ในทางคณิตศาสตร์การจับคู่ (pairing)คือแผนที่เชิงเส้นคู่ R จากผลคูณคาร์ทีเซียนของโมดูล R สองตัวโดยที่วงแหวนRพื้นฐานเป็นวงแหวนสลับที่ได้

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ที่มีเอกลักษณ์และให้ M , NและLเป็นโมดูลR

การจับคู่ (pairing)คือแผนที่เชิงเส้นคู่R ใดๆ ก็ได้ กล่าวคือ แผนที่นั้นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle e:M\times N\to L}$

${\displaystyle e(r\cdot m,n)=e(m,r\cdot n)=r\cdot e(m,n)}$,

${\displaystyle e(m_{1}+m_{2},n)=e(m_{1},n)+e(m_{2},n)}$และ${\displaystyle e(m,n_{1}+n_{2})=e(m,n_{1})+e(m,n_{2})}$

สำหรับทุกสิ่งและทุกสิ่งและทุกสิ่งในทำนองเดียวกัน การจับคู่คือแผนที่เชิงเส้น R${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle m,m_{1},m_{2}\in M}$${\displaystyle n,n_{1},n_{2}\in N}$

${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$

โดยที่หมายถึงผล คูณเทนเซอร์ของMและN${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

การจับคู่ยังสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นR ซึ่งตรงกับคำจำกัดความแรกโดยการตั้ง ค่า ${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$${\displaystyle \Phi (m)(n):=e(m,n)}$

การจับคู่จะเรียกว่าสมบูรณ์แบบก็ต่อเมื่อแผนที่ข้างต้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของ โมดูล Rและแผนที่การประเมินอีกอันก็เป็นไอโซมอร์ฟิซึมเช่นกัน ในบางกรณีที่ดี การที่เพียงหนึ่งในนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็เพียงพอแล้ว เช่น เมื่อRเป็นฟิลด์M, Nเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด และL= R ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi '\colon N\to \operatorname {Hom} _{R}(M,L)}$

การจับคู่เรียกว่าไม่เสื่อมสภาพทางด้านขวาหากสำหรับแผนที่ข้างต้น เรามีว่าสำหรับทุก ๆหมายความว่า; ในทำนองเดียวกัน การ จับคู่ เรียกว่าไม่เสื่อมสภาพทางด้านซ้ายหากสำหรับทุก ๆหมายความว่า ${\displaystyle e(m,n)=0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e(m,n)=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m=0}$

เมื่อการจับคู่จะเรียกว่าสมมาตรถ้าสำหรับทุกm , nและเรียกว่าสลับถ้าสำหรับทุกmโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้บ่งชี้ว่าในขณะที่ความเป็นเชิงเส้นคู่แสดงให้เห็นว่า ดังนั้น สำหรับการจับคู่แบบสลับ. ${\displaystyle N=M}$${\displaystyle e(m,n)=e(n,m)}$${\displaystyle e(m,m)=0}$${\displaystyle e(m+n,m+n)=0}$${\displaystyle e(m+n,m+n)=e(m,m)+e(m,n)+e(n,m)+e(n,n)=e(m,n)+e(n,m)}$${\displaystyle e(m,n)=-e(n,m)}$

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์การจับคู่ยังเรียกว่ารูปแบบทวิเชิงเส้นตัวอย่างเช่นผลคูณสเกลาร์ ใดๆ บนปริภูมิเวกเตอร์จริงVหรือ แผนที่ ดีเทอร์มิแนนต์ (เมทริกซ์ 2 × 2 เหนือk ) → kเมื่อมองในแง่ของการจับคู่ ${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V\คูณ V\ถึง k}$${\displaystyle k^{2}\times k^{2}\to k}$

สำหรับโมดูลคู่ ของแผนที่การประเมินเรียกว่าการจับคู่ตามธรรมชาติ ${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}\times M\to R}$${\displaystyle (\lambda ,m)\mapsto \lambda (m)}$

