทนเซอร์ของพวกมันคือ

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

ให้f เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลระหว่างโมดูลซ้ายกราฟ Γ _fของfคือซับโมดูลของM ⊕ Nที่กำหนดโดย ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$,

ซึ่งเป็นภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมโมดูลM → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )) เรียกว่า มอร์ฟิ ซึมกราฟ

ทรานสโพสของfคือ

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

ถ้าfเป็นไอโซมอร์ฟิซึมแล้ว ทรานสโพสของอินเวอร์สของfจะเรียกว่า คอนทราเก ร เดียนต์ของf

พิจารณาลำดับของโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

ลำดับดังกล่าวเรียกว่าเชนคอมเพล็กซ์ (หรือมักเรียกสั้น ๆ ว่า คอมเพล็กซ์) ถ้าแต่ละองค์ประกอบเป็นศูนย์ กล่าวคือหรือเทียบเท่ากับภาพของถูกบรรจุอยู่ในเคอร์เนลของ(ถ้าตัวเลขเพิ่มขึ้นแทนที่จะลดลง จะเรียกว่า โคเชนคอมเพล็กซ์ เช่นเดอแรมคอมเพล็กซ์ ) เชนคอมเพล็กซ์เรียกว่าลำดับที่แน่นอนถ้ากรณีพิเศษของลำดับที่แน่นอนคือ ลำดับที่แน่นอนสั้น: ${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$${\displaystyle f_{i+1}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เคอร์เนลของคือภาพของและเป็นฟังก์ชันทั่วถึง ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลใดๆกำหนดลำดับที่แน่นอน ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

โดยที่คือเคอร์เนลของและคือโคเคอร์เนลซึ่งก็คือผลหารของด้วยภาพของ ${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f}$

ในกรณีของโมดูลเหนือริงสลับที่ลำดับจะเป็นลำดับที่แน่นอนก็ต่อเมื่อมันเป็นลำดับที่แน่นอนที่อุดมคติสูงสุด ทั้งหมด นั่นคือลำดับทั้งหมด

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

มีความแม่นยำ โดยที่ตัวห้อยหมายถึงตำแหน่ง ที่อุดมคติสูงสุด${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลแล้ว จะกล่าวได้ว่าพวกมันก่อตัวเป็นไฟเบอร์สแควร์ (หรือพูลแบ็กสแควร์ ) ซึ่งเขียนแทนด้วยM × _B Nถ้ามันพอดีกับ ${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

ที่ไหน. ${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$

ตัวอย่าง: ให้ A และ B เป็นวงแหวนสลับที่ และให้Iเป็นตัวทำลายของโมดูลBผล หาร A / B (ซึ่งเป็นไอเดียลของA ) แล้วแผนที่แคนอนิกจะสร้างสี่เหลี่ยมไฟเบอร์ที่มี${\displaystyle B\subset A}$${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

ให้เป็นเอนโดมอร์ฟิซึมระหว่าง โมดูล R ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด สำหรับวงแหวนสลับที่Rแล้ว ${\displaystyle \phi :M\to M}$

• ${\displaystyle \phi }$ถูกฆ่าโดยพหุนามลักษณะเฉพาะที่สัมพันธ์กับตัวสร้างของMดูบทพิสูจน์ของ Nakayama #Proof
• ถ้าเป็นฟังก์ชันทั่วถึง ก็จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย^{[ 2 ]}${\displaystyle \phi }$

ดูเพิ่มเติม: ผลหารเฮอร์แบรนด์ (ซึ่งสามารถกำหนดได้สำหรับเอนโดมอร์ฟิซึมใดๆ ที่มีเงื่อนไขความจำกัดบางประการ)

ความสัมพันธ์แบบบวก จากโมดูลMไปยังโมดูลNเป็นโมดูลย่อยของ^{[ 3 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม " หลายค่า " ที่กำหนดบนโมดูลย่อยบางส่วนของMส่วนกลับของfคือโมดูลย่อยความสัมพันธ์แบบบวกใดๆfกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมจากโมดูลย่อยของMไปยังผลหารของN${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle M\oplus N.}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

โดยที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ x ทั้งหมดใน Mซึ่ง( x , y )อยู่ในfสำหรับy บางตัว ในN${\displaystyle D(f)}$

การละเมิดที่เกิดขึ้นจากลำดับสเปกตรัมเป็นตัวอย่างของความสัมพันธ์แบบบวก

• กรวยการแมป (พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี)
• รูปแบบปกติของสมิธ
• โซ่เชิงซ้อน
• การจับคู่