ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตทฤษฎีบทสัมประสิทธิ์สากล สร้างความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มโฮโมโลยี (หรือกลุ่มโคโฮโมโลยี ) ที่มีสัมประสิทธิ์ต่างกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับปริภูมิโทโพโลยีX ใดๆ กลุ่มโฮโมโลยีเชิงจำนวนเต็มของมันคือ:

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

กำหนดกลุ่มโฮโมโลยีที่มีสัมประสิทธิ์ในA อย่างสมบูรณ์ สำหรับกลุ่มอาเบเลียนA ใดๆ :

${\displaystyle H_{i}(X,A)}$

ในที่นี้อาจเป็นโฮโมโลยีเชิงซิมพลิ เชียล หรือโดยทั่วไปแล้วอาจ เป็น โฮโมโลยีเชิงเอกฐาน การพิสูจน์ผลลัพธ์นี้โดยทั่วไปเป็นการใช้พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี ล้วนๆ เกี่ยวกับคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ของกลุ่มอาเบเลียนอิสระรูปแบบของผลลัพธ์คือสามารถใช้สัมประสิทธิ์A อื่นๆ ได้ โดยแลกกับการใช้ฟังก์ชันทอร์ ${\displaystyle H_{i}}$

ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดให้เป็นเพื่อให้สัมประสิทธิ์เป็นโมดูลัส 2 ซึ่งจะทำได้ง่ายขึ้นหากไม่มี 2- ทอร์ชั่นในโฮโมโลจี โดยทั่วไปแล้ว ผลลัพธ์จะบ่งชี้ถึงความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นระหว่างจำนวนเบ็ตติของและจำนวนเบ็ตติที่มีสัมประสิทธิ์ในฟิลด์ซึ่งอาจแตกต่างกันได้ แต่เฉพาะเมื่อลักษณะเฉพาะของเป็นจำนวนเฉพาะที่มี-ทอร์ชั่นบางอย่างในโฮโมโลจี ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b_{i,F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

พิจารณาผลคูณเทนเซอร์ของโมดูล ทฤษฎีบทกล่าวว่ามีลำดับที่แน่นอนสั้นๆที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันทอร์${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A}$

${\displaystyle 0\to H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X,A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$

นอกจากนี้ ลำดับนี้ยังแยกออกแม้จะไม่ใช่การแยกตามธรรมชาติก็ตาม นี่คือแผนที่ที่เกิดจากแผนที่เชิงเส้นคู่ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )\times A\to H_{i}(X,A)}$

ถ้าวงแหวนสัมประสิทธิ์เป็นนี่จะเป็นกรณีพิเศษของลำดับสเปกตรัมของบ็อกสไตน์ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

ให้เป็นโมดูลเหนือโดเมนไอเดียลหลัก (ตัวอย่างเช่นหรือฟิลด์ใดๆ) ${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

มีทฤษฎีสัมประสิทธิ์สากลสำหรับโคฮอโมโลยีที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Extซึ่งยืนยันว่ามีลำดับที่แน่นอนสั้นตามธรรมชาติ

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}$

เช่นเดียวกับกรณีความคล้ายคลึงกัน ลำดับจะแยกออก แม้ว่าจะไม่ใช่โดยธรรมชาติก็ตาม อันที่จริง สมมติว่า

${\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G,}$

และกำหนด

${\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}$

ด้านบนคือแผนที่มาตรฐาน: ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h([f])([x])=f(x).}$

มุมมองทางเลือกอื่นสามารถอิงตามการแสดงโคฮอโมโลยีผ่านปริภูมิ Eilenberg–MacLaneโดยที่แผนที่ใช้ คลาส โฮโมโทปีของแผนที่ไปยังโฮโมมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกันซึ่งเหนี่ยวนำในโฮโมโลยี ดังนั้น ปริภูมิ Eilenberg–MacLane จึงเป็นตัวผกผันขวาที่อ่อนแอของฟังก์ชัน โฮโมโล ยี^{[ 1 ]}${\displaystyle h}$${\displaystyle X\to K(G,i)}$

ให้ เป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริงเราคำนวณโคฮอโมโลยีเอกฐานของที่มีสัมประสิทธิ์ใน โดยใช้โฮโมโลยีเชิงปริพันธ์ นั่นคือ ${\displaystyle X=\mathbb {RP} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

โดยทราบว่าโฮโมโลจีจำนวนเต็มกำหนดโดย:

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

เรามีและดังนั้นลำดับที่แน่นอนข้างต้นจึงให้ผลลัพธ์ ${\displaystyle \operatorname {Ext} (G,G)=G}$${\displaystyle \operatorname {Ext} (R,G)=0}$

${\displaystyle H^{i}(X;G)=G}$

สำหรับทุกคน ที่จริงแล้วโครงสร้าง วงแหวนโคฮอโมโลยีทั้งหมดคือ ${\displaystyle i=0,\dots ,n}$

${\displaystyle H^{*}(X;G)=G[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}$

กรณีพิเศษของทฤษฎีบทนี้คือการคำนวณโคฮอโมโลยีเชิงอินทิกรัล สำหรับคอมเพล็กซ์ CW จำกัด นั้นจะถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด ดังนั้นเราจึงมีการแยกส่วน ดังต่อไป นี้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}$

เลขเบ็ตติของอยู่ที่ไหนและส่วนแรงบิดของคืออะไร สามารถตรวจสอบได้ว่า ${\displaystyle \beta _{i}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle H_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)},}$

และ

${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbb {Z} )\cong T_{i}.}$

ซึ่งให้ข้อความต่อไปนี้สำหรับโคฮอโมโลยีเชิงปริพันธ์:

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}$

สำหรับแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ปิดและเชื่อมต่อกันบทสรุปนี้เมื่อผนวกกับทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเรจะให้ผลลัพธ์ว่า ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \beta _{i}(X)=\beta _{n-i}(X)}$

มีการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีสัมประสิทธิ์สากลสำหรับ (โค)โฮโมโลจีที่มีสัมประสิทธิ์ บิดเบี้ยว

สำหรับโคฮอโมโลยี เรามี

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {Ext} _{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G),}$

โดยที่เป็นวงแหวนที่มีหน่วยเป็นคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ของโมดูลอิสระเหนือเป็น -bimodule ใดๆสำหรับวงแหวนบางวงที่มีหน่วยและเป็นกลุ่ม Extอนุพันธ์มีดีกรี ${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{*}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (R,S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Ext} }$${\displaystyle d^{r}}$${\displaystyle (1-r,r)}$

ในทำนองเดียวกันสำหรับความเหมือนกันทางโครงสร้าง

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=\operatorname {Tor} _{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G),}$

สำหรับกลุ่มTorและอนุพันธ์ที่มีดีกรี. ${\displaystyle \operatorname {Tor} }$${\displaystyle d_{r}}$${\displaystyle (r-1,-r)}$

• ทฤษฎีบทสัมประสิทธิ์สากลที่มีสัมประสิทธิ์วงแหวน