ตัวอย่างอื่นๆ ของการจับคู่เกิดขึ้นใน ทฤษฎี ทวิภาวะ ต่างๆ เช่นทวิภาวะของแซร์หรือทวิภาวะของปวงกาเรดูเพิ่มเติมที่ระบบทวิภาวะ

อีกตัวอย่างหนึ่งคือผลิตภัณฑ์ Yonedaระหว่างกลุ่ม Ext

แผนที่Hopf ที่เขียนไว้เป็นตัวอย่างของการจับคู่ ตัวอย่างเช่น Hardie et al. ^{[ 1 ]}นำเสนอการสร้างแผนที่อย่างชัดเจนโดยใช้โมเดล poset ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}}$

ในการเข้ารหัสลับมักใช้คำจำกัดความเฉพาะดังต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

ให้เป็นกลุ่มบวก และ เป็น กลุ่มคูณ โดยที่ทั้งหมดมีอันดับ เป็นจำนวนเฉพาะ ให้เป็นตัวสร้างของและตามลำดับ ${\displaystyle \textstyle G_{1},G_{2}}$${\displaystyle \textstyle G_{T}}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle P\in G_{1},Q\in G_{2}}$${\displaystyle \textstyle G_{1}}$${\displaystyle \textstyle G_{2}}$

การจับคู่เปรียบเสมือนแผนที่:${\displaystyle e:G_{1}\times G_{2}\rightarrow G_{T}}$

ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

1. ความเป็นเส้นตรงสองทาง :${\displaystyle \textstyle \forall a,b\in \mathbb {Z} :\ e\left(aP,bQ\right)=e\left(P,Q\right)^{ab}}$
2. ภาวะที่ไม่เสื่อมถอย :${\displaystyle \textstyle e\left(P,Q\right)\neq 1}$
3. ในทางปฏิบัติจำเป็นต้องสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ${\displaystyle \textstyle e}$

โปรดทราบว่าในเอกสารทางด้านวิทยาการเข้ารหัสลับนั้น เป็นเรื่องปกติเช่นกันที่กลุ่มทั้งหมดจะถูกเขียนในรูปแบบสัญกรณ์การคูณ

ในกรณีที่การจับคู่จะเรียกว่าสมมาตร เนื่องจากเป็นแบบวัฏจักรแผนที่จะเป็นแบบ สลับที่ได้กล่าวคือ สำหรับ ใดๆเราจะได้นี่เป็นเพราะสำหรับตัวสร้างจะมีจำนวนเต็ม อยู่จริงโดยที่และดังนั้น${\displaystyle \textstyle G_{1}=G_{2}=G}$${\displaystyle \textstyle G}$${\displaystyle e}$${\displaystyle P,Q\in G}$${\displaystyle e(P,Q)=e(Q,P)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle P=g^{p}}$${\displaystyle Q=g^{q}}$${\displaystyle e(P,Q)=e(g^{p},g^{q})=e(g,g)^{pq}=e(g^{q},g^{p})=e(Q,P)}$

การจับคู่แบบ Weilเป็นแนวคิดสำคัญในด้านการเข้ารหัสแบบเส้นโค้งวงรีเช่น อาจใช้ในการโจมตีเส้นโค้งวงรีบางประเภท (ดูการโจมตี MOV ) การจับคู่แบบ Weil และการจับคู่แบบอื่นๆ ได้ถูกนำมาใช้ในการพัฒนาระบบ การเข้ารหัสแบบอิงตัวตน

ผลคูณสเกลาร์บน ปริภูมิ เวกเตอร์เชิงซ้อน บางครั้งเรียกว่าการจับคู่ แม้ว่ามันจะไม่ใช่เชิงเส้นคู่ก็ตาม ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีการแทนผลคูณสเกลาร์บนอักขระของการแทนเชิงซ้อนของกลุ่มจำกัดมักเรียกว่าการจับคู่อักขระ

• ไลบรารีการเข้ารหัสแบบจับคู่