ในทางคณิตศาสตร์ผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลเป็นโครงสร้างที่ช่วยให้สามารถดำเนินการเกี่ยวกับแผนที่ทวิเชิงเส้น (เช่น การคูณ) ในรูปของ แผนที่เชิงเส้นได้โครงสร้างโมดูลนี้คล้ายคลึงกับโครงสร้างผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์แต่สามารถดำเนินการได้สำหรับโมดูล สองตัว บนวงแหวนสลับที่ได้ผลลัพธ์เป็นโมดูลที่สาม และยังสามารถดำเนินการได้สำหรับโมดูลขวาและโมดูลซ้ายสองตัวบนวงแหวน ใดๆ ที่ได้ผลลัพธ์เป็นกลุ่มอาเบเลียน ผล คูณเทนเซอร์มีความสำคัญในสาขาพีชคณิตนามธรรม พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีโทโพโลยีเชิงพีชคณิต เรขาคณิตเชิงพีชคณิตพีชคณิตตัวดำเนินการและเรขาคณิตไม่สลับที่คุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์ขยายไปสู่สถานการณ์ทั่วไปมากขึ้นในพีชคณิตนามธรรม ผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตและโมดูลสามารถใช้สำหรับการขยายสเกลาร์ได้ สำหรับริงสลับที่กัน ผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลสามารถทำซ้ำได้เพื่อสร้างพีชคณิตเทนเซอร์ของโมดูล ทำให้สามารถกำหนดการคูณในโมดูลในลักษณะสากลได้

สำหรับวงแหวนR , โมดูลRขวาM , โมดูลRซ้ายNและกลุ่มอาเบเลียนGแผนที่φ : M × N → Gเรียกว่าR-สมดุล , R-เชิงเส้นกลางหรือ ผลคูณ R-สมดุลถ้าสำหรับm , m ′ ในM , n , n ′ ในNและrในRเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ^{[ 1 ] : 126} $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}__{\varphi }\\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}__{\varphi }\\\end{aligned}}}$$

เซตของผลคูณสมดุลทั้งหมดบนRจากM × NไปยังGจะ ถูกแทนด้วยL _R ( M , N ; G )

ถ้าφและψเป็นผลคูณสมดุลแล้ว การดำเนินการφ + ψและ − φที่กำหนดแบบจุดต่อจุดก็จะเป็นผลคูณสมดุลเช่นกัน ซึ่งจะทำให้เซตL _R ( M , N ; G ) กลาย เป็นกลุ่มอาเบเลียน

สำหรับMและNที่กำหนดไว้ แผนที่G ↦ L _R ( M , N ; G )เป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนไปยังตัวมันเอง ส่วนของมอร์ฟิซึมนั้นได้มาจากการแมปโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มg  : G → G ′ไปยังฟังก์ชันφ ↦ g ∘ φซึ่งเปลี่ยนจากL _R ( M , N ; G )ไปยังL _R ( M , N ; G ′ )

หมายเหตุ

1. คุณสมบัติ (Dl) และ (Dr) แสดงถึงคุณสมบัติการบวกแบบสองทางของφซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นคุณสมบัติการกระจายของφเหนือการบวก
2. คุณสมบัติ (A) คล้ายกับคุณสมบัติการเชื่อมโยงบาง อย่าง ของφ
3. ริ งทุกวงRเป็นR - bimoduleดังนั้น การคูณริง( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ในRจึงเป็น ผลคูณ R -balanced คือR × R → R

สำหรับวงแหวนR , โมดูลRขวาM , โมดูลRซ้ายN ผลคูณเทนเซอร์เหนือR เป็นกลุ่มอาเบลพร้อมกับผลคูณสมดุล (ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น) ซึ่งเป็นสากลในความหมายต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$$

สำหรับทุกกลุ่มอาเบเลียนGและทุกผลคูณสมดุลจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวซึ่งทำให้$${\displaystyle f:M\times N\to G}$$$${\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G}$$$${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}$$

เช่นเดียวกับคุณสมบัติสากล ทั้งหมด คุณสมบัติข้างต้นกำหนดผลคูณเทนเซอร์อย่างไม่ซ้ำกันจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกัน: กลุ่มอาเบเลียนอื่น ๆ และผลคูณสมดุลที่มีคุณสมบัติเดียวกันจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับM ⊗ _R Nและ ⊗ อันที่จริง การแมป ⊗ เรียกว่าแคนอนิกหรือกล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นคือ การแมปแคนอนิก (หรือผลคูณสมดุล) ของผลคูณเทนเซอร์^{[ 3 ]}

คำนิยามนี้ไม่ได้พิสูจน์การมีอยู่ของM ⊗ _R Nโปรดดูวิธีการสร้างด้านล่าง

ผลคูณเทนเซอร์ยังสามารถนิยามได้ว่าเป็นวัตถุแทนฟังก์ชันG → L _R ( M , N ; G ) ; โดยชัดเจนแล้ว หมายความว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ : $${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

นี่เป็นวิธีสรุปที่กระชับในการกล่าวถึงคุณสมบัติการแมปสากลที่กล่าวไว้ข้างต้น (ถ้าหากทราบไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติไว้ล่วงหน้าแล้วก็สามารถกู้คืนได้โดยการเลือกแล้วแมปไปยังแผนที่เอกลักษณ์) ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle G=M\otimes _{R}N}$

ในทำนองเดียวกัน เมื่อพิจารณาการระบุตามธรรมชาติ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))}$ , ^{[ 4 ]}ยังสามารถกำหนดM ⊗ _R Nโดยใช้สูตร ได้อีกด้วย$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}$$

สิ่งนี้เรียกว่าการเชื่อมโยงเทนเซอร์-โฮม (tensor-hom adjunction ) โปรดดูเพิ่มเติมที่หัวข้อ § คุณสมบัติ

สำหรับแต่ละxในMและyในNจะเขียนได้ดังนี้

สำหรับภาพของ ( x , y ) ภายใต้แผนที่มาตรฐานมัก${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$เรียกว่าเทนเซอร์บริสุทธิ์ ตามหลัก แล้วสัญลักษณ์ที่ถูกต้องคือx ⊗ _R y แต่โดยทั่วไปมักละ Rไว้ที่นี่ จากนั้น จากนิยามโดยตรง จะมีความสัมพันธ์ดังนี้:

คุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์นำไปสู่ผลลัพธ์ที่สำคัญดังต่อไปนี้:

บทพิสูจน์: สำหรับข้อความแรก ให้Lเป็นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกในรูปแบบที่กล่าวถึงและqเป็นแผนที่ผลหารไปยังQเราจะได้ว่า: เช่นเดียวกับดังนั้นโดยส่วนของความไม่ซ้ำกันของคุณสมบัติสากลq = 0 ข้อความที่สองเป็นเพราะว่าในการกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลนั้น เพียงพอที่จะกำหนดมันบนเซตตัวสร้างของโมดูล${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle Q=(M\otimes _{R}N)/L}$${\displaystyle 0=q\circ \otimes }$${\displaystyle 0=0\circ \otimes }$${\displaystyle \square }$

ในทางปฏิบัติ บางครั้งการพิสูจน์ว่าผลคูณเทนเซอร์ของ โมดูลR ไม่เป็นศูนย์ นั้นยากกว่าการพิสูจน์ว่ามันเป็น 0 คุณสมบัติสากลให้วิธีการที่สะดวกในการตรวจสอบเรื่องนี้ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

เพื่อตรวจสอบว่าผลคูณเทนเซอร์ไม่เป็นศูนย์ เราสามารถสร้าง แผนที่ R -bilinear ไปยังกลุ่มอาเบเลียนได้โดย ที่⁠ ⁠ซึ่งใช้ได้ผลเพราะถ้า⁠ ⁠แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle f:M\times N\rightarrow G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f(m,n)\neq 0}$${\displaystyle m\otimes n=0}$${\displaystyle f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0}$

ตัวอย่างเช่น เพื่อให้เห็นว่า⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$มีค่าไม่เป็นศูนย์ ให้กำหนดให้ เป็นและ⁠ ⁠ซึ่งหมายความว่าเทนเซอร์บริสุทธิ์ตราบใดที่มีค่าไม่เป็นศูนย์ใน⁠ ⁠${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle (m,n)\mapsto mn}$${\displaystyle m\otimes n\neq 0}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

ข้อเสนอแนะนี้กล่าวว่า เราสามารถทำงานกับองค์ประกอบที่ชัดเจนของผลคูณเทนเซอร์แทนที่จะเรียกใช้คุณสมบัติสากลโดยตรงทุกครั้ง ซึ่งสะดวกมากในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น ถ้าRเป็นเมทริกซ์สลับที่ได้ และการกระทำซ้ายและขวาของRบนโมดูลถือว่าเทียบเท่ากัน ก็สามารถเติมการคูณสเกลาร์ R ได้อย่างเป็นธรรมชาติโดยการขยาย ไปยังทั้งหมดโดยข้อเสนอแนะก่อนหน้านี้ (โดยเคร่งครัดแล้ว สิ่งที่จำเป็นคือโครงสร้างไบโมดูล ไม่ใช่การสลับที่ได้ ดูย่อหน้าด้านล่าง) เมื่อมีโครงสร้างโมดูลR นี้แล้ว จะมีคุณสมบัติสากลที่คล้ายกับข้างต้น: สำหรับโมดูลR ใดๆ Gจะมีการสมมาตรตามธรรมชาติ: ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle r\cdot (x\otimes y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes (r\cdot y)}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-bilinear maps }}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

ถ้าRไม่จำเป็นต้องเป็นริงสลับที่ แต่ถ้าMมีการกระทำทางซ้ายโดยริงS (ตัวอย่างเช่นR ) แล้วสามารถกำหนด โครงสร้างโมดูล S ทางซ้าย ได้ดังที่กล่าวมาข้างต้น โดยใช้สูตร ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle s\cdot (x\otimes y):=(s\cdot x)\otimes y.}$$

ในทำนองเดียวกัน ถ้าNมีการกระทำทางขวาโดยวงแหวนSแล้ว N ก็ จะกลายเป็น โมดูล Sทางขวา${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

เมื่อกำหนดแผนที่เชิงเส้นของโมดูลขวาเหนือริงRและของโมดูลซ้ายแล้ว จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว ${\displaystyle f:M\to M'}$${\displaystyle g:N\to N'}$$${\displaystyle {\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}}$$

โครงสร้างนี้ส่งผลให้เทนเซอร์เป็นฟังก์ชัน: แต่ละโมดูลR ทางขวา Mจะกำหนดฟังก์ชัน จากหมวดหมู่ของโมดูลทางซ้ายไปยังหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนที่ส่งNไปยังM ⊗ Nและโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลf ไปยังโฮโม มอ ร์ ฟิซึมของกลุ่ม1 ⊗ f$${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow {\text{Ab}}}$$

ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน และถ้าMเป็น โมดูล S ขวา และN เป็นโมดูล Sซ้ายแล้วจะมี โฮโมมอร์ฟิ ซึม แบบทั่วถึงตามหลักการ : เหนี่ยวนำโดย^{[ 5 ]}${\displaystyle f:R\to S}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N\to M\otimes _{S}N}$$$${\displaystyle M\times N{\overset {\otimes _{S}}{\longrightarrow }}M\otimes _{S}N.}$$

แผนที่ที่ได้นั้นเป็นฟังก์ชันทั่วถึง เนื่องจากเทนเซอร์บริสุทธิ์x ⊗ yสร้างโมดูลทั้งหมดขึ้นมา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเลือกRเป็นสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลทุกตัวเป็นผลหารของผลคูณเทนเซอร์ของกลุ่มอาเบเลียน ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

(ส่วนนี้จำเป็นต้องปรับปรุง สำหรับตอนนี้ โปรดดูหัวข้อ § คุณสมบัติสำหรับรายละเอียดทั่วไปเพิ่มเติม)

สามารถขยายคำจำกัดความไปสู่ผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลจำนวนใดๆ บนวงแหวนสลับที่เดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติสากลของ

คือแผนที่สามมิติแต่ละแผนที่บน

สอดคล้องกับแผนที่เชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกัน

ผลคูณเทนเซอร์ไบนารีมีคุณสมบัติการสลับที่: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃เป็นไอโซมอร์ฟิกโดยธรรมชาติกับM ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ) ผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลสามโมดูลที่กำหนดโดยคุณสมบัติสากลของแผนที่เชิงเส้นสามมิติเป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลคูณเทนเซอร์แบบวนซ้ำทั้งสองนี้

ให้R ₁ , R ₂ , R ₃ , Rเป็นริง ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นริงสลับที่ก็ได้

• สำหรับไบโมดูลR ₁ - R ₂ M ₁₂และโมดูลR ₂ซ้ายM ₂₀จะ เป็น โมดูลR ₁ซ้าย${\displaystyle M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}}$
• สำหรับโมดูล ขวา R ₂ M ₀₂และโมดูล คู่ R ₂ - R ₃ M ₂₃จะ เป็น โมดูลขวาR ₃${\displaystyle M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}}$
• (การสลับที่) สำหรับโมดูล ขวา R ₁ M ₀₁โมดูลไบR ₁ - R ₂ M ₁₂และโมดูล ซ้าย R ₂ M ₂₀เรามี: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \left(M_{01}\otimes _{R_{1}}M_{12}\right)\otimes _{R_{2}}M_{20}=M_{01}\otimes _{R_{1}}\left(M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right).}$$
• เนื่องจากRเป็นR - R -bimodule เราจึงมีผลลัพธ์สมดุลมาตรฐานโดยการคูณ ริง${\displaystyle R\otimes _{R}R=R}$${\displaystyle mn=:m\otimes _{R}n}$

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ และM , NและPเป็น โมดูล Rแล้ว (ต่อไปนี้ "=" หมายถึงไอโซมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกทัศนคตินี้เป็นที่ยอมรับได้เนื่องจากผลคูณเทนเซอร์ถูกนิยามไว้เฉพาะไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเท่านั้น)

ตัวตน

$${\displaystyle R\otimes _{R}M=M.}$$

ความสัมพันธ์

$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).}$$

สมมาตร

$${\displaystyle M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.}$$ในความเป็นจริง สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนσ ใดๆ ของเซต {1, ..., n } จะมีไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว:$${\displaystyle {\begin{cases}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}}$$

คุณสมบัติสามข้อแรก (รวมถึงเอกลักษณ์บนมอร์ฟิซึม) ระบุว่าหมวดหมู่ของ โมดูล Rโดยที่Rเป็นแบบสลับที่ได้ ก่อให้เกิดหมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตร

การกระจายตัวตามผลรวมโดยตรง

$${\displaystyle M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).}$$ในความเป็นจริงสำหรับเซตดัชนีI ที่มี จำนวนสมาชิกไม่จำกัดเนื่องจากผลคูณจำกัดตรงกับผลรวมโดยตรงจำกัด ดังนั้นจึงหมายความว่า:$${\displaystyle M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i\in I}N_{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),}$$

• การแจกแจงบนผลคูณจำกัด

  สำหรับจำนวนจำกัดใดๆ${\displaystyle N_{i}}$$${\displaystyle M\otimes _{R}\prod _{i=1}^{n}N_{i}=\prod _{i=1}^{n}M\otimes _{R}N_{i}.}$$

ส่วนขยายฐาน

ถ้าSเป็นR -algebra เขียน, ^{[ 7 ]}ดู§ การขยายสเกลาร์บทสรุปคือ:${\displaystyle -_{S}=S\otimes _{R}-}$$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S}N_{S};}$$

• การกระจายตัวตามตำแหน่งที่ตั้ง

  สำหรับเซตย่อยปิดเชิงการคูณใดๆSของRเนื่องจากเป็นR -algebra และ$${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-}$

คุณสมบัติการสลับที่กับลิมิตโดยตรง

สำหรับระบบโดยตรงใดๆ ของโมดูลR M _i ,$${\displaystyle (\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim (M_{i}\otimes _{R}N).}$$

การเชื่อมโยง

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P)){\text{.}}}$$ ผลที่ตามมาคือ:

• ความถูกต้องแม่นยำ

  ถ้าเป็นลำดับที่แน่นอนของ โมดูล Rแล้ว ก็เป็นลำดับที่แน่นอนของโมดูลR เช่นกัน โดยที่$${\displaystyle 0\to N'{\overset {f}{\to }}N{\overset {g}{\to }}N''\to 0}$$$${\displaystyle M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}{\to }}M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\to }}M\otimes _{R}N''\to 0}$$${\displaystyle (1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).}$

ความสัมพันธ์เทนเซอร์-โฮม

มี แผนที่เชิงเส้น R แบบแคนอนิก : ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมหากMหรือPเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด (ดู§ แผนที่รักษาความเป็นเส้นตรงสำหรับกรณีที่ไม่สลับที่) ^{[ 8 ]}โดยทั่วไปแล้ว มี แผนที่เชิงเส้น R แบบแคนอนิก : ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมหากหรือเป็นคู่ของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),}$$$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')}$$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle (M,M')}$

เพื่อให้เห็นภาพตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม สมมติว่าMและNเป็นโมดูลอิสระที่มีฐานเป็นและตามลำดับ แล้วMคือผลรวมโดยตรง และN ก็เช่นกัน โดยอาศัยคุณสมบัติการกระจาย จะได้ว่า: กล่าวคือ เป็น ฐาน Rของแม้ว่าMจะไม่ใช่โมดูลอิสระ แต่การนำเสนอแบบอิสระของMก็สามารถนำมาใช้คำนวณผลคูณเทนเซอร์ได้ ${\displaystyle e_{i},i\in I}$${\displaystyle f_{j},j\in J}$${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i,j}R(e_{i}\otimes f_{j});}$$${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

โดยทั่วไป ผลคูณเทนเซอร์ไม่สอดคล้องกับลิมิตผกผัน กล่าวคือ ในด้านหนึ่ง (ดู "ตัวอย่าง") ในอีกด้านหนึ่ง โดยที่คือวงแหวนของจำนวนเต็ม p-adicและ คือฟิลด์ของจำนวน p-adicดู " จำนวนเต็มโปรไฟไนต์ " สำหรับตัวอย่างในลักษณะเดียวกัน ด้วย$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p^{n}=0}$$$${\displaystyle \left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$

ถ้าRไม่สลับที่กันได้ ลำดับของผลคูณเทนเซอร์อาจมีความสำคัญในลักษณะต่อไปนี้: เรา "ใช้หมด" การกระทำทางขวาของMและการกระทำทางซ้ายของNเพื่อสร้างผลคูณเทนเซอร์⁠ ⁠${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ; โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะไม่ถูกกำหนดด้วยซ้ำ ถ้าMและNเป็นไบโมดูลการกระทำทางซ้ายจะมาจากการกระทำทางซ้ายของMและการกระทำทางขวาจะมาจากการกระทำทางขวาของNการกระทำเหล่านั้นไม่จำเป็นต้องเหมือนกับการกระทำทางซ้ายและขวาของ ⁠ ⁠${\displaystyle N\otimes _{R}M}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle N\otimes _{R}M}$

คุณสมบัติการสลับที่นี้ใช้ได้กับวงแหวนที่ไม่สลับที่โดยทั่วไป: ถ้าMเป็น โมดูล R ทางขวา , Nเป็นโมดูล ( R , S ) และP เป็นโมดูล Sทางซ้ายแล้ว M เป็นกลุ่มอาเบเลียน $${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)}$$

รูปแบบทั่วไปของความสัมพันธ์ผกผันของผลคูณเทนเซอร์กล่าวว่า: ถ้าRไม่จำเป็นต้องสลับที่ได้M เป็น โมดูลRทางขวาNเป็นโมดูล ( R , S ) Pเป็นโมดูล S ทางขวาแล้ว เป็นกลุ่มอาเบล^{[ 9 ]} โดยที่กำหนดโดย$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'}$$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'(x)(y)=f(x\otimes y)}$

ให้Rเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลที่ มีฟิลด์เศษส่วนK

• สำหรับโมดูลR ใดๆ Mโดยที่ คือ โมดูล ย่อยทอ ร์ ชั่ นของM${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }}$
• ถ้าMเป็นโมดูลบิดRแล้วและถ้าMไม่ใช่โมดูลบิดแล้ว⁠ ⁠ .${\displaystyle K\otimes _{R}M=0}$${\displaystyle K\otimes _{R}M\neq 0}$
• ถ้าNเป็นซับโมดูลของMโดยที่เป็นโมดูลทอร์ชั่น แล้วเป็นโมดูลR โดย ⁠ ⁠ .${\displaystyle M/N}$${\displaystyle K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M}$${\displaystyle x\otimes n\mapsto x\otimes n}$
• ใน⁠ ⁠${\displaystyle K\otimes _{R}M}$ก็ต่อ เมื่อ หรือ⁠ ⁠เท่านั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle x\otimes m=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle m\in M_{\operatorname {tor} }}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)}$${\displaystyle m\mapsto 1\otimes m}$
• ${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}}$การกำหนดตำแหน่งของโมดูลที่อุดมคติเฉพาะ(กล่าวคือ การกำหนดตำแหน่งโดยสัมพันธ์กับองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์) อยู่ที่ใด${\displaystyle M_{(0)}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (0)}$

ความสัมพันธ์ผกผันในรูปแบบทั่วไปมีกรณีพิเศษที่สำคัญ: สำหรับพีชคณิตR ใดๆ S , M เป็นโมดูล Rขวา, P เป็น โมดูลSขวา โดยใช้ ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-}$เราจะได้ไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ: $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).}$$

นี่หมายความว่าฟังก์ชันนั้นเป็นตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันลืมซึ่งจำกัดการกระทำของS ให้เป็นการ กระทำของ Rด้วยเหตุนี้จึงมักเรียกว่าการขยายสเกลาร์จากRไปยังSในทฤษฎีการแทนเมื่อRและSเป็นพีชคณิตกลุ่ม ความสัมพันธ์ข้างต้นจะกลายเป็น ความสัมพันธ์แบบผกผัน ของ Frobenius${\displaystyle -\otimes _{R}S}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{R}}$${\displaystyle -\otimes _{R}S}$

• ${\displaystyle R^{n}\otimes _{R}S=S^{n}}$สำหรับพีชคณิตR ใดๆ S ( กล่าวคือโมดูลอิสระยังคงเป็นโมดูลอิสระหลังจากขยายสเกลาร์แล้ว)
• สำหรับวงแหวนสลับที่และพีชคณิตR สลับที่Sเราจะได้ว่า: อันที่จริง โดยทั่วไปแล้ว คือ โดยที่เป็นไอเดียล${\displaystyle R}$$${\displaystyle S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];}$$$${\displaystyle S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],}$$${\displaystyle I}$
• โดยใช้ตัวอย่างก่อนหน้านี้และทฤษฎีบทเศษ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$เหลือของจีนเราจะได้วงแหวนดังนี้ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งที่แสดงให้เห็นว่าผลคูณเทนเซอร์เป็น ผล คูณโดยตรง$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.}$$
• ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C} }$ .

โครงสร้างของผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลธรรมดาทั่วไปอาจคาดเดาได้ยาก

ให้Gเป็นกลุ่มอาเบลที่สมาชิกทุกตัวมีอันดับจำกัด (นั่นคือGเป็นกลุ่มอาเบลแบบทอร์ชั่นตัวอย่างเช่นGอาจเป็นกลุ่มอาเบลจำกัดหรือ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ) แล้ว: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}$$

แท้จริงแล้ว ทุกสิ่งล้วนอยู่ในรูปแบบนี้ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G}$$${\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}$$

ถ้าคือลำดับของ⁠ ⁠แล้วเราจะคำนวณ: ${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$$${\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}$$

ในทำนองเดียวกัน เราจะเห็นได้ว่า $${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}$$

ต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์บางประการที่มีประโยชน์สำหรับการคำนวณ: ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่, I , Jเป็นไอเดียล, M , N เป็นโมดูล Rแล้ว

1. ถ้า${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM}$Mเป็นระนาบ [ ^{พิสูจน์1} ]​​​​${\displaystyle IM=I\otimes _{R}M}$^​
2. ${\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I}$(เนื่องจากการเทนเซอร์สอดคล้องกับการขยายฐาน)
3. [${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)}$หลักฐาน² ]^​​

ตัวอย่าง:ถ้าGเป็นกลุ่มอาเบเลียน⁠ ⁠${\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG}$ ; ซึ่งเป็นผลมาจากข้อ 1

ตัวอย่าง: ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}}$ ; ซึ่งเป็นผลมาจากข้อ 3 โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันp , q , $${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}$$

ผลคูณเทนเซอร์สามารถนำมาใช้ควบคุมลำดับของสมาชิกในกลุ่มได้ ให้ G เป็นกลุ่มอาเบเลียน ดังนั้น ผลคูณของ 2 ใน G จะเป็นศูนย์ $${\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$

ตัวอย่าง:ให้G เป็นกลุ่มของ รากที่ nของเอกภาพ G เป็นกลุ่มวัฏจักรและกลุ่มวัฏจักรจะถูกจำแนกตามลำดับ ดังนั้น โดยไม่เป็นไปตามแบบแผนและดังนั้น เมื่อgคือ ห.ร.ม. ของnและm${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n}$$${\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}$$

ตัวอย่าง:พิจารณา⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$เนื่องจากได้มาจากโดยการกำหนด ความเป็นเชิง เส้น -linearity บนส่วนกลาง เราจึงได้ฟังก์ชันทั่วถึง ที่มีเคอร์เนลที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบในรูปแบบ โดยที่r , s , x , uเป็นจำนวนเต็มและsไม่เป็นศูนย์ เนื่องจาก เคอร์เนลมีค่าเป็นศูนย์จริง ๆ ดังนั้น⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$$${\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y}$$${\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,}$$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} }$

อย่างไรก็ตาม ลองพิจารณาและ⁠ ⁠เนื่องจากเป็นปริภูมิเวกเตอร์ จึงมีมิติ 4 แต่มีมิติ 2 ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

ดังนั้นและจึงไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิก ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

ตัวอย่าง:เราเสนอให้เปรียบเทียบและ⁠ ⁠เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เรามี: เป็นกลุ่มอาเบเลียน และดังนั้น เป็นปริภูมิเวกเตอร์ - (แผนที่เชิงเส้น - ใดๆระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ - เป็น แผนที่ เชิงเส้น -) ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์ - มีมิติ (จำนวนสมาชิกของฐาน) ของคอนทินิวอัมดังนั้นมีฐาน - ที่จัดทำดัชนีโดยผลคูณของคอนทินิวอัม ดังนั้นมิติ - ของมันจึงเป็นคอนทินิวอัม ดังนั้น ด้วยเหตุผลด้านมิติ จึงมีไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่เป็นไปตามแบบแผนของปริภูมิเวกเตอร์ -: ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .}$$

พิจารณาโมดูลสำหรับพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ โดยที่⁠ ⁠ . จากนั้น ${\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$${\displaystyle \gcd(f,g)=1}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$$

ตัวอย่างที่มีประโยชน์อีกกลุ่มหนึ่งมาจากการเปลี่ยนแปลงค่าคงที่ สังเกตว่า $${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}$$

ตัวอย่างที่ดีของปรากฏการณ์นี้ที่ควรพิจารณาคือเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$ .

การสร้างM ⊗ Nใช้การหารกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่มีฐานเป็นสัญลักษณ์m ∗ nซึ่งในที่นี้ใช้แทนคู่ลำดับ( m , n )โดยที่mอยู่ในMและnอยู่ในNโดยใช้กลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นจากสมาชิกทั้งหมดในรูปแบบ

1. − m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. −( m + m ′) ∗ n + m ∗ n + m ′ ∗ n
3. ( m · r ) ∗ n − m ∗ ( r · n )

โดยที่m , m ′ อยู่ในM , n , n ′ อยู่ในNและrอยู่ในRแผนที่ผลหารซึ่งแปลงm ∗ n = ( m , n )ไปยังโคเซตที่ประกอบด้วยm ∗ nนั้น สมดุล และกลุ่มย่อยถูกเลือกอย่างน้อยที่สุดเพื่อให้แผนที่นี้สมดุล คุณสมบัติสากลของ ⊗ เป็นผลมาจากคุณสมบัติสากลของกลุ่มอาเบเลียนอิสระและผลหาร $${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}$$

ถ้าSเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนRแล้วคือกลุ่มผลหารของโดยกลุ่มย่อยที่สร้างโดย โดยที่คือภาพของภายใต้โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลคูณเทนเซอร์ใดๆ ของ โมดูล Rสามารถสร้างขึ้นได้ หากต้องการ โดยเป็นผลหารของผลคูณเทนเซอร์ของกลุ่มอาเบเลียนโดยการกำหนดคุณสมบัติผลคูณสมดุล R${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M\otimes _{S}N}$${\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N}$${\displaystyle x\otimes _{S}y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N}$

ในเชิงทฤษฎีหมวดหมู่มากขึ้น ให้ σ เป็นการกระทำทางขวาที่กำหนดของRบนMกล่าวคือ σ( m , r ) = m · rและ τ เป็นการกระทำทางซ้ายของRบนNจากนั้น หากผลคูณเทนเซอร์ของกลุ่มอาเบเลียนได้รับการกำหนดไว้แล้ว ผลคูณเทนเซอร์ของMและNบนRสามารถกำหนดได้เป็นโคอี ควอไลเซอร์ โดยที่ไม่มีตัวห้อยหมายถึงผลคูณเทนเซอร์ของกลุ่มอาเบเลียน $${\displaystyle M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle \otimes }$

ในการสร้างผลคูณเทนเซอร์เหนือริงสลับที่R โครงสร้าง โมดูลRสามารถสร้างขึ้นตั้งแต่เริ่มต้นได้โดยการสร้างผลหารของ โมดูล R อิสระ โดยโมดูลย่อยที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่ระบุไว้ข้างต้นสำหรับการสร้างทั่วไป โดยเสริมด้วยองค์ประกอบr ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n )หรืออีกทางหนึ่ง การสร้างทั่วไปสามารถกำหนดโครงสร้างโมดูล Z( R ) ได้โดยการกำหนดการกระทำสเกลาร์โดยr ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n )เมื่อสิ่งนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี ซึ่งก็คือเมื่อr ∈ Z( R ) ซึ่งเป็น ศูนย์กลางของR

ผลคูณโดยตรงของMและNมักจะไม่สมมาตรกับผลคูณเทนเซอร์ของMและNเมื่อRไม่สลับที่ได้ ผลคูณเทนเซอร์จะต้องให้MและNเป็นโมดูลที่อยู่คนละด้าน ในขณะที่ผลคูณโดยตรงจะต้องให้ M และ N เป็นโมดูลที่อยู่ด้านเดียวกัน ในทุกกรณี ฟังก์ชันเดียวจากM × NไปยังGที่เป็นทั้งเชิงเส้นและเชิงเส้นคู่ คือ แผนที่ศูนย์

โดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติทั้งหมดของผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์ ไม่ ได้ขยายไปถึงโมดูลเสมอไป อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติที่มีประโยชน์บางอย่างของผลคูณเทนเซอร์ ซึ่งพิจารณาได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลยังคงอยู่

โมดูลคู่ของโมดูลR ทางขวา Eถูกกำหนดให้เป็นHom _R ( E , R )ด้วย โครงสร้างโมดูล R ทางซ้ายแบบแคนอนิก และใช้สัญลักษณ์E ∗ ^{[ 11 ] โครงสร้าง}แบบแคนอนิกคือ การดำเนินการ แบบจุดต่อจุดของการบวกและการคูณสเกลาร์ ดังนั้นE ^∗คือเซตของแผนที่เชิงเส้นR ทั้งหมด E → R (เรียกอีกอย่างว่ารูปแบบเชิงเส้น ) ด้วยการดำเนินการ โมดูล คู่ของ โมดูล R ทางซ้าย ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน โดยใช้สัญลักษณ์เดียวกัน $${\displaystyle (\phi +\psi )(u)=\phi (u)+\psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E}$$$${\displaystyle (r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi (u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}$$

จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกE → E ^∗∗จากEไปยังโมดูลคู่ลำดับที่สองของมันเสมอ โฮโมมอร์ฟิซึมนี้จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อEเป็นโมดูลอิสระที่มีอันดับจำกัด โดยทั่วไปแล้วEเรียกว่าโมดูลสะท้อนกลับได้ถ้าโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกเป็นไอโซมอร์ฟิซึม

เราใช้สัญลักษณ์แทนการจับคู่ตามธรรมชาติของโมดูลคู่E ^∗และโมดูลR ทางขวา EหรือของโมดูลR ทางซ้าย Fและโมดูลคู่F ^∗ การจับคู่นี้เป็นแบบ R-linear ทางซ้ายใน อาร์กิวเมนต์ด้านซ้าย และแบบR -linear ทางขวาในอาร์กิวเมนต์ด้านขวา: $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)}$$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :F\times F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangle =f'(f).}$$$${\displaystyle \langle r\cdot g,h\cdot s\rangle =r\cdot \langle g,h\rangle \cdot s,\quad r,s\in R.}$$

โดยทั่วไปแล้ว แต่ละองค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลจะก่อให้เกิดแผนที่เชิงเส้นR ซ้าย แผนที่เชิงเส้น R ขวา และ รูปแบบเชิงเส้นคู่ Rซึ่งแตกต่างจากกรณีการสลับที่ ในกรณีทั่วไป ผลคูณเทนเซอร์ไม่ใช่ โมดูล Rดังนั้นจึงไม่รองรับการคูณด้วยสเกลาร์

• เมื่อกำหนด โมดูลRขวาE และ โมดูลRขวาFแล้ว จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกθ  : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F )ซึ่งθ ( f ⊗ e ′)เป็นแผนที่e ↦ f ⋅ ⟨ ^e ′ , e ⟩ ^{[ 12} ]
• เมื่อกำหนด โมดูลRซ้ายE และ โมดูลRขวาFแล้ว จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกθ  : F ⊗ _R E → Hom _R ( E ^∗ , F )ซึ่งθ ( f ⊗ e )เป็นแผนที่e ′ ↦ f ⋅ ⟨ e , e ′ ⟩ ^{[ 13 ]}

ทั้งสองกรณีนี้ใช้ได้กับโมดูลทั่วไป และโฮโมมอร์ฟิซึมจะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมหากโมดูลEและFเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โมดูลอิสระที่มีอันดับจำกัด) ดังนั้น องค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลเหนือริงRจะแมปไปยัง แผนที่เชิงเส้น R ได้อย่างเป็นแบบแคนอนิก แม้ว่าเช่นเดียวกับปริภูมิเวกเตอร์ จะมีข้อจำกัดที่ใช้กับโมดูลเพื่อให้สิ่งนี้เทียบเท่ากับปริภูมิทั้งหมดของแผนที่เชิงเส้นดังกล่าว

• เมื่อกำหนด โมดูลRทางขวาEและโมดูลR ทางซ้าย Fแล้ว จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกθ  : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R )โดยที่θ ( f ′ ⊗ e ′)คือแผนที่( f , e ) ↦ ⟨ f , f ′⟩ ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ดังนั้น สมาชิกξของผลคูณเทนเซอร์F ^∗ ⊗ _R E ^∗ของ โมดูล Rอาจถูกมองว่าก่อให้เกิดแผนที่R- ไบลิเนีย ร์F × E → R

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ และEเป็น โมดูล Rแล้วจะมี แผนที่เชิงเส้น R มาตรฐาน : ซึ่งเกิดขึ้นจากความเป็นเชิงเส้นโดย; มันเป็น แผนที่เชิงเส้น R เพียงหนึ่งเดียว ที่สอดคล้องกับการจับคู่ตามธรรมชาติ $${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E\to R}$$${\displaystyle \phi \otimes x\mapsto \phi (x)}$

ถ้าEเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟR ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด เราสามารถระบุได้ผ่านโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกที่กล่าวถึงข้างต้น และจากนั้นข้างต้นจะเป็นแผนที่ร่องรอย : ${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)}$$${\displaystyle \operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.}$$

เมื่อRเป็นฟิลด์ นี่คือร่องรอย ปกติ ของการแปลงเชิงเส้น

ตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดของผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิของฟิลด์เวกเตอร์และรูปแบบเชิงอนุพันธ์ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าRคือวงแหวน (สลับที่) ของฟังก์ชันเรียบบนแมนิโฟลด์เรียบMแล้ว เราจะเขียนได้ ว่า โดยที่ Γ หมายถึงปริภูมิของส่วนตัดและตัวยกหมายถึงการเทนเซอร์pครั้งเหนือRตามนิยามแล้ว สมาชิกของคือฟิลด์เทนเซอร์ประเภท ( p , q ) $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$$${\displaystyle \otimes p}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

ในฐานะโมดูลR จะ ^เป็นโมดูลคู่ของ⁠ ⁠ [ ^{14 ]}${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

เพื่อลดความซับซ้อนของสัญลักษณ์ ให้ใส่และดังนั้น[ ^{15 ] เมื่อ} p , q ≥ 1 สำหรับแต่ละ ( k , l ) โดยที่ 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ qจะมี แผนที่ R -multilinear ดังนี้ : โดยที่หมายถึงและเครื่องหมายหมวกหมายถึงการละเว้นพจน์หนึ่งพจน์ ด้วยคุณสมบัติสากล จึงสอดคล้องกับแผนที่ R -linear ที่ไม่ซ้ำกัน${\displaystyle E=\Gamma (M,TM)}$${\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)}$$${\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$$${\displaystyle E^{p}}$${\displaystyle \prod _{1}^{p}E}$$${\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}$$

เรียกว่าการหดตัวของเทนเซอร์ในดัชนี ( k , l ) เมื่อคลี่คลายสิ่งที่สมบัติสากลกล่าวไว้ เราจะเห็นได้ว่า: $${\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}$$

หมายเหตุ : การอภิปรายข้างต้นเป็นมาตรฐานในตำราเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (เช่น Helgason) ในแง่หนึ่ง การสร้างโดยใช้ทฤษฎีชีฟ (กล่าวคือ ภาษาของชีฟของโมดูล ) นั้นเป็นธรรมชาติมากกว่าและพบเห็นได้ทั่วไปมากขึ้น สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูหัวข้อ§ ผลคูณเทนเซอร์ของชีฟของโมดูล

โดยทั่วไปแล้ว คือไบฟังก์ชันเตอร์ ที่รับคู่โมดูล Rด้านขวาและด้านซ้ายเป็นอินพุต และกำหนดโมดูลเหล่านั้นให้กับผลคูณเทนเซอร์ในหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน $${\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$

โดยการกำหนดโมดูลR ด้านขวา M ให้คงที่ จะทำให้เกิด ฟังก์ชัน ขึ้น และในทำนองเดียวกัน ก็สามารถกำหนด โมดูลR ด้านซ้าย Nให้คงที่เพื่อสร้างฟังก์ชันได้เช่นกัน $${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$$${\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}$$

แตกต่างจากHom bifunctor ตรงที่ tensor functor นั้นมีความแปรผันร่วมในอินพุตทั้งสอง ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}$

สามารถแสดงได้ว่าและเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำทางขวา เสมอ แต่ไม่จำเป็นต้องแม่นยำทางซ้าย ( โดยที่แผนที่แรกเป็นการคูณด้วยจะเป็น ฟังก์ชัน ที่แม่นยำ แต่ไม่ใช่หลังจากใช้เทนเซอร์กับ) ตามคำนิยาม โมดูลTเป็นโมดูลแบบราบถ้าเป็นฟังก์ชันที่แม่นยำ ${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle -\otimes _{R}N}$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle T\otimes _{R}-}$

ถ้าและเป็นเซตก่อกำเนิดสำหรับMและNตามลำดับ แล้วจะเป็นเซตก่อกำเนิดสำหรับเนื่องจากฟังก์ชันเทนเซอร์บางครั้งไม่สามารถเป็นฟังก์ชันที่แน่นอนทางซ้ายได้ ดังนั้นนี่อาจไม่ใช่เซตก่อกำเนิดขั้นต่ำ แม้ว่าเซตก่อกำเนิดดั้งเดิมจะเป็นเซตก่อกำเนิดขั้นต่ำก็ตาม ถ้าMเป็นโมดูลแบบแบนฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันที่แน่นอนตามนิยามของโมดูลแบบแบน ถ้าผลคูณเทนเซอร์ถูกกระทำเหนือฟิลด์Fเราจะอยู่ในกรณีของปริภูมิเวกเตอร์ดังที่กล่าวมาข้างต้น เนื่องจาก โมดูล F ทั้งหมด เป็นแบบแบนฟังก์ชันคู่จึงเป็นฟังก์ชันที่แน่นอนในทั้งสองตำแหน่ง และเซตก่อกำเนิดสองเซตที่กำหนดเป็นฐาน ดังนั้น จึงเป็นฐานสำหรับ⁠ ⁠อย่าง แท้จริง${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}}$${\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle -\otimes _{R}-}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$${\displaystyle M\otimes _{F}N}$

ถ้าSและTเป็นR -algebra ที่สลับที่ได้แล้ว เช่นเดียวกับ # สำหรับโมดูลที่เทียบเท่ากันS ⊗ _R T ก็ จะเป็นR -algebra ที่สลับที่ได้เช่นกัน โดยมีแผนที่การคูณที่กำหนดโดย( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ )และขยายโดยความเป็นเชิงเส้น ในบริบทนี้ ผลคูณเทนเซอร์จะกลายเป็นผลคูณร่วมแบบไฟเบอร์ในหมวดหมู่ของR -algebra ที่สลับที่กันได้ (แต่ไม่ใช่ผลคูณร่วมในหมวดหมู่ของR -algebra)

ถ้าMและNต่างก็เป็นR-โมดูลเหนือริงสลับที่ ผลคูณเทนเซอร์ของทั้งสองก็จะเป็นR-โมดูลเช่นกัน ถ้าRเป็นริง_R M จะเป็น R- โมดูล ซ้ายและตัวสลับที่

ถ้าสมาชิก rและsใดๆของRอยู่ในตัวทำลายของMแล้ว เราสามารถทำให้Mเป็นโมดูลขวาของ R ได้ โดยการตั้งค่า

การกระทำของRต่อMแยกตัวประกอบผ่านการกระทำของวงแหวนสลับที่ผลหาร ในกรณีนี้ ผลคูณเทนเซอร์ของMกับตัวมันเองเหนือRก็คือ โมดูล R อีกครั้ง นี่เป็นเทคนิคที่พบได้บ่อยมากในพีชคณิตสลับที่

ถ้าXและYเป็นคอมเพล็กซ์ของโมดูลR (โดยที่ Rเป็นวงแหวนสลับที่) แล้วผลคูณเทนเซอร์ของพวกมันจะเป็นคอมเพล็กซ์ที่กำหนดโดย โดยมีอนุพันธ์ที่กำหนดโดย: สำหรับxในX _iและyในY _j , ^{[ 16 ]}$${\displaystyle (X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j},}$$$${\displaystyle d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).}$$

ตัวอย่างเช่น ถ้าCเป็นคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ของกลุ่มอาเบเลียนแบบแบน และถ้าGเป็นกลุ่มอาเบเลียนแล้ว กลุ่มโฮโมโลยีของ G ก็ คือกลุ่มโฮโมโลยีของCที่มีสัมประสิทธิ์ในG (ดูเพิ่มเติม: ทฤษฎีบทสัมประสิทธิ์สากล ) ${\displaystyle C\otimes _{\mathbb {Z} }G}$

ผลคูณเทนเซอร์ของชีฟของโมดูลคือชีฟที่เชื่อมโยงกับพรีชีฟของผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลของส่วนต่างๆ บนเซตย่อยแบบเปิด

ในการตั้งค่านี้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดฟิลด์เทนเซอร์บนแมนิโฟลด์เรียบMเป็นส่วน (ทั่วโลกหรือเฉพาะที่) ของผลคูณเทนเซอร์ (เรียกว่า^บันเดิลเทนเซอร์ ) โดยที่Oคือชีฟของวงแหวนของฟังก์ชันเรียบบนMและบันเดิลเหล่านี้ถูกมองว่าเป็นชีฟอิสระเฉพาะที่บนM [ ^{17 ]}$${\displaystyle (TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}}$$${\displaystyle TM,T^{*}M}$

บันเดิลภายนอกบนMคือบันเดิลย่อยของบันเดิลเทนเซอร์ที่ประกอบด้วยเทนเซอร์โคแวเรียนต์แบบแอนติสมมาตรทั้งหมดส่วน ตัดของบันเดิลภายนอกคือรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนM

กรณีสำคัญกรณีหนึ่งในการสร้างผลคูณเทนเซอร์เหนือชีฟของวงแหวนที่ไม่สลับที่กัน ปรากฏในทฤษฎีของโมดูลDนั่นคือ ผลคูณเทนเซอร์เหนือชีฟของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์

• ฟังก์ชันทอร์
• ผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิต
• ผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์
• ผลคูณเทนเซอร์ที่ได้มา
• ทฤษฎีบทของไอเลนเบิร์ก-วัตต์