ในคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชันพีชคณิตตัวดำเนินการคือพีชคณิตของตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยี โดยการคูณกำหนดโดยการประกอบของการแมป

ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาพีชคณิตตัวดำเนินการมักจะถูกนำเสนอใน รูปของ พีชคณิตในขณะที่เทคนิคที่ใช้มักจะเป็นเชิงวิเคราะห์สูง[ 1 ^{]แม้ว่าการ} ศึกษาพีชคณิตตัวดำเนินการมักจะถูกจัดอยู่ในสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน แต่ ก็มีการประยุกต์ใช้โดยตรงกับทฤษฎีการแทนเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์กลศาสตร์สถิติควอนตัม ข้อมูลควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัม

พีชคณิตตัวดำเนินการสามารถใช้ศึกษาเซตของตัวดำเนินการใดๆ ก็ได้ที่มีความสัมพันธ์ทางพีชคณิตน้อยในเวลาเดียวกันจากมุมมองนี้ พีชคณิตตัวดำเนินการสามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของทฤษฎีสเปกตรัมของตัวดำเนินการเดี่ยว โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตตัวดำเนินการเป็นวงแหวนที่ไม่สลับที่ กัน

โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตตัวดำเนินการจะต้องปิดในโทโพโลยี ตัวดำเนินการที่กำหนดไว้ ภายในพีชคณิตทั้งหมดของตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือเซตของตัวดำเนินการที่มีคุณสมบัติการปิดทั้งในเชิงพีชคณิตและเชิงโทโพโลยี ในบางสาขาวิชา คุณสมบัติดังกล่าวได้รับการกำหนดเป็นสัจพจน์และพีชคณิตที่มีโครงสร้างเชิงโทโพโลยีบางอย่างกลายเป็นหัวข้อของการวิจัย

แม้ว่าพีชคณิตของตัวดำเนินการจะถูกศึกษาในบริบทต่างๆ (ตัวอย่างเช่น พีชคณิตของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียมที่กระทำบนปริภูมิของการกระจาย ) แต่โดยทั่วไปแล้ว คำว่าพีชคณิตของตัวดำเนินการมักใช้ในการอ้างอิงถึงพีชคณิตของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนปริภูมิบานาคหรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการอ้างอิงถึงพีชคณิตของตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้ ซึ่งมีโทโพโลยี บรรทัดฐานของตัวดำเนินการ

ในกรณีของตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ต แผนที่ ผกผันเฮอร์มิเชียนบนตัวดำเนินการจะให้การผกผัน ตามธรรมชาติ ซึ่งให้โครงสร้างพีชคณิตเพิ่มเติมที่สามารถกำหนดให้กับพีชคณิตได้ ในบริบทนี้ ตัวอย่างที่ได้รับการศึกษามากที่สุดคือ พีชคณิตตัวดำเนินการแบบ สมมาตรในตัวเองซึ่งหมายความว่าพีชคณิตเหล่านั้นปิดภายใต้การใช้ตัวผกผัน ซึ่งรวมถึงพีชคณิต C* พีชคณิตฟอนนอยมันน์และพีชคณิต AW* พีชคณิต C* สามารถกำหนดลักษณะเฉพาะในเชิงนามธรรมได้อย่างง่ายดายโดยเงื่อนไขที่เชื่อมโยงบรรทัดฐาน การผกผัน และการคูณ พีชคณิต C* ที่กำหนดในเชิงนามธรรมดังกล่าวสามารถระบุได้ว่าเป็นพีชคณิตย่อย แบบปิดบางส่วน ของพีชคณิตของตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่เหมาะสม ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับพีชคณิตฟอนนอยมันน์ด้วย

พีชคณิตตัวดำเนินการแบบสลับที่และสมมาตร ในตัวเองสามารถมองได้ว่าเป็นพีชคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ มีค่าเป็น จำนวนเชิงซ้อน บน ปริภูมิกระชับเฉพาะที่หรือของฟังก์ชันที่วัดได้บนปริภูมิที่วัดได้มาตรฐานดังนั้น พีชคณิตตัวดำเนินการทั่วไปจึงมักถูกมองว่าเป็นการขยายแบบไม่สลับที่ของพีชคณิตเหล่านี้ หรือโครงสร้างของปริภูมิฐานที่ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ มุมมองนี้ได้รับการขยายความในปรัชญาของเรขาคณิตแบบไม่สลับที่ซึ่งพยายามศึกษาวัตถุที่ไม่เป็นแบบคลาสสิกและ/หรือผิดปกติหลายอย่างโดยใช้พีชคณิตตัวดำเนินการแบบไม่สลับที่

ตัวอย่างของพีชคณิตตัวดำเนินการที่ไม่สมมาตรในตัวเอง ได้แก่:

• พีชคณิตรัง
• พีชคณิตแลตทิซของปริภูมิย่อยแบบสลับที่ได้จำนวนมาก
• พีชคณิตลิมิตจำนวนมาก

• พีชคณิตบานาค  – โครงสร้างพีชคณิตชนิดพิเศษ
• กลศาสตร์เมทริกซ์  – การกำหนดรูปแบบของกลศาสตร์ควอนตัม
• โทโพโลยีบนเซตของตัวดำเนินการในปริภูมิฮิลเบิร์ต
• พีชคณิตตัวดำเนินการจุดยอด  – พีชคณิตที่ใช้ในทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอล 2 มิติและทฤษฎีสตริง

• แบล็กคาดาร์, บรูซ (2005). พีชคณิตตัวดำเนินการ: ทฤษฎีของพีชคณิต C* และพีชคณิตฟอนนอยมันน์สารานุกรมวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์สปริงเกอร์-เวอร์แลกISBN 3-540-28486-9.
• M. Takesaki, ทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการ เล่ม 1 , Springer, 2001